Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Electronique - Génie Electrotechnique - Génie Optique
Nouvelle Calédonie - Session Mars 2008

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Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

Le candidat traitera obligatoirement les deux exercices et le problème.
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'utilisation des calculatrices électroniques, programmables, alphanumériques ou à écran graphique est autorisée, à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit fait usage d'aucune imprimante. Chaque candidat ne peut utiliser qu'une seule machine sur sa table. En cas de défaillance, elle pourra cependant être remplacée.
Cependant, les échanges de machines entre candidats, la consultation des notices fournies par les constructeurs ainsi que l'échange d'informations par l'intermédiaire des fonctions de transmission des calculatrices sont interdits. (circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999)
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
4 points

exercice 1

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O~,~\vec{u} , \vec{v}) (unité graphique 2 cm).
Le nombre i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument \dfrac{\pi}{2}.
On considère la fonction f de \mathbb{C} dans \mathbb{C} définie par : f(z) = \text{i}z + 2

1. a) Calculer f(2i).
    b) Vérifier que 1 + i est solution de l'équation f(z)=z.

2. Placer dans le plan complexe les points A et B d'affixes respectives 2i et 1 + i.

3. a) Calculer les distances OA, OB et AB.
    b) En déduire la nature du triangle OAB.

4. Dans cette question, on pose z = x + \text{i}y, x et y désignant deux nombres réels.
    a) Justifier que f(z) = 2 - y + \text{i}x
    b) Déterminer la valeur de y pour laquelle f(z) est imaginaire pur.
    c) Que peut-on dire de f(z) si x = 0 ?
    d) Existe-t-il un nombre complexe z dont la partie réelle est nulle et tel que f(z) est imaginaire pur ?


5 points

exercice 2

1. Résoudre l'équation différentielle y'' + 9y = 0y est une fonction numérique définie et deux fois dérivable sur \mathbb{R}.

2. Déterminer la solution particulière f de l'équation différentielle vérifiant f \left(\dfrac{\pi}{2} \right) = -\sqrt{3} et f' \left(\dfrac{\pi}{2} \right) = -3.

3. Montrer que pour tout réel x on a f(x) = 2 \cos \left(3x - \dfrac{2\pi}{3} \right).

4. a) Déterminer une primitive de f sur l'intervalle \mathbb{R}.
    b) Calculer la valeur moyenne \nu de f sur l'intervalle \left[0~;~\dfrac{\pi}{9} \right].


11 points

probleme

Partie A - Etude de la fonction g

Soit g la fonction définie sur l'intervalle [0 ; +\infty[ par g(x) = \dfrac{e^x}{x+1}.

1. a) Calculer g(0).
    b) Vérifier que g(x) = \dfrac{e^x}{x} \times \dfrac{x}{x+1}, lorsque x > 0. En déduire la limite de g en +\infty.

2. Soit g' la fonction dérivée de g.
    a) Montrer que g'(x) = \dfrac{xe^x}{(x+1)^2} et étudier son signe sur l'intervalle [0;+\infty[.
    b) En déduire le tableau de variations de g sur l'intervalle [0;+\infty[.

Partie B - Étude de la fonction f

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +\infty[ par f(x) = \dfrac{e^x}{x+1} + \ln x.

1. En remarquant que f(x) = g(x) + \ln x, déterminer à l'aide de la partie A :
    a) la limite de f en 0. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de f ?
    b) la limite de f en +\infty.
    c) Déterminer, en le justifiant, le sens de variations de f et en déduire le tableau de variations de f sur l'intervalle ]0 ; +\infty[.

2. On admet qu'il existe un unique réel \alpha tel que f(\alpha) = 0. Déterminer un encadrement de \alpha d'amplitude 10-2.

Partie C - Tracé

On appelle \mathcal{C} la courbe représentative de f et \Gamma celle de g dans le repère orthonormal (O~,~\vec{i},\vec{j}) (unité graphique 2 cm).

1. a) Résoudre l'équation f(x) = g(x), en déduire les coordonnées du point d'intersection \Omega des courbes \mathcal{C} et \Gamma.
    b) Etudier la position relative des courbes C et Γ.

2. Tracer les courbes \mathcal{C} et \Gamma dans le repère (O~,~\vec{i},\vec{j}) et placer le point \Omega.



exercice 1

1. a) f(2i) = i\times(2i) + 2 =2i^2+2=-2+2=\boxed{0}

1. b) f(1+i)=i(1+i) + 2=i+i^2+2=i-1+2=\boxed{1+i}
Donc :
\boxed{ 1+i \text{ est solution de l'équation } f(z)=z}


2. Voir figure à la fin de l'exercice.

3. a)
OA=|z_A-z_O|=|z_A|=|2i|=\boxed{2}
OB=|z_B-z_O|=|z_B|=|1+i|=\sqrt{1+1}=\boxed{\sqrt{2}}
AB=|z_B-z_A|=|1+i-2i|=|1-i|=\sqrt{1+1}=\boxed{\sqrt{2}}

3. b) OB=AB, donc le triangle OAB est isocèle en B.
De plus, AB^2+OB^2=\sqrt{2}^2+\sqrt{2}^2=2+2=4=2^2=OA^2
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OAB est rectangle en B.
On en déduit :
\boxed{\text{ Le triangle OAB est rectangle isocèle en B}}


4. a) Soit z=x+iy\text{ avec } x\text{ et }y \text{ réels}.
f(z)=iz+2=i(x+iy)+2=ix+i^2y+2=ix-y+2=\boxed{2-y+ix}


4. b) "f(z) imaginaire pur" équivaut à dire "2-y=0" , soit \boxed{y=2}

4. c) Si x=0, alors f(z)=2-yy est un réel, donc :
\boxed{ f(z) \text{ est un nombre réel}}


4. d) Soit un nombre complexe z dont la partie réelle est nulle, donc x=0 et f(z) est réel (4.c)). Si de plus f(z) est imaginaire pur alors y=2 (4.b))
Vérification : Soit z=0+2i=2i , alors f(2i)=0 (cf 1.a)) Il existe donc un nombre complexe répondant à la question, ce nombre est 2i
Figure
bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, Nouvelle Calédonie mars 2008 - terminale : image 2





exercice 2

1. D'après le cours, l'ensemble des solutions de l'équation différentielle y'' + \omega^2 y = 0, où \omega est un réel donné, est l'ensemble des fonctions définies sur \mathbb{R} par : \boxed{x\mapsto\text{A} \cos(\omega x) + \text{B}\sin(\omega x)}, où A et B sont deux constantes réelles quelconques.
Dans notre cas \omega=3, on en déduit :
\boxed{\text{ La solution générale de (E) est définie dans } \mathbb{R} \text{ par: } x\mapsto A\cos(3x)+B\sin(3x) }


2. A l'aide des conditions initiales, on détermine les constantes A et B qui caractérisent la solution unique f, on a :
f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sqrt{3} \Longrightarrow A\cos\left(3\times\dfrac{\pi}{2}\right)+B\sin\left(3\times\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sqrt{3} \Longrightarrow   A\times 0+B \times (-1)=-\sqrt{3}\Longrightarrow \boxed{B=\sqrt{3}}
Calculons la dérivée de f : f'(x)=-3A\sin(3x)+3B\cos(3x)
f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-3\Longrightarrow -3A\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)+3B\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=-3\Longrightarrow -3A\times (-1)+3B\times 0=-3 \Longrightarrow 3A=-3\Longrightarrow \boxed{A=-1}
Il est facile de vérifier que la solution trouvée f définie par f(x)=-\cos(3x)+\sqrt{3}\sin(3x) convient.
La solution f de (E) vérifiant les conditions f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sqrt{3} et f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-3 est définie sur \mathbb{R} par :
\boxed{f(x)=-\cos(3x)+\sqrt{3}\sin(3x)}


3. Pour tout réel x, on a : 2 \cos \left(3x - \dfrac{2\pi}{3} \right)=2\left(\cos(3x)\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+\sin(3x)\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)=2\left(\cos(3x)\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)+\sin(3x)\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\cos(3x)+\sqrt{3}\sin(3x)=\boxed{f(x)}

4. a) La fonction f est définie sur \mathbb{R} par f(x) = 2 \cos \left(3x - \dfrac{2\pi}{3} \right).
Une primitive F de f sur \mathbb{R}, peut être définie pour tout réel x par :
\boxed{F(x)=\dfrac{2}{3}\sin\left(3x - \dfrac{2\pi}{3} \right)}


4. b) D'après le cours, la valeur moyenne de f sur [a,b] le nombre réel \nu défini par : \nu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle \int_a^b f(x)\text{d}x
Dans notre cas, il s'agit de calculer la valeur moyenne sur l'intervalle \left[0,\dfrac{\pi}{9}\right], alors:
\begin{matrix}\nu&=&\dfrac{1}{\frac{\pi}{9}}\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{9}} f(x)\text{d}x&=&\dfrac{9}{\pi}\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{9}} f(x)\text{d}x\\&=&\dfrac{9}{\pi}\left[F(x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{9}}&=&\dfrac{9}{\pi}\left[F\left(\dfrac{\pi}{9}\right)-F(0)\right]\\&=&\dfrac{9}{\pi}\times \dfrac{2}{3}\left[\sin\left(3\times\dfrac{\pi}{9} - \dfrac{2\pi}{3} \right)-\sin\left(3\times 0 - \dfrac{2\pi}{3} \right)\right]&=&\dfrac{6}{\pi}\left(\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)-\sin\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)\\&=&\dfrac{6}{\pi}\left(\dfrac{-\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)&=&\boxed{0}\end{matrix}




probleme

Partie A - Étude de la fonction g

1. a) g(0) = \dfrac{e^0}{0+1}=\dfrac{1}{1}=\boxed{1}

1. b) On multiplie le numérateur et le dénominateur par x>0, on obtient, pour tout x strictement positif :
g(x) = \dfrac{e^x}{x+1}=\dfrac{e^x\times x}{(x+1)\times x}=\boxed{\dfrac{e^x}{x}\times\dfrac{x}{x+1}}

    La limite en +\infty :
On sait que : \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty \text{ et } \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{x}{x+1}=\lim_{x\to+\infty} \dfrac{x}{x}=1
D'où : \displaystyle\lim_{x\to+\infty} g(x)=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}\times\dfrac{x}{x+1}=+\infty\times 1=\boxed{+\infty}

2. a) g est définie sur [0,+\infty[ par g(x) = \dfrac{e^x}{x+1}, g est donc dérivable sur cet intervalle et on a pour tout réel positif x :
g'(x) =\dfrac{xe^x+e^x-e^x}{(x+1)^2}=\boxed{\dfrac{xe^x}{(x+1)^2}}
    étude du signe :  e^x \text{ et } (x+1)^2 étant strictement positifs sur [0,+\infty[, on déduit que g'(x) s'annule pour x=0 et a le même signe que x
D'où : \boxed{g'(0)=0 \text{ et }g'(x)> 0 \text{ pour tout réel }x \text{ strictement positif  }}

2. b) Tableau de variations :
\begin{tabvar}{|C|CCC|} \hline x & 0 & & +\infty \\  \hline  g'(x) & 0  & + & \\  \hline  \niveau{2}{3} g & 1 & \croit &   +\infty  \\ \hline \end{tabvar}


Partie B - Étude de la fonction

1. a) D'après le cours \displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty, or, on a vu dans la partie A que \displaystyle\lim_{x\to 0^+} g(x)=g(0)=1
Conclusion :
\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0^+} g(x)+\ln x=1-\infty=\boxed{-\infty}

Interprétation graphique : La droite d'équation x=0 est asymptote à la courbe représentative de f

1. b) D'après le cours \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\ln x=+\infty, or, on a vu dans la partie A que \displaystyle\lim_{x\to +\infty}g(x)=+\infty
Conclusion :
\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=\displaystyle\lim_{x\to +\infty} g(x)+\ln x=+\infty+\infty=\boxed{+\infty}


1. c) On sait que la fonction x\mapsto \ln x est croissante sur ]0,+\infty[, d'autre part, d'après la partie A, la fonction g est également croissante sur [0,+\infty[, donc sur ]0,+\infty[
Or, la somme de deux fonctions croissantes sur un même intervalle est aussi croissante sur ce dernier, alors :
\boxed{f \text{ est croissante sur } ]0,+\infty[ }

Tableau de variations :
\begin{tabvar}{|C|CCCC|} \hline x &0& & & +\infty    \\ \hline f'(x)&\dbarre&   & + &\\  \hline  \niveau{2}{3} f & \dbarre& -\infty &\croit&   +\infty  \\  \hline  \end{tabvar}


2. A l'aide de la calculatrice, on obtient :
\boxed{ 0,34 < \alpha < 0,35}


Partie C - Tracé

1. a) On a f(x)=g(x)\Longleftrightarrow \ln x=0\Longleftrightarrow \boxed{x=1}
Donc f(1)=g(1)=\dfrac{e^1}{1+1}=\dfrac{e}{2}
On en déduit :
\boxed{\text{Les coordonnées de }\Omega \text{ sont } \Omega\left(1;\dfrac{e}{2}\right)}


1. b) Pour tout x strictement positif, f(x)-g(x)=\ln x
\ln x < 0 pour tout 0 < x < 1 et \ln x> 0 pour tout x> 1
On en déduit : f(x)< g(x) pour tout 0<x< 1 et f(x)> g(x) pour tout x> 1
Conclusion :
\boxed{ \mathcal{C} \text{ est en dessous de } \Gamma \text{ sur } ]0;1] \text{ ; } \mathcal{C}\text{ est au dessus de } \Gamma  \text{ sur } [1,+\infty[ \text{ ; } \mathcal{C}\text{ et }\Gamma \text{ se coupent en }\Omega\left(1;\dfrac{e}{2}\right)}

2.
bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, Nouvelle Calédonie mars 2008 - terminale : image 1
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