Fiche de mathématiques
> >

Bac Technologique - Sciences et Technologies de la Gestion
Mercatique - Comptabilité et finance d'entreprise - Gestion des systèmes d'information
Antilles Guyane - Session Septembre 2007

Partager :
Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 4

L'usage de la calculatrice est autorisé.
5 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question, une seule réponse est juste. Recopier sur votre copie la réponse correcte. Chaque réponse rapporte 1 point, chaque réponse fausse enlève 0,5 point, une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

1. La probabilité d'un évènement A est de \dfrac{1}{3}. La probabilité de son évènement contraire est :
On ne peut pas savoir \dfrac{4}{3} \dfrac{2}{3} 0


2. La probabilité d'un évènement B est de 0,1 et celle de l'évènement C de 0,2. La probabilité de l'évènement B \cup C est :
On ne peut pas savoir 0,1 0,2 0,3


3. La probabilité d'un évènement A est de 0,5, celle de B est de 0,2, la probabilité de l'évènement A \cap B est de 0,15. La probabilité de A sachant B est :
0,3 On ne peut pas savoir 0,75 0,4


4. Dans un repère orthonormal, les points M de coordonnées (x ; y) telles que 2x - y - 3 > 0 se situent :
Au dessus de la droite d'équation y = 2x - 3 ;
En dessous de la droite d'équation 2x -y = 3 ;
Dans le demi-plan d'inéquation y - 2x < 3 ;
Au dessus de la droite d'équation y = -2x + 3.

5. On considère le diagramme en boîte ci-dessous.
Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Antilles Guyane Septembre 2007 - terminale : image 1

La médiane est 4 ;
Le troisième quartile est 10 ;
L'intervalle interquartile est [0 ; 10] ;
Le premier quartile est 4.


6 points

exercice 2

Un restaurant d'une station balnéaire ouvre au début du printemps. Le gérant relève le nombre de repas servis chaque semaine. Les résultats des quatre premières semaines sont donnés dans le tableau suivant :
Rang de la semaine : x_{i}1234
Nombre de couverts : y_{i}78108159224

1. Représenter graphiquement, sur une feuille de papier millimétré, le nuage de points associé à la série statistique \left(x_{i} ; y_{i}\right).
On prendra 2 cm pour représenter 1 semaine sur l'axe des abscisses et 1 cm pour représenter 20 couverts sur l'axe des ordonnées.

2. Soit D la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés.
    a) Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite D, de la forme y = ax + b.
    b) Tracer D sur le graphique de la question 1.
    c) Si l'on retient cet ajustement affine, calculer le nombre de couverts, arrondi à l'entier, prévisible pour la cinquième semaine.

3. L'allure du nuage de points précédent permet d'envisager un ajustement exponentiel.
On considère la fonction f définie sur l'intervalle [1 ; +\infty[ par :
f(x) = 54\times (1,43)^x.

    a) Recopier et compléter le tableau suivant avec les valeurs f\left(x_{i}\right) arrondies à l'unité.
Rang de la semaine : x_{i}12345
f\left(x_{i}\right)     

    b) Sur le graphique de la question 1, tracer la courbe représentative \mathcal{C} de la fonction f sur l'intervalle [1 ; 5].
    c) Si l'on retient cet ajustement exponentiel, quel nombre de couverts peut-on prévoir la cinquième semaine ?

4. Le restaurant a une capacité maximum de 810 couverts par semaine.
    a) Résoudre, par le calcul, l'inéquation : 54 \times  (1,43)^x \ge  810.
    b) Si la fréquentation du restaurant évolue suivant ce modèle exponentiel, quel est le rang de la semaine où le gérant commencera à refuser des clients ?


5 points

exercice 3

Une société possède un gisement pétrolifère dont la réserve totale exploitable est estimée en décembre 2005 à 850 millions de barils de pétrole (l'unité choisie pour l'exercice est le million de barils). On note u_{n} la réserve exploitable restante en décembre de l'année (2005 + n). On a : u_{0} = 850. Chaque année le pétrole extrait représente 20 % du total de la réserve exploitable restante.

1. Justifier que u_{1} = 680. Puis calculer les quantités restantes u_{2} et u_{3} respectivement en décembre 2007 et 2008.

2. Exprimer alors u_{n+1} en fonction de u_{n} puis u_{n} en fonction de n (on justifiera clairement chaque réponse).

3. Le tableau ci-dessous est une copie d'une partie de la feuille de calcul d'un tableur.
 AB
1nu_{n}
20850
31680
42 
53 
64 
75 
86 
97 
108 

Quelle formule à recopier vers le bas faut-il inscrire dans la cellule B3 ? Que devient cette formule en B7 ?

4. Le gisement sera considéré comme épuisé lorsque la réserve exploitable sera inférieure à un million de barils. Déterminer à partir de quelle année le gisement sera épuisé : on donnera une démonstration algébrique utilisant le calcul sur les logarithmes.

5. Déterminer la production totale de pétrole extrait entre 2006 et 2017 inclus. Le résultat sera arrondi au millième.


4 points

exercice 4


On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [-5 ; 5]. On note \mathcal{C} sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité 1 cm. Le tableau de variations de f est le suivant :
\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -5 &  & -2,5 & & 5 \\ \hline \text{Variations de } f & \niveau{1}{2} 3 & \croit & \niveau{2}{2} 4 & \decroit & \niveau{1}{2} -2 \\ \hline \end{tabvar}

On précise les valeurs suivantes concernant f et sa fonction dérivée f' :
f(0) = 2,5f(2) = 0f'(-5) = 1f'(5) = 0

1. Quel est le maximum de f sur l'intervalle [-5 ; 5] ?

2. Quelle est la solution de l'équation f(x) = 0 ?

3. Quel est le signe du nombre f'(0) ?

4. Établir une équation de la tangente à \mathcal{C} au point d'abscisse -5.

5. Tracer sur une feuille de papier millimétré une courbe représentative possible de la fonction f respectant l'ensemble des informations fournies dans l'énoncé.



exercice 1

1. Réponse correcte : \boldmath \dfrac{2}{3}
P(\bar{A})=1-P(A)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}

2. Réponse correcte : On ne peut pas savoir
P(B\cup C)=P(B)+P(C)+P(B\cap C) et on n'a pas P(B\cap C)

3. Réponse correcte : 0,75
P_{B}(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0,15}{0,2}=0,75

4. Réponse correcte : En dessous de la droite d'équation \boldmath 2x- y =3
On a : 2x - y - 3 > 0\Longrightarrow y<2x-3
Et on sait que le demi-plan d'inéquation y<2x-3 correspond à la partie du plan se situant en dessous de la droite d'équation y=2x-3\text{ qui peut s'écrire également } 2x-y=3

5. Réponse correcte : La médiane est 4
Question de cours




exercice 2

1. Voir figure à la fin.

2. a) En utilisant la calculatrice, on trouve :
\boxed{D: y=48,9x+20}


2. b) Voir figure à la fin.

2. c) En utilisant l'équation de la droite D trouvée en 2. a): y=48,9\times 5+20=\boxed{264,5}
Le nombre de couverts prévisible pour la cinquième semaine est 265 (arrondi à l'entier)


3. a)
Rang de la semaine : x_{i}12345
f\left(x_{i}\right)77110158226323

3. b) Voir figure à la fin.

3. c) D'après le tableau de la question 3. a)
Le nombre de couverts prévisible pour la cinquième semaine est 323 (arrondi à l'entier)


4. a) Remarque : \dfrac{810}{54}=15
54 \times  (1,43)^x \ge  810\Longleftrightarrow (1,43)^x \ge \dfrac{810}{54}\Longleftrightarrow x\ln (1,43)\ge \ln(15)\Longleftrightarrow x\ge \dfrac{\ln(15)}{\ln (1,43)}
\boxed{\text{La solution de l'inéquation est l'intervalle } \left[\dfrac{\ln(15)}{\ln (1,43)}~;~+\infty\right[}

Remarque : \dfrac{\ln(15)}{\ln (1,43)}\approx 7,57

4. b) D'après 4. a) :
Le rang de la semaine où le gérant commencera à refuser des clients est 8.

Figure :
Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Antilles Guyane Septembre 2007 - terminale : image 3





exercice 3

1. Une diminution de 20 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,20 = 0,80
u_1=0,8\times u_0=0,8\times 850=\boxed{680}
u_2=0,8u_1=0,8\times 680=\boxed{544}
u_3=0,8u_2=0,8\times 544=\boxed{435,2}

2. D'après 1., on a pour tout n de \mathbb{N}\text{ : } \boxed{u_{n+1}=0,8u_n}
On en déduit que (u_n) est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme u_0=850, donc :
\boxed{\text{ Pour tout entier naturel }n  ~,~  u_n=u_0(0,8)^n=850(0,8)^n}


3. Dans B3, a été écrit la formule " =B2*0.8 ", et dans B7, on trouve alors "=B6*0.8 "

4. Cette situation correspond à u_n\le 1
u_n\le 1\Longleftrightarrow 850(0,8)^n\le 1\Longleftrightarrow 0,8^n \le \dfrac{1}{850}\Longleftrightarrow n\ln 0,8\le\ln\left(\dfrac{1}{850}\right)\Longleftrightarrow n\ge\dfrac{1}{\ln 0,8}\ln\left(\dfrac{1}{850}\right)
Or on a : \dfrac{1}{\ln 0,8}\ln\left(\dfrac{1}{850}\right)\approx 30,23, on prend n = 31, rang qui correspond à l'année 2005 + 31 = 2036
A partir de l'année 2036, le gisement sera épuisé.


5. Le rang de l'année 2006 est 1, celui de 2017 est 12, la production entre ces deux années est donc : P_T=u_1-u_{12}=680-850(0,8)^{12}\approx 621,588\text{ (arrondi au millième)}
La production totale de pétrole extrait entre 2006 et 2017 s'élève à 621,588 millions de barils.





exercice 4

1. Le maximum de f est 4.

2. La solution de l'équation f(x)=0 est 2.

3. f'(0)<0 car 0 \in [-2,5;5] et f est décroissante sur cet intervalle.

4. y=f'(-5)(x+5)+f(-5)\text{ soit } y=x+5+3\text{ ou encore } y=x+8

5.
Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Antilles Guyane Septembre 2007 - terminale : image 2
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
dandave
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1345 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !