Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Sciences et Technologies Industrielles
Génie Electronique - Génie Electrotechnique - Génie Optique
Métropole - Session Juin 2007

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

Le candidat traitera obligatoirement les deux exercices et le problème.
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'utilisation des calculatrices électroniques, programmables, alphanumériques ou à écran graphique est autorisée, à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit fait usage d'aucune imprimante. Chaque candidat ne peut utiliser qu'une seule machine sur sa table. En cas de défaillance, elle pourra cependant être remplacée.
Cependant, les échanges de machines entre candidats, la consultation des notices fournies par les constructeurs ainsi que l'échange d'informations par l'intermédiaire des fonctions de transmission des calculatrices sont interdits. (circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999)
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Deux feuilles de papier millimétré seront distribuées en même temps que le sujet.

6 points

exercice 1

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $(\text{O} \: ; \: \vec{u} \: , \: \vec{v})$ d'unité graphique 1 cm.
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ .

1. Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation z² + 4z + 16 = 0.

2. Pour tout nombre complexe z, on pose P(z) = z³ - 64.
   a) Calculer P(4).
   b) Trouver les réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z, P(z) = (z - 4)(az² + bz + c).
   c) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation P(z) = 0.

3. On considère les points A, B et C d'affixes respectives : $z_A = -2 + 2\text{i}\sqrt{3} \: , \: z_B = \overline{z_A} \text{ et } z_C = 4$ .
   a) Etablir que $z_A = 4e^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$ .
Ecrire z_B sous la forme $r e^{\text{i}\theta}$ , où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel compris entre - $\pi$ et $\pi$ .
   b) Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère $(\text{O} \: ; \: \overrightarrow{u} \: , \: \overrightarrow{v})$ .
   c) Déterminer la nature du triangle ABC.

4. On appelle D l'image de A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$ , et on appelle z_D l'affixe du point D.
   a) Déterminer le module et un argument de z_D.
   b) En déduire la forme algébrique de z_D.
   c) Placer le point D sur le graphique précédent.

4 points

exercice 2

Le personnage virtuel d'un jeu électronique doit franchir un torrent en sautant de rocher en rocher.
Le torrent se présente de la manière suivante (les disques R₁, R₂, ..., R₁₇, R₁₈ représentent les rochers) :

sujet bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, Métropole 2007 - terminale : image 1

Le personnage virtuel part de A pour aller en B. Il ne peut choisir que les trajets matérialisés par des pointillés et avancer uniquement dans le sens des flèches.
On appelle " parcours " une suite ordonnée de lettres représentant un trajet possible.
Par exemple : AR₁R₂R₃R₆R₇B est un parcours qui nécessite 6 bonds.
Toute probabilité demandée sera donnée sous forme de fraction.

1. Déterminer les six parcours possibles.

2. Le joueur choisit au hasard un parcours. On admet que les différents parcours sont équiprobables.
   a) Quelle est la probabilité p₁ de l'événement " le personnage virtuel passe par le rocher R₇ " ?
   b) Quelle est la probabilité p₂ de l'événement " le personnage virtuel passe par le rocher R₁₄ " ?

3. Chaque bond du personnage virtuel nécessite 2 secondes.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque parcours, associe sa durée en secondes.
   a) Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.
   b) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
   c) Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.

4. Quelle devrait être la durée d'un bond du personnage virtuel pour que la durée moyenne d'un parcours soit égale à 10 secondes ?

10 points

probleme

Le plan $\scr{P}$ est muni d'un repère orthonormal $(\text{O} \: ; \: \vec{i} \: , \: \vec{j})$ d'unité graphique 2 cm.
On s'intéresse dans ce problème à une fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.
On note $\scr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan $\scr{P}$ .
On note ln la fonction logarithme népérien.

Partie A : Etude d'une fonction auxiliaure

Soit g la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ par : $g(x) = x^2 - 1 + \ln x$ .
On désigne par g' la fonction dérivée de la fonction g.

1. Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.
En déduire le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.

2. Calculer g(1) et en déduire l'étude du signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.

Partie B : Détermination de l'expression de la fonction $f$

On admet qu'il existe deux constantes réelles a et b telles que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [, $f(x) = ax + b - \dfrac{\ln x}{x}$ .

1. On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ .
Calculer $f' (x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.

2. Sachant que la courbe $\scr{C}$ passe par le point de coordonnées (1 ; 0) et qu'elle admet en ce point une tangente horizontale, déterminer les nombres a et b.

Partie C : Etude de la fonction $f$

On admet désormais que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [, $f(x) = x - 0 - \dfrac{\ln x}{x}$ .

1. a) Déterminer la limite de la fonction $f$ en 0 et donner une interprétation graphique de cette limite.
   b) Déterminer la limite de la fonction $f$ en + $\infty$ .

2. a) Vérifier que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [, $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$ .
   b) Etablir le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.
   c) En déduire le signe de $f(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.

3. On considère la droite $\scr{D}$ d'équation $y = x - 1$ .
   a) Justifier que la droite $\scr{D}$ est asymptote à la courbe $\scr{C}$ .
   b) Etudier les positions relatives de la courbe $\scr{C}$ et de la droite $\scr{D}$ .
   c) Tracer la droite $\scr{D}$ et la courbe $\scr{C}$ dans le plan $\scr{P}$ muni du repère $(\text{O} \: ; \: \vec{i} \: , \: \vec{j})$ .

Partie D : Calcul d'aire

On note $\scr{A}$ la mesure, exprimée en xm², de l'aire de la partie du plan $\scr{P}$ comprise entre la courbe $\scr{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1 \text{ et } x = e$ .

1. On considère la fonction H définie sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ par $\text{H}(x) = \left(\ln x\right)^2$ .
On désigne par H' la fonction dérivée de la fonction H.
   a) Calculer $\text{H}'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.
   b) En déduire une primitive F de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.

2. a) Calculer $\scr{A}$ .
   b) Donner la valeur de $\scr{A}$ arrondie au mm².

Voir la correction

exercice 1

1. Résolution de z² + 4z + 16 = 0 :
$\Delta = 4^2 - 4 \times 16 = -48 = (4\text{i}\sqrt{3})^2$ donc l'équation admet 2 solutions complexes conjuguées :
$z_1 = \dfrac{-4-4i\sqrt{3}}{2} = \boxed{-2-2i\sqrt{3}} \hspace{25pt} z_2 = \dfrac{-4+4i\sqrt{3}}{2} = \boxed{-2+2i\sqrt{3}}$

2. a) $P(4) = 4^3 - 64 = \boxed{0}$ donc P(z) se factorise par (z - 4).

2. b En développant et en ordonnant selon les puissances de z, on obtient :
(z - 4)(az² + bz + c) = az³ + (b - 4a)z² + (c - 4b)z - 4c
Par identification avec les coefficients de P(z) = z³ - 64 = z³ + 0z² + 0z - 64, on obtient le système :
$\left \lbrace \begin{array}{l} a = 1 \\ b - 4a = 0 \\ c - 4b = 0 \\ -4c = -64 \end{array} \right.$ $\Longleftrightarrow \boxed{\left \lbrace \begin{array}{l} a = 1 \\ b = 4 \\ c = 16 \\ \end{array} \right.}$
Donc : $\boxed{P(z) = (z-4)(z^2 + 4z + 16)}$

2. c) Résolution de P(z) = 0 :
$P(z) = 0 \\ \Longleftrightarrow (z - 4)(z^2 + 4z + 16) = 0 \\ \Longleftrightarrow z - 4 = 0 \hspace{10pt} \text{ ou } \hspace{10pt} z^2 + 4z + 16 = 0 \\ \Longleftrightarrow \boxed{z = 4} \hspace{10pt} \text{ ou } \hspace{10pt} \boxed{z = -2-2i\sqrt{3}} \hspace{10pt} \text{ ou } \hspace{10pt} \boxed{z=-2+2i\sqrt{3}}$

3. a) Forme exponentielle de z_A :
$|z_{A}| = |-2 + 2\text{i}\sqrt{3}| = \sqrt{(-2)^2 + \left(2\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{4 + 12} = \boxed{4}$
Soit $\theta_{A}$ un argument de $z_{A}}$ :
$\left. \begin{array}{l} \cos \theta_{\text{A}} = \dfrac{Re(z_{\text{A}})}{|z_{\text{A}}|} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2}\\ \sin \theta_{\text{A}} = \dfrac{Im(z_{\text{A}})}{|z_{\text{A}}|} = \dfrac{2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{array} \right \rbrace \text{donc } \boxed{\theta_{\text{A}} = \frac{2 \pi}{3}}$
Donc $\boxed{z_{\text{A}} = 4 e^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}}$

Forme exponentielle de z_B :
$z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}} = \overline{-2+2\text{i}\sqrt{3}} = -2-2\text{i}\sqrt{3}$
Donc le point B est le symétrique du point A par rapport à l'axe des abscisses, on en déduit que : $\boxed{z_{\text{B}} = 4 e^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}}$

3. b)

sujet bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, Métropole 2007 - terminale : image 2

3. c) Nature du triangle ABC :
OA = |z_A| = 4 OB = |z_B| = 4 OC = |z_C| = 4
Donc les points A, B et C sont sur le cercle de centre O et de rayon 4.
$\widehat{\text{COA}} = Arg(z_{\text{A}}) = \dfrac{2 \pi}{3} \hspace{25pt} \widehat{\text{COB}} = |Arg(z_{\text{B}})| = \dfrac{2 \pi}{3}$
On en déduit que le triangle ABC est équilatéral.
Remarque : on peut aussi calculer les longueurs AB, AC et BC et montrer qu'elles sont égales.

4. a) D est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle $\frac{\pi}{6}$ , donc :
$z_{\text{D}} = z_{\text{A}} e^{\text{i}\frac{\pi}{6}} \\ z_{\text{D}} = 4 e^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} e^{\text{i}\frac{\pi}{6}} \\ z_{\text{D}} = 4 e^{\text{i}(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6})} \\ \boxed{z_{\text{D}} = 4 e^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}}$

4. b) Forme algébrique de z_D :
$z_{\text{D}} = 4 e^{\text{i}\frac{5\pi}{6}} \\ z_{\text{D}} = 4 \left(\cos \dfrac{5\pi}{6} + \text{i} \sin \dfrac{5\pi}{6} \right) \\ z_{\text{D}} = 4 \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i} \dfrac{1}{2} \right) \\ \boxed{z_{\text{D}} = -2\sqrt{3} + 2\text{i}}$

4. c) Voir figure.

exercice 2

1. Les 6 trajets possibles sont :
AR₁R₂R₃R₆R₇B
AR₁R₂R₄R₆R₇B
AR₁R₂R₅R₄R₆R₇B
AR₈R₉R₁₄R₁₆R₁₇R₁₈B
AR₈R₁₀R₁₂R₁₄R₁₆R₁₇R₁₈B
AR₈R₁₁R₁₃R₁₅R₁₇R₁₈B

2. a) Il y a 3 parcours sur les 6 possibles qui passent par le rocher R₇, donc :
$\boxed{p_1 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}}$

2. b) Il y a 2 parcours sur les 6 possibles qui passent par le rocher R₁₄, donc :
$\boxed{p_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}}$

3. a) Les parcours nécessitent 6, 7 ou 8 bonds.
Donc la variable aléatoire X prend les valeurs 12, 14 ou 16.

3. b) Loi de probabilité de X :

$x_i$	12	14	16
p_i	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

3. c) Calcul de l'espérance mathématique de X :
$E(X)= \dfrac{1}{3} \times 12 + \dfrac{1}{2} \times 14 + \dfrac{1}{6} \times 16 \\ \boxed{E(X) = \frac{41}{3} \approx 13,67 \, \text{s}}$

4. On utilise la propriété de linéarité de l'espérance mathématique :
Pour une durée de bond de 2 secondes, la durée moyenne d'un parcours est de 13,67 s.
Donc, pour avoir une durée de parcours de 10 s, la durée d'un bond doit être de $10 \times \dfrac{2}{13,67} \, \approx \, \boxed{1,46 \, \text{s}}$

probleme

Partie A : Etude d'une fonction auxiliaure

1. Calcul de la dérivée de g :
$\boxed{g'(x) = 2x + \frac{1}{x}}$
Pour tout réel $x$ strictement positif, on a : $2x > 0 \text{ et } \dfrac{1}{x} > 0$ donc $g'(x) > 0$
Donc g est strictement croissante pour tout réel $x$ strictement positif.

2. g(1) = 1² - 1 + ln 1 = 1 - 1 + 0 = 0
On en déduit donc le signe de g :

sujet bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, Métropole 2007 - terminale : image 3

Partie B : Détermination de l'expression de la fonction $f$

1. Calcul de la dérivée de $f$ :
Dérivée du quotient $\dfrac{\ln x}{x}$
On pose $u(x) = \ln x$ et $v(x) = x$
donc $u'(x) = \dfrac{1}{x}$ et $v'(x) =1$
Donc : $\left(\dfrac{\ln x}{x} \right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2} = \dfrac{\dfrac{1}{x} \times x - 1 \times \ln x}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x }{x^2}$
Donc : $\boxed{f'(x) = a - \frac{1 - \ln x }{x^2}}$

2. Détermination des coefficients a et b :
La courbe passe par le point de coordonnées (1 ; 0) donc $f(1) = 0$
La courbe admet une tangente horizontale au point d'abscisse 1 donc $f'(1) = 0$
$f(1) = 0 \\ \Longleftrightarrow a \times 1 + b - \dfrac{\ln 1 }{1} = 0 \\ \Longleftrightarrow a + b - 0 = 0\\ \Longleftrightarrow \boxed{a + b = 0}\\ f'(1) = 0\\ \Longleftrightarrow a - \dfrac{1 - \ln 1 }{1^2} = 0\\ \Longleftrightarrow a - \dfrac{1}{1} = 0\\ \Longleftrightarrow \boxed{a = 1}$
Conclusion : a = 1 et b = -1 donc $\boxed{f(x)= x -1 - \frac{\ln x }{x}}$

Partie C : Etude de la fonction $f$

1. a) Limite en 0 :
$\left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x\to 0} \, x-1 = -1 \\ \displaystyle \lim_{x\to 0^+} \, \ln x = -\infty \\ \displaystyle \lim_{x\to 0^+} \, \frac{1}{x} = +\infty \end{array} \right \rbrace \text{ donc } \boxed{\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) = +\infty}$
Donc la courbe représentative de la fonction $f$ admet l'axe des ordonnées, d'équation $x = 0$ , comme asymptote verticale.

1. b) Limite en + $\infty$ :
$\left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, x-1 = +\infty \\ \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, \frac{\ln x}{x} = 0 \end{array} \right \rbrace \text{ donc } \boxed{\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty}$

2. a) Calcul de la dérivée de $f$ :
D'après la partie B, on a :
$f'(x) = 1 - \dfrac{1 - \ln x }{x^2} \\ f'(x) = \dfrac{x^2}{x^2} - \dfrac{1 - \ln x }{x^2} \\ f'(x) = \dfrac{x^2 -1 + \ln x }{x^2}$
Donc : $\boxed{f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}}$

2. b) Etude des variations de la fonction $f$ :

sujet bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, Métropole 2007 - terminale : image 4

$f(1) = 1 - 1 + \dfrac{\ln 1}{1} = 1 - 1 + 0 = 0$

2. c) Etude du signe de la fonction $f$ :
D'après l'étude des variations de $f$ , on en déduit que le minimum de $f$ est égal à 0. Il est atteint pour $x = 1$ .
Donc, pour tout $x$ strictement positif, $\boxed{f(x) \ge 0}$

3. a) On pose, pour tout $x > 0$ , $h(x) = f(x) - (x-1) = -\dfrac{\ln x}{x}$
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \left[f(x) - (x-1)\right] = \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, h(x) = 0$
Donc la droite $\scr{D}$ d'équation $y = x-1$ est une asymptote oblique à $\scr{C}$ en + $\infty$ .

3. b) Position relative de la courbe $\scr{C}$ et de la droite $\scr{D}$ :
On étudie le signe de la fonction $h(x) = -\dfrac{\ln x}{x}$
Pour tout $x \in ]0 \, ; \, 1 [$ on a $\ln x < 0$ donc $h(x) > 0$ donc $\scr{C}$ est au dessus de $\scr{D}$ .
Pour tout $x \in ]1 \, ; \, +\infty [$ on a $\ln x > 0$ donc $h(x) < 0$ donc $\scr{C}$ est en dessous de $\scr{D}$ .

3. c)

sujet bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, Métropole 2007 - terminale : image 5

Partie D : Calcul d'aire

1. a) Calcul de la dérivée de la fonction H :
$\text{H}(x) = (\ln x)^2 = \ln x \times \ln x$
On pose $u(x) = \ln x \text{ et } v(x) = \ln x$
donc $u'(x) = \dfrac{1}{x} \text{ et } v'(x) = \dfrac{1}{x}$
Donc :
$\text{H}'(x) = u'v+uv' \\ \text{H}'(x) = \dfrac{1}{x} \ln x + \dfrac{1}{x} \ln x \\ \boxed{\text{H}'(x) = 2\dfrac{\ln x}{x}}$

1. b) Primitive de $f(x)$ :
$\boxed{F(x) = \frac{x^2}{2} - x - \frac{(\ln x)^2}{2} }$

2. a) Calcul de l'aire :
$\text{I} = \displaystyle \int_1^e f(x) dx \\ \text{I} = [F(x)]_1^e \\ \text{I} = F(e) - F(1) \\ \text{I} = \frac{e^2}{2} - e - \frac{(\ln e)^2}{2} - \left(\frac{1^2}{2} - 1 - \frac{(\ln 1)^2}{2} \right) \\ \text{I} = \frac{e^2}{2} - e - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 + 0 \\ \boxed{\text{I} = \frac{e^2}{2} - e}$
La fonction $f$ étant positive sur l'intervalle [1 ; e], alors l'aire $\scr{A}$ est donnée par $\scr{A} = \text{I}$ , en unités d'aires.
$1 \, \text{U.A.} = 2 \times 2 = 4 \, \text{cm^2}$
Donc : ${\scr{A} = \text{ I U.A.} = 2e^2 - 4e \, \text{cm}^2}$

2. b) $\boxed{\scr{A} \approx 3,90 \, \text{cm}^2}$

Publié par Cel/jamo le 19-07-2007

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