Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Techniques de la Musique et de la Danse
France - Session Septembre 2007

7 points

exercice 1

Dans une université, 55 % des étudiants possèdent un ordinateur. Parmi les étudiants ayant un ordinateur :
    20 % ont un violon ;
    30 % ont une flûte ;
    Aucun étudiant ne possède à la fois une flûte et un violon.
Parmi les étudiants n'ayant pas d'ordinateur :
    5 % ont un violon ;
    15 % ont une flûte ;
    Aucun étudiant ne possède à la fois une flûte et un violon.
On choisit au hasard un étudiant de cette université. Tous les étudiants ont la même probabilité d'ètre choisis.
On définit les évènements suivants :
    D : « l'étudiant a un ordinateur » ;
    V : « l'étudiant a un violon » ;
    F : « l'étudiant a une flûte » ;
    R : « l'étudiant n'a aucun de ces deux instruments de musique ».
On rappelle que $\overline{\text{D}}$ désigne l'évènement contraire de l'évènement D.

1. Déterminer la probabilité pour que l'étudiant n'ait pas d'ordinateur.

2. Recopier et compléter l'arbre de probabilités suivant, correspondant à la situation décrite par l'énoncé.

bac TMD Métropole Septembre 2007 - terminale : image 1

3. a) Calculer la probabilité de l'évènement « l'étudiant a un ordinateur et un violon ».
b) Calculer la probabilité de l'évènement « l'étudiant a un violon et n'a pas d'ordinateur ».
c) En déduire que la probabilité de l'évènement V est égale à 0,1325.

4. Quelle est la probabilité de l'évènement « l'étudiant a un ordinateur » sachant qu'il a un violon ?
On donnera la valeur exacte puis une valeur décimale approchée à 10^-2 près.

6 points

exercice 2

Questionnaire à choix multiple Pour chacune des questions 1 à 6, trois affirmations sont proposées dont une seule est exacte.
Indiquer sur la copie, pour chaque question, la bonne réponse.
Toute réponse bonne donne 1 point, toute mauvaise réponse enlève 0,5 point, une absence de réponse ne donne aucun point et n'en enlève aucun. S'il est négatif, le total de l'exercice est ramené à 0.

On désigne par log le logarithme décimal et par $\ln$ le logarithme népérien.

1. Soit T le nombre réel tel que : $5^{\nombre{4000}} = 10^{\text{T}}$ . Alors on peut affirmer que :

a) $\ln \text{T} = 4000\ln 5 - \ln 10$

b) $\log 5 = \dfrac{\text{T}}{4000}$

c) $\text{T} = 2000$

2. On rappelle que, dans la gamme de tempérament égal :
l'octave est divisée en douze demi-tons égaux séparant les notes, si bien que la suite des fréquences des notes est géométrique de raison $q$ où $q$ est un nombre réel positif tel que $q^{12} = 2$ .
une quarte juste contient cinq demi-tons.
Dans cette gamme, le rapport des fréquences correspondant à une quarte juste ascendante est :

a) égal à $\dfrac{4}{3}$

b) inférieur à $\dfrac{4}{3}$

c) égal à $2^{\frac{5}{12}}$

3. La somme d'une fonction sinusoïdale de fréquence 400~Hz et d'une fonction sinusoïdale de fréquence 800 Hz, est :
    a) non périodique
    b) périodique de fréquence 1200 Hz
    c) périodique de fréquence 400 Hz

4. On rappelle que :
Si $a, b$ et $c$ sont des entiers naturels, « $a$ congru à $b$ modulo $c$ » s'écrit : $a \equiv b~~ (\text{modulo}~ c)$ .
L'équation $7n \equiv 11 (\text{modulo}~ 12)$ d'inconnue $n$ , entier compris entre 0 et 6 :

a) a une solution et une seule

b) n'a aucune solution

c) a deux solutions

5. L'ensemble des solutions de l'inéquation $\text{e}^{-3x+1} < \text{e}^{-2x+3}$ d'inconnue réelle $x$ est :

a) l'intervalle $]-\infty~ ;~ - 2[$

b) l'intervalle $[-2 ~;~ + \infty[$

c) $]- 2~ ;~ + \infty[$

6. On considère une échelle de fréquence logarithmique graduée de 40 à 10 000 Hz et de longueur totale 24 cm.
Sachant que de 40 Hz à 10 000 Hz, il y a entre sept et huit octaves, on peut alors affirmer que sur cette échelle :
    a) toutes les octaves ont une « largeur » de 15 mm environ.
    b) toutes les octaves ont une « largeur » de 3 cm environ.
    c) l'octave DO₄-DO₅ a une « largeur » bien supérieure à l'octave DO₃-DO₄.
On considère ici que la note DO₄ correspond à une fréquence de 520 Hz.

7 points

exercice 3 - Enseignement obligatoire (au choix)

1. Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0 ; + \infty[$ par : $g(x) = x^2 +3 - 2 \ln x$ .
    a) On désigne par $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ .
Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $]0 ~;~ + \infty[,~ g'(x) = \dfrac{2(x - 1)(x + 1) }{x}$ .
    b) Étudier le signe de $g'(x$ ) pour tout $x$ de l'intervalle $]0 ; + \infty[$ .
    c) Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ .
Les limites aux bornes de l'intervalle ne sont pas demandées.
    d) En déduire que, pour tout $x$ de l'intervalle $]0 ; + \infty[, g(x) > 0$ .

2. Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0 ; + \infty[$ par : $f(x) = x - \dfrac{1}{x} + \dfrac{ 2\ln x}{x}$ .
On désigne par $f'$ , la fonction dérivée de la fonction $f$ .
    a) Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $]0 ; + \infty[, f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$ .
    b) À l'aide des résultats de la question 1., en déduire le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0 ; + \infty[$ .
    c) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ .
Les limites aux bornes de l'intervalle ne sont pas demandées.
    d) Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en donnant, à chaque fois, une valeur décimale approchée à $10^{-1}$ près :

$x$	0,75	1	1,5	2	3	4	5	6	7
$f(x)$

e) Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,75 ; 7], dans un repère orthononnal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ du plan d'unité graphique 2 cm.

7 points

exercice 4 - Enseignement renforcé (au choix)

A. On considère la fonction $T$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0~;~ \dfrac{3\pi}{2}\right]$ par : $T(x) = 2 \cos \left(\dfrac{2x}{3}\right)$ .

1. Calculer le réel $T\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)$ .

2. a) Montrer que, pour tout réel $x$ tel que $0 \leqslant x < \dfrac{3\pi}{4}$ , on a $0 \leqslant \dfrac{2x}{3} < \dfrac{\pi}{2}$ .
b) En déduire le signe de $T(x)$ lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left[0~;~ \dfrac{3\pi}{4}\right]$ .
Par la suite, on admettra que si $x$ appartient à l'intervalle $\left]\dfrac{3\pi}{4}~;~ \dfrac{3\pi}{2}\right]$ alors $T( x) < 0$ .

B. On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0~;~ \dfrac{3\pi}{2}\right]$ par : $f(x) = 3\sin \left(\dfrac{2x}{3}\right)$ .
1. Calculer les réels $f(0),~ f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)$ et $f\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)$ .

2. a) On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ .
Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $\left[0~;~ \dfrac{3\pi}{2}\right],~ f'(x) = T (x)$ .
b) En utilisant les résultats de la partie A, dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0~;~ \dfrac{3\pi}2}\right]$ .

C.
1. Calculer l'intégrale I définie par $\text{I} = \displaystyle\int_{0}^{\dfrac{3\pi}{2}} 3 \sin \left( \dfrac{2x}{3}\right)\:\text{d}x$ .

2. Sur le graphique de la fin, on a tracé la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ d'unité graphique 2 cm.
On considère le domaine plan délimité par les droites d'équation $x = 0$ et $x = \dfrac{3\pi}{2}$ , l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$ .
Déduire du calcul de l'intégrale I, la mesure $\mathcal{A}$ , exprimée en cm², de ce domaine.

FEUILLE ANNEXE

ENSEIGNEMENT RENFORCÉ (au choix) Exercice 4 : annexe

bac TMD Métropole Septembre 2007 - terminale : image 2

Voir la correction

exercice 1

1. $P(\overline{D})=1-P(D)=1-\dfrac{55}{100}=\boxed{0,45}$

2.

bac TMD Métropole Septembre 2007 - terminale : image 4

3. a) $P(D\cap V)=0,55\times 0,2=\boxed{0,11}$

3. b) $P(\overline{D}\cap V)=0,45\times 0,05=\boxed{0,0225}$

3. c) $P(V)=P(D\cap V)+P(\overline{D}\cap V)=0,11+0,0225=\boxed{0,1325}$

4. La probabilité demandée est $P_V(D)=\dfrac{P(D\cap V)}{P(V)}=\dfrac{0.11}{0.1325}=\dfrac{44}{53}\approx0.83$

exercice 2

1. Réponse correcte b)
En remarquant que $\log(10)=1$ on a : $5^{\nombre{4000}} = 10^{\text{T}}\Longleftrightarrow \log\left( 5^{\nombre{4000}}\right) = \log \left(10^{\text{T}}\right)\Longleftrightarrow 4000\log 5=T\Longleftrightarrow \log 5=\dfrac{T}{4000}$

2. Réponse correcte c)
La suite des fréquences des notes est géométrique de raison $q$ strictement positive avec $q^{12}=2$ soit $q=2^\frac{1}{12}$
Une quarte juste contient 5 demi-tons, donc le rapport des fréquences est égal à $\left(2^\frac{1}{12}\right)^5=2^\frac{5}{12}$

3. Réponse correcte c)
C'est un son de fréquence 400 Hz (qui n'est plus sinusoïdal)

4. Réponse correcte a)
L'équation $7n \equiv 11 (\text{modulo}~ 12)$ est équivalent à dire que 12 divise $7n-11$ , or : $7n-11=\begin{cases}-11\text{ pour n=0}\\-4\text{ pour n=1}\\3\text{ pour n=2}\\10\text{ pour n=3} \\17 \text{ pour n=4} \\ 24 \text{ pour n=5} \\ 31 \text{ pour n=6}\end{cases}$
Seul 24 est multiple de 12, donc l'équation n'admet qu'une seule solution $n=5$ dans l'intervalle donné.

5. Réponse correcte c)
La fonction exponentielle étant strictement croissante sur $\mathbb{R}$ on a :
$\text{e}^{-3x+1} < \text{e}^{-2x+3}\Longleftrightarrow -3x+1<-2x+3 \Longleftrightarrow 1-3<3x-2x\Longleftrightarrow -2<x\Longleftrightarrow x\in ]-2,+\infty[$

6. Réponse correcte b)
Puisque l'échelle est logarithmique et qu'un intervalle d'une octave correspond à un rapport de fréquences de 2, tous les intervalles seront égaux.
$\dfrac{10 000}{40} = 250 \text{ et }2^8 = 256$ donc on a presque 8 octaves et $\dfrac{24}{8}=3$

exercice 3 - Enseignement obligatoire (au choix)

1. a) La fonction $g$ est définie sur $]0 ; + \infty[$ par : $g(x) = x^2 +3 - 2 \ln x$
Donc $g$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ et pour tout $x$ appartenant à cet intervalle, on a :
$g'(x)=2x-2\times\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x\times x -2 }{x}=\dfrac{2(x^2-1)}{x}=\boxed{\dfrac{2(x-1)(x+1)}{x}}$

1. b) $x$ étant strictement positif, donc $\dfrac{2}{x}>0$ et $x+1>0$ , il s'ensuit que $g'(x)$ a le même signe que $x-1$
$\boxed{g'(x)\text{ est positif pour } x \text{ de } [1,+\infty[ \text{ et négatif pour } x \text{ de } ]0,1]}$

1. c) En utilisant le résultat obtenu en 1. b) , on obtient :
$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x & 0 & & 1 & & +\infty \\ \hline g'(x) & \dbarre & - & \barre{0} & + & \\ \hline \niveau{2}{3} g & \dbarre & \decroit & 4 & \croit & \\ \hline \end{tabvar}$
Remarque : $g(1)=1^2+3-2\ln 1=4$

1. d) D'après le tableau de variations, $g(1)=4$ est la valeur minimale prise par la fonction $g$ sur $]0 ; +\infty[$ , donc :
$\text{Pour tout } x \text{ de }]0,+\infty[\text{ , } g(x)\ge 4 >0$
On en déduit : $\boxed{\text{ Pour tout } x \text{ de l'intervalle } ]0 ; + \infty[ \text{ , } g(x) > 0}$

2. a) La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ par : $f(x) = x - \dfrac{1}{x} + \dfrac{ 2\ln x}{x}$
Donc $f$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ et on a, pour tout $x$ de $]0 ; +\infty[$ :
$f'(x)=1+\dfrac{1}{x^2}+2\dfrac{\frac{1}{x}x-1\times\ln x}{x^2}=1+\dfrac{1}{x^2}+2\dfrac{1-\ln x}{x^2}=\dfrac{x^2+1+2(1-\ln x)}{x^2}=\dfrac{x^2+1+2-2\ln x}{x^2}=\boxed{\dfrac{g(x)}{x^2}}$

2. b) Sur $]0 ; +\infty[~,~x^2>0$ , donc $f'(x)$ a le même signe que $g(x)$ .
En utilisant 1. d), on en déduit que :
$\boxed{ f'(x)>0 \text{ pour tout } x \text{ de } ]0,+\infty[}$

2. c) Directement :
$\begin{tabvar}{|C|CCCC|} \hline x & 0 & & & +\infty \\ \hline f'(x) & \dbarre & & + & \\ \hline \niveau{2}{3} f & \dbarre & & \croit & \\ \hline \end{tabvar}$
2. d) Tableau de valeurs :
$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \textit{x}& 0.75& 1&1.5&2& 3&4& 5&6& 7 \\ \hline \textit{f}\text{(}\textit{x}\text{)}&-1.4&0&1.4&2.2&3.4&4.4&5.4&6.4&7.4 \\ \hline\end{tabular}$

2. e) On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,75 ; 7].

bac TMD Métropole Septembre 2007 - terminale : image 3

exercice 4 - Enseignement renforcé (au choix)

A.
1. $T\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = 2 \cos \left(\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3\pi}{4}\right)=2 \cos \left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\boxed{0}$

2. a) Soit $x$ un réel vérifiant $0 \leq x < \dfrac{3\pi}{4}$ .
Puisque $\dfrac{2}{3}>0$ , on peut multiplier les trois membres de cette double inégalité sans changer l'ordre, ce qui donne : $\boxed{0 \leqslant \dfrac{2x}{3} < \dfrac{\pi}{2}}$

2. b) D'après 2. a), pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left[0~;~ \dfrac{3\pi}{4}\right] \text{ on a: } 0 \leqslant \dfrac{2x}{3} \le \dfrac{\pi}{2}$
Or, on sait que la fonction $t\mapsto \cos(t)$ est décroissante sur $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ , donc pour tout $x$ de $\left[0~;~ \dfrac{3\pi}{4}\right]\text{ : } \cos 0 \geqslant \cos \left(\dfrac{2x}{3}\right) \ge \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$
Donc pour tout $x$ de $\left[0~;~ \dfrac{3\pi}{4}\right]\text{ : } \cos \left(\dfrac{2x}{3}\right) \ge 0$ , et en multipliant par $2$ , on trouve : $\boxed{\text{Pour tout } x \text{ de } \left[0,\dfrac{3\pi}{4}\right]\text{ , } T(x)\ge 0}$

B.
1.
$f(0)= 3\sin \left(\dfrac{2\times 0}{3}\right)=3\sin(0)=\boxed{0}$
$f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=3\sin \left(\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3\pi}{4}\right)=3\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\boxed{3}$
$f\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=3\sin \left(\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3\pi}{2}\right)=3\sin\left(\pi\right)=\boxed{0}$

2. a) $f$ étant définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0~;~ \dfrac{3\pi}{2}\right]$ par : $f(x) = 3\sin \left(\dfrac{2x}{3}\right)$ , elle est dérivable sur cet intervalle.
D'autre part, $f(x)$ est de la forme $\sin(u)$ (de dérivée $u'\cos(u)$ ), donc :
Pour tout $x$ de $\left[0~;~ \dfrac{3\pi}{2}\right]$ , $f'(x)=3\times\dfrac{2}{3}\times \cos \left(\dfrac{2x}{3}\right)=2\cos \left(\dfrac{2x}{3}\right)=\boxed{T(x)}$

2. b) D'après la partie A.: $\begin{cases} T(x)\ge 0 \text{ pour tout } x\in \left[0,\dfrac{3\pi}{4}\right] \\ T(x)\le 0 \text{ pour tout } x\in \left[\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}\right]\end{cases}$ , donc: $\begin{cases} f'(x)\ge 0 \text{ pour tout } x\in \left[0,\dfrac{3\pi}{4}\right] \\ f'(x)\le 0 \text{ pour tout } x\in \left[\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}\right]\end{cases}$
Donc $f$ est croissante sur $\left[0,\dfrac{3\pi}{4}\right]$ et décroissante sur $\left[\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}\right]$ , d'où le tableau de variations suivant :
$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x & 0 & & \dfrac{3\pi}{4} & & \dfrac{3\pi}{2} \\ \hline f'(x) & & + & \barre{0} & - & \\ \hline \niveau{2}{3} f & 0 & \croit & 3 & \decroit & 0 \\ \hline \end{tabvar}$

C.
1. Afin de calculer l'intégrale $I$ , il faut déterminer une primitive de la fonction $f$ sur $\left[0,\dfrac{3\pi}{2}\right]$
On sait qu'une primitive de $x\mapsto\sin(ax)$ est $x\mapsto -\dfrac{1}{a} \cos(ax)$ où $a$ est une constante réelle non nulle.
Donc la fonction $f$ définie par $f(x)=3\sin \left(\dfrac{2x}{3}\right)$ sur $\left[0,\dfrac{3\pi}{2}\right]$ a pour primitive sur cet intervalle la fonction notée $F$ qui est définie sur le même intervalle par : $F(x)=-3\dfrac{1}{\frac{2}{3}} \cos(\dfrac{2x}{3})=\boxed{-\dfrac{9}{2}\cos\left(\dfrac{2x}{3}\right)}$
Donc l'intégrale $I$ est égale à :
$\text{I} = \displaystyle\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} f(x)\:\text{d}x=\displaystyle\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} 3 \sin \left( \dfrac{2x}{3}\right)\:\text{d}x= \left[F(x)\right]_{0}^{\frac{3\pi}{2}}=F\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)-F(0)=-\dfrac{9}{2}\cos\left(\pi\right)+\dfrac{9}{2}\cos 0=\dfrac{9}{2}+\dfrac{9}{2}=\boxed{9}$

2. Pour $x\in\left[0~;~\dfrac{3\pi}{2}\right]~f~$ ne prend que des valeurs positives, donc l'aire $\mathcal{A}$ qui correspond à l'aire demandée vaut en unité d'aire la valeur $I=9$ . Or 1 u.a = 4cm² donc :
On en déduit : $\mathcal{A}=4I=4\times 9= \boxed{36\text{ cm}^2}$

Publié par TP/dandave le 01-05-2014

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