Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialité : Mercatique - Comptabilité et finance d'entreprise - Gestion des systèmes d'information
La Réunion - Session Juin 2007

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Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 4

L'usage de la calculatrice est autorisé.
3 points

exercice 1

Le tableau ci-dessous résume partiellement les échanges extérieurs concernant le tourisme au cours des deux années 2004 et 2005. Il est constitué à partir de données publiées par la Banque de France.
 20042005
Dépenses, en milliards d'euros, des touristes étrangers en France 33,9
Dépenses, en milliards d'euros, des touristes français à l'étranger23,025,0
Solde, en milliards d'euros 8,9

Pour chaque question, donner les calculs effectués.

1. Calculer le taux d'évolution des dépenses des touristes français à l'étranger entre 2004 et 2005. (Arrondir le résultat à 0,1 %).

2. Sachant qu'entre 2004 et 2005 les dépenses des touristes étrangers en France ont augmenté de 3,5 %, déterminer le montant de ces dépenses en 2004. (Arrondir le résultat au dixième).

3. a) Calculer le solde pour l'année 2004.
    b) Calculer le taux d'évolution de ce solde entre 2004 et 2005. (Arrondir le résultat à 0,1 %).


6 points

exercice 2

Le coût moyen journalier, en euros d'un équipement industriel, en fonction de la durée d'utilisation est modélisé par la fonction C_{m} définie sur l'intervalle [200 ; 4 000] par
C_{m}(x) = 1 500 + 2x + \dfrac{2 000 000}{x}
x est exprimé en jours.

1. Sur la calculatrice, faire apparaître la courbe représentant C_{m} dans la fenêtre 200 \le x \le 4 000 et 5 000 \le  y  \le 12 000.
Reproduire, sur la copie, l'allure de la courbe dans la fenêtre considérée.

2. a) On note C'_{m} la fonction dérivée de la fonction C_{m} sur l'intervalle [200 ; 4 000].
Calculer C'_{m}(x).
    b) Montrer que C'_{m}(x) = 2\dfrac{(x -1 000)(x +1000)}{x^2}.
Déterminer le signe de la fonction C'_{m} sur l'intervalle [200 ; 4 000].
    c) Donner le tableau des variations de la fonction C_{m} sur l'intervalle [200 ; 4 000].
    d) En déduire, en jours, la durée d'utilisation de l'équipement qui correspond à un coût moyen journalier minimum et donner, en euros, ce coût moyen journalier minimum.


6 points

exercice 3

Paul possède 1 100 € d'économies.
Il décide de placer cette somme dans une banque qui lui propose deux placements :
    Proposition 1 : placement de la totalité de la somme à intérêts composés sur un «livret jeune», au taux annuel de 4,5 %.
    Proposition 2 : placement de 900 euros à intérêts composés au taux de 5,4 % par an et versement des 200 euros restants sur un compte non rémunéré.
On note c(n) le capital qu'il aura acquis au bout de n années s'il choisit la proposition 1 et u(n) le capital qu'il aura acquis au bout de n années s'il choisit la proposition 2.
On définit ainsi deux suites c et u.
Il réalise la feuille de calcul ci-dessous et choisit un format d'affichage numérique à deux décimales.
 ABCDE
1 Proposition 1Proposition 2
2Rang de l'année nCapital disponible c(n)Partie rénuméréePartie non rémunéréeCapital disponible u(n)
301100,00900,00200,001100,00
411149,50948,60200,001148,60
521201,23999,82200,001199,82
631255,281053,81200,001253,81
741311,771110,72200,001380,72
851370,801170,70200,001370,70
961432,491233,92200,001433,92
1071496,951300,55200,001500,55
1181564,311370,78200,001570,78

1. a) Justifier que la suite c est une suite géométrique de premier terme 1 100 et de raison 1,045.
    b) Donner une formule à entrer dans la cellule B4 permettant par recopie vers le bas d'obtenir la plage B5:B11.

2. a) Donner une expression permettant de calculer le terme u(1) = 1148,60.
    b) Donner des formules, à recopier vers le bas, à entrer dans les cellules C4, D4 et E4 pour obtenir la plage C5:E11.

3. - Indiquer en fonction de la durée du placement la proposition la plus avantageuse. Justifier.


5 points

exercice 4

Une résidence de vacances propose deux types d'appartements (studio ou duplex) à louer à la semaine. Le locataire peut décider de nettoyer lui-même son appartement ou peut choisir de souscrire à l'une des deux formules d'entretien suivantes :
    la formule Mini (nettoyage de l'appartement en fin de semaine par le personnel d'entretien) ;
    la formule Confort (nettoyage quotidien du logement durant la semaine et nettoyage complet en fin de semaine par le personnel d'entretien).
On suppose que chaque locataire ne reste qu'une semaine. Le gestionnaire de la résidence fait une étude sur le fichier de tous les locataires des semaines des mois de juillet et d'août 2006.
Il constate dans ce fichier que :
    70 % des locataires ont loué un studio ; parmi ceux-ci, 20 % n'ont souscrit à aucune formule d'entretien, 45 % ont souscrit à la formule Mini et les autres ont souscrit à la formule Confort.
    55 % des locataires de duplex ont souscrit à la formule Mini.
    23 % des locataires n'ont souscrit à aucune formule d'entretien.
On choisit au hasard une fiche d'un locataire de ce fichier. On admet que toutes les fiches ont la même probabilité d'être choisies.
On note :
    S l'évènement «la fiche est celle d'un locataire qui a loué un studio» et son événement contraire «la fiche est celle d'un locataire qui a loué un duplex»;
    M l'évènement «la fiche est celle d'un locataire a souscrit à la formule Mini» ;
    C l'évènement «la fiche est celle d'un locataire quia souscrit à la formule Confort» ;
    R l'évènement «la fiche est celle d'un locataire qui n'a souscrit à aucune formule d'entretien».

Ainsi, P(S) la probabilité de l'évènement S est égale à 0,70 et P_{S}(R) la probabilité, sachant que la fiche est celle d'un locataire qui a loué un studio, qu'il n'ait souscrit à aucune formule d'entretien est égale à 0,20.

1. a) On note P_{S}(M) la probabilité, sachant S, de l'évènement M.
On note P_{\overline{S}}(M) la probabilité, sachant \overline{S} de l'évènement M.
Donner grâce à l'énoncé P_{S}(M) et P_{\overline{S}}(M).
    b) Calculer la probabilité P\left(\overline{S}\right).

2. Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous avec les probabilités déjà connues.
Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information La Réunion Juin 2007 - terminale : image 1


3. a) Donner grâce à l'énoncé P(R).
    b) Calculer P(R \cap S).
    c) Montrer que P\left(R \cap  \overline{S}\right) =  0,09.

4. Calculer P_{\overline{S}}(R) la probabilité, sachant que la fiche est celle d'un locataire qui a loué un duplex, qu'il n'ait souscrit à aucune formule d'entretien.



exercice 1

1. Le taux d'évolution des dépenses des touristes français à l'étranger entre 2004 et 2005 est égal à : \dfrac{25-23}{23}\approx 0,08695 soit environ 8,7%.

2. Une augmentation de 3,5% correspond à un coefficient multiplicateur de 1,035.
Le montant des dépenses en 2004 était donc de : \dfrac{33,9}{1,035} \approx 32,8 \text{ milliards d'euros}

3. a) Le solde en 2004 est égal à : 32,8 - 23 soit 9,8 (milliards d'euros).

3. b) Le taux d'évolution des soldes entre 2004 et 2005 est : \dfrac{8,9-9,8}{9,8}\approx -0,0918 soit environ -9,2% qui correspond à une baisse d'environ 9,2%.




exercice 2

1.
Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information La Réunion Juin 2007 - terminale : image 2


2. a) C_m définie sur [200 ; 4000] par C_{m}(x) = 1 500 + 2x + \dfrac{2 000 000}{x} est dérivable sur [200 ; 4000], et :
Pour tout x de [200 ; 4000], C'_{m}(x) = \boxed{2-\dfrac{2 000 000}{x^2}}

2. b) Pour tout x de [200 ; 4000] , C'_{m}(x) = 2-\dfrac{2 000 000}{x^2}=\dfrac{2x^2-2 000 000}{x^2}=\dfrac{2(x^2-1 000 000)}{x^2}=\dfrac{2(x^2-1000^2)}{x^2}=\boxed{2\dfrac{(x-1000)(x+1000)}{x^2}}
Signe de \black {C'_m} :
Sur l'intervalle [200 ; 4000], x^2>0 \text{ et } x+1000>0 , donc C'_m s'annule pour x=1000 et C'_m a le même signe que x-1000. On en déduit :
\boxed{C'_m(x)\le 0 \text{ pour tout }x \text{ de }[200~;~1000] \text{ et } C'_m\ge 0 \text{ pour tout }x \text{ de }[1000~;~4000]}


2. c) Tableau de variations :
 \begin{tabvar}{|C|CCCCC|}       \hline  {x}                      & 200    &    &1000&                & 4000     \\ \hline  C'_m(x)                &   & - &  \barre{0}    &  +   &            \\ \hline \niveau{2}{3} C_m       & 11900 &\decroit& 5500&     \croit     & 10000   \\ \hline \end{tabvar}

Calcul C_m(200)=11900\text{ , }C_m(1000)=5500 \text{ et } C_m(4000)=10000

2. d) D'après le tableau de variations :
Il faut utiliser l'équipement 1000 jours pour obtenir le coût moyen minimum de 5500 euros.





exercice 3

1. a) La somme de 1100 euros est placée à intérêts composés à un taux annuel de 4,5%. Cela correspond donc à une augmentation de 4,5% soit un coefficient multiplicateur de 1,045.
La suite c est donc une suite géométrique de premier terme 1100 et de raison 1,045.

1. b) La formule écrite dans B4 peut être : "=B3*1,045"

2. a) u(1)=c(1)+200

2. b) Dans C4 peut être saisi : "=C3*1,054"
Dans D4 peut être saisi : "=D3"
Dans E4 peut être saisi : "=C4+D4"

3.Jusqu'àl'année de rang 4 compris, le proposition 2 est plus avantageuse que la proposition 1. A partir du rang 5, c'est la proposition 1 qui devient plus avantageuse.




exercice 4

1. a)
P_S(M)=\dfrac{45}{100}=\boxed{0,45}
P_{\bar{S}}(M)=\dfrac{55}{100}=\boxed{0,55}

1. b) P(\bar{S})=\dfrac{30}{100}=\boxed{0,3}

2.
Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information La Réunion Juin 2007 - terminale : image 3


3. a) P(R)=\dfrac{23}{100}=\boxed{0,23}

3. b) P(R\cap S)=0,7\times 0,2=\boxed{0,14}

3. c) P(R)=P(R\cap S)+P(R\cap \bar{S})\Rightarrow P(R\cap \bar{S})=P(R)-P(R\cap S)=0,23-0,14=\boxed{0,09}

4. P_{\bar{S}}(R)=\dfrac{P(R\cap \bar{S})}{P(S)}=\dfrac{0,09}{0,3}=\boxed{0,3}
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