Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
Polynésie Française - Session Septembre 2007

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.

9 points

exercice 1

Un corps C à la température $y$ est placé dans une enceinte dont la température est supposée constante égale à 20°C. La température $y$ du corps C est relevée en fonction du temps $t$ mesuré en minutes.
On a obtenu les résultats suivants :

Temps $t_{i}$ (en min)	0	10	15	20	25	30
Température $y_{i}$ (en °C)	70	50	43,5	38	34	31,1

1. Reproduire et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de $z$ au centième le plus proche.

$t_{i}$ (en min)	0	10	15	20	25	30
Température $y_{i}$ (en °C)	70	50	43,5	38	34	31,1
$z_{i} = \ln \left(y_{i} - 20\right)$						2,41

2. Dans un repère orthogonal, représenter le nuage de points formé par les points $M\left(t_{i}, z_{i}\right)$ .

(On prendra comme unités graphiques :
1 cm pour 5 minutes en abscisse
1 cm pour une unité en ordonnée.)

3. Pour déterminer un ajustement affine de $z$ en $t$ , on considère la droite D passant par le premier point et le dernier point du nuage.
a) Tracer la droite D.
b) Déterminer une équation de la droite D.

4. Sachant que $z = \ln(y - 20)$ , écrire $y$ en fonction de $z$ .

5. En utilisant l'ajustement affine déterminé en 3., calculer au bout de combien de temps le corps C a une température inférieure ou égale à 21°C.

11 points

exercice 2

Un médicament dosé à 5 mg de principe actif est absorbé par voie orale. Le principe actif passe dans le sang puis est éliminé. On appelle $Q(t)$ la quantité de principe actif présente dans le sang exprimée en mg à l'instant $t$ ( $t \ge 0$ exprimé en heure).

Une étude a permis de déterminer que : pour $t \ge 0$ , $Q(t) = 5\left(\text{e}^{-0,5t} - \text{e}^{-t}\right)$ .

1. Déterminer la limite de $Q$ quand $t$ tend vers $+\infty$ . Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de $Q$ ?

2. Montrer que pour $t \ge 0$ , $Q'(t) = 5\text{e}^{-0,5t}\left(-0,5 + \text{e}^{-0,5t}\right)$ .

3. Étudier le signe de $Q'(t)$ pour $t \ge 0$ . En déduire le tableau de variations de $Q$ .

4. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :
(On donnera des valeurs approchées arrondies au centième.)

$t$	0	0,5	1	1,5	2	3	4	6	8
$Q(t)$

5. Tracer la courbe représentative de $Q$ dans un repère orthogonal
(Unités graphiques : 2 cm pour une heure en abscisse et 10 cm pour 1 mg en ordonnée.)

6. Le médicament est efficace lorsque la quantité de principe actif présente dans le sang est supérieure ou égale à 0,8 mg.
À l'aide du graphique obtenu à la question 5, déterminer la durée pendant laquelle le médicament est efficace.

Voir la correction

exercice 1

$t_{i}$ (en min)	0	10	15	20	25	30
Température $y_{i}$ (en °C)	70	50	43,5	38	34	31,1
$z_{i} = \ln \left(y_{i} - 20\right)$	3,91	3,40	3,16	2,89	2,64	2,41

2. Voir 3. a)

3. a)

bac STL Biochimie Génie Biologique, Polynésie Française Septembre 2007 - terminale : image 2

3. b) Posons $D\text{ : } z=mt+p$ , il s'agit de retrouver les réels $m$ et $p$ .
On sait que les points de coordonnées (0 ; 3,91) et (30 ; 2,41) appartiennent à $D$ , donc :
$\begin{cases} 3,91=p\\2,41=30m+p\end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} p=3,91 \\ m=\dfrac{2,41-p}{30}\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} p=3,91 \\m=\dfrac{2,41-3,91}{30}\end{cases}\Longleftrightarrow \boxed{\begin{cases} p=3,91 \\m=-0,05\end{cases}}$
Une équation de $D$ est : $\boxed{D\text{ : } z=-0,05t+3,91}$

4. $z = \ln(y - 20)\Longleftrightarrow e^z=e^{\ln(y-20)}\Longleftrightarrow e^z=y-20\Longleftrightarrow \boxed{y=e^z+20}$

5. Il s'agit de retrouver $t$ correspondant à $y\le 21$ soit à $e^z+20\le 21$ ou encore $e^z\le 1$ soit $z\le 0$
$z\le 0\Longleftrightarrow -0,05t+3,91\le 0\Longleftrightarrow t\ge \dfrac{3,91}{0,05}\Longleftrightarrow \boxed{t\ge 78,2}$
Après 78,2 min (1 h 18 min 12 s), le corps C aura une température inférieure ou égale à 21°C

exercice 2

1. On sait que $\displaystyle\lim_{t\to+\infty} e^t=+\infty$ , donc $\displaystyle\lim_{t\to+\infty} e^{-t}=\lim_{t\to+\infty}\dfrac{1}{e^t}=0$
On en déduit : $\displaystyle \lim_{t\to+\infty}Q(t) = \lim_{t\to+\infty}5\left(\text{e}^{-0,5t} - \text{e}^{-t}\right)=\lim_{t\to+\infty} 5\left(\left(\text{e}^{-t}\right)^{0,5} - \text{e}^{-t}\right)=5(0-0)=\boxed{0}$
Interprétation graphique : $\boxed{\text{ La droite d'équation }y=0 \text{ est asymptote à la courbe représentative de Q en }+\infty}$

2. Pour tout $t \ge 0$ , la fonction $Q$ est définie par $Q(t) = 5\left(\text{e}^{-0,5t} - \text{e}^{-t}\right)$ , donc Q est dérivable pour $t\ge 0$ et on a :
Pour tout $t\ge 0 \text{ , } Q'(t) = 5\left(-0,5\text{e}^{-0,5t}+\text{e}^{-t}\right)=5\text{e}^{-0,5t}\left(-0,5+\text{e}^{-t+0,5t}\right)$
$\boxed{\text{ Pour tout } t\ge 0 \text{ : } Q'(t)= 5\text{e}^{-0,5t}\left(-0,5 + \text{e}^{-0,5t}\right)}$

3. Étant donné que $5\text{e}^{-0,5t}> 0$ pour tout $t \ge 0$ , $Q'(t)$ a le même signe que $-0,5 + \text{e}^{-0,5t}$
$-0,5 + \text{e}^{-0,5t}=0$ pour $\text{e}^{-0,5t}=\dfrac{1}{2}$ soit $-0,5t=\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)$ ou encore $t=-2\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\ln(2)$
De plus, on a : $\begin{cases} -0,5 + \text{e}^{-0,5t}< 0 \Longleftrightarrow \text{e}^{-0,5t}< 0,5 \Longleftrightarrow -0,5t< \ln 0,5 \Longleftrightarrow t> 2\ln 2\\ -0,5 + \text{e}^{-0,5t}> 0 \Longleftrightarrow \text{e}^{-0,5t}>0,5 \Longleftrightarrow -0,5t> \ln 0,5 \Longleftrightarrow t< 2\ln 2\end{cases}$ (car $\ln$ est croissante)
Il en découle que : $\boxed{ Q'(t)=0 \text{ pour }t=2\ln 2\qquad Q'(t)\le 0 \text{ pour } 2\ln2\le t \text{ et } Q'(t)\ge 0 \text{ pour } 0\le t\le 2\ln 2}$

$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|}\hline t& 0 & & 2\ln2&&+\infty \\ \hline Q'(t) & &+ &0&-&\\ \hline\niveau{2}{3} Q& 5 & \croit& f(2\ln2)&\decroit&0\\ \hline\end{tabvar}$

4.

$t$	0	0,5	1	1,5	2	3	4	6	8
$Q(t)$	0	0,86	1,19	1,25	1,16	0,87	0,59	0,24	0,09

bac STL Biochimie Génie Biologique, Polynésie Française Septembre 2007 - terminale : image 1

6. Voir traits pointillés sur la figure, on en déduit que le médicament est efficace entre 0,45 h et 3,21 h.
La durée pendant laquelle le médicament est efficace est : 3,21 - 0,45 = 2,76 = 2 h 45 min 36 s

Publié par TP/dandave le 05-02-2016

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