Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies de la Gestion
Mercatique - Comptabilité et finance d'entreprise - Gestion des systèmes d'information
Nouvelle Calédonie - Session Novembre 2007

Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 4

L'usage de la calculatrice est autorisé.

3 points

exercice 1

On a relevé l'évolution annuelle du cours du baril de pétrole entre 2001 et 2006.

Année	2001	2002	2003	2004	2005	2006
Taux d'évolution	*	- 20,07 %	+ 33,79 %	-15,70 %	+ 37,65 %	+ 52,94 %

(source INSEE) Exemple : Entre 2001 et 2002, le prix du baril de pétrole a baissé de 20,07 %.
Les taux seront arrondis à 0,01 % près, les prix à 0,01 € près.

1. Montrer que le taux d'évolution du prix du baril de pétrole entre 2001 et 2006 (c'est-à-dire le taux d'évolution global) est de 89,78 %.

2. En 2006 le prix du baril de pétrole s'élevait à 52 €. Quel était son montant en 2001 ?

3. a) Déterminer le taux d'évolution annuel moyen du prix du baril de pétrole entre 2001 et 2006.
b) En utilisant ce dernier résultat donner une estimation du prix du baril de pétrole en 2007.

4 points

exercice 2

Une entreprise possède trois usines de fabrication d'alarmes : la première située à Bordeaux, la deuxième à Grenoble et la troisième à Lille.
Un contrôleur qualité s'intéresse au nombre d'alarmes (défectueuses ou non), produites en ce mois de septembre 2007 dans chacune des trois usines.
Il a relevé les données suivantes :

	Défectueuses	En bon état	Total
Usine de Bordeaux	160		3 360
Usine de Grenoble			1 266
Usine de Lille	154
Total	380	7 900

1. Compléter le tableau précédent.

2. Dans toute cette question, les résultats seront arrondis à 10^-3 près.
On prend une alarme au hasard dans la production de ce mois de septembre.
On note :
B l'évènement : «l'alarme provient de l'usine de Bordeaux» ;
G l'évènement : «l'alarme provient de l'usine de Grenoble» ;
L l'évènement : «l'alarme provient de l'usine de Lille» ;
D l'évènement : «l'alarme est défectueuse».
    a) Calculer la probabilité de l'évènement B notée $p$ (B).
    b) Calculer la probabilité de évènement D notée $p$ (D).
    c) Définir par une phrase l'évènement B $\cap$ D , puis calculer $p(\text{B} \cap \text{D})$ ,
    d) Calculer $p(\text{B} \cup \text{D})$ .
    e) Calculer $p_{\text{B}}(\text{D})$ , la probabilité de D sachant B.
Quelle usine semble la plus efficace en terme de qualité de production ?

6 points

exercice 3

Partie A

Courbe de $f_{1}$ :

Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Nouvelle Calédonie Novembre 2007 - terminale : image 1

Courbe de $f_{2}$ :

Courbe de $f_{3}$ :

Courbe de $f_{4}$ :

Les courbes ci-dessus représentent quatre fonctions $f_{1}$ , $f_{2}$ , $f_{3}$ et $f_{4}$ définies et dérivables sur [-2 ; 1].

1. On donne ci-dessous les tableaux de signes de ces fonctions.
Tableau a : $\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -2 & & -1 & & 1 \\ \hline \text{signe de la fonction} & & - & 0 & + & \\ \hline \end{tabvar}$ Tableau b : $\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -2 & & -1 & & 1 \\ \hline \text{signe de la fonction} & & + & 0 & + & \\ \hline \end{tabvar}$

Tableau c : $\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -2 & & -1 & & 1 \\ \hline \text{signe de la fonction} & & - & 0 & - & \\ \hline \end{tabvar}$ Tableau d : $\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -2 & & -1 & & 1 \\ \hline \text{signe de la fonction} & & + & 0 & - & \\ \hline \end{tabvar}$

Compléter le tableau suivant à l'aide de la lettre a, b, c ou d qui convient :

Fonction	$f_{1}$	$f_{2}$	$f_{3}$	$f_{4}$
Tableau de signes

2. On donne ci-dessous les tableaux de variations de ces fonctions.
Tableau a : $\begin{tabvar}{|c|CCCCCCCC|} \hline x & -2 & & -1 & & \frac{1}{2} & & 1 & \\ \hline \text{Variations} & & \croit & & \decroit & & \croit & & \\ \hline \end{tabvar}$ Tableau b : $\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -2 & & \frac{1}{2} & & 1 \\ \hline \text{Variations} & & \decroit & & \croit & \\ \hline \end{tabvar}$

Tableau c : $\begin{tabvar}{|c|CCCCCCCC|} \hline x & -2 & & -1 & & \frac{1}{3} & & 1 & \\ \hline \text{Variations} & & \decroit & & \croit & & \decroit & & \\ \hline \end{tabvar}$ Tableau d : $\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -2 & & \frac{1}{3} & & 1 \\ \hline \text{Variations} & & \croit & & \decroit & \\ \hline \end{tabvar}$

Compléter le tableau suivant à l'aide de la lettre a, b, c ou d qui convient :

Fonction	$f_{1}$	$f_{2}$	$f_{3}$	$f_{4}$
Tableau de variations

3. On donne ci-dessous les tableaux de signes des dérivées de ces fonctions.
Tableau a : $\begin{tabvar}{|c|CCCCCCC|} \hline x & -2 & & -1 & & \frac{1}{3} & & 1 \\ \hline \text{Signe de la dérivée} & & + & 0 & + & 0 & - & \\ \hline \end{tabvar}$ Tableau b : $\begin{tabvar}{|c|CCCCCCC|} \hline x & -2 & & -1 & & \frac{1}{2} & & 1 \\ \hline \text{Signe de la dérivée} & & - & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{tabvar}$

Tableau c : $\begin{tabvar}{|c|CCCCCCC|} \hline x & -2 & & -1 & & \frac{1}{3} & & 1 \\ \hline \text{Signe de la dérivée} & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline \end{tabvar}$ Tableau d : $\begin{tabvar}{|c|CCCCCCC|} \hline x & -2 & & -1 & & \frac{1}{2} & & 1 \\ \hline \text{Signe de la dérivée} & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{tabvar}$

Compléter le tableau suivant à l'aide de la lettre a, b, c ou d qui convient :

Fonction	$f_{1}$	$f_{2}$	$f_{3}$	$f_{4}$
Tableau des signes des dérivées

Partie B

Dans cette partie, on considère la fonction $g$ , définie sur [-2 ; 1] par : $g(x) = (1 - x) \times (x + 1)^2$ .
1. Vérifier que $g(x) = -x^3 - x^2 + x + 1$ .

2. Déterminer la dérivée $g'$ de $g$ .
Vérifier que $g'(x) = (x + 1)(1 - 3x)$ .

3. Étudier le signe de $g'$ sur [-2 ; 1].
En déduire le tableau de variations de $g$ .

4. En fait la fonction $g$ est l'une des quatre fonctions $f_{1}$ , $f_{2}$ , $f_{3}$ ou $f_{4}$ de la partie A.
Quelle est cette fonction ? Justifier votre réponse.

7 points

exercice 4

Un entrepreneur achète à crédit le 01/01/2003 une machine coûtant 500 000 €. Il rembourse son prêt en 10 annuités en versant le 1^er janvier de chaque année (à partir du 01/01/12004), la somme de 64 752,29 € qui se décompose en deux parties :
Les intérêts 5 % sur ce capital restant dû l'année précédente ;
L'amortissement du prêt (le capital remboursé).
Voici le détail de ces premiers versements donné à l'aide d'un tableur :

	A	B	C	D	E
1	Dates	Annuité	Intérêts	Amortissement	Capital restant dû
2	01/01/2003				500 000,00
3	01/01/2004	64 752,29	25 000,00	39 752,29	46 0247,71
4	01/01/2005	64 752,29	23 012,39	41 739,90	41 8507,81
5	01/01/2006	64 752,29	20 925,39	43 826,90	37 4680,91
6

Ainsi, les intérêts payés le 01/01/2004 représentent les 5 % du capital restant dû au 01/01/2003. La somme amortie en 2003 étant la différence entre le montant de l'annuité et les intérêts payés en 2003.
Toutes les sommes seront données avec deux décimales.

1. Vérifier que les sommes indiquées en C3 et D3 sont correctes. Faire de même avec les sommes indiquées en C4 et D4. Compléter alors la ligne 6 de ce tableau fournie en annexe.

2. Dans la cellule D3 a été entrée la formule : =B3-C3 qui, par copier-glisser a permis de compléter la colonne D.
a) Donner, de la même façon, la formule entrée en C3. Que devient cette formule si on la recopie en C4 ?
b) Donner la formule entrée en E3 qui, par «copier-glisser» a permis de compléter la colonne E.

3. On définit les suites $\left(i_{n}\right)$ , $\left(a_{n}\right)$ et $\left(c_{n}\right)$ pour $n \ge 1$ par :

Dates	Annuité	Intérêts	Amortissement	Capital restant dû
01/01/(2003+ $n$ )	64 752,29	$i_{n}$	$a_{n}$	$c_{n}$

Par exemple, $i_{1} = 25 000$ représente les intérêts au 01/01/2004.
Donner les valeurs de $i_{2}, i_{3}, i_{4}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, c_{1}, c_{2}, c_{3}$ et $c_{4}$ .

4. Sachant qu'une de ces trois suites et une seule est géométrique, déterminer laquelle en précisant votre méthode. Quelle est la raison de cette suite ? (On arrondira les calculs à 10^-2 près)

5. Déterminer, sans calcul et en justifiant, la somme $a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{10}$ .

6. À l'aide de la question 4, justifier l'égalité suivante :
$a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{10} = 795045,80 \times \left(1,05^{10} - 1\right)$ .
Comparer le résultat avec celui de la question 5. Commenter.

7. Par la méthode de votre choix, déterminer le montant total des intérêts payés par l'entrepreneur.

Voir la correction

exercice 1

1. Le coefficient multiplicateur correspondant à l'évolution entre 2001 et 2006 est :
$(1-0,2007)(1+0,3379)(1-0,1570)(1+0,3765)(1+0,5294)\approx 1,8978$
ce qui correspond à une croissance de $\boxed{89,78\%}$

2. D'après la question précédente, le prix en 2001 était donc égal à : $\dfrac{52}{1,8978}\approx \boxed{27,40\text{ euros}}$

3. a) On cherche $\gamma$ le coefficient multiplicateur correspondant au taux d'évolution annuel moyen du prix du baril de pétrole entre 2001 et 2006.
$\gamma^5=1,8978 \Longleftrightarrow \gamma=1,8978^{\frac{1}{5}}\approx 1,1367$
Le taux d'évolution moyen est donc de : 1,1367 - 1 = 13,67 %

3. b) En 2007, le prix sera de : $52\times 1,1367\approx \boxed{59,11\text{ euros }}$

exercice 2

	Défectueuses	En bon état	Total
Usine de Bordeaux	160	3 200	3 360
Usine de Grenoble	66	1 200	1 266
Usine de Lille	154	3 500	3 654
Total	380	7 900	8 280

2. a) $p(B)=\dfrac{3360}{8280}\approx \boxed{0,406}$

2. b) $p(D)=\dfrac{380 }{8280}\approx \boxed{0,046}$

2. c) $B\cap D$ : "L'alarme provient de l'usine de Bordeaux ET est défectueuse", et donc: $p(B\cap D)=\dfrac{160}{8280}\approx \boxed{0,019}$

2. d) On a : $p(B\cup D)=p(B)+p(D)-p(B\cap D)=\dfrac{3360}{8280}+\dfrac{380}{8280}-\dfrac{160}{8280}=\dfrac{3580}{8280}\approx\boxed{0,432}$

2. e) $p_B(D)=\dfrac{160}{3360}\approx \boxed{0,048}$
De même, sachant que la pièce vient de Grenoble, qu'elle soit défectueuese a une probabilité de : $p_G(D)=\dfrac{66}{1266}\approx \boxed{0,052}$
et sachant qu'elle provient de Lille, qu'elle soit défectueuse a une probabilité de : $p_L(D)=\dfrac{154}{3654}\approx \boxed{0,042}$
En conclusion, c'est l'usine de Lille qui semble la plus efficace en terme de qualité de production.

exercice 3

Partie A

Fonction	$f_{1}$	$f_{2}$	$f_{3}$	$f_{4}$
Tableau de signes	b	d	c	a

La courbe de $f_1$ est toujours au-dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle [-2 ; 1], donc elle y est positive.
La courbe de $f_3$ est toujours en-dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle [-2 ; 1], donc elle y est négative.
La courbe de $f_2$ est au-dessus de l'axe des abscisses sur [-2 ; -1] et en-dessous de cet axe sur [-1 ; 1], donc elle est positive sur [-2 ; -1] et négative sur [-1 ; 1].
La courbe de $f_4$ est en-dessous de l'axe des abscisses sur [-2 ; -1] et au-dessus de cet axe sur [-1 ; 1], donc elle est négative sur [-2 ; -1] et positive sur [-1 ; 1].

2.

Fonction	$f_{1}$	$f_{2}$	$f_{3}$	$f_{4}$
Tableau de variations	c	b	a	d

Directement d'après les courbes, faire correspondre chaque fonction à ses variations.

3.

Fonction	$f_{1}$	$f_{2}$	$f_{3}$	$f_{4}$
Tableau des signes des dérivées	c	b	d	a

Comme pour 2., on fait la correspondance directement en tenant compte du fait que $f'>0\Longleftrightarrow f\text{ croissante }$ et $f'<0\Longleftrightarrow f\text{ décroissante }$

Partie B

1. Pour tout $x$ de [-2 ; 1], $g(x) =(1 - x)(x + 1)^2=(1-x)(x^2+2x+1)=x^2+2x+1-x^3-2x^2-x=\boxed{-x^3-x^2+x+1}$

2. $g$ est étant une fonction polynôme, elle est dérivable sur [-2 ; 1] et on a :
Pour tout $x$ de [-2 ; 1] , $g'(x)=\boxed{-3x^2-2x+1}$
Vérification : Pour tout $x$ de [-2 ; 1], $(x+1)(1-3x) =x-3x^2+1-3x=-3x^2-2x+1=\boxed{g'(x)}$

3. On a pour tout $x$ de [-2 ; 1], $g'(x)= (x+1)(1-3x)$ .
On a : $x+1=0\Longleftrightarrow x=-1$
$\text{et } 1-3x=0\Longleftrightarrow 3x=1\Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{3}$ .
On peut réaliser un tableau de signes : $\begin{tabvar}{|C|CCCCCCC|} \hline {x} & -2 & &-1& &\dfrac{1}{3}& & 1 \\ \hline x+1 & & - & \barre{0} &+&& + & \\ \hline -3x+1 && +&&+ & \barre{0}& - & \\\hline g'(x) & & - & \barre{0} &+&\barre{0}& - & \\ \hline \end{tabvar}$
Conclusion : $\boxed{g' \text{ est positive sur } \left[-1,\dfrac{1}{3}\right] \text{ et négative sur} \left[-2,-1\right]\cup\left[\dfrac{1}{3},1\right]}$
Tableau de variations : $\begin{tabvar}{|C|CCCCCCC|} \hline {x} & -2 & &-1& &\dfrac{1}{3}& & 1 \\\hline \niveau{2}{3} g &3 & \decroit & 0 &\croit&\frac{32}{27}\right)& \decroit & 0 \\ \hline \end{tabvar}$
Remarque :
$g(-2)=(1 +2)(-2 + 1)^2=3\\g(-1)=(1 +1)(-1 + 1)^2=0\\g\left(\dfrac{1}{3}\right)=\left(1 - \dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{3} + 1\right)^2=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{16}{9}=\dfrac{32}{27}\\ g(1)=(1 - 1)(1 + 1)^2=0$

4. Le tableau de signes trouvé en 3. correspond au tableau de signes de dérivée c dans partie A/3., ainsi que le tableau de variations qui correspond au tableau c dans partie A/2..
On conclut que : $\boxed{\text{ La fonction }g \text{ est la fonction } f_1 }$

exercice 4

1. Vérification :
en C3 : $500000\times{0,05} = \boxed{25000\text{ euros}}$
en D3 : $64752,29 - 25000 = \boxed{39752,29\text{ euros}}$
en C4 : $460247,71\times{0,05} = \boxed{23012,39\text{ euros}}$
en D4 : $64752,29 - 23012,39 = \boxed{41739,90\text{ euros}}$
Les données de la 6e ligne du tableau :
Intérêts : $374680,91\times 0,05 = \boxed{18734,05\text{ euros}}$
Amortissement : $64752,29 - 18734,05 = \boxed{46018,24\text{ euros}}$
Capital restant dû : $374680,91 - 46018,24 = \boxed{328662,67\text{ euros}}$
La ligne 6 est donc :

Dates	Annuité	Intérêts	Amortissement	Capital restant dû
01/01/2007	64 752,29	18 734,05	46 018,24	328 662,67

2. a) La formule entrée en C3 est "=5%*E2" et tirée dans C4 celle-ci devient "=5%*E3"

2. b) La formule entrée en E3 est "=E2-D3"

3.
$i_1=25 000\qquad i_2=23 012,39 \qquad i_3= 20 925,39\qquad i_4=18 734,05$
$a_1= 39 752,29\qquad a_2=41 739,90\qquad a_3=43 826,90\qquad a_4=46018,24$
$c_1=46 0247,71 \qquad c_2=41 8507,81\qquad c_3=37 4680,91\qquad c_4=328662,67$

4. $\dfrac{a_4}{a_3}\approx1,05 \qquad \dfrac{a_3}{a_2}\approx1,05 \qquad \dfrac{a_2}{a_1}\approx1,05$
La suite $(a_n)$ correspondant à l'amortissement semble être une suite géométrique de raison 1,05.

Publié par TP/dandave le 18-05-2014

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