Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
Polynésie Française - Session 2007

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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire, distribué par le centre d'examen, est autorisé.
8 points

exercice 1

On lâche une balle à une hauteur de 1 mètre. Celle-ci effectue alors plusieurs rebonds sur le sol avant de s'immobiliser. On note la hauteur (exprimée en centimètres) par rapport au sol de chaque rebond.
Le tableau ci-dessous donne les résultats obtenus :

Numéro du rebond : ni 1 2 3 4 5 6 7 8
Hauteur du rebond : hi 55 30 17 9 5 3 1,5 0,8


1. Tracer le nuage de points Mi( ni, hi). Un ajustement affine paraît-il justifié ?

Dans la suite de l'exercice, toutes les valeurs numériques seront arrondies au dixième.

2. Compléter le tableau suivant.
ni 1 2 3 4 5 6 7 8
yi = ln(hi) 4,0              


3. Tracer dans un repère orthonormé (unité graphique : 2 cm) le nuage de points Pi(ni, yi). Un ajustement affine paraît-il justifié ?

4. Recherche d'un ajustement affine
   a) On note G1 le point moyen du sous-nuage formé par les points P1, P2, P3 et P4 et G2 le point moyen du sous-nuage formé par les points P5, P6, P7 et P8. Déterminer les coordonnées des points G1 et G2.
   b) Placer les points G1 et G2 sur le graphique et construire la droite (G1G2).
   c) Lire graphiquement sur le graphique l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur de (G1G2) (mettre en évidence sur le graphique les éléments qui ont permis cette lecture).

5. En utilisant le résultat de la question 4. c), exprimer, en fonction de son numéro n, la hauteur estimée du n-ième rebond.

6. A partir de quel rebond, la hauteur estimée de celui-ci est-elle inférieure à un millimètre ? 12 points

exercice 2

Partie 1 : lecture graphique
Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative d'une fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; +\infty[ et sa tangente au point d'abscisse 2.

sujet bac STL Biochimie Génie Biologique, Polynésie Française 2007 - terminale : image 1


Déterminer, à l'aide de lectures graphiques, en justifiant par une phrase chaque réponse :
   a) f(3) et f(4,5);
   b) le nombre de solution de l'équation f(x) = 0 puis une valeur approchée de chacune d'elles;
   c) l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) \leq 1;
   d) f'(2), nombre dérivé de f en 2;
   e) le nombre de solution(s) de l'équation f'(x) = 0 puis une valeur approchée de chacune d'elles;
   f) l'ensemble des solutions de l'inéquation f'(x) \geq 0;
   g) une estimation de f'(5).

Partie 2 : étude d'une fonction
On admet que la fonction f représentée dans la partie 1 est définie par f(x) = \ln(x) - \ln(x + 2) - \frac23 x + 4.
   a) Déterminer \displaystyle \lim_{x \to 0\\x > 0} \: f(x). Que peut-on en déduire ?
   b) Déterminer \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ln\left(\frac{x}{x+2}\right). En déduire \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \: f(x).
   c) p est la fonction définie sur \mathbb{R} par p(x) = x^2 + 2x - 3. Etudier le signe de p(x).
   d) Calculer f'(x) puis montrer que f'(x) = \frac{-2p(x)}{3x(x+2)}.
   e) Etudier le signe de f'(x) sur ]0 , +\infty[. En déduire le sens de variation de f.



exercice 1

1. D'après le graphique, les points ne sont pas alignés, donc un ajustement affine ne se justifie pas.
sujet bac STL Biochimie Génie Biologique, Polynésie Française 2007 - terminale : image 2


2. Complétons le tableau :
ni 1 2 3 4 5 6 7 8
yi = ln(hi) 4,0 3,4 2,8 2,2 1,6 1,1 0,4 -0,2


3. D'après le graphique, les points semblent alignés, donc un ajustement affine est tout à fait justifié.
sujet bac STL Biochimie Génie Biologique, Polynésie Française 2007 - terminale : image 3


4. a) Coordonnées du point G1 :
x_{\text{G_1}} = \frac{1+2+3+4}{4} = \frac{10}{4} = 2,5 \\ y_{\text{G_1}} = \frac{4,0+3,4+2,8+2,2}{4} = \frac{12,4}{4} = 3,1
Donc le point G1 a pour coordonnées : \boxed{\text{G_1} (2,5 \, ; \, 3,1)}

4. b) Coordonnées du point G2 :
x_{\text{G_2}} = \frac{5+6+7+8}{4} = \frac{26}{4} = 6,5 \\ y_{\text{G_2}} = \frac{1,6+1,1+0,4-0,2}{4} = \frac{2,9}{4} = 0,725
Donc le point G2 a pour coordonnées : \boxed{\text{G_2} (6,5 \, ; \, 0,7)}

4. c) Equation de la droite (G1G2) : y = an + b
Ordonnée à l'origine b : c'est l'ordonnée du point A qui se situe à l'intersection de la droite et de l'axe des ordonnées.
Graphiquement, on trouve b = 4,6.
Coefficient directeur a : pour aller du point G1 au point G2, on "avance de 4" selon n et on "descend" de 2,4 selon y.
Donc a=\frac{-2,4}{4} = -0,6
L'équation de la droite (G1G2) est donc : \boxed{y = -0,6n + 4,6}

5. On a : y = -0,6n + 4,6
Avec : n le numéro du rebond et y= \ln(h)h est la hauteur du rebond. Donc :
\ln (h) = -0,6n+4,6
Donc : \boxed{h = e^{-0,6n+4,6}}

6. On peut utiliser la relation trouvée dans la question précédente
h < 0,1 \Longleftrightarrow e^{-0,6n+4,6} < 0,1 \\ \hspace{36pt} \Longleftrightarrow -0,6n+4,6 < \ln (0,1) \\ \hspace{36pt} \Longleftrightarrow -0,6n < \ln (0,1) - 4,6 \\ \hspace{36pt} \Longleftrightarrow n > \frac{4,6 - \ln (0,1)}{0,6} \approx 11,5
Donc, la hauteur du rebond est inférieure à 1 mm à partir du 12ème rebond.

exercice 2

Partie 1 : lecture graphique
sujet bac STL Biochimie Génie Biologique, Polynésie Française 2007 - terminale : image 4


a) En placant le point A sur la courbe, on trouve \boxed{f(3) \approx 1,5}
De même, avec le point B, on trouve \boxed{f(4,5) \approx 0,65}

b) La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points M et N, donc l'équation f(x) = 0 admet 2 solutions.
Les abcisses des points M et N donnent les solutions approchées : \boxed{\lbrace  0,05 \, ; \, 5,5 \rbrace  }

c) La droite d'équation y = 1 coupe la courbe en deux points E et F d'abscisses respectives 0,1 et 3,8.
L'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) \le 1 correspond aux abscisses des points de la courbe situés sous la droite d'équation y = 1, c'est à dire : \boxed{\, ]0 \, ; \, 0,1] \cup [3,8 \, ; \, +\infty[\, }

d) Le nombre dérivé f'(2) est égal au coefficient directeur de la droite tangente à la courbe au point C d'abscisse 2.
Le point C a pour coordonnées (valeur approchée) : \text{C}(2 \, ; \, 2)
On place un point D sur la droite tangente, de coordonnées \text{D}(5 \, ; \, 0,75).
On calcule ensuite le coefficient directeur :
f'(2) = \frac{y_{\text{C}} - y_{\text{D}}}{x_{\text{C}} - x_{\text{D}}}\\ f'(2) = \frac{2 - 0,75}{2 - 5} \\ f'(2) = -\frac{1,25}{3} \\ \boxed{f'(2) \approx -0,42}

e) La dérivée s'annule aux points de la courbe qui admettent une droite tangente horizontale (coefficient directeur nul), donc en particulier sur les minimums et maximums.
Ici, la fonction admet un maximum pour x = 1 (voir le point G de la courbe).
Le point G est le seul où on peut tracer une droite tangente horizontale.
Donc l'équation f'(x)=0 a pour unique solution \boxed{x = 1}.

f) La dérivée est positive lorsque la fonction est croissante.
Graphiquement, on voit que la courbe "monte" jusqu'au point G, puis elle redescend.
Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation f'(x) \ge 0 est donné par : \boxed{]0 \, ; \, 1]}.

g) Pour déterminer la valeur de f'(5), on trace la droite tangente à la courbe au point d'abscisse 5, puis on calcule le coefficient directeur de cette droite (même méthode que la question d).
Le point H a pour coordonnées \text{H}(5 \, ; \, 0,3). Le point I a pour coordonnées \text{I}(1 \, ; \, 2,75)
f'(5) = \frac{y_{\text{I}} - y_{\text{H}}}{x_{\text{I}} - x_{\text{H}}} \\ f'(5) = \frac{2,75 - 0,3}{1 - 5} \\ f'(5) = -\frac{2,45}{4} \\ \boxed{f'(5) \approx -0,61}

Partie 2 : étude d'une fonction
a) Limite de f en 0 :
\. \displaystyle \lim_{x\to 0^+} \, \ln x = -\infty \\ \displaystyle \lim_{x\to 0^+} \, \ln (x+2) = \ln(2) \\ \displaystyle \lim_{x\to 0^+} \, -\frac{2}{3}x+4 = 4 \\ \rbrace  \text{ donc } \boxed{\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \, f(x) = -\infty}
Donc la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale d'équation \boxed{x = 0} (axe des ordonnées).

b) Limite de f en +\infty :
\frac{x}{x+2} = \frac{x}{x(1+\frac{2}{x})}
On a : \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, \frac{2}{x} = 0
Donc : \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, \frac{x}{x+2} = \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, \frac{x}{x} = 1
Donc : \boxed{\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, \ln (\frac{x}{x+2}) = 0}
f(x) = \ln(x) - \ln (x+2) -\frac{2}{3}x+4 = \ln(\frac{x}{x+2}) -\frac{2}{3}x+4
Donc \boxed{\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, f(x) = \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, -\frac{2}{3}x+4 = -\infty}

c) Etude du signe de p(x) sur \mathbb{R} :
p(x) = x^2+2x-3 \\ \Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 16 > 0
Donc p admet 2 racines distinctes : x_1 = \frac{-2-\sqrt{16}}{2} = -3  \hspace{50pt} x_2 = \frac{-2+\sqrt{16}}{2} = 1
Le trinôme p(x) est du signe du coefficient de x^2, c'est à dire positif en dehors des 2 racines.
On obtient donc le tableau de signes de p sur \mathbb{R} :
sujet bac STL Biochimie Génie Biologique, Polynésie Française 2007 - terminale : image 5


d) Calcul de la dérivée de f :
f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} - \frac{2}{3}\\ f'(x) = \frac{3(x+2)}{3x(x+2)} - \frac{3x}{3x(x+2)} - \frac{2x(x+2)}{3x(x+2)}\\ f'(x) = \frac{3(x+2)-3x-2x(x+2)}{3x(x+2)}\\ f'(x) = \frac{3x+6-3x-2x^2-4x}{3x(x+2)}\\ f'(x) = \frac{-2x^2-4x+6}{3x(x+2)}\\ f'(x) = \frac{-2(x^2+2x-3)}{3x(x+2)}\\ \boxed{f'(x) = \frac{-2p(x)}{3x(x+2)}}

e) Signe de f\prim(x) et variations de f :
sujet bac STL Biochimie Génie Biologique, Polynésie Française 2007 - terminale : image 6


f(1) = \frac{10}{3} - \ln 3 \approx 2,23
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