Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Session 2007

Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 4

L'usage de la calculatrice est autorisé.
Une feuille de papier millimétré, réservée eu problème, sera distribué au candidat.
Un formulaire de mathématiques sera distribué au candidat.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1

1. Résoudre l'équation différentielle : (E) y' - 2y = 0.

2. On note $f$ la solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle (E), vérifiant $f(0) = 1$ et g la solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle (E), vérifiant g(0) = 2.
a) Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ , $f(x) = e^{2x}$ .
b) Exprimer $g(x)$ en fonction de $x$ .

3. Sur la figure ci-dessous, figurent les courbes représentatives $\scr{C}$ et $\scr{C}'$ des fonctions $f$ et g dans un repère orthonormal $(O \:;\: \overrightarrow{i} \: , \: \overrightarrow{j})$ .
Soit $\Delta$ la droite d'équation y = 2.
Cette droite coupe respectivement les courbes $\scr{C}$ et $\scr{C}'$ aux points A et B.

sujet national du bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels 2007 - terminale : image 1

    a) Tracer la droite $\Delta$ et placer les points A et B.
    b) Déterminer le coefficient directeur de la droite $\scr{T}$ tangente en A à la courbe $\scr{C}$ et celui de la droite $\scr{T}'$ tangente en B à la courbe $\scr{C}'$ .
    c) Quelle remarque peut-on faire sur les deux tangentes $\scr{T}$ et $\scr{T}'$ ?

6 points

exercice 2

Une urne contient quatre boules, indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 4.
Une expérience aléatoire se déroule de la manière suivante :
On tire au hagard une première boule de l'urne et on note son numéro. Après avoir remis cette boule dans l'urne, on en tire au hasard une seconde dont on note aussi le numéro.
A l'issue de cette expérience, on obtient un couple de nombres (on rappelle que, par exemple, le couple (2 , 3) est différent du couple (3 , 2)).

1. A l'aide d'un arbre ou d'un tableau, établir la liste des 16 couples possibles.

2. Dans cette question, on donnera les probabilités sous la forme de fractions de dénominateur 16.
    a) On note A l'événement " obtenir un couple de nombres pairs ".
Montrer que la probabilité de l'événement A est $\frac{4}{16}$ .
    b) On note B l'événement " obtenir un couple de nombres impairs ".
Calculer la probabilité de l'événement B.
    c) On note C l'événement " obtenir un couple de nombres de parité différente ".
Calculer la probabilité de l'événement C.

3. On organise un jeu.
Un joueur mise 2 € et réalise ensuite l'expérience aléatoire décrite ci-dessus.

Si l'événement A est réalisé le joueur reçoit 8 € de l'organisateur du jeu ;
Si l'événement B est réalisé le joueur reçoit 4 € de l'organisateur du jeu ;
Si l'événement C est réalisé le joueur donne 4 € à l'organisateur du jeu.

On désigne par X la variable aléatoire égale au gain algébrique (positif ou négatif) du joueur.
Par exemple, s'il obtient le couple (2 , 2) son gain est 6 €.
    a) Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.
    b) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
    c) Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
    d) On dit qu'un jeu est équitable lorsque l'espérance de gain est nulle.
Quelle aurait dû être la mise du joueur pour que le jeu soit équitable ?

10 points

probleme

Partie I : Etude de la fonction f.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x^2 - 5x + 2) e^x$ .
On note $\scr{C}$ la courbe représentative la fonction $f$ dans un repère orthonormal $(O \: ; \: \overrightarrow{i} \: , \: \overrightarrow{j})$ (unité graphique : 2 cm).

1. a) Déterminer la limite de la fonction $f$ en + $\infty$ .
    b) Déterminer la limite de la fonction $f$ en - $\infty$ (on donne $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \: x^2 e^x = 0$ ).
En déduire l'existence d'une asymptote dont on précisera l'équation.

2. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ .
    a) Montrer que, pour tout nombre réel $x$ , $f' (x) = (2x^2 - x - 3)e^x$ .
    b) Etudier le signe de $f' (x)$ suivant les valeurs de $x$ .
    c) Donner le tableau des variations de la fonction $f$ (préciser la valeur exacte de chaque extremum).

3. a) Montrer que l'équation $f(x) = 2$ possède une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [2 ; 3].
    b) Donner un encadrement d'amplitude 10^-2 du nombre $\alpha$ .

4. Tracer la courbe $\scr{C}$ et placer son point A d'abscisse $\alpha$ .

Partie II: Calcul d'une intégrale.

1. On désigne par F la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\text{F}(x) = (2x^2 - 9x + 11)e^x$ .
Montrer que la fonction F est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .

2. Calculer l'intégrale $\text{I} = \displaystyle \int_{0,5}^2 f(x) \: \text{d}x$ .

3. Donner une interprétation graphique de cette intégrale.

Voir la correction

exercice 1

1. Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay$ sont données par $f(x) = ke^{ax}$ où k est un réel quelconque.
Donc :
$y' - 2y = 0 \, \, \Longleftrightarrow \, \, y' = 2y$
Donc les solutions de (E) sont données par : $\boxed{f(x) = ke^{2x}}$ où k est un réel quelconque.

2. a) La fonction $f(x) = e^{2x}$ est bien de la forme $ke^{2x}$ et $f(0) = e^0 = 1$ .
Donc $f(x) = e^{2x}$ est la solution de l'équation différentielle (E) vérifiant la condition initiale $f(0) = 1$ .

2. b) La fonction g est de la forme $g(x) = ke^{2x}$ , où k est un réel à déterminer en utilisant la condition initiale g(0) = 2.
g(0) = 2
$\Longleftrightarrow$ ke⁰ = 2
$\Longleftrightarrow \boxed{k = 2}$
Donc : $\boxed{g(x) = 2e^{2x}}$

3. a) Coordonnées du point A :
$f(x) = 2\\ \Longleftrightarrow e^{2x} = 2 \\ \Longleftrightarrow 2x = \ln 2 \\ \Longleftrightarrow x = \frac{\ln 2}{2} \approx 0,35$
Donc le point A a pour coordonnées : $\boxed{A\left(\frac{\ln 2}{2} \, ; \, 2\right)}$

Coordonnées du point B :
$g(x) = 2 \\ \Longleftrightarrow 2e^{2x}=2 \\ \Longleftrightarrow e^{2x}=1 \\ \Longleftrightarrow 2x = \ln 1 = 0$
Donc le point B a pour coordonnées : $\boxed{B(0 \, ; \, 2)}$

sujet national du bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels 2007 - terminale : image 2

3. b) Le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe representative d'une fonction f au point d'abscisse a est égal à $f'(a)$ .
On a : $f'(x) = 2e^{2x} \: \text{ et } \: g'(x) = 4e^{2x}$
$f'(\ln 2) = 2e^{\ln 2} = 2 \times 2 = 4$
Donc le coefficient directeur de la tangente $\scrT$ à $\scrC$ au point A est ègal à 4.
$g'(0) = 4e^0 = 4$
Donc le coefficient directeur de la tangente $\scrT'$ à $\scrC'$ au point B est ègal à 4.

3. c) Les droites tangentes $\scrT$ et $\scrT'$ ont le même coefficient directeur, elles sont donc parallèles.

exercice 2

1. Etablissons la liste des 16 couples possibles :

		B2
		1	2	3	4
B1	1	(1 ; 1)	(1 ; 2)	(1 ; 3)	(1 ; 4)
	2	(2 ; 1)	(2 ; 2)	(2 ; 3)	(2 ; 4)
	3	(3 ; 1)	(3 ; 2)	(3 ; 3)	(3 ; 4)
	4	(4 ; 1)	(4 ; 2)	(4 ; 3)	(4 ; 4)

2. a) Il y a 4 couples de nombres pairs sur les 16 couples : (2 ; 2) (2 ; 4) (4 ; 2) (4 ; 4).
Donc : $\boxed{\text{P(A)} = \frac{4}{16}}$

2. b) Il y a 4 couples de nombres impairs sur les 16 couples : (1 ; 1) (1 ; 3) (3 ; 1) (3 ; 3).
Donc : $\boxed{\text{P(B)} = \frac{4}{16}}$

2. c) Obtenir un couple de nombres de parité différente, c'est n'obtenir ni un couple de nombres pairs ni de nombres impairs, donc :
$\text{P(C) = 1 - P(A) - P(B)}\\ \text{P(C)} = 1 - \frac{4}{16} - \frac{4}{16}\\ \boxed{\text{P(C)} = \frac{8}{16}}$

3. a) Valeurs prises par la variable aléatoire X :
Pour l'évènement A : X = 8 - 2 = 6
Pour l'évènement B : X = 4 - 2 = 2
Pour l'évènement C : X = -4 - 2 = -6
Donc la variable aléatoire X prend les valeurs -6, 2 ou 6.

3. b)
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \hspace{25pt} x_i \hspace{25pt} & \hspace{25pt} -6 \hspace{25pt} & \hspace{25pt} 2 \hspace{25pt} & \hspace{25pt} 6 \hspace{25pt} \\ \hline p_i & \frac{8}{16} & \frac{4}{16} & \frac{4}{16} \\ \hline \end{array}$

3. c) Calcul de l'éspérance mathématique :
$\text{E(X)} = -6 \times \frac{8}{16} + 2 \times \frac{4}{16} + 6 \times \frac{4}{16} \\ \boxed{\text{E(X)} = -1}$

3. d) En moyenne, sur un grand nombre de parties, le joueur perd 1 Euro lorsqu'il mise 2 Euros.
Pour que le jeu soit équitable, il faut donc que la mise soit égale à 2 - 1 = 1 Euro

probleme

Partie I : Etude de la fonction f.

1. a) Limite en + $\infty$ :
En factorisant, on a : $2x^2 - 5x + 2 = x^2\left(2 - \frac{5}{x} + \frac{2}{x^2}\right)$
Or :
$\.\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, \frac{5}{x} = 0\\ \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, \frac{2}{x^2} = 0 \\ \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, x^2 = +\infty \rbrace \text{ Donc } \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, 2x^2-5x+2 = +\infty$
De plus : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, e^x = +\infty$
Donc : $\boxed{\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, f(x) = +\infty}$

1. b) Limite en - $\infty$ :
En développant, on a : $f(x) = (2x^2-5x+2)e^x = 2x^2e^x - 5xe^x + 2e^x$
Or :
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \, x^2e^x = 0 \\ \displaystyle \lim_{x\to -\infty} \, 5xe^x = 0 \\ \displaystyle \lim_{x\to -\infty} \, 2e^x = 0 \\ \text{ Donc : } \boxed{\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \, f(x) = 0}$
Donc la courbe $\scrC$ admet une asymptote horizontale d'équation $\boxed{y=0}$ (axe des abscisses).

2. a) Calcul de la dérivée du produit $f(x)=(2x^2-5x+2)e^x$ :
On pose $u = 2x^2-5x+2$ et $v=e^x$
Donc : $u' = 4x-5$ et $v'=e^x$
$f'(x) = u'v + uv'\\ f'(x) = (4x-5)e^x + (2x^2-5x+2)e^x \\ f'(x) = (4x-5+2x^2-5x+2)e^x \\ \boxed{f'(x) = (2x^2-x-3)e^x}$

2. b) Etude du signe de $2x^2-x-3$ :
$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 25$ donc $2x^2-x-3$ admet 2 racines réelles distinctes :
$x_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \times 2} = 1,5 \hspace{50pt} x_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \times 2} = -1$
Pour tout $x$ réel, on a $e^x > 0$ donc $\boxed{f'(x)=0 \, \, \Longleftrightarrow \, \, x \in \lbrace -1 \, ; \, 1,5 \rbrace }$
Le trinôme $2x^2-x-3$ est du signe du cefficient devant $x^2$ , donc positif, en dehors des racines.

sujet national du bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels 2007 - terminale : image 3

2. c)

sujet national du bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels 2007 - terminale : image 4

$f(-1) = (2 \times (-1)^2 -5 \times (-1) + 2) e^{-1}\\ \boxed{f(-1) = 9e^{-1} \approx 3,31}\\ f(1,5) = (2 \times 1,5^2 - 5 \times 1,5 + 2) e^{1,5}\\ \boxed{f(1,5) = -e^{1,5} \approx -4,48}$

3. a) Existence et unicité de la solution de l'équation $f(x) = 2$ sur [2 ; 3] :
La fonction f est dérivable sur l'intervalle [2 ; 3]
La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [2 ; 3]
$f(2) = 0 < 2 \: \text{ et } \: f(3) \approx 100,4 > 2$
Donc l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle [2 ; 3].
On obtient les encadrements suivants pour $\alpha$ :
$\. f(2) = 0 < 2\\ f(3) \approx 100,4 > 2\\ \rbrace \text{ donc } \: 2 < \alpha < 3\\ \. f(2,0) = 0 < 2\\ f(2,1) \approx 2,6 > 2\\ \rbrace \text{ donc } \: 2,0 < \alpha < 2,1 \\ \. f(2,08) \approx 1,74 < 2\\ f(2,09) \approx 2,02 > 2\\ \rbrace \text{ donc } \: \boxed{ 2,08 < \alpha < 2,09}$

4.

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Partie II: Calcul d'une intégrale.

1. Calcul de la dérivée du produit $\text{F}(x)=(2x^2-9x+11)e^x$ :
On pose $u=2x^2-9x+11$ et $v=e^x$
Donc : $u'=4x-9$ et $v'=e^x$
$F'(x)=u'v+uv'\\ F'(x)=(4x-9)e^x+(2x^2-9x+11)e^x\\ F'(x)=(4x-9+2x^2-9x+11)e^x \\ \boxed{F'(x)=(2x^2-5x+2)e^x=f(x)}$
Donc F est une primitive de f.

2. Calcul de l'intégrale I :
$\text{I} = \displaystyle \int_{0,5}^2 f(x) dx \\ \text{I} = [F(x)]_{0,5}^2 \\ \text{I} = F(2) - F(0,5) \\ \text{I} = (2 \times 2^2 - 9 \times 2 + 11) e^2 - (2 \times (0,5)^2 - 9 \times (0,5) + 11) e^{0,5} \\ \boxed{\text{I} = e^2 - 7e^{0,5} \approx -4,15}$

3. Inteprétation graphique de l'intégrale :
On a $f(0,5) = 0 \text{ et } f(2)=0$ . D'après les variations de la fonction f, on en déduit que $f(x)$ est négatif sur [0,5 ; 2].
L'intégrale I est donc égale à l'opposée de l'aire (en unités d'aires) délimitée par la courbe $\scrC$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0,5$ et $x=2$ (voir partie hachurée sur le graphique).
L'unité d'aire associée à ce repère est égale à : $1 \, \text{U.A.} = 2 \times 2 = 4 \, \text{cm}^2$
L'aire de ce domaine est donc égal à :
$\scrA = -\text{I}\\ \scrA = e^2 - 7 e^{0,5} \, \text{U.A.} \\ \scrA = 4e^2 - 28 e^{0,5} \, \text{cm}^2 \\ \boxed{\scrA \approx 16,61 \, \text{cm}^2}$

Publié par Cel/jamo le 30-11--0001

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