Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies Industrielles
Spécialité : Arts appliqués
Métropole - Session Septembre 2007

Durée de l'épreuve : 2 heures Coefficient : 2
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

8 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des réponses proposées est correcte. Donner la lettre correspondant à cette réponse sur le tableau ci-dessous (feuille annexe). Chaque réponse exacte rapporte un point.

Question numéro	1	2	3	4	5	6	7	8
Réponse

1. La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text{e}^{-2x}$ admet pour dérivée la fonction $f'$ définie par $f'(x) =$

a) $\text{e}^{-2x}$

b) $2\text{e}^{-2x}$

c) $- 2\text{e}^{-2x}$

d) $- \text{e}^{-2x}$

2. L'équation, d'inconnue réelle $x$ , $\ln x + 2 = 0$ admet pour solution :

a) $\text{e}^{-2}$

b) -2

c) $- \text{e}^{-2}$

d) aucune

3. Le nombre $\text{e}^{- \ln 3}$ est égal à :

a) -3

b) $\dfrac{1}{3}$

c) $- \dfrac{1}{3}$

d) n'existe pas

bac STI arts appliqués, Métropole Septembre 2007 - terminale : image 1

La courbe dessinée ci-dessus admet pour équation :

a) $\dfrac{x^2}{3} + \dfrac{y^2}{2} = 1$

b) $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4} = 1$

c) $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 0$

d) $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$

5. Un des foyers de l'ellipse précédente est le point F de coordonnées :

a) $\text{F}\left(0 ; \sqrt{13}\right)$

b) $\text{F}\left(\sqrt{13} ; 0\right)$

c) $\text{F}\left(\sqrt{5} ; 0\right)$

d) $\text{F}\left(0 ; \sqrt{5}\right)$

Les trois dernières questions portent sur les données suivantes:

Une municipalité propose à ses habitants de choisir entre deux investissements possibles :
choix X : une médiathèque.
choix Y : un complexe sportif. La municipalité a reçu 1 000 fiches réponses de ses électeurs. On a classé les électeurs par tranches d'âge:

Tranche A : 18 à 30 ans

Tranche B : 30 à 50 ans

Tranche C : Plus de 50 ans

On a obtenu les résultats suivants :

	A	B	C	Total
X	138	214	172	524
Y	176	188	112	476
Total	314	402	284	1 000

On tire la fiche d'un électeur au hasard :

6. La probabilité $p$ (X) qu'il vote pour $X$ vaut :

a) 0,314

b) 0,138

c) 0,524

d) $\dfrac{524}{476}$

7. La probabilité $p(B \cap X)$ est égale à :

a) 0,214

b) $\dfrac{214}{402}$

c) $\dfrac{214}{524}$

d) 0,712

8. La probabilité $p(B \cup X)$ est égale à :

a) 0,926

b) 0,214

c) $\dfrac{214}{524}$

d) 0,712

12 points

exercice 2

Archibald Nikolaüs veut faire graver et dorer ses initiales $\mathcal{A N}$ sur les volumes reliés de sa bibliothèque. Pour cela, il établit un modèle que l'on a reproduit en partie ci-dessous (feuille annexe), dans un repère orthonormé $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .

bac STI arts appliqués, Métropole Septembre 2007 - terminale : image 4

Partie 1 : Étude d'une première courbe $\mathcal{C}_{1}$

$\mathcal{C}_{1}$ est la représentation graphique d'une fonction $g$ , définie sur l'intervalle [5 ; 9], par $g(x) = - x^2 + b x + c$ où $b$ et $c$ sont des réels à déterminer.

1. Écrire les conditions que doivent vérifier les réels $b$ et $c$ pour que la courbe $\mathcal{C}_{1}$ passe par les points A(5 ; 1) et B(9 ; 5).

2. On admet que $g(x) = - x^2 +15x - 49$ .
a) On désigne par $g'$ la dérivée de la fonction $g$ . Calculer $g'(x)$ et étudier son signe. En déduire les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle [5 ; 9].
b) Déterminer pour quelle valeur de $x$ la fonction $g$ admet un maximum. En déduire les coordonnées du sommet C de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ et le placer sur le graphique de la feuille annexe.

Partie 2 : Étude et tracé de la courbe $\mathcal{C}_{2}$

$\mathcal{C}_{2}$ désigne la courbe représentant la fonction $f$ définie, pour tout $x$ de l'intervalle [1 ; 5], par : $f(x) = 1+\dfrac{1}{2}x^2 - 4 \ln x$ .

1. a) $f'$ désignant la dérivée de la fonction $f$ calculer $f'(x)$ .
b) Vérifier que $f'(x) = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x}$ .
c) En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1 ; 5].

2. Établir le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [1 ; 5].

3. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en donnant des résultats arrondis au dixième.

$x$	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5
$f(x)$					1,1				7,1

4. Tracer $\mathcal{C}_{2}$ avec soin sur la feuille annexe, dans le même repère $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .

Partie 3

Archibald Nikolaüs veut faire dorer à la feuille d'or la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{2}$ les droites d'équation $x = 1$ et $x =5$ .

1. Hachurer sur le graphique de la feuille annexe la partie à dorer.

2. a) Vérifier que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [1 ; 5] par $F(x) = \dfrac{1}{6}x^3 - 4x \ln x + 5x$ est une primitive de $f$ .
b) En déduire la valeur exacte de l'intégrale $I = \displaystyle\int_{1}^5 f(x)\:\text{d}x$ .
c) Quelle est l'aire de la partie hachurée ? (On donnera un résultat en unités d'aire, arrondi au dixième).

Voir la correction

exercice 1

Question numéro	1	2	3	4	5	6	7	8
Réponse	c	a	b	d	c	c	a	d

1. $f'(x)=-2e^{-2x}$ (dérivée de $e^u$ )
2. $\ln x+2=0\Longleftrightarrow \ln x=-2\Longleftrightarrow e^{\ln x}=e^{-2}\Longleftrightarrow x=e^{-2}$
3. $e^{-\ln 3}=\dfrac{1}{e^{\ln 3}}=\dfrac{1}{3}$
4. L'ellipse d'axe focal (Ox)( avec a=3 et b=2) admet pour équation $\dfrac{x^2}{3^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1$ , d'où le résultat.
5. Puisque l'axe focal est $(Ox)$ , $x_F=\sqrt{a^2-b^2}$ ou $x_F=-\sqrt{a^2-b^2}$ , or $a^2-b^2=9-4=5$ d'où le résultat.
6. $p(X)=\dfrac{524}{1000}=0,524$
7. $p(X\cap B)=\dfrac{214}{1000}=0,214$
8. $p(X\cup B)=p(X)+p(B)-p(X\cap B)=0,524+\dfrac{402}{1000}-0,214=0,712$

exercice 2

Partie 1

1.
$A(5 ; 1)\in\mathcal{C}_1\Longleftrightarrow g(5)=1\Longleftrightarrow -5^2+5b+c=1\Longleftrightarrow 5b+c=26$
$B(9 ; 5)\in\mathcal{C}_1\Longleftrightarrow g(9)=5\Longleftrightarrow -9^2+9b+c=5\Longleftrightarrow 9b+c=86$
Les conditions sont : $\boxed{\begin{cases} 5b+c=26\\9b+c=86\end{cases}}$

2. a) $g$ est définie sur [5 ; 9] par $g(x) = - x^2 +15x - 49$ ; elle est dérivable sur cet intervalle et on a :
Pour tout $x$ de [5 ; 9], $g'(x)=\boxed{-2x+15}$
On a $\begin{cases} -2x+15< 0\Longleftrightarrow x> \dfrac{15}{2} \\ \\ -2x+15> 0\Longleftrightarrow x< \dfrac{15}{2} \\ \\ -2x+15=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{15}{2} \end{cases}$
$\boxed{g'(x)=0 \text{ pour }x=\dfrac{15}{2} \qquad g'(x)< 0 \text{ sur } \left]\dfrac{15}{2} ; 9\right] \qquad g'(x)> 0 \text{ sur } \left[5 ; \dfrac{15}{2}\right[}$
Variations de $g$ : $\boxed{g\text{ est croissante sur } \left[5 ; \dfrac{15}{2}\right] \text{ et décroissante sur }\left[\dfrac{15}{2} ; 9\right]}$

2. b) $\mathcal{C}_1$ atteint le sommet au point C d'abscisse $\dfrac{15}{2}$ .
Donc : $x_C=\dfrac{15}{2}$ et $y_C=g\left(\dfrac{15}{2}\right)= - \left(\dfrac{15}{2}\right)^2 +15\times \dfrac{15}{2} - 49=\dfrac{29}{4}$
$\boxed{C\left(\dfrac{15}{2}~;~\dfrac{29}{4}\right)}$
Voir figure dans la partie 2

Partie 2

1. a) $f$ est dérivable sur l'intervalle [1 ; 5], et pour tout $x$ de [1 ; 5], $f'(x)=2\times\dfrac{1}{2}x-4\times\dfrac{1}{x}=\boxed{x-\dfrac{4}{x}}$

1. b) Pour tout $x$ de [1 ; 5], $f'(x)=x-\dfrac{4}{x}=\dfrac{x^2-4}{x}=\dfrac{x^2-2^2}{x}=\boxed{\dfrac{(x-2)(x+2)}{x}}$

1. c) Étant donné que pour tout $x$ de [1 ; 5], on a : $x+2>0$ et $x>0$ , alors $f'(x)$ a le même signe que $x-2$ . Or, $\begin{cases}x-2< 0 \Longleftrightarrow x< 2\\x-2> 0 \Longleftrightarrow x> 2\\x-2=0\Longleftrightarrow x=2\end{cases}$
Conclusion : $\boxed{f'(x)=0 \text{ pour }x=2\qquad f'(x)\le 0 \text{ pour tout } x \text{ de } [1;2] \text{ et } f'(x)\ge 0 \text{ pour tout } x \text{ de } [2;5]}$

2. Tableau de variations :
$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline {x} & 1 & &2& & 5 \\ \hline f'(x) & & - & \barre{0} & + & \\ \hline \niveau{2}{3} f & \dfrac{3}{2} &\decroit&3-4\ln2 & \croit & \dfrac{27}{2}-4\ln 5 \\ \hline \end{tabvar}$
Remarque : $f(1)=1+\dfrac{1}{2}-4\times 0=\dfrac{3}{2}\text{ , } f(2)=1+\dfrac{4}{2}-4\ln 2=3-4\ln 2\text{ et } f(5)=1+\dfrac{25}{2}-4\ln 5=\dfrac{27}{2}-4\ln 5$
3.

$x$	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5
$f(x)$	1,5	0,5	0,2	0,5	1,1	2,1	3,5	5,1	7,1

4. Voir partie 3

Partie 3

bac STI arts appliqués, Métropole Septembre 2007 - terminale : image 3

2. a) $F$ est définie sur l'intervalle [1 ; 5] par $F(x) = \dfrac{1}{6}x^3 - 4x \ln x + 5x$ , $F$ est donc dérivable sur [1 ; 5] et on a :
$\text{Pour tout }x\text{ de }[1;5]\text{ , } F'(x)=\dfrac{3}{6}x^2-4\left(\ln x+x\dfrac{1}{x}\right)+5=\dfrac{1}{2}x^2-4\ln x-4+5=1+\dfrac{1}{2}x^2-4\ln x=\boxed{f(x)}$
$\boxed{F \text{ est une primitive de } f \text{ sur l'intervalle } [1;5]}$

2. b) On a :
$\begin{matrix}I &=& \displaystyle\int_{1}^5 f(x)\:\text{d}x&=&\left[F(x)\right]_1^5\\&=&F(5)-F(1)&=&\dfrac{1}{6}\times 5^3 - 4\times 5\times \ln 5 + 5\times 5-\left(\dfrac{1}{6}\times 1^3 - 4\times 5\times \ln 1 + 5\times 1\right)\\&=&\dfrac{125}{6}-20\ln 5+25-\dfrac{1}{6}-5&=&\boxed{\dfrac{122}{3}-20\ln5}\end{matrix}$

2. c) Sur $[1;5]$ , la fonction $f$ ne prend que des valeurs positives ; l'aire de la partie du plan hachurée délimitée par la courbe $\mathcal{C}_2$ , l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 5$ en $\text{u.a}$ est égal à $I$ et on a :
$I=\displaystyle\int_{1}^5 f(x)\:\text{d}x=\dfrac{122}{3}-20\ln5\approx \boxed{8,5\text{ u.a }}$

Publié par TP/dandave le 11-05-2014

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