Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (Option A : Productique Mécanique, Option F : Microtechniques)
Génie Énergétique
Génie Civil
Session 2007

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Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
4 points

exercice 1

On considère l'équation différentielle (E) : 4y^{\prim \prim}  + \pi^2 y = 0 où y est une fonction numérique deux fois dérivable de la variable réelle x.

1. Résoudre l'équation (E).

2. Déterminer la fonction g, solution de cette équation, dont la courbe représentative dans un repère du plan passe par le point N de coordonnées \left(\frac12 \: ; \: \frac{\sqrt{2}}{2}\right) et qui, en ce point, admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

3. Vérifier que, pour tout nombre réel x, g(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}x - \frac{\pi}{4}\right).

4. Calculer la valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle [0 ; 1].


5 points

exercice 2

i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument \frac{\pi}{2}.

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation z² + 2z + 10 = 0.

2. Déterminer les nombres complexes c et d vérifiant le système :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} -2c+d & 1+13\text{i} \\ -c+d & 4+8\text{i} \\ \end{array} \right.

3. Le plan complexe est muni d'un repère orthogonal (O \: ; \: \overrightarrow{u} \: , \: \overrightarrow{v}) d'unité graphique 1 cm.
    a) Placer sur une figure les points A, B, C et D dont les affixes respectives sont :
-1 + 3i, -1 - 3i, 3 - 5i et 7 + 3i.
    b) Démontrer que le triangle BAD est rectangle en A.
    c) Démontrer que le triangle BCD est rectangle en C.
    d) En déduire que les quatre points A, B C et D sont sur un même cercle dont on déterminera le centre \Omega et le rayon. Tracer le cercle sur la figure.


11 points

probleme

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +\infty[ par f(x) = e^x\ln x + \frac{e^x}{x}. On appelle \cr{C} la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal (O \: ; \: \overrightarrow{i} \: , \: \overrightarrow{j}) d'unités graphiques 4 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées. L'objet de cette première partie est l'étude des limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.

1. Déterminer la limite de f en +\infty.

2. a) Montrer que, pour tout nombre réel strictement positif x, f(x) = \frac{e^x}{x} \left(x \ln x + 1\right).
On rappelle que \displaystyle \lim_{x \to 0} x \ln x = 0. En déduire la limite de f en 0.
    b) Montrer que la courbe \scr{C} admet une asymptote \scr{D} dont on donnera une équation.

Partie B - Etude d'une fonction intermédiaire.

Soit g la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +\infty[ par g(x) = \ln x + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}.

1. a) On désigne par g' la dérivée de la fonction g.
Montrer que, pour tout nombre réel strictement positif x, g'(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x^3}.
    b) Etudier le signe de g'(x). En déduire que la fonction g est strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; +\infty[. L'étude des limites n'est pas demandée.

2. a) Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique \alpha dans l'intervalle \left[\frac12 \: ; \: 1\right].
    b) Donner un encadrement d'amplitude 10-2 de \alpha.

3. Déduire des questions B1. et B2. le signe de g(x), pour x appartenant à l'intervalle ]0 ; +\infty[.

Partie C - Etude des variations de la fonction f et construction de la courbe associée.

1. a) f' désignant la dérivée de f, calculer f'(x) et montrer que f'(x) = e^x g(x), pour tout nombre x appartenant à l'intervalle ]0 ; +\infty[.
    b) En déduire le signe de f'(x) sur l'intervalle ]0 ; +\infty[.

2. a) Dresser le tableau de variation de la fonction f.
    b) Calculer une valeur approchée à 10-1 près de f(\alpha), en prenant 0,6 pour valeur approchée de \alpha.

3. a) Compléter le tableau ci-dessous.

x 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5
f(x) à 10-1 près                    

    b) Construire l'asymptote \scr{D} et la courbe \scr{C} pour x appartenant à l'intervalle ]0 ; 2,5].

Partie D - Calcul d'aire

1. Montrer que la fonction F, définie sur l'intervalle ]0 ; +\infty[ par \text{F}(x) = e^x \ln x est une primitive de f.

2. On désire calculer l'aire de la partie \scr{E} du plan comprise entre la courbe \scr{C}, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x = 1 et x = 2.
    a) Hachurer la partie \scr{E} sur le dessin.
    b) Déterminer la valeur exacte de l'aire de \scr{E} en unités d'aires, puis en cm².



exercice 1

1. Ensemble des solutions de l'équation différentielle (E) :
4y'' + \pi^2 y = 0
\Longleftrightarrow \: y'' + \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 y = 0 donc \omega = \frac{\pi}{2}
Donc : \boxed{f(x) = A \cos \left(\frac{\pi}{2} x\right) + B \sin\left(\frac{\pi}{2} x\right)}
Rappel : les solutions de l'équation différentielle y'' + \omega^2 y = 0 sont données par : f(x) = A \cos ( \omega x) + B \sin( \omega x)A et B sont deux réels quelconques.

2. La courbe représentative de g passe par le point \text{N}\left(\frac{1}{2} ; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) donc :
g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Longleftrightarrow \: A \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) + B \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Longleftrightarrow \: A \frac{\sqrt{2}}{2} + B \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Longleftrightarrow \: \boxed{A+B=1}
La courbe représentative de g admet une tangente horizontale au point d'abscisse \frac{1}{2} donc g'\left(\frac{1}{2}\right) = 0.
Avec g'(x) = -A \frac{\pi}{2} \sin \left(\frac{\pi}{2} x\right) + B \frac{\pi}{2} \cos\left(\frac{\pi}{2} x\right)
-A \frac{\pi}{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) + B \frac{\pi}{2} \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0 \\ \Longleftrightarrow \: -A \frac{\pi}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + B \frac{\pi}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} = 0  \\ \Longleftrightarrow \: \boxed{-A+B=0}
En résolvant le système composé des 2 équations d'inconnues A et B, on trouve : \boxed{A=B=\frac{1}{2}}
Donc : \boxed{g(x) = \frac{1}{2} \cos \left(\frac{\pi}{2} x\right) + \frac{1}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2} x\right)}

3. On utilise la formule d'addition : \cos(a-b) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b)
\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \left(\frac{\pi}{2} x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \cos\left(\frac{\pi}{2} x\right) \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2} x\right) \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) \right) \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \left(\frac{\pi}{2} x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \cos\left(\frac{\pi}{2} x\right) \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin\left(\frac{\pi}{2} x\right) \frac{\sqrt{2}}{2} \right)
\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \left(\frac{\pi}{2} x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \cos\left(\frac{\pi}{2} x\right) + \frac{1}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2} x\right) (car \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2})
Donc : \boxed{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \left(\frac{\pi}{2} x - \frac{\pi}{4}\right) = g(x)}

4. Valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle [a ; b] : m = \frac{1}{b-a} \displaystyle \int_a^b g(x) \text{d}x
Primitive de g : G(x) = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \sin \left(\frac{\pi}{2} x - \frac{\pi}{4}\right)
m = \frac{1}{1-0} \displaystyle \int_0^1 g(x) \text{d}x \\ m = [G(x)]_0^1\\ m = G(1) - G(0)\\ m = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \left( \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) - \sin \left( - \frac{\pi}{4}\right) \right)\\ m = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \left( \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin \left( - \frac{\pi}{4}\right) \right)\\ m = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)\\ \boxed{m = \frac{2}{\pi}}




exercice 2

1. Résolution de z² + 2z + 10 = 0 :
\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times 10 = -36 = (6\text{i})^2 donc l'équation admet 2 solutions complexes conjuguées.
z_1 = \frac{-2-6\text{i}}{2} = \boxed{-1-3\text{i}} \hspace{50pt} z_2 = \frac{-2+6\text{i}}{2} = \boxed{-1+3\text{i}}

2. Résolution du système :
\left \lbrace \begin{array}{l} -2c+d = 1+13i  \\   -c + d  =  4+8i \\ \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{l} d = c+4+8i  \\  -2c+(c+4+8i) = 1+13i \\ \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{l}  d = c+4+8i  \\  -c = 1+13i-4-8i  \\ \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{l}  c = 3-5i  \\  d = (3-5i)+4+8i \\ \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \: \boxed{\left \lbrace \begin{array}{l}  c = 3-5i  \\  d = 7+3i \\ \end{array} \right.}

3. a)
sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Métropole 2007 - terminale : image 1


3. b)
\text{AB} = |z_{\text{B}} - z_{\text{A}}| = |-1-3\text{i} -(-1+3\text{i})| = |-6\text{i}| = \boxed{6} \\ \text{AD} = |z_{\text{D}} - z_{\text{A}}| = |7+3\text{i} -(-1+3\text{i})| = |8| = \boxed{8} \\ \text{BD} = |z_{\text{D}} - z_{\text{B}}| = |7+3\text{i} -(-1-3\text{i})| = |8+6\text{i}| = \sqrt{8^2+6^2} = \boxed{10}
On a : AB² + AD² = BD² donc, d'après Pythagore, le triangle BAD est rectangle en A.

3. c)
\text{BC} = |z_{\text{C}} - z_{\text{B}}| = |3-5\text{i} -(-1-3\text{i})| = |4-2\text{i}| = \sqrt{4^2+(-2)^2} = \boxed{\sqrt{20}} \\ \text{DC} = |z_{\text{C}} - z_{\text{D}}| = |3-5\text{i} -(7+3\text{i})| = |-4-8\text{i}| = \sqrt{(-4)^2+(-8)^2} = \boxed{\sqrt{80}}
On a : BC² + CD² = BD² donc, d'après Pythagore, le triangle BCD est rectangle en C.

3. d) Les triangles BAD et BCD sont rectangles et ont le segment [BD] pour hypoténuse. Donc, les points A et C appartiennent au cercle de diamètre [BD], donc les points A, B, C et D sont sur le cercle dont le centre M est le milieu du segment [BD], et de rayon 5cm (BD/2).
x_{\text{M}} = \frac{x_{\text{B}} + x_{\text{D}}}{2} = 3 \hspace{50pt} y_{\text{M}} = \frac{y_{\text{B}} + y_{\text{D}}}{2} = 0
Conclusion : les points A, B, C et D sont sur le cercle de centre M(3 ; 0) de rayon 5.




probleme

Partie A

1. Limite en +\infty :
\displaystyle \left. \begin{array}{l} \lim_{x\to +\infty} \, e^x = +\infty \\ \lim_{x\to +\infty} \, \ln x = +\infty \\ \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty \\ \end{array} \right \rbrace \text{ donc } \boxed{\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty}

2. a) Limite en 0 :
En développant, on vérifie bien que : \frac{e^x}{x}(x \ln x +1) = e^x \ln x + \frac{e^x}{x} = f(x)
\displaystyle \left. \begin{array}{l} \lim_{x\to 0^+} x \ln x + 1 = 0+1=1 \\ \lim_{x\to 0^+} \frac{e^x}{x} = +\infty \\ \end{array} \right \rbrace \text{ donc } \boxed{\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) = +\infty}

2. b) D'après le résultat de la question précédente, on en déduit que la courbe \scr{C} admet l'axe des ordonnées, d'équation x = 0, pour asymptote verticale.

Partie B - Etude d'une fonction intermédiaire.

1. a) g'(x) = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2} + \frac{2}{x^3} = \frac{x^2}{x^3} - \frac{2x}{x^3} + \frac{2}{x^3} = \boxed{\frac{x^2-2x+2}{x^3}}

1. b) Etude du signe de x^2-2x+2 :
\Delta = (-2)^2-4 \times 1 \times 2 = -4 < 0 donc le numérateur de g' est strictement positif pour tout x strictement positif.
sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Métropole 2007 - terminale : image 2


2. a) Existence et unicité de la solution de l'équation g(x) = 0 sur l'intervalle \left[\frac{1}{2} \, ; \, 1\right] :
La fonction g est dérivable sur \left[\frac{1}{2} \, ; \, 1\right] ;
la fonction g est strictement croissante sur \left[\frac{1}{2} \, ; \, 1\right] ;
g\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2 < 0 \hspace{50pt} g(1)=1 > 0 ;
Donc l'équation g(x)=0 admet une solution unique alpha sur \left[\frac{1}{2} \, ; \, 1\right].

2. b) En utilisant la table de la calculatrice, on obtient les encadrements suivants :
\left. \begin{array}{l} g(0,5) \approx -0,69 < 0 \\ g(0,6) \approx 0,04 > 0 \\ \end{array} \right \rbrace  \text{donc } 0,5 < \alpha < 0,6 \\ \left. \begin{array}{l} g(0,59) \approx -0,01 < 0 \\ g(0,60) \approx 0,044 > 0 \\ \end{array} \right \rbrace  \text{donc } \boxed{ 0,59 < \alpha < 0,60}

3. On déduit des questions précédentes le tableau de signes suivant pour la fonction g :
sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Métropole 2007 - terminale : image 3


Partie C - Etude des variations de la fonction f et construction de la cours associée.

1. a) Calcul de la dérivée de la fonction f :
      Dérivée du produit e^x \ln x :
u = e^x     donc     u' = e^x
v = \ln x     donc     v' = \frac{1}{x}
\left(e^x \ln x\right)' = u'v+uv' \\ \boxed{(e^x \ln x)' = e^x \ln x + \frac{e^x}{x}}

      Dérivée du quotient \frac{e^x}{x} :
u = e^x     donc     u' = e^x
v = x     donc     v'=1
(\frac{e^x}{x})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}\\ \boxed{(\frac{e^x}{x})' = \frac{xe^x - e^x}{x^2}}
Donc :
f'(x) = e^x \ln x + \frac{e^x}{x} + \frac{xe^x - e^x}{x^2} \\ f'(x) = e^x \left(\ln x + \frac{1}{x} + \frac{x}{x^2} - \frac{1}{x^2}\right) \\ f'(x) = e^x \left(\ln x + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}\right) \\ \boxed{f'(x) = e^x g(x)}

1. b) Signe de f' :
sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Métropole 2007 - terminale : image 4


2. a) Variations de f :
sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Métropole 2007 - terminale : image 5


2. b) \boxed{f(\alpha) \approx f(0,6) \approx 2,1}

3. a)
x 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5
f(x) à 10-1 près 3,4 2,2 2,2 2,7 3,6 4,8 6,5 8,8 11,9 16,0


3. b)
sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Métropole 2007 - terminale : image 6


Partie D - Calcul d'aire

1. D'après la question 1.a) de la partie C, on a : F'(x) = (e^x \ln x)' = e^x \ln x + \frac{e^x}{x} = f(x).
Donc F est une primitive de f.

2. a) Voir figure.

2. b) Calcul de l'aire :
\text{I} = \displaystyle \int_1^2 f(x) \text{d}x \\ \text{I} = [F(x)]_1^2 \\ \text{I} = F(2) - F(1) \\ \text{I} = e^2 \ln 2 - e^1 \ln 1 \\ \boxed{\text{I} = e^2 \ln 2}
La fonction f étant positive sur [1 ; 2], alors l'intégrale I représente l'aire de \scr{E} en unités d'aires :
\boxed{Aire(\scr{E}) = e^2 \ln 2 \: \text{U.A}} \\ 1 \, \text{U.A.} = 4 \times 1 = 4 \, \text{cm}^2 \\ \boxed{Aire(\scr{E}) = 4e^2 \ln 2 \approx 20,49 \: \text{cm}^2}
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