Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
Session 2007

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.

9 points

exercice 1

La partie A et la partie B peuvent être traitées de façon indépendante.
On étudie la vitesse de disparition d'un réactif et on constate qu'elle est proportionnelle à la concentration.
On note $f(t)$ la concentration (exprimée en mol.L^-1) à l'instant t (t exprimé en minutes), où $t \in [0 \:,\: +\infty[$ .

Partie A

1. On admet que la concentration vérifie l'équation différentielle : y' = -0,002y.
Déterminer toutes les solutions de cette équation différentielle.

2. Sachant que la concentration initiale est de 0,1 mol.L^-1, déterminer la solution $f$ vérifiant cette condition.

3. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f$ .

sujet bac STL Biochimie Génie Biologique, Métropole 2007 - terminale : image 1

A l'aide d'une lecture graphique déterminer :
a) la durée en heures et minutes au bout de laquelle la concentration est égale à la moitié de la concentration initiale ;
b) la concentration au bout de 12 h.
On fera apparaître les constructions utiles.

Partie B

On suit l'évolution de la réaction en dosant le produit formé g(t) fonction du temps t (en minutes).
On appellera $\scr{C}$ la courbe représentative de g dans un repère. On admet que g(t) = 0,1 - 0,1 e^-0,002t où $\text{t} \in [0 \:,\: +\infty[$ .

1. a) Déterminer la limite de la fonction g en + $\infty$ .
b) En déduire l'existence d' une asymptote à $\scr{C}$ (que l'on précisera).

2. Calculer la dérivée g' de la fonction g.

3. Etudier le signe de g'(t) sur [0 , + $\infty$ [ et en déduire le tableau de variation de g.

4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\scr{C}$ au point abscisse 0. 11 points

exercice 2

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
En octobre 2006, une tempête a balayé le Sud Ouest de la France provoquant de nombreuses coupures d'électricité.

Partie A :

Un lycée a un effectif de 1400 élèves ; 70 % d'entre eux habitent en zone rurale et les autres en zone urbaine.
Suite à la tempête, 5 % des élèves habitant en ville et 75 % de ceux qui habitent à la campagne ont été privés d'électricité.

l. Compléter le tableau suivant :

	Avec électricité	Sans électricité	Total
Elèves en zone rurale
Elèves en zone urbaine
Total			1400

2. On croise au hasard un élève de ce lycée. Calculer la probabilité des événements suivants :
A : " L'élève habite en zone urbaine "
B : " L'élève est sans électricité "

3. On croise au hasard un élève qui n'a pas d'électricité. Quelle est la probabilité qu'il habite en zone rurale ? (On donnera une valeur approchée arrondie au centième).

Partie B :

Si nécessaire, les résultats obtenus dans cette partie seront arrondis au centième.
La tempête a privé d'électricité 20 000 foyers dans tout le département.
Des moyens importants ont été mis en oeuvre pour rétablir rapidement le courant. Des études statistiques portant sur le nombre d'abonnés restant privés d'électricité ont donné les résultats suivants.

Temps t_i écoulé en heures	0	4	8	12	16	20	24
Nombre N_i d'abonnés sans électricité	20 000	13 028	5 234	3 714	2 981	1 212	783

1. Compléter le tableau suivant où ln(N_i) est le logarithme népérien de N_i.

t_i	0	4	8	12	16	20	24
yi = ln(N_i)

2. Représenter le nuage de points de coordonnées (t_i , y_i) dans un repère orthogonal. On prendra pour unités : 1 cm pour 2 en abscisse, 1 cm pour 1 en ordonnée.

3. Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage.

4. Soit D la droite passant par G et de coefficient directeur -0,13. Déterminer une équation de D. Tracer D sur le graphique.

5. On utilise la droite D comme droite d'ajustement. Calculer le temps nécessaire pour que 99 % des abonnés concernés retrouvent l'électricité.

Voir la correction

exercice 1

Partie A

1. Les solutions de cette équation différentielle sont données par $\boxed{f(t) = ke^{-0,002t}}$ où k est un réel quelconque.
Rappel : Les solutions de l'équation différentielle $y' = ay$ sont données par : $f(x) = ke^{ax}$ où k est un réel quelconque.

2. La concentration initiale est de 0,1 mol.L^-1 donc $f(0) = 0,1$ .
$f(0) = 0,1 \\ \Longleftrightarrow ke^{-0,002 \times 0} = 0,1\\ \Longleftrightarrow k = 0,1$
Donc : $\boxed{f(t) = 0,1e^{-0,002t}}$

3. a) La moitié de la concentration initiale est de 0,05 mol.L^-1.
Graphiquement, on trouve un temps à peu prés égal à 345 min, soit $\boxed{ 5 \text{H} \, 45 \text{min}}$ .

3. b) Au bout de 12 H, soit 720 minutes, on trouve que la concentration est à peu prés égale à $\boxed{0,024 \, mol.L^{-1}}$ .

sujet bac STL Biochimie Génie Biologique, Métropole 2007 - terminale : image 2

Partie B

1. a) Limite en + $\infty$ :
$\displaystyle \lim_{t\to +\infty} \, e^{-0,002t} = 0 \hspace{10pt} (\text{car } \displaystyle \lim_{x\to -\infty} \, e^x = 0)$
Donc : $\boxed{\displaystyle \lim_{t\to +\infty} g(t) = 0,1}$

1. b) La courbe $\scrC$ admet donc une asymptote horizontale d'équation $\boxed{y = 0,1}$ en + $\infty$ .

2. Calcul de la dérivée de g :
$g(t) = 0,1 - 0,1e^{-0,002t}\\ g'(t) = -0,1 \times (-0,002) e^{-0,002t}\\ \boxed{ g'(t) = 0,0002 e^{-0,002t}}$

3. Pour tout $t \in [0 \, ; \, +\infty[$ , on a $e^{-0,002t} > 0$ , donc $g'(t) > 0$

sujet bac STL Biochimie Génie Biologique, Métropole 2007 - terminale : image 3

4. Equation de la droite tangente :
On utilise la formule $y = g'(a)(t-a) + g(a)$ avec a = 0.
On a : $g'(0) = 0,0002 \text{ et } g(0)=0$ .
Donc, l'équation de la droite tangente est donnée par : $\boxed{y = 0,0002t}$
Voici la courbe $\scrC$ , avec son asymptote horizontale et la droite tangente :

sujet bac STL Biochimie Génie Biologique, Métropole 2007 - terminale : image 4

exercice 2

Partie A

1. Complétons le tableau :

	Avec électricité	Sans électricité	Total
Elèves en zone rurale	245	735	980
Elèves en zone urbaine	399	21	420
Total	644	756	1400

2. Il y a 420 élèves sur les 1400 qui habitent en zone urbaine, donc :
$\text{P(A)} = \frac{420}{1400} = \boxed{0,3}$
Il y a 756 élèves sur les 1400 qui n'ont pas d'électricité, donc :
$\text{P(B)} = \frac{756}{1400} = \boxed{0,54}$

3. Il y a 735 élèves qui habitent en zone rurale parmi les 756 qui n'ont pas d'électricité, donc :
$\text{P} = \frac{735}{756} = \boxed{0,97}$

Partie B

1. Complétons le tableau :

t_i	0	4	8	12	16	20	24
yi = ln(N_i)	9,90	9,47	8,56	8,22	8,00	7,10	6,66

sujet bac STL Biochimie Génie Biologique, Métropole 2007 - terminale : image 5

3. Calcul des coordonnées du point moyen :
$x_{\text{G}} = \frac{0+4+8+12+16+20+24}{7} = \frac{84}{7} = 12\\ y_{\text{G}} = \frac{9,90+9,47+8,56+8,22+8,00+7,10+6,66}{7} = \frac{57,91}{7} \approx 8,27$
Donc le point moyen a pour coordonnées : $\boxed{\text{G}(12 \, ; \, 8,27)}$

4. La droite D de coefficient directeur -0,13 a pour équation $y = -0,13x + b$ .
On utilise les coordonnées du point G qui appartient à la droite D pour déterminer la valeur du coefficient b :
$y_{\text{G}} = -0,13x_{\text{G}} + b\\ 8,27 = -0,13 \times 12 + b\\ b = 8,27 + 0,13 \times 12 = 9,83$
Donc la droite D a pour équation : $\boxed{y = -0,13x + 9,83}$

5. Lorsque 99 % des abonnés auront retrouvé l'éléctricté, alors il restera 1 % qui n'en auront encore pas :
$20000 \times \frac{1}{100} = 200$ .
La valeur N = 200 correspond à la valeur $y = \ln (200) \approx 5,30$ .
On cherche la valeur de $x$ qui correspond à cette valeur de y avec l'équation de la droite D :
$5,30 = -0,13x + 9,83\\ \Longleftrightarrow 0,13x = 9,83 - 5,30\\ \Longleftrightarrow x = \frac{4,53}{0,13}\\ \Longleftrightarrow \boxed{x \approx 34,85}$
Donc, au bout d'un peu moins de 35 heures, 99% des abonnés auront retrouvé l'électricité.

Publié par Cel/jamo le 30-06-2007

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