Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Arts Appliqués
Session 2007

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

L'usage d'une calculatrice est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Une feuille de papier millimétré est nécessaire.

8 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Parmi les réponses proposées, une seule est correcte. On indiquera sur la copie, pour chaque question, la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Toutes les questions sont indépendantes. Les réponses exactes aux questions 2 et 3 rapportent deux points, les autres un point.

1. On considère l'ellipse tracée dans un repère orthonormé sur la figure ci-dessous :

sujet bac STI arts appliqués, Métropole 2007 - terminale : image 1

a) Une équation de cette ellipse est :

A : $25x^2 + 9y^2 = 225$

B : $9x^2 + 25y^2 = 225$

C : $3x^2 + 5y^2 = 15$

D : $9x^2 - 25y^2 = 225$

b) Un de ses foyers est le point F de coordonnées :

A : (4 , 0)

B : (5 , 0 )

C : (0 , 3)

D : (2 , 0)

2. Soit la fonction $f$ définie sur [0 ; 9] par $f(x) = -x^3 + 9x^2$ dont la courbe représentative dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. On remarquera que $f(0) = 0$ et $f(9) = 0$ .

sujet bac STI arts appliqués, Métropole 2007 - terminale : image 2

L'aire du domaine compris entre la courbe de $f$ et l'axe des abscisses est, en unités d'aire :

A : 0

B : 546,75

C : 81

D : impossible à calculer

3. Soit $f$ la fonction définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par $f(x) = \ln x + 4x$ . Une primitive de $f$ est la fonction F définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par :

A : $\frac{1}{x}$ + 4

B : $\frac{1}{x} + 2x^2$

C : $\ln x + 2x^2$

D : $x \ln x + 2x^2 - x$

4. On tire une carte dans jeu de 52 cartes. Toutes les cartes ont la même probabilité d'être tirées. La probabilité de tirer une carte qui ne soit ni un roi ni un coeur est :

A : $\frac{35}{52}$

B : $\frac{17}{52}$

C : $\frac{9}{13}$

D : $\frac{2}{13}$

5. On donne la fonction $f$ définie par $f(x) = e^{2x} - e^x + x$ ; l'intégrale $\displaystyle \int_0^1 f(x) \text{d}x$ vaut :

A : e² - e + 1

B : $\frac12e^2 - e + 1$

C : 3

D : - 2

12 points

exercice 2

Un graphiste designer a conçu un flacon pour un parfum. Il s'agit d'un parallélépipède rectangle de base carrée surmonté d'un cube, comme le montre la figure ci-dessous :

sujet bac STI arts appliqués, Métropole 2007 - terminale : image 3

Le cube de base EFGH est placé au centre du carré supérieur ABCD. La variable $x$ désigne la distance entre les côtés du carré de base EFGH du cube et les côtés du carré ABCD.
Le flacon a une hauteur totale de 8 cm et les côtés du carré ABCD mesurent 6 cm.
On admettra que l'on a : $0 \leq x \leq 3$ .

A.
1. Démontrer que le volume du petit cube est $\text{U}(x) = - 8x^3 + 72x^2 - 216x + 216$ .
2. En déduire que le volume total du flacon est $\text{V}(x) = -8x^3 + 72x^2 - 144x + 288$ .

B.
1. Soit $f$ la fonction définie sur [0 , 3] par $f(x) = -x^3 + 9x^2 - 18x + 36$ .
Soit $\scr{C}_f$ la courbe représentant la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal $(O \: ; \: \overrightarrow{i} \: , \: \overrightarrow{j})$ (unités graphiques : 5 cm en abscisses et 0,5 cm en ordonnées).
      a) $f'$ désignant la dérivée de la fonction $f$ , calculer $f'(x)$ .
      b) Résoudre l'équation $f'(x) = 0$ dans intervalle [0 , 3]. On appelle $\alpha$ la valeur exacte de son unique solution : déterminer $\alpha$ puis sa valeur arrondie au dixième.
      c) Etudier le signe de $f'(x)$ sur [0 , 3] et dresser le tableau de variation de $f$ sur [0 , 3].
      d) Pour quelle valeur de $x$ cette fonction admet-elle un minimum ?

2. Déterminer une équation de la tangente T à $\scr{C}_f$ en son point d'abscisse 1.

3. a) Compléter le tableau de valeurs suivant en arrondissant les valeurs calculées au centième.

$x$	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
$f(x)$

b) Construire la tangente T et la courbe $\scr{C}_f$ sur la feuille de papier millimétré.

C.
1. Vérifier que le volume du flacon vérifie $\text{V}(x) = 8f(x)$ .
2. A l'aide de la partie B de ce problème, déterminer la valeur en cm³, arrondie à l'unité, du volume minimal V_m.

Voir la correction

exercice 1

1. a) Réponse : $\boxed{\text{B}}$
Justification :
Une ellipse de centre O, de demi-axe a selon $x$ et b selon y a pour équation : $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
Ici : a = 5 et b = 3
L'équation de l'ellipse est donc :
$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1 \\ \frac{9x^2+25y^2}{9 \times 25}=1 \\ \boxed{9x^2+25y^2=225}$
Autre méthode : par élimination, on peut vérifier que le point de coordonnées (0 ; 3) vérifie uniquement l'équation B.

1. b) Réponse : $\boxed{\text{A}}$
Justification :
Les foyers se situent sur le grand axe et ont pour coordonnées : F(c ; 0) et F'(-c ; 0)
Avec : $c^2 = a^2-b^2$ d'où $c=\sqrt{25-9}=4$ .
F a donc pour coordonnées : $\boxed{\text{F}(4;0)}$

2. Réponse : $\boxed{\text{B}}$
Justification :
La fonction $f$ étant positive sur [0 ; 9], l'aire est donnée en unités d'aires par : $\text{I} = \displaystyle \int_0^9 f(x) \text{d}x$
Soit F une primitive de $f$ : $\text{F}(x) = -\frac{x^4}{4} + 3x^3$
$\text{I} = [\text{F}(x)]_0^9 \\ \text{I} = \text{F}(9) - \text{F}(0) \\ \text{I} = -\frac{9^4}{4}+3 \times 9^3 - 0 \\ \boxed{\text{I} = 546,75 \, \, \text{U.A.}}$

3. Réponse : $\boxed{\text{D}}$
Justification :
A condition de ne pas confondre dérivée et primitive, et en connaissant la dérivée de $\ln x$ , on élimine très facilement les réponses A, B et C. Calculons la dérivée de la fonction de la réponse D.
Calcul de la dérivée du produit $x \ln x$
$u = x \text{ donc } u' = 1$
$v = \ln x \text{ donc } v' = \frac{1}{x}$
Donc : $(x \ln x)' = u'v + uv' = 1 \times \ln x + x \times \frac{1}{x} = \ln x + 1$
Donc : $(x \ln x + 2x^2 -x)' = \ln x + 1 + 4x - 1$
$\boxed{(x \ln x + 2x^2 -x)' = \ln x + 4x = f(x)}$

4. Réponse : $\boxed{\text{C}}$
Justification :
Dans un jeu de 52 cartes, si on retire les 13 cartes de coeur et les 3 rois restants, il reste 36 cartes.
Donc : $\boxed{\text{P} = \frac{36}{52} = \frac{9}{13}}$

5. Réponse : $\boxed{\text{B}}$
Justification :
Soit F une primitive de $f$ : $\text{F}(x) = \frac{e^{2x}}{2} - e^x + \frac{x^2}{2}$
$\text{I} = [\text{F}(x)]_0^1 \\ \text{I} = \text{F}(1) - \text{F}(0) \\ \text{I} = \frac{e^2}{2} - e^1 + \frac{1}{2} - \left(\frac{e^0}{2} - e^0 + \frac{0}{2}\right)\\ \text{I} = \frac{e^2}{2} - e + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1\\ \boxed{\text{I} = \frac{e^2}{2} - e + 1}$

exercice 2

A. 1. Le petit cube a pour côté $6-2x$ , donc son volume est donné par :
$U(x)=(6-2x)^3 \\ U(x)=(6-2x)^2(6-2x) \\ U(x)=(36+4x^2-24x)(6-2x) \\ U(x)=216-72x+24x^2-8x^3-144x+48x^2 \\ \boxed{U(x)=-8x^3+72x^2-144x+216}$

A. 2. Le volume du flacon est égal au volume du petit cube plus le volume du parallélépipède rectangle qui a pour dimensions 6, 6 et $8-(6-2x)=2+2x$
$V(x)=U(x)+6^2(2+2x) \\ V(x)=(-8x^3+72x^2-216x+216)+(72+72x) \\ V(x)=\boxed{-8x^3+72x^2-144x+288}$

B. 1. a) $\boxed{f'(x)=-3x^2+18x-18}$

B. 1. b) Résolution de $-3x^2+18x-18 = 0$ :
$\Delta = 18^2-4 \times (-3) \times (-18) = 108 = (6\sqrt{3})^2$ donc 2 solutions réelles :
$x_1 = \frac{-18-6\sqrt{3}}{2 \times (-3)} = 3+\sqrt{3} \hspace{50pt} x_2 = \frac{-18+6\sqrt{3}}{2 \times (-3)} = 3-\sqrt{3}$
Seule la solution $x_2$ appartient à l'intervalle [0 ; 3] donc $\fbox {\alpha = 3-\sqrt{3} \approx 1,3}$

B. 1. c) La dérivée $f'$ est un polynome du 2^nd degré, donc $f'(x)$ est du signe du coefficient devant $x^2$ , c'est à dire négatif, en dehors des 2 racines. On obtient donc le tableau suivant :

sujet bac STI arts appliqués, Métropole 2007 - terminale : image 4

$f(\alpha) = f(3-\sqrt{3}) = 36 - 6\sqrt{3} \approx 25,61$

B. 1. d) D'après le tableau de variations, la fonction $f$ admet un minimum pour $x=\alpha$ .

B. 2. On utilise la formule $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ pour $a=1$ .
$f(1)=26 \hspcae{50pt} f'(1)=-3$
Donc l'équation de la droite tangente est donné par : $\boxed{y=-3x+29}$

B. 3. a) Complétons le tableau :

$x$	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
$f(x)$	36	29,13	26	25,88	28	31,63	36

B. 3. b)

sujet bac STI arts appliqués, Métropole 2007 - terminale : image 5

C. 1. $8f(x) = 8(-x^3+9x^2-18x+36) = -8x^3+72x^2-144x+288$
Donc : $\boxed{V(x) = 8f(x)}$

C. 2. Les fonction V et $f$ ont les mêmes variations, donc V admet un minimum pour $x=\alpha$ .
$V_m = 8f(\alpha) = 8 \times 25,61 \approx \boxed{205 \, \text{cm}^3}$

Publié par Cel/jamo le 18-09-2017

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