Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Septembre 2007
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Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 4
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Une feuille de papier millimétré, réservée eu problème, sera distribué au candidat.
Un formulaire de mathématiques sera distribué au candidat.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points
exercice 1
Partie I
1. On considère la suite arithmétique , de raison et de premier terme .
Exprimer , en fonction de .
2. On considère la suite géométrique de raison et de premier terme .
Exprimer en fonction de .
Partie II
On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm).
On considère les nombres complexes de modules respectifs , et d'arguments respectifs .
On note alors les points d'affixes respectives .
1. Reproduire et compléter le tableau suivant :
0
1
2
3
8
2. En utilisant les résultats du tableau précédent, placer les points et sur la copie et tracer la ligne brisée .
5 points
exercice 2
1. Résoudre l'équation différentielle (E) :
où désigne une fonction définie et dérivable sur .
2. On note la solution de l'équation différentielle (E) vérifiant la condition initiale .
a) Montrer alors en utilisant la question 1. que est la fonction définie sur par :
.
b) Calculer .
c) Sur l'annexe 1 à rendre avec la copie, on a construit la courbe représentative de la fonction sur l'intervalle [-0.5 ; 3]. Construire, sur la figure de l'annexe 1 la tangente à la courbe au point A d'abscisse 0.
3. On note le domaine limité par l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équations respectives et .
Le solide représenté ci-dessous est obtenu par rotation du domaine D autour de l'axe des abscisses.
On note le volume, exprimé en unités de volume, de ce solide.
Calculer (on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10-1 près).
On rappelle que .
11 points
probleme
I) On note la fonction définie sur l'intervalle par
.
1. a) Calculer la limite de la fonction en 0.
b) Calculer la limite de la fonction en .
2. On désigne par la fonction dérivée de la fonction sur l'intervalle .
Calculer et montrer que, pour tout nombre réel de l'intervalle , .
3. Étudier le signe de , suivant les valeurs du nombre réel .
Donner le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle (on indiquera la valeur exacte de .
4. a) Montrer que l'équation admet une unique solution dans l'intervalle .
b) Déterminer la valeur du nombre réel arrondie au dixième.
c) Déduire de ce qui précède le signe de , suivant les valeurs de .
II. On note la fonction définie sur l'intervalle par
.
On désigne par la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal .
Sur l'annexe 2, à rendre avec la copie, on a construit la courbe sur l'intervalle ]0 ; 3].
1. a) Calculer la limite de la fonction en 0.
Interpréter graphiquement ce résultat.
b) Calculer la limite de la fonction en .
2. On désigne par la fonction dérivée de la fonction sur l'intervalle .
Calculer et montrer que, pour tout nombre réel de l'intervalle , .
3. a) Donner le tableau de variations de la fonction .
b) Calculer la valeur de arrondie au dixième (on utilisera pour la valeur 0,7).
4. a) Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1.
b) Étudier la position relative de la tangente et de la courbe .
c) Construire la droite sur la figure de l'annexe 2.
1. La suite est une suite arithmétique de raison , donc :
2. La suite est une suite géométrique de raison , donc :
Partie II
1.
0
1
2
3
8
4
2
1
2. Construction : On sait que . On trace un arc de cercle de centre O et de rayon 8. Celui-ci coupe la "première bissectrice" au point
On procède de manière analogue pour les trois autres points.
exercice 2
1. On en déduit :
2. a) étant solution de l'équation différentielle , il existe donc un réel tel que: Conclusion :
2. b) On a est solution de l'équation différentielle , donc :
Pour tout réel , Il s'ensuit :
2. c) À partir du point A on se déplace horizontalement de 1 et verticalement vers le bas de 2,5 pour arriver à un autre point de la tangente.
3. D'après le rappel, il est demandé de calculer Valeur approchée à près :
probleme
I. 1. a) D'après le cours, On en déduit :
1. b) D'après le cours, , donc :
2. est définie sur l'intervalle par , elle est dérivable sur cet intervalle et on a :
3. Puisque pour tout de , a le même signe que .
La fonction étant croissante sur , on a : On en déduit :
Tableau de variations :
Remarque :
4. a) On remarque dans un premier temps que , donc que l'équation n'admet pas de solution dans La fonction est définie, dérivable et strictement croissante sur , d'autre part, Comme admet une solution unique sur .
4. b) On a et , donc (arrondi au dixième)
4. c) D'après le tableau de variations et 4. b):
II. 1. a) On sait que Donc Interprétation graphique :
1. b) On sait que Conclusion :
2. est définie sur l'intervalle par , elle est dérivable sur cet intervalle et on a :
Pour tout de ,
3. a) Le signe de est celui de (voir 4. c))
D'où le tableau de variations :
3. b) donc
4. a) D'après le cours, une équation de la tangente à au point d'abscisse est :
Or Il s'ensuit :
4. b) Il s'agit d'étudier le signe de la différence On a pour tout de , Puisque pour tout de , donc : pour tout de On en déduit que :
4. c)
Publié par TP/dandave
le
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