Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Gestion
Pondichéry - Session 2007

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Communication et Gestion des Ressources Humaines
Durée de l'épreuve : 2 heures         Coefficient : 2

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Ce sujet est composé de 3 exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
5 points

exercice 1

On considère un établissement scolaire de 2000 élèves, regroupant à la fois des collégiens et des lycéens. 19% de l'effectif total est en classe terminale. Parmi ces élèves de terminale, 55% sont des filles. L'année considérée, le taux de réussite au baccalauréat dans cet établissement a été de 85%. Parmi les candidats ayant échoué, la proportion des filles a été de \dfrac{8}{19}.

1. Recopier et compléter le tableau des effectifs suivant :

Élèves de terminale Garçons Filles TOTAL
Réussite au baccalauréat      
Echec au baccalauréat   24  
TOTAL     380


Après la publication des résultats, on choisit au hasard un élève parmi l'ensemble des élèves de terminale. On considère les évènements suivants :
G : " L'élève est un garçon "; on note \bar{\text{G}} l'évènement contraire de G;
R : " L'élève a obtenu son baccalauréat " ; on note \bar{\text{R}} l'évènement contraire de R.

2. Définir par une phrase les évènements suivants : \bar{\text{R}} ; \bar{\text{G}} \cap \text{R}.

Dans la suite des questions, on donnera les résultats sour forme de nombre décimal, arrondi à 10-2.

3. Calculer les probabilités des évènements \bar{\text{R}} ; G ; \bar{\text{G}} \cap \text{R}.

4. Montrer que la probabilité, arrondie à 10-2, que l'élève soit une fille, sachant qu'elle a obtenu son baccalauréat, est égale à 0,57.


8 points

exercice 2

Marc postule pour un emploi dans deux entreprises.
La société ALLCAUR propose, à compter du 1er janvier 2008, un contrat à durée déterminé (CDD) de 2 ans avec un salaire net de 1800 euros le premier mois, puis une augmentation de 0,7% chaque mois sur la période des 2 ans.
La société CAURALL propose un salaire de départ de 1750 euros augmenté de 20 euros chaque mois.

I. Utilisation d'un tableur

Marc utilise un tableur pour visualiser les propositions des deux entreprises.
Voici le résultat qu'il obtient :
  A B C D E F G
1 Mois   ALLCAUR   CAURALL
2     Salaire Salaire cumulé   Salaire Salaire cumulé
3 1   1800 1800   1750 1750
4 2            
5              
...              


1. La cellule F4 contient le salaire proposé à Marc le deuxième mois par l'entreprise CAURALL.
Quelle formule, destinée à être recopiée vers le bas, faut-il écrire dans la cellule F4 ?

2. La formule saisie dans la cellule C4 est : = C3 × 1,007.
Cette formule est recopiée vers le bas. Quelle formule se trouve alors dans la cellule C5 ?

3. Parmi les trois formules suivantes, déterminer toutes celles que l'on peut écrire dans la cellule G4 et qui permettent de connaître par recopie vers le bas les salaires cumulés proposés par l'entreprise CAURALL :
(a) =$G$3 + F4
(b) = G3 + F4
(c) = SOMME($F$3 : F4)

II. Étude de la rémunération proposée par ALLCAUR

On note Un le salaire proposé à Marc par ALLCAUR au n-ième mois de son CDD.

1. Déterminer U1, U2, U3 et U4 arrondis à 10-2.

2. a) Exprimer Un+1 en fonction de Un.
   b) En déduire la nature de la suite (Un), en précisant son premier terme et sa raison.
   c) Exprimer Un en fonction de n.

3. Déterminer le salaire que percevait Marc, au centime près, au dernier mois de son CDD.

4. Calculer le montant S des salaires qui seraient versés à Marc sur les 2 ans, arrondi au centime.

Formulaire :

- La somme S des n premiers termes d'une suite arithmétique (un) est donnée par :
S = u1 + u2 + ... + un = n \times \dfrac{u_1 + u_n}{2}.

- La somme S des n premiers termes d'une suite géométrique (un) de raison q \neq 1 est donnée par :
S = u1 + u2 + ... + un = u_1 \times \dfrac{1 - q^n}{1 - q}.



7 points

exercice 3

Lors d'une compétition d'athlétisme, un entraîneur analyse la technique d'un lanceur de poids, et plus particulièrement la trajectoire du poids lors du lancer.
On considère la fonction f donnée par : f(x) = -0,08x^2 + 0,8x + 1,92 pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [0 ; 12].
Cette fonction donne la hauteur (en mètres) du poids en fonction de la variable x (exprimée également en mètres). Cette variable x mesure la longueur entre les pieds du lanceur et l'ombre au sol du poids (en considérant que cette ombre au sol est à la verticale du poids).

sujet du bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Pondichéry 2007 - terminale : image 1


1. Recopier et compléter, à l'aide de la calculatrice le tableau de valeurs suivant.
Les résultats seront donnés au centimètre près.

x (en mètres) 0 0,5 1 1,5 2,5 4,5 5 5,5 6 6,5 8 9 10 11 12
f(x) (en mètres)                              


2. Dériver la fonction f.

3. Etudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 12].

4. Déterminer la hauteur maximale atteinte par le poids (au cm près).

5. A quoi correspond la (ou les) valeur(s) de x, solution(s) de l'équation f(x) = 0 sur l'intervalle [0 ; 12] ?

6. a) Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [0 ; 12], f(x) = -0,08(x + 2)(x - 12)
    b) Quelle est la longueur du lancer ?



exercice 1

1. Complétons le tableau des effectifs :
Dans un établissement scolaire de 2000 élèves, 19% des élèves sont en classe de terminale. Cela représente 2000 \times \dfrac{19}{100} élèves c'est-à-dire 380 élèves. On retrouve bien le total annoncé.
Parmi ces élèves de terminale, 55% sont des filles. Cela représente 380 \times \dfrac{55}{100} filles, c'est-à-dire 209 filles.
Parmi les 380 élèves de terminale, 209 sont des filles. Donc 380 - 209 sont des garçons, c'est-à-dire 171.
L'année considérée, le taux de réussite au baccalauréat dans cet établissement a été de 85%. 380 \times \dfrac{85}{100} ont réussi le baccalauréat, soit 323 élèves.
Par soustraction, on trouve les derniers résultats.

Elèves de terminale Garçons Filles TOTAL
Réussite au baccalauréat 138 185 323
Echec au baccalauréat 33 24 57
TOTAL 171 209 380


2. \bar{\text{R}} est l'évènement contraire de R : " L'élève n'a pas obtenu son baccalauréat " ou encore " L'élève a échoué au baccalauréat ".
\bar{\text{G}} \cap \text{R} est l'évènement " L'élève est une fille et elle a obtenu son baccalauréat ".

3. Calculons les différentes probabilités en utilisant les données du tableau précédent :
Parmi les 380 élèves, 57 ont échoué au baccalauréat, donc : p(\bar{\text{R}}) = \dfrac{57}{380} = 0,15
Il y a 171 garçons parmi 380 élèves au total, donc : p(G) = \dfrac{171}{380} = 0,45
Parmi les 380 élèves, 185 filles ont obtenu leur baccalauréat, donc : p\left(\bar{\text{G}} \cap \text{R}\right) = \dfrac{185}{380} \approx 0,49 .

4. Parmi les 323 élèves ayant obtenu leur baccalauréat, 185 sont des filles, donc la probabilité que l'élève soit une fille, sachant qu'elle a obtenu son baccalauréat, est égale à \dfrac{185}{323}, soit environ 0,57 (arrondi à 10-2).




exercice 2

I. Utilisation d'un tableur

1. Dans la cellule F4, la formule destinée à être recopiée vers le bas est : = F3 + 20

2. Dans la cellule C5, on trouve la formule : = C4 × 1,007.

3. Les formules que l'on peut écrire dans la cellule G4 et qui permettent de connaître par recopie vers le bas les salaires cumulés proposés par l'entreprise CAURALL sont :
(b) = G3 + F4
(c) = SOMME($F$3 : F4)

II. Etude de la rémunération proposée par ALLCAUR

1. Déterminons U1, U2, U3 et U4 arrondis à 10-2 :
Le salaire proposé à Marc par la société ALLCAUR au premier mois de son CDD est de 1800 euros, donc U1 = 1800.
Marc obtient une augmentation de 0,7% chaque mois, donc :
U2 = U1 × 1,007 = 1800 × 1,007 = 1812,6
U3 = U2 × 1,007 = 1812,6 × 1,007 \approx 1825,29
U4 = U3 × 1,007 = 1825,29 × 1,007 \approx 1838,07

2. a) Exprimons Un+1 en fonction de Un :
Un est le salaire proposé à Marc au n-ième mois. Le (n+1)-ième mois, il a une augmentation de 0,7%, donc : Un+1 = Un × 1,007

2. b) On en déduit alors que la suite (Un) est géométrique de premier terme U1 = 1800 et de raison 1,007.

2. c) On en déduit que pour tout entier naturel n strictement positif, Un = U1 × 1,007n-1 = 1800 × 1,007n-1

3. Au dernier mois de son CDD, c'est-à-dire au 24ème mois, Marc percevait :
U24 = 1800 × 1,00724-1, c'est-à-dire environ 2113,25 euros.

4. Calculons le montant S des salaires qui seraient versés à Marc sur les 2 ans, arrondi au centime :
\text{S} = \displaystyle \sum_{i=1}^{24} U_i = U_1 \times \frac{1 - q^{24}}{1-q} = 1800 \times \frac{1-1,007^{24}}{1-1,007}
Le montant des salaires qui seraient versés à Marc sur les 2 ans est d'environ 46 862,87 euros.




exercice 3

1.
x (en mètres) 0 0,5 1 1,5 2,5 4,5 5 5,5 6 6,5 8 9 10 11 12
f(x) (en mètres) 1,92 2,30 2,64 2,94 3,42 3,90 3,92 3,90 3,84 3,74 3,20 2,64 1,92 1,04 0


2. f étant une fonction polynôme, elle est dérivable sur [0 ; 12] et :
Pour tout x de [0 ; 12], f'(x)=-2\times 0,08x+0,8=\boxed{-0,16x+0,8}

3. On a : \begin{cases}f'(x)=0 \Longleftrightarrow x=5 \\ f'(x)< 0 \Longleftrightarrow -0,16x+0,8< 0\Longleftrightarrow x> 5\\ f'(x)> 0 \Longleftrightarrow -0,16x+0,8> 0\Longleftrightarrow x< 5\end{cases}
f est croissante sur [0 ; 5] et décroissante sur [5 ; 12].


4. La hauteur maximale est obtenue pour x=5 et vaut f(5)=3,92\text{ m}
La hauteur maximale atteinte par le poids est 3,92 m.


5. La solution de l'équation f(x)=0 correspond à l'abscisse d'ordonnée nulle, c'est à dire à la longueur du lancer.

6. a) Pour tout x de [0 ; 12], -0,08(x + 2)(x - 12)=-0,08 \left(x^2-12x+2x-24\right) = -0,08x^2-0,08\times 10 x+24\times 0,08= -0,08x^2 + 0,8x + 1,92=\boxed{f(x)}

6. b) La longueur du lancer est la solution de l'équation f(x)=0
f(x)=0 \Longleftrightarrow -0,08(x + 2)(x - 12)=0 \text{ avec }x\text{ dans }[0;12]
Dans l'intervalle donné, la seule solution à cette équation est x=12
La longueur du lancer est 12 m.
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