Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialité : Mercatique - Comptabilité et finance d'entreprise - Gestion des systèmes d'information
Métropole - Session Septembre 2007

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Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 4

L'usage de la calculatrice est autorisé.
4 points

exercice 1

Le tableau ci-dessous donne la dépense médicale en soins hospitaliers, en France, en milliards d'euros.
Année200020012002200320042005
Rang x_{i}012345
Dépense en soins hospitaliers en milliards d'euros47,652,754,85864,367,1
Source : France, portrait social, édition 2005-2006

Le nuage de points de coordonnées \left(x_{i} ; y_{i}\right) avec 0 \le  i \le  5 est représenté en annexe 1 où la graduation en ordonnée débute à 40 milliards.
Annexe 1 :
Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Métropole Septembre 2007 - terminale : image 9


1. Déterminer les coordonnées, arrondies au dixième, du point moyen G.
Placer le point G sur le graphique de l'annexe 1.

On souhaite réaliser un ajustement affine.

2. À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés. (Arrondir les coefficients au centième).

À partir des calculs ci-dessus, on décide de réaliser un ajustement affine à l'aide de la droite \mathcal{D} d'équation y =  3,9x+ 47,7.

3. Tracer la droite \mathcal{D} sur le graphique de l'annexe l.

4. En supposant que le modèle reste valable dans les trois années suivantes, prévoir la dépense en soins hospitaliers en 2008. Indiquer la méthode utilisée.


4 points

exercice 2

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.

Une réponse juste rapporte 1 point ; une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent de point.

1. On note f la fonction définie sur l'ensemble \mathbb{R} par f(x) = x - 4,5 + \text{e}^{-2x+1}.
On note f' la fonction dérivée de la fonction f sur l'ensemble \mathbb{R}.
La fonction f' est définie pour tout nombre réel x par :
a) f'(x) = -4,5 - 2\text{e}^{-2x+1}b)  f'(x) = 1 + \text{e}^{-2x+1}c) f'(x) = 1+\text{e}^{-2}d) f'(x) =1 - 2\text{e}^{-2x+1}


2. On considère l'équation 2 + \ln (x) = 0 sur l'intervalle ]0 ; +\infty[. Elle admet comme solution sur l'intervalle ]0 ; +\infty[ :
a) \text{e}^{-2}b) \text{e}^{\frac{1}{2}}c) pas de solutiond)  - \ln 2


3. La représentation graphique d'une fonction g définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 4] est donnée ci-dessous.
Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Métropole Septembre 2007 - terminale : image 2
On note g' la fonction dérivée de la fonction g sur l'intervalle [0 ; 4].

Une représentation graphique possible de la fonction g' est la courbe (a, b ,c ou d):
Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Métropole Septembre 2007 - terminale : image 3


4. Soit x un nombre réel strictement positif.
Le nombre réel \ln (2x + 2) - \ln (x + 1) est égal à :
a) \ln (2)b) \ln (x+ 1)c) \dfrac{\ln (2x+2)}{ \ln (x+1)}d) 2



5 points

exercice 3

Formulaire
Suite arithmétique u de raison r
Premier terme u(0)
u(n+1) = u(n) + r
u(0) +u(1) + \cdots + u(n) = (n + 1)u(0) + \dfrac{n(n + 1)r}{2}
u(0) + u(1) + \cdots + u(n) = \dfrac{(n + 1)(u(0) + u(n))}{2}

Suite géométrique u de raison q (q \neq 1)
Premier terme u(0)
u(n + 1) = qu(n)
u(0) + u(1) + \cdots + u(n) = u(0)\dfrac{q^{n+1} - 1}{q - 1}


Pierre se constitue une tirelire afin d'acheter un vélo qui coûte 150 €.
Après un dépôt initial dans cette tirelire de 8 €, il décide qu'à la fin de chaque mois, il déposera une somme de plus en plus grande : la somme déposée à la fin de chaque mois sera augmentée de 2 € par rapport à celle du mois précédent. Ainsi, à la fin du premier mois, il déposera 10 € et la tirelire contiendra 18 €.

On note p(0) le dépôt initial et p(n) la somme déposée à la fin du n-ième mois. On obtient ainsi une suite notée p.

1. Calculer p(1) et p(2).

2. Montrer que la suite p est arithmétique et donner sa raison. En déduire que p(n) = 2n + 8.

3. a) Quelle somme totale contiendra la tirelire au bout de deux mois ?
    b) Montrer que la somme totale contenue dans la tirelire au bout de n mois est (n + 1)(n + 8).

4. Un ami de Pierre lui fait remarquer qu'il devra attendre 9 mois pour pouvoir acheter son vélo.
Justifier cette affirmation.


7 points

exercice 4

Partie I

En annexe, à rendre avec la copie, on a construit dans un repère orthonormal les droites \mathcal{D} et \mathcal{D}' d'équations respectives \mathcal{D} :  x + y = 6 et \mathcal{D}'  : x + 2y = 8.
Annexe 2 :
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Déterminer graphiquement l'ensemble des points M du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient le système S :
\left\lbrace\begin{array}{r c l} x& \ge &0 \\ y&\ge &0 \\ x+y &\ge &6 \\ x+2y &\ge &8 \end{array}\right.
On hachurera la partie de plan qui ne convient pas sans aucune justification.

Partie II

Une école de cirque souhaite renouveler son matériel de jonglage.
Elle veut acheter au moins 24 diabolos et au moins 32 massues.
Un grossiste lui propose :
    des lots A de 4 diabolos et 4 massues ;
    des lots B de 4 diabolos et 8 massues.
On note x le nombre de lots A achetés et y le nombre de lots B achetés. Les nombres x et y sont deux nombres entiers positifs ou nuls.

1. Montrer, en justifiant la réponse, que le système S est un système d'inéquations traduisant les contraintes d'achat.

2. À l'aide du graphique de l'annexe ou d'un calcul, répondre aux questions suivantes :
    a) L'école de cirque peut-elle acheter 2 lots A et 3 lots B ?
    b) Si l'école de cirque achète 3 lots A, combien devra-t-elle acheter de lots B au minimum ?

Partie III

Un lot A coûte 180 € et un lot B coûte 200 €.

1. Soient x et y deux nombres entiers positifs ou nuls. On suppose que l'école achète x lots A et y lots B. Exprimer sa dépense en fonction de x et y.

2. Le gestionnaire de l'école de cirque utilise un tableur pour déterminer le couple (x ; y) qui correspond à la dépense minimale.
En annexe, à rendre avec la copie, on donne le tableau obtenu par le gestionnaire. Ainsi, la cellule G7 donne le coût en euros de 3 lots A et 5 lots B.
Annexe 3 : Dépense, en euros, occasionnée par l'achat de x lots A et y lots B :
 ABCDEFGHIJ
1Prix d'un lot A :180        
2Prix d'un lot B :200        
3x\y012345678
4002004006008001 0001 2001 4001 600
511803805807809801 1801 3801 5801 780
623605607609601 1601 3601 5601 7601 960
735407409401 1401 3401 5401 7401 9402 140
847209201 1201 3201 5201 7201 9202 1202 320
959001 1001 3001 5001 7001 9002 1002 3002 500
1061 0801 2801 4801 6801 8802 0802 2802 4802 680
1171 2601 4601 6601 8602 0602 2602 4602 6602 860
1281 4401 6401 8402 0402 2402 4402 6402 8403 040
1391 6201 8202 0202 2202 4202 6202 8203 0203 220
14101 8002 0002 2002 4002 6002 8003 0003 2003 400
Le prix d'un lot A est donné en B1 et celui d'un lot B est donné en B2.
La formule «=$B$1 *$A4+$B$2 *B$3» a été entrée dans la cellule B4, recopiée vers la droite, puis vers le bas sur la plage B4:J14.
    a) Donner la formule contenue dans la cellule C4.
    b) Donner la formule contenue dans la cellule B5.

3. Certaines cellules du tableau, en annexe 3, à rendre avec la copie, correspondent à des couples qui ne vérifient pas les contraintes du système S. À l'aide du graphique de l'annexe 2, barrer les cellules qui ne conviennent pas.

4. En déduire le nombre de lots A et le nombre de lots B qui correspondent à la dépense minimale.



exercice 1

1. L'abscisse du point G est : x_G=\dfrac{0+1+2+3+4+5}{6}=\dfrac{15}{6}=\boxed{2,5}
L'ordonnée du point G est : y_G=\dfrac{47,6+52,7+54,8+58+64,3+67,1}{6}=\boxed{57,4}
Conclusion (coordonnées arrondies au dixième) :
\boxed{\text{ Le point moyen G a pour coordonnées : G(2,5~;~57,4)}}


2. Avec la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement est (coefficients arrondis au centième):
\boxed{y = 3,87x + 47,74}


3.
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4. Le rang de l'année 2008 est 8, alors on peut :
Soit calculer directement en utilisant l'équation de la droite d'ajustement, ce qui donne : y_8= 3,9\times 8+ 47,7=\boxed{78,9}
S oit graphiquement, on lit la valeur correspondante à 8 (voir traits pointillés), on trouve environ : \boxed{y_8=78,9}
Conclusion :
La dépense en soins hospitaliers en 2008 s'élèvera à 78,9 milliards d'euros.





exercice 2

1. Réponse correcte d)
tex]f[/tex] est dérivable sur \mathbb{R} et on a pour tout réel x: f'(x) = \boxed{1-2\text{e}^{-2x+1}}

2. Réponse correcte a)
\text{Sur }]0~;~+\infty[ ~,~ 2 + \ln (x) = 0 \Longleftrightarrow \ln(x)=-2\Longleftrightarrow \boxed{x=\text{e}^{-2}}

3. Réponse correcte b)
La fonction f est strictement croissante sur [0 ; 4], donc f'>0 sur [0;4], donc la représentation de f' est soit a) soit b).
D'autre part, la dérivée de f doit s'annuler pour x=2 (tangente parallèle à l'axe des abscisses en ce point) donc la courbe de f' est représentée par b).

4. Réponse correcte a)
\text{Pour }x>0~,~\ln (2x + 2) - \ln (x + 1)=\ln(2(x+1))-\ln(x+1)=\ln(2)+\ln(x+1)-\ln(x+1)=\boxed{\ln(2)}




exercice 3

1. D'après l'énoncé, à la fin du premier mois, il déposera 10 euros, donc \boxed{p(1)=10}
Or, la somme déposée à la fin de chaque mois sera augmentée de 2 euros par rapport à celle du mois précédent, donc p(2)=p(1)+2\text{ soit }\boxed{p(2)=12}

2. Puisque la somme déposée à la fin de chaque mois sera augmentée de 2 euros par rapport à celle du mois précédent, on obtient : pour tout n entier naturel, p(n+1)=p(n)+2, et on en déduit que :
La suite p est arithmétique de raison r=2 et de premier terme p(0)=8.

D'après le cours, pour tout entier naturel n , p(n)=nr+p(0)\text{ soit }\boxed{p(n)=2n+8}

3. a) Au bout de 2 mois, la tirelire contiendra la somme : p(0)+p(1)+p(2)=8+10+12=\boxed{30\text{ euros}}

3. b) D'après le formulaire, au bout de n mois, on aura la somme : p(0) + p(1) + \cdots + p(n) = \dfrac{(n + 1)(p(0) + p(n))}{2}=\dfrac{(n+1)(8+2n+8)}{2}=(n+1)\dfrac{2n+16}{2}=(n+1)\dfrac{2(n+8)}{2}=\boxed{(n+1)(n+8)}

4. Le prix du vélo est 150 euros.
Au bout de 8 mois, la somme dans la tirelire est égale à : (8 + 1)(8 + 8) = 9 × 16 = 144 < 150
Au bout de 9 mois, la somme dans la tirelire est égale à : (9 + 1)(9 + 8) = 10 × 17 = 170 > 150
L'affirmation de l'ami de Pierre est donc justifiée.





exercice 4

Partie I

Remarque : les frontières sont incluses.
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Partie II

1. Soit x le nombre de lots A et y le nombre de lots B.
x et y représentants des nombres de lots, on a donc: \boxed{x\ge 0 \text{ et } y\ge 0}
On a :
4 diabolos pour le lot A et 4 diabolos pour lot B, et l'école veut acheter au moins 24 diabolos, donc :
4x+4y\ge 24 \Longrightarrow\boxed{x+y\ge 6}

4 massues pour le lot A et 8 massues pour le lot B, et l'école veut acheter au minimum 32 massues :
4x+8y\ge 32\Longrightarrow \boxed{x+2y\ge 8}

\boxed{\text{Le système } S \text{ : }\left\lbrace\begin{array}{r c l} x& \ge &0 \\ y&\ge &0 \\ x+y &\ge &6 \\ x+2y &\ge &8 \end{array}\right \text{ représente bien les contraintes d'achat}}


2. On utilisera le graphique.
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2. a) Le point de coordonnées (2 ; 3) n'appartient pas à l'ensemble solution du système S, donc :
L'école ne peut pas acheter 2 lots A et 3 lots B.


2. b) Soit la droite d'équation x=3 . Pour être un point de l'ensemble solution, la plus petite valeur possible est 3.
Si l'école de cirque achète 3 lots A, elle devra acheter au minimum 3 lots B.


Partie III

1. La dépense est égale à 180x+200y

2. La formule entrée dans B4 est "=$B$1*$A4 + $B$2*B$3"

2. a) Dans C4 on trouvera : "=$B$1*$A4 + $B$2*C$3"

2. b) Dans B5 on trouvera : "=$B$1*$A5 + $B$2*B$3"

3. Les couples ne convenant pas ont été coloriés en jaune.
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4. D'après la question précédente, la dépense minimale est de 1120 euros.
Celle-ci est obtenue par l'achat de 4 lots A et de 2 lots B.
Remarque : le point de coordonnées (4 ; 2) est le point d'intersection des droites D et D'.
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