Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Gestion
Antilles Guyane - Session 2007

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Spécialité " Communication et Gestion des Ressources Humaines "
Durée de l'épreuve : 2 heures         Coefficient : 2

L'usage de la calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les trois exercices.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
8 points

exercice 1

On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 2,5].
On note f' la fonction dérivée de la fonction f.
On donne ci-dessous, la courbe représentative de la fonction f, appelée \scr{C}, dans un repère orthogonal.

Bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Antilles Guyane 2007 - terminale : image 1


La courbe \scr{C} possède les propriétés suivantes :
    la courbe \scr{C} passe par le point A(1 ; 5,5);
    la courbe \scr{C} par le point B(2 ; 2) ;
    la tangente en B à la courbe \scr{C} est horizontale ;
    la tangente en A à la courbe \scr{C} passe par le point T(0 ; 8,5).

Partie 1

1. Placer les points A, B et T et tracer les tangentes à la courbe \scr{C} en A et en B.

2. Déterminer f(1), \; f(2), \; \text{et} \: f'(1).

3. Donner par lecture graphique une valeur approchée des solutions de l'équation f(x) = 3.

4. Justifier que f'(2) = 0. Donner par lecture graphique une valeur approchée de la deuxième solution de l'équation f'(x) = 0.

Partie 2

La fonction f dont on connaît la courbe \scr{C} est définie sur I'intervalle [0 ; 2,5] par : f(x) = 4x^3 - 16,5x^2 + 18x.

1. Compléter le tableau de valeurs suivant à l'aide de la calculatrice.

x 0 0,5 1 1,5 2 2,5
f(x)            


2. a) Calculer f'(x).
   b) Montrer que : f'(x) = (12x - 24)(x - 0,75).
   c) Etudier le signe de f'(x) suivant les valeurs de x sur l'intervalle [0 ; 2,5] à l'aide d'un tableau de signe.

3. En déduire le tableau de variation de la fonction f.


5 points

exercice 2

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
En juillet 2006, un homme politique se renseigne sur l'évolution du nombre de demandeurs d'emploi sur les 12 derniers mois.
Le tableau ci-dessous est fourni à ce cabinet par I'INSEE.

Dates Rang x_i Nombre de demandeurs d'emploi en milliers yi
3l juillet 2005 1 2706
31 Août 2005 2 2708
30 septembre 2005 3 2673
3l octobre 2005 4 2661
30 novembre 2005 5 2641
31 décembre 2005 6 2622
3l janvier 2006 7 2628
28 févier 2006 8 2613
31 mars 2006 9 2583
30 avril 2006 10 2544
31 mai 2006 11 2499
30 juin 2006 12 2465


Partie A

Tous les taux d'évolution seront donnés en pourcentage avec trois décimales.

1. Calculer le taux d'évolution du nombre de demandeurs d'emploi entre le 31 août 2005 et le 30 septembre 2005.

2. Entre le 30 juin 2005 et le 31 juillet 2005 le nombre de demandeurs d'emploi a baissé de 0,952%. Calculer le nombre de demandeurs d'emploi le 30 juin 2005( arrondi au millier).

3. Calculer le taux d'évolution du nombre de demandeurs d'emploi entre le 3l juillet 2005 et le 30 juin 2006.
En déduire le taux d'évolution mensuel moyen sur ces 11 mois.

Partie B

On considère la série statistique (x_i\: , \: y_i) donnée par le tableau.

l. Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à 0,01 près.

2. En supposant que cette évolution se poursuive, donner une estimation du nombre de demandeurs d'emploi fin août 2006 (arrondi au millier).


7 points

exercice 3

Une entreprise fabrique des cartes graphiques pour ordinateurs.
Deux ateliers de fabrication se répartissent la production d'une journée de la façon suivante : l'atelier A produit 900 cartes et l'atelier B produit 600 cartes.
Les contrôles de qualité ont montré qu'un jour donné, 2% des cartes produites par l'atelier A et 1% des cartes produits par l'atelier B sont défectueuses.
On prélève au hasard une carte dans la production d'une journée.
On note :
      A l'évènement : " la carte prélevée sort de l'atelier A " ;
      B l'évènement : " la carte prélevée sort de l'atelier B " ;
      D l'évènement : " la carte prélevée est défectueuse ".

1. À l'aide des informations ci-dessus, déterminer les probabilités P(A), P(B), PA(D) et PB(D).

2. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

3. Définir les événements \text{A} \cap \text{D} et \text{B} \cap \text{D}, puis calculer leurs probabilités.

4. Montrer que P(D) = 0,016.

5. Calculer PD(A).

6. Les évènements A et D sont-ils indépendants ? Justifier.



exercice 1

Partie 1

1.
Bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Antilles Guyane 2007 - terminale : image 4


2.
f(1)=\boxed{5,5} car le point A(1 ; 5,5) appartient à la courbe \mathcal{C}.
f(2)=\boxed{2} car le point B(2 ; 2) appartient à la courbe \mathcal{C}.
f'(1)=\boxed{-3}, qui est la valeur du coefficient directeur de la droite (TA).

3. Les solutions de l'équation f(x)=3 sont les abscisses des points d'intersection de la courbe \mathcal{C} avec la droite d?équation y=3
Donc, les solutions de l'équation f(x)=3 sont (en valeurs approchées) :
{0,2 ; 1,6 ; 2,35 }


4. On sait que la tangente en B(2 ; 2) est horizontale, son coefficient directeur vaut donc 0 soit \boxed{f'(2)=0}
D'après la courbe, la fonction admet un autre extremum (maximum) en 0,75 environ, donc la dérivée en ce point est nulle et :
\boxed{\text{Une valeur approchée de la deuxième solution de l'équation } f'(x)=0\text{ est } 0,75}


Partie 2

1.
x 0 0,5 1 1,5 2 2,5
f(x) 0 5,375 5,5 3,375 2 4,375


2. a) La fonction f est dérivable sur [0 ; 2,5], et pour tout x de cet intervalle, on a :
f'(x) =3\times 4x^2-16,5\times 2x+18=\boxed{12x^2-33x+18}


2. b) Pour tout x de [0 ; 2,5] :
(12x - 24)(x - 0,75)=12x^2-0,75\times 12x-24x+0,75\times 24 = 12x^2-9x-24x+18=12x^2-33x+18=\boxed{f'(x)}


2. c) Étude du signe de f'(x) sur [0 ; 2,5] :
\begin{tabvar}{|C|CCCCCCC|}     \hline  {x}                    & 0 &   & 0,75     &   &   2         &     & 2,5     \\ \hline  12x-24               &   & - & \barre{} & - &\barre{0}    &  +  &          \\ \hline  x-0,75               &   & - &\barre{0} & + &\barre{ }    &  +  &        \\ \hline  f'(x)                &   & + &\barre{0} & - &\barre{0}    &  +  &                                     \\ \hline \end{tabvar}

Conclusion :
\boxed{f'(x)=0 \text{ pour }x=0,75 \text{ ou } x=2  }

\boxed{f'(x)\ge 0 \text{ pour tout } x \text{ de } [0;0,75]\cup[2;2,5] \text{ et } f'(x)\le 0  \text{ pour tout } x \text{ de } [0,75;2]}


3. Tableau de variations:
\begin{tabvar}{|C|CCCCCCC|}       \hline  {x}                  & 0    &       & 0,75               &          &   2         &           & 2,5      \\ \hline  f'(x)                &      & +     &\barre{0}           & -        &\barre{0}    &  +        &       \\ \hline \niveau{2}{3} f       &0     & \croit&  f(0,75)       & \decroit & 2           &  \croit   & 4,375  \\ \hline \end{tabvar}

f(0,75)=4\times 0,75^3 - 16,5\times 0,75^2 + 18\times 0,75=5,90625




exercice 2

Partie A

1. Le taux d'évolution t_1 du nombre de demandeurs d'emploi entre le 31 août 2005 et le 30 septembre 2005 est: t_1=\dfrac{2673-2708}{2708}=-0.01292~\boxed{\text{ soit une baisse de }1,292\%}

2. Entre le 30 juin 2005 et le 31 juillet 2005, le nombre de demandeurs d'emploi a baissé de 0,952\% . Ceci correspond à un coefficient multiplicateur de 1-0.00952=0.99048
Le nombre de demandeurs d'emploi le 30 juin 2005 était donc : \dfrac{2706}{0.99048}\boxed{\approx 2732\text{ milliers}}

3.Taux d'évolution T du nombre de demandeurs d'emploi entre le 31 juillet 2005 et le 30 juin 2006 : T=\dfrac{2465-2706}{2706}=-0.08906~\boxed{\text{ soit une baisse de }8.906\%}

Le coefficient multiplicateur correspondant à cette période de 11 mois est de 1-0.08906=0.91094
Le coefficient multiplicateur moyen est donc de 0.91094^{\frac{1}{11}}\approx 0.99155 ce qui correspond à une baisse moyenne de 0.844\%

Partie B

1. A l'aide d'une calculatrice, on trouve :
\boxed{y=-20,64x+2746,08}


2. La période "fin août 2006" correspond à x=14, donc : y=-20,64\times 14+2746,08\approx \boxed{2457\text{ (milliers)}}




exercice 3

1.
P(A)=\dfrac{900}{900+600}=\boxed{0,6}
P(B)=1-P(A)=1-0,6=\boxed{0,4}
P_A(D)=\dfrac{2}{100}=\boxed{0,02}
P_B(D)=\dfrac{1}{100}=\boxed{0,01}

2.
Bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Antilles Guyane 2007 - terminale : image 2


3.
A\cap D: "La carte graphique vient de l'atelier A et est défectueuse"
B\cap D: "La carte graphique vient de l'atelier B et est défectueuse"
Calcul des probabilités :
P(A\cap D)=P_A(D)P(A)=0,6\times 0,02=\boxed{0,012}
P(B\cap D)=P_B(D)P(B)=0,4\times 0,01=\boxed{0,004}

4. P(D)=P(A\cap D)+P(B\cap D)=0,012+0,004=\boxed{0,016}

5.P_D(A)=\dfrac{P(A\cap D)}{P(D)}=\dfrac{0,012}{0,016}=\boxed{0,75}

6.On a P_D(A)\neq P(A)
Ce qui veut dire que :
Les événements A et D ne sont pas indépendants.
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