Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies de la Gestion
Mercatique - Comptabilité et finance d'entreprise - Gestion des systèmes d'information
Antilles Guyane - Session 2007

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Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 4

Calculatrice autorisée, conformément à la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de ma rédaction dans l'appréciation des copies.
3 points

exercice 1

Le tableau suivant indique l'évolution du chiffre d'affaires (en milliers d'euros) d une entreprise entre 2001 et 2005 :

Année 2001 2002 2003 2004 2005
Rang (x_i) 1 2 3 4 5
Chiffre d'affaires (yi 340 341 343 341 344

Chaque affirmation ci-après comporte trois réponses possibles ; pour chaque question une seule réponse est exacte. Toute réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlèrve 0,5 point ; l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total est négatif la note de l'exercice est ramenée à 0.

Recopier clairement sur la copie la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée.


1. Les coordonnées du point moyen G(\bar{x},\bar{y}) sont :
G(2,5 ; 341,8) ; G(3 ; 342,1) ; G(3 ; 341,8).


2. La droite D d'ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés a pour équation:
y = 0,8x + 339,4 ; y = 0,9x + 339,1 ; y = 0,8x + 341,8.


3. Le chiffre d'affaires en milliers d'euros, estimé pour 2006 à l'aide de l'ajustement précédent est de :
344,5 ; 346,6 ; 344,2.



7 points

exercice 2

On s'intéresse à l'évoution de la population d'une ville V et on veut étudier plusieurs modèles d'évolution. En 2005, la population de la ville V est estimée à 10 000 habitants.

Partie I : étude des deux modèles

1. Première hypothèse de croissance
En analysant l'évolution récente, on fait d'abord comme hypothèse que la population de la ville V va augmenter de 500 habitants par an.
On note u0 = 10 000 la population en 2005, et un la population en (2005 + n).
    a) Quelle est la nature de la suite (un) ?
    b) Exprimer un, en fonction de n.
    c) En quelle année la population atteindra-t-elle 20 000 habitants ?

2. Deuxième hypothèse de croissance
On travaille avec l'hypothèse d'une augmentation de 4,7 % par an.
On note vn la population en (2005 + n). Nous avons alors v0 = 10 000.
    a) Quelle sera alors la population en 2006 ? En 2007 ?
    b) Quelle est la nature de la suite (vn) ? Exprimer vn en fonction de n.
    c) Calculer la population de la ville en 2020.

En examinant l'évolution de villes comparables, des experts ont estimé que la population de la ville V considérée allait doubler en 15 ans.
    d) Le résultat trouvé en 2.c) vous paraît-il correspondre à ce que pensaient les experts ?

Partie II : analyse des résultats sur tableur

On veut utiliser un tableur pour comparer l'évolution de la population suivant les deux modèles:
 ABCD
1Annéeunvn 
2200510 00010 000 
32006   
42007   
52008   
62009   
72010   
82011   
92012   
102013   
112014   
122015   


1. Quelle formnule faut-il entrer en B3, pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs de la suite (u_n) ?

2. Quelle formule faut-il rentrer en C3, pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs de la suite (v_n) ?

3. En cellule B8, quel sera alors le résultat affiché ?


4 points

exercice 3

Un établissement scolaire compte 130 élèves en terminale STG. Ces élèves sont répartis en trois spécialités : CGRH, mercatique et CFE.
50 % des élèves sont en mercatique et 45 d'entre eux sont des garçons.
30 élèves sont en CFE et dans cette spécialité, il y a autant de filles que de garçons.
En CGRH, il y a 6 fois plus de filles que de garçons.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant :
 CGRHMercatiqueCFETotal
Filles    
Garçons    
Total   130
Faire figurer sur la copie le détail des calculs.

2. Dans cette question, les réponses seront données sous la forme d'une fraction irréductible.
Un élève est choisi au hasard parmi les 130 élèves de terminale STG.
On considère les événements suivants :
M : " l'élève choisi est en mercatique " ;
F : " l'élève choisi est une fille " ;
H : " l'élève choisi est en CGRH ".
    a) Calculer P(M) et P(H).
    b) Définir par une phrase l'événement MinterF puis calculer p(MinterF).
    c) Calculer la probabilité conditionnelle sachant M de F notée pM(F). Traduire par une phrase le résultat obtenu.


6 points

exercice 4

On donne ci-dessous la courbe représentative (C) d'une fonction f définie sur [-2 ; 5].
La tangente à (C) au point d'abscisse - ln2 est parallèle à l'axe des abscisses et (D) est la droite d'équation y = 2x - 3.

bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Antilles Guyane 2007 - terminale : image 1


Partie A

1. Par lecture graphique déterminer f(0), f'(-\ln 2).

2. a) Déterminer graphiquement le nombre des solutions, sur l'intervalle [-2 ; 5], de l'équation f(x)=0
    b) Résoudre graphiquement l'inéquation f'(x) < 0.

Partie B

La fonction de la partie A est définie sur [-2;5] par : f(x) = 2x - 3 + e^{-x}.
1. On note f' la fonction dérivée de f. Montrer que, pour tout x de [-2 ; 5], f'(x)=2-e^{-x}.

2. a) Résoudre algébriquement l'équation f'(x)=0.
    b) Donner le signe de f'(x) suivant les valeurs de x dans l'intervalle [-2 ; 5].
    c) En déduire le tableau de variations de f.

3. On rappelle que (D) est la droite d'équation y = 2x - 3.
    a) Résoudre l'inéquation f(x) > 2x - 3.
    b) Interpréter graphiquement, à l'aide de (C) et (D), le résultat précédent.






exercice 1

1. Réponse : la 3éme proposition est vraie
Justification :
Les coordonnées du point moyen s'obtiennent par application des formules suivantes :
\bar{x} = \dfrac{1+2+3+4+5}{5} = 5 \\ \bar{y} = \dfrac{340+341+343+341+344}{5} = 341,8

2. Réponse : la 1ére proposition est vraie
Justification :
Avec la calculatrice, on calcule les coefficients a et b de la droite d'ajustement y = ax + b :
On obtient a = 0,8 et b = 339,4
Donc D a pour équation y = 0,8 x + 339,4

3. Réponse : la 3éme proposition est vraie
Justification :
L'année 2006 occupe le rang 6 donc y = 0,8 \times 6 + 339,4 = 344,2




exercice 2

Partie I

1. a) La population augmente de 500 habitants par an.
u_n représente la population en (2005 + n) et u_{n+1} la population l'année suivante.
On a doncu_{n+1} = u_n + 500 .
Il s'agit d'une suite arithmétique de raison 500.

1. b) On a :
u_n = u_0 + n r \\ \boxed{u_n = 10000 + 500 n}

1. c) La population atteindra 20000 habitants lorsque :
u_n = 20000 \\ \Longleftrightarrow 10000 + 500 n = 20000 \\ \Longleftrightarrow 500 n = 10000 \\ \Longleftrightarrow n = \dfrac{10000}{500} \\ \Longleftrightarrow \boxed{n = 20}
2005 + 20 = 2025 donc l'année cherchée est 2025.

2. a) Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de 4,7% est égal à 1,047.
Population en 2006 : v_1 = 1,047 v_0 = 1,047 \times 10000 = \boxed{10470}
Population en 2007 : v_2 = 1,047 v_1 = 1,047 \times 10470 \approx \boxed{10962}

2. b) On passe de v_n à v_{n+1} par la relation : v_{n+1} = 1,047 v_n
Il s'agit d'une suite géométrique de raison 1,047.

On a donc :
v_n = v_0 \times q^n \\ \boxed{v_n = 10000 \times 1,057^n}

2. c) On a 2020 = 2005 + 15, donc la population en 2020 est donnée par le terme v_{15}
v_{15} = 10000 \times 1,047^{15} \approx 19916
En 2020 la population sera d'environ de 19 916 habitants.

2. d) 19 916 est à peu près le double de 10 000.
La population a donc sensiblement doublé en 15 ans.
Ce résultat corrobore l'avis des experts.

Partie II

1. Le chiffre écrit en B2 est u_0.
On a u_1 = u_0 + 500.
Donc la formule à écrire en B3 est =B2+500.
En recopiant vers le bas cette formule sera =B3+500 ; =B4+500 ; etc ...

2. Le chiffre écrit en C2 est v_0.
On a v_1 = v_0 \times 1,047
La formule à écrire en C3 est =1,047u_6 :
u_6 = 10000+500 \times 6 = 13000
Le résultat affiché en B8 est donc 13 000.




exercice 3

1. Remplissage du tableau :
 CGRHMercatiqueCFETotal
Filles30201565
Garçons5451565
Total356530130


Justification pour remplir le tableau :
50% des élèves sont en mercatique : 130 \times \dfrac{50}{100} = 65.
Parmi ces 65 élèves de mercatique il y a 45 garçons donc 20 filles.
Comme il y a autant de filles que de garçons parmi les 30 élèves de spécialité CFE cela correspond à 15 filles et 15 garçons.
Le nombre d'élèves en CGRH est 130 - 65 - 30 = 35.
On a en CGRH 6 fois plus de filles que de garçons. En appelant x le nombre de garçons on a 6x filles d'où l'égalité : 6x + x = 35 d'où x = 5. Il y a donc 5 garçons et 30 filles en CGRH.

2. a) On compte 65 élèves en mercatique parmi les 130 élèves de terminale STG, donc :
P(\text{M}) = \dfrac{65}{130} \\ \boxed{P(\text{M}) =\frac{1}{2}}
On compte 65 élèves en CGRH parmi les 130 élèves de terminale STG, donc :
P(\text{H}) = \dfrac{35}{130} \\ \boxed{P(H) = \frac{7}{26}}

2. b) \text{M} \cap \text{F} est l'évènement : "l'élève choisi est une fille possédant la spécialité mercatique"
Il y a 20 filles en mercatique parmi les 130 élèves de terminale STG, donc :
P(\text{M} \cap \text{F}) = \dfrac{20}{130} \\ \boxed{P(\text{M} \cap \text{F}) = \frac{2}{13}}

2. c) Calcul de P_{\text{M}}(\text{F}) :
P_{\text{M}}(\text{F}) = \dfrac{P(\text{M} \cap \text{F})}{P(\text{F})} \\ P_{\text{M}}(\text{F}) = \dfrac{\dfrac{2}{13}}{\dfrac{1}{2}} \\ P_{\text{M}}(\text{F}) = \dfrac{2}{13} \times 2 \\ \boxed{P_{\text{M}}(\text{F}) = \frac{4}{13}}
La probabilité que l'élève choisi soit en mercatique sachant que c'est une fille est \dfrac{4}{13}.




exercice 4

Partie A

1. f(0) est l'ordonnée du point d'abscisse 0 de la courbe (C) donc : \boxed{f(0) = -2}
f'(\ln 2) est le coefficient directeur de la tangente à (C) en son point d'abscisse -\ln 2. On sait que cette tangente est parallèle à l'axe des abscisses donc son coefficient directeur est nul. Donc \boxed{f'(\ln 2) = 0}.

2. a) Nombre de solutions de l'équation f(x) = 0 sur [-2 ; 5]
Ce nombre de solutions est égal au nombre de points d'intersection de (C) avec l'axe des abscisses.
Donc, sur l'intervalle [-2 ; 5], l'équation f(x) = 0 admet 2 solutions.

2. b) Résolution graphique de l'inéquation f'(x) < 0 sur [-2 ; 5].
On sait que la dérivée d'une fonction est strictement négative sur tout intervalle où la fonction est strictement décroissante.
L'examen graphique montre que f décroit sur [-2 ; - \ln 2]. De plus f'(-\ln 2) = 0.
Donc \boxed{f'(x) < 0 \Longleftrightarrow  x \in [-2 ; -\ln 2 [}

Partie B

1. Détermination de la dérivée de f :
La dérivée de 2x - 3 est égale à 2; la dérivée de e^{-x} est égale à -e^{-x}; on a donc :
\boxed{f'(x) = 2 - e^{-x}}

2. a) Résolution de f'(x) = 0 :
f'(x) = 0 \\ \Longleftrightarrow  2 - e^{-x} = 0 \\ \Longleftrightarrow e^{-x} = 2 \\ \Longleftrightarrow -x = \ln 2 \\ \Longleftrightarrow \boxed{x = -\ln 2}

2. b) Résolution de f'(x) > 0 :
f'(x) > 0 \\ \Longleftrightarrow 2 - e^{-x} > 0 \\ \Longleftrightarrow - e^{-x} > -2 \\ \Longleftrightarrow e^{-x} < 2 \\ \Longleftrightarrow -x < \ln 2 \\ \Longleftrightarrow \boxed{x > -\ln 2}

2. c) Signe de la dérivée et variations de la fonction :
\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x & -2 & & -\ln 2 & & 5 \\ \hline  f'(x) & & - & \barre{0} & + & \\ \hline \niveau{2}{2} f(x) & -7 + e^2 & \decroit & -1 - 2 \ln 2 & \croit & 7 + e^{-5} \\ \hline \end{tabvar}

f(-2) = 2\times (-2) - 3 + e^{-(-2)} = -7 + e^2 \approx 0,39 \\ f(- \ln 2) = 2\times (- \ln 2) - 3 + e^{-(- \ln 2)} = -2 \ln 2 - 3 + 2 = -1 - 2 \ln 2 \approx -2,39 \\ f(5) = 2\times 5 - 3 + e^{-5} = 7 + e^{-5} \approx 7,01

3. a) Résolution de f(x) > 2x+3 :
f(x) > 2x+3 \\ \Longleftrightarrow  2x + 3 +e^{-x} > 2x+3 \\ \Longleftrightarrow e^{-x} > 0
Or cette inégalité est vraie pout tout réel x donc à fortiori sur [-2 ; 5].

3. b) Ce résultat signifie que la courbe représentative (C) de la fonction f est toujours située au-dessus de la droite (D) sur [-2 ; 5].
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