Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
La Réunion - Session Juin 2007

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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.


10 points

exercice 1

Partie A

Dans un lycée de 1 280 élèves, 300 élèves se font vacciner contre la grippe. Pendant l'hiver, il y a une épidémie de grippe et 10% des élèves contractent la maladie. De plus, 3% des élèves vaccinés ont la grippe.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant, sans justifier les réponses :
 Nombre d'élèves vaccinésNombre d'élèves non vaccinésTOTAL
Nombre d'élèves ayant eu la grippe   
Nombre d'élèves n'ayant pas eu la grippe   
TOTAL   

Pour les trois questions suivantes, tous les résultats seront arrondis à 0,001 près.

2. On choisit au hasard l'un des élèves de ce lycée, tous les élèves ayant la même probabilité d'être choisis. On considère les évènements suivants :
A : «L'élève a été vacciné» ;
B : «L'élève a eu la grippe» ;
C : «L'élève a été vacciné et a eu la grippe».
    a) Calculer la probabilité des évènements A, B et C.
    b) Calculer la probabilité de l'évènement A \cup B.

3. On choisit au hasard un des élèves vaccinés. Calculer la probabilité de l'évènement: «L'élève a eu la grippe».

4. On choisit au hasard un des élèves non vaccinés. Calculer la probabilité de l'évènement : «L'élève a eu la grippe».

5. Expliquer pourquoi on peut en déduire que ce vaccin a été efficace pour les élèves de ce lycée.

Partie B

Dès l'apparition des premiers symptômes de l'épidémie, l'infirmière du lycée relève pendant 8 jours le nombre d'élèves malades. Le tableau ci-dessous indique les résultats observés.
Numéro du jour12345678
Nombre d'élèves grippés2591417232731


1. Construire dans un repère orthogonal le nuage de points associé cette série statistique. On prendra les unités suivantes :
    en abscisse : 2 cm pour 1 jour ;
    en ordonnée : 1 cm pour 2 élèves.

2. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et le placer sur le graphique.

3. On appelle G1 le point moyen des quatre premiers points de ce nuage et G2 le point moyen des quatre derniers points.
    a) Déterminer les coordonnées de G1 et de G2.
    b) Placer les points G1 et G2 sur le graphique puis tracer la droite (G1G2).
    c) Déterminer une équation de la droite (G1G2) sous la forme y =  mx + p.
On donnera les valeurs exactes de m et de p.

4. En utilisant l'équation de la droite (G1G2), estimer à partir de combien de jours au moins 5% des élèves du lycée seront atteints par la grippe.


10 points

exercice 2

Partie A

On s'intéresse, lors d'une expérience, à la croissance d'une population de bactéries dont le nombre triple toutes les heures. À l'instant t = 0, la population est de 10 germes.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant :
Temps (h)01269
Nombre de germes10    


2. On appelle :
    u_{0} le nombre de germes à l'instant t = 0
    u_{1} le nombre de germes à l'instant t = 1
    u_{n} le nombre de germes à l'instant t = n.
    a) Exprimer u_{n+1} en fonction de u_{n}.
    b) En déduire la nature de la suite de terme général \left(u_{n}\right) et donner ses caractéristiques.
    c) Écrire u_{n} en fonction de n.
    d) Calculer à partir de quelle heure la population de bactéries atteindra au moins un million de germes.

Partie B

Soit la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; +\infty[ par
f(t) = 10\text{e}^{(\ln 3) t}.


1. Déterminer la limite de la fonction f en +\infty.

2. a) Déterminer la dérivée f' de la fonction f.
    b) Étudier le signe de f'(t) puis en déduire le tableau des variations de f sur [0  ; +\infty[.

3. a) Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :
t 0 1 2 3 4 5
f(t)      

    b) Tracer dans un repère orthogonal (O ; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}) la courbe représentative de la fonction f. On prendra pour unités graphiques :
    2 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses;
    1 cm pour 100 unités sur l'axe des ordonnées.

Partie C

Dans l'étude faite précédemment, la variation de la population bactérienne est modélisée par la solution g définie sur [0 ; +\infty[ de l'équation différentielle y' = (\ln 3) y qui vérifie la condition initiale g(0) = 10.

1. Vérifier que la fonction f étudiée dans la partie B est égale à g.

2. Déterminer graphiquement, en faisant apparaître les constructions utiles, l'intervalle de temps pendant lequel la densité bactérienne est inférieure ou égale à 500.



exercice 1

Partie A

1. Le nombre d'élèves vaccinés est 300, donc le nombre d'élèves non vaccinés est : 1280 - 300 = 980
Parmi les 300 vaccinés, 3 % ont la grippe soit 9 élèves. Il est alors aisé de terminer de compléter le tableau.
 Nombre d'élèves vaccinésNombre d'élèves non vaccinésTOTAL
Nombre d'élèves ayant eu la grippe9119128
Nombre d'élèves n'ayant pas eu la grippe2918611152
TOTAL3009801280

2. a) Les résultats sont arrondis à 0,001 près comme demandé :
P(A)=\dfrac{300}{1280}\approx\boxed{0,234}
P(B)=\dfrac{128}{1280}=\boxed{0,100}
P(C)=\dfrac{9}{1280}\approx\boxed{0,007}

2. b)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(C)\approx\boxed{0,327}

3. La probabilité demandée, par lecture directe dans le tableau, vaut : \dfrac{9}{300}=\boxed{0,03}

4. La probabilité demandée, par lecture directe dans le tableau, vaut :\dfrac{119}{980}\approx\boxed{0,121}

5. La probabilité trouvée au 3. est inférieure à celle obtenue en 4., d'où le constat.

Partie B

1. Voir figure 3. b)

2. \begin{cases} x_G=\dfrac{1+2+3+4+5+6+7+8}{8}\\y_G=\dfrac{2+5+9+14+17+23+27+31}{8}\end{cases}\Longrightarrow \begin{cases} x_G=4,5\\y_G=16\end{cases}\Longrightarrow \boxed{G(4,5~;~16)} (voir figure 3. b))

3. a) Les coordonnées de G_1 et G_2 :
\begin{cases} x_{G_1}=\dfrac{1+2+3+4}{4}=2,5 \\y_{G_1}=\dfrac{2+5+9+14}{4}=7,5\end{cases} \text{ et } \begin{cases} x_{G_2}=\dfrac{5+6+7+8}{4}=6,5 \\y_{G_2}=\dfrac{17+23+27+31}{4}=24,5\end{cases}
Les points recherchés sont :
\boxed{G_1(2,5~;~7,5) \text{ et } G_2(6,5~;~24,5)}


3. b)
bac STL Biochimie Génie Biologique, La Réunion Juin 2007 - terminale : image 2


3. c) Soit (G_1G_2)\text{ : } y=mx+p une équation de la droite (G_1G_2)m et p sont deux réels à déterminer.
\begin{matrix}&&\begin{cases} G_1(2,5~;~7,5)\in (G_1G_2) \\ G_2(6,5~;~24,5) \in (G_1G_2)\end{cases}&\Longleftrightarrow& \begin{cases} 7,5=2,5m+p\\24,5=6,5m+p\end{cases}&\Longleftrightarrow &\begin{cases}7,5=2,5m+p\\24,5-7,5=6,5m-2,5m\end{cases}\\&\Longleftrightarrow &\begin{cases}p=7,5-2,5m\\17=4m\end{cases}&\Longleftrightarrow &\begin{cases}p=7,5-2,5m\\m=\dfrac{17}{4}=4,25\end{cases}&\Longleftrightarrow& \begin{cases} p=7,5-10,625=-3,125\\m=4,25\end{cases}\end{matrix}
On en déduit :
\boxed{(G_1G_2)\text{ : } y=4,25x-3,125}


4. \dfrac{1280\times 5}{100}=64 donc il s'agit de déterminer x tel que y\ge 64
4,25x-3,125 \ge 64\Longleftrightarrow x \ge\dfrac{64+3,125}{4,25}\Longleftrightarrow \boxed{x \ge 15,8}
A partir du 16e jour, au moins 5% des élèves du lycée seront atteints par la grippe.





exercice 2

Partie A

1.
Temps (h)01269
Nombre de germes1030907 290196 830


2. a) D'après l'énoncé, la population de bactéries triple toutes les heures, donc :
\boxed{\text{ Pour tout }n \text{ entier naturel , } u_{n+1}=3u_n}


2. b) D'après le cours :
\boxed{ (u_n) \text{ est une suite géométrique de raison q=3 et de 1er terme } u_0=10}


3. c) D'après 2. b)
\boxed{\text{Pour tout n de }\mathbb{N}\text{ , } u_n=10\times 3^n }


3. d) On cherche n tel que u_n=1000000
u_n=1000000\Longleftrightarrow 10\times 3^n=1000000\Longleftrightarrow  3^n=100000\Longleftrightarrow  n\ln3=\ln 100000\Longleftrightarrow  n=\dfrac{\ln 100000}{\ln 3}\approx \boxed{10,48}
\boxed{\text{ A partir de 11h, la population de bactéries aura atteint au moins un million de germes}}


Partie B

1. \displaystyle \lim_{t\to+\infty}e^t=+\infty, donc : \displaystyle\lim_{t\to+\infty}f(t)=\lim_{t\to+\infty} 10\text{e}^{(\ln 3) t}=\lim_{t\to+\infty} 10\text{e}^{\ln 3}\text{e}^t=10\text{e}^{\ln 3}\times (+\infty)=\boxed{+\infty}

2. a) La fonction f est définie sur l'intervalle [0 ; +\infty[ par f(t) = 10\text{e}^{(\ln 3) t}, donc f est dérivable sur cet intervalle et on a :
Pour tout t de [0,+\infty[ \text{ , } f'(t)==\boxed{10\ln(3)\text{e}^{(\ln 3) t}}

2. b) Puisque \text{e}^{(\ln 3) t}}>0 pour tout t de [0,+\infty[ :
\boxed{f'(t)>0 \text{ pour tout t de }[0,+\infty[}

Tableau de variations :
\begin{tabvar}{|C|CCC|}       \hline  x                      & 0        &                & +\infty     \\ \hline  f'(t)                &          &    +          &      \\ \hline \niveau{2}{3} f       &  10 &     \croit     &   +\infty  \\ \hline \end{tabvar}

Remarque :
f(0)=10e^0=10\times 1=10

3. a)
t 0 1 2 3 4 5
f(t)1030902708102 430


3. b)
bac STL Biochimie Génie Biologique, La Réunion Juin 2007 - terminale : image 1


Partie C

1. Les fonctions f et g sont toutes deux définies sur [0~;~+\infty[
On avait vu dans la partie B que pour tout réel t positif : f'(t)=10\ln(3)\text{e}^{(\ln 3) t}
Donc : f'(t)=\ln (3)\times 10\text{e}^{(\ln 3) t}=\ln (3) f(t)\Longrightarrow \boxed{f'(t)=\ln (3) f(t)}
Il s'ensuit que f est solution de l'équation différentielle y' = (\ln 3) y
D'autre part, on a vu aussi que : f(0)=10=g(0)
De part l'unicité de la solution de l'équation différentille respectant la condition initiale donnée, on peut en conclure que :
 \boxed{f=g}


2. L'intervalle de temps pendant lequel la densité bactérienne est inférieure ou égale à 500 correspond à l'intervalle dans lequel la courbe \mathcal{C}_f se situe en-dessous de la droite d'équation y=500, donc, d'après la courbe (voir traits pointillés en orange) :
L'intervalle de temps pendant lequel la densité bactérienne est inférieure ou égale à 500 est [0 ; 3,57]
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