Fiche de mathématiques

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Bac Technologique
Série Sciences et Technologies de la Gestion
Session 2007

Spécialité " Communication et Gestion des Ressources Humaines "
Durée de l'épreuve : 2 heures Coefficient : 2

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.
Aucun document n'est autorisé.
Le candidat doit traiter les trois exercices.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Dans cet exercice, pour chacune des questions, 4 réponses sont proposées, une seule est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse incorrecte retire 0,25 point, une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.
Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est 0.

1. 610 600 candidats se sont présentés à l'examen du baccalauréat en France métropolitaine à la session de juin 2005 et 80,2 % d'entre eux ont réussi.
Quelle est la meilleure approximation du nombre de candidats ayant échoué en juin 2005 ?

A) 489 500

B) 120 500

C) 121 000

D) 490 000

2. Le prix d'un article est passé de 200 euros à 1000 euros. Le taux d'évolution est de :

A) 500 %

B) 200 %

C) 400 %

D) 800 %

3. A et B sont deux évènements tels que $p(\text{A} \cap \text{B}) = \dfrac{1}{5} \text{ et } p_{\text{A}}(\text{B}) = \dfrac{1}{2}$ . Alors p(A)est égal à :

A) $\dfrac{1}{10}$

B) $\dfrac{7}{10}$

C) $\dfrac{2}{5}$

D) $\dfrac{5}{2}$

4. Les événements C et D sont indépendants. On donne p(C) = 0,4 et p(D) = 0,3.
Alors p(C $\cap$ D) est égal à :

A) 0,7

B) 0,12

C) 0,1

D) on ne peut pas conclure

5. Ce tableau incomplet donne les résultats d'un sondage dans une population de 80 personnes.

	Employés	Cadres
Femmes	27
Hommes	33	12

On prend une de ces personnes au hasard.
La probabilité que ce soit un homme sachant que c'est un cadre est :

A) $\dfrac{3}{5}$

B) $\dfrac{3}{20}$

C) $\dfrac{4}{15}$

D) $\dfrac{2}{15}$

7 points

exercice 2

1. La feuille de calcul suivante, extraite d'un tableur, donne en milliers le nombre de Français en métropole pour les années 1950 à 2000. La colonne C est au format " pourcentage " avec une décimale.

	A	B	C	D	E
1	Année	Nombre de Français	Taux d'évolution arrondi à 0,1 %	n	u_n
2	1950	42010		0	42010
3	1960	45904	9,3 %	1
4	1970	51016		2
5	1980	54029		3
6	1990	56893		4
7	2000	59197		5
8				6
9				7
10				8
11				9

Quelle formule faut-il écrire en C3, à recopier vers le bas sur la plage C4 : C7, pour obtenir la colonne C ?

2. a) Calculer le taux d'évolution global, arrondi à 0,1 % près, du nombre de Français en métropole entre les années 1950 et 2000. En déduire le taux d'évolution décennal moyen, arrondi à 0,1 % près, entre les années 1950 et 2000.

On considère la suite géométrique u de premier terme u₀ = 42010 et de raison b = 1,071.
    b) Quelle formule peut-on écrire en E3, à recopier vers le bas sur la plage E4 : E7, pour calculer les premiers termes de la suite u dans la colonne E ?
    c) Si l'on fait l'hypothèse que le nombre de Français en métropole évoluera au même rythme au-delà de l'an 2000, on peut estimer que le nombre de Français en métropole de l'année (1950 + 10n) sera égal au terme u_n de cette suite.
Quel nombre de Français peut-on ainsi prévoir en 2010 ?
    d) Par quel facteur le nombre de Français en métropole sera-t-il ainsi multiplié en 100 ans (de 1950 à 2050) ?
    e) Pour quelle décennie le nombre de Français en métropole dépassera-t-il les 100 millions ?

8 points

exercice 3

Dans une petite entreprise, la fabrication journalière de $x$ objets impose un coût de fabrication par objet en euros, noté $f(x)$ .
Cet objet étant vendu 12 € le chiffre d'affaires en euros, réalisé par l'entreprise par la vente de $x$ objets, est donc le nombre réel $g(x) = 12x$ .
On définit ainsi deux fonctions $f$ et g.

Partie A

Ci-dessous, on a tracé la courbe $\scr{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal ; le nombre d'objets est placé en abscisse et le coût de fabrication en euros est porté en ordonnée.

bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Métropole 2007 - terminale : image 1

1. Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :
    a) Quel est le coût de fabrication pour une production journalière de 15 objets ?
Quelle autre quantité d'objets fabriqués donne le même coût de fabrication ?
    b) Quelle production journalière correspond à un coût de fabrication de 525 € ?
    c) Pour quelle quantité d'objets fabriqués le coût de fabrication n'excède-t-il pas 305 € ?

2. Dans le repère précédent, tracer la droite d'équation $y = 12x$ et déterminer graphiquement combien l'entreprise doit fabriquer d'objets pour être bénéficiaire.

Partie B

Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction $f$ est définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0 ; 50] par : $f(x) = x^2 - 40x + 480$ .

1. Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0 ; 50], $g(x) - f(x) = -x^2 + 52x - 480$ .

2. On désigne par B la fonction définie sur [0 ; 50] par $B(x) = -x^2 + 52x - 480$ .
a) Déterminer la fonction dérivée B' de B sur [0 ; 50].
b) Etudier son signe et en déduire le tableau de variations de B sur [0 ; 50].

3. En déduire le bénéfice maximal que l'entreprise peut réaliser, en précisant la production journalière correspondante.
Comment peut-on retrouver ce résultat graphiquement ?

Correction

exercice 1

1. Réponse : C
Justification : Si 80,2 % des candidats ont réussi, alors 100 - 80,2 = 19,8 % ont échoué.
$610~600 \times \dfrac{19,8}{100} = 120~898,8$ donc c'est 121 000 qui est la réponse la plus proche.

2. Réponse : C
Justification : $t = \dfrac{1 000 - 200}{200} = \dfrac{800}{200} = 4 = 400 \%$

3. Réponse : C
Justification : Par définition, on a : $P_{\text{A}}(\text{B}) = \dfrac{P(\text{A} \cap \text{B})}{P(\text{A})}$ donc $P(\text{A}) = \dfrac{P(\text{A} \cap \text{B})}{P_{\text{A}}(\text{B})} = \dfrac{1/5}{1/2} = \dfrac{2}{5}$

4. Réponse : B
Justification : Les évènements sont indépendants, donc : $P(\text{C} \cap \text{D}) = P(\text{C}) \times P(\text{D}) = 0,4 \times 0,3 = 0,12$

5. Réponse : A
Justification : Le chiffre manquant dans le tableau est : $80 - 27 - 33 - 12 = 8$ .
Au total, il y a donc : $8 + 12 = 20$ cadres. Parmi ces 20 cadres, il y a 12 hommes, donc la probabilité $P$ est donnée par : $P = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$

exercice 2

1. Le taux d'évolution de la population française de 1950 à 1960 est donné par le rapport :
$t = \dfrac{45904 - 42010}{42010} \approx 0,093$ .
Le résultat présenté dans la colonne C est de 9,3 %.
La formule à écrire dans la cellule C3 : =(B3-B2)/B2
Cette formule pourra se recopier en : =(B4-B3)/B3 et ainsi de suite.

2. a) Le taux d'évolution global de la population française de 1950 à 2000 est donné par le rapport :
$t = \dfrac{59197 - 42010}{42010} \approx 0,4091$ soit 40,9 % arrondi à 0,1 % près.
Appelons $x$ le taux d'évolution décennal moyen entre 1950 et 2000.
Le coefficient multiplicateur décennal est de $1 + x$ et le coefficient multiplicateur sur ces 5 décennies est de $(1 + x)^5$
On obtient alors l'égalité suivante :
$(1+x)^5 = 1 + 0,409 = 1,409$
D'où $1 + x = (1,409)^{\frac{1}{5}}$
$x \approx 1,07098 - 1 \approx 0,07098$
Arrondi à 0,1 % près le taux dévolution décennal moyen est de 7,1 %.

2. b) $u$ est une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison 1,071, donc :
$u_1 = 1,071 \times u_0$
La cellule E2 contient $u_0$ . La formule à écrire dans la cellule E3 est : =1,071×E2

2. c) On remarque que $2010 = 1950 + 10 \times 6$ donc la population en 2010 est égale au terme $u_6$ .
La suite $(u_n)$ est géométrique de raison 1,071 donc :
$u_6 = u_0 \times q^6 = 42010 \times 1,071^6 \approx 63400$
Donc le nombre de français en 2010 sera voisin de 63 400 000.

2. d) On remarque que $2050 = 1950 + 10 \times 10$ donc la population en 2050 est égale au terme $u_{10}$ .
$u_{10} = u_0 \times q^{10} = = u_0 \times 1,071^{10} \approx 1,986 u_0$
En 100 ans (de 1950 à 1050), la population sera multipliée par 1,986, donc elle aura presque doublée.

2. e) Calculons les termes suivants :
$u_{11} = 42010 \times 1,071^{11} \approx 89338 \\ u_{12} = 42010 \times 1,071^{12} \approx 95631 \\ u_{13} = 42010 \times 1,071^{13} \approx 102474$
Calculons les années correspondantes à $n = 12$ et $n = 13$ :
$1950+10 \times 12 = 2070 \\ 1950+10 \times 13 = 2080$
Donc le nombre de français dépassera 100 millions entre 2070 et 2080.

exercice 3

Partie A

1. a) Sur le graphique, on peut lire que le coût de fabrication pour 15 objets est voisin de 105 euros.
On remarque sur ce même graphique l'existence d'un deuxième point qui a pour ordonnée 105. Ce point a pour abscisse 25.
Donc le coût de fabrication est aussi égal à 105 euros pour 25 objets.

1. b) Pour déterminer par le graphique la production journalière correspondant à un coût de fabrication de 525 Euros on procède de la façon suivante :
on détermine sur ce graphique le point de la courbe d'ordonnée 525 puis on lit son abscisse qui est voisin de 41.
Donc le coût de fabrication est égal à 525 euros pour 41 objets.

1. c) Par le point de coordonnées (0 ; 305) on trace la parallèle à l'axe des abscisses, soit la droite d'équation $y = 305$ .
Cette droite coupe la courbe en deux points d'abscisses 5 et 35.
Pour $5 \le x \le 35$ les points de cette courbe ont une ordonnée inférieure ou égale à 305 euros ; ce qui signifie que le coût de fabrication ne dépasse pas 305 euros.
Donc le coût de fabrication n'excède pas 305 euros si on fabrique entre 5 et 35 objets.

2. La droite d'équation $y = 12x$ coupe la courbe en deux points d'abscisses 12 et 40.
Pour $x = 12$ et $x = 40$ l'entreprise ne réalise ni perte, ni bénéfice.
Pour $12 < x < 40$ elle se trouve bénéficiaire.

Partie B

1. Pour tout $x$ de [0 ; 50] :
$g(x) - f(x) = 12 x - (x^2 - 40 x + 480) \\ g(x) - f(x) = 12 x - x^2 + 40 x - 480 \\ \boxed{g(x) - f(x) = - x^2 + 52 x - 480}$

2. a) Pour tout $x$ de [0 ; 50] :
$\boxed{B'(x) = -2 x + 52}$

2. b) Etude du signe de $B'$ :
$B'(x) = 0 \Longleftrightarrow -2x+52 = 0 \Longleftrightarrow x = 26 \\ B'(x) > 0 \Longleftrightarrow -2x+52 > 0 \Longleftrightarrow x < 26 \\ B'(x) < 0 \Longleftrightarrow -2x+52 < 0 \Longleftrightarrow x > 26$
On en déduit le tableau de variation de la fonction $B$ :

bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Métropole 2007 - terminale : image 2

3. $B(x)$ est la différence entre le chiffre d'affaire et le coût de fabrication pour $x$ objets produits. Le tableau de de variation permet d'affirmer que le bénéfice maximal est de 195 euros pour 26 objets fabriqués.
Ce résultat se retrouve graphiquement en traçant des segments reliant un point de la courbe d'abscisse comprise entre 12 et 40 au point de la droite de même abscisse. On mesure ces segments et on retient celui de longueur maximale.

bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Métropole 2007 - terminale : image 3

Publié par cel/cva le 30-03-2009

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