Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Techniques de la Musique et de la Danse
France - Session Septembre 2007

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7 points

exercice 1

Dans une université, 55 % des étudiants possèdent un ordinateur. Parmi les étudiants ayant un ordinateur :
    20 % ont un violon ;
    30 % ont une flûte ;
    Aucun étudiant ne possède à la fois une flûte et un violon.
Parmi les étudiants n'ayant pas d'ordinateur :
    5 % ont un violon ;
    15 % ont une flûte ;
    Aucun étudiant ne possède à la fois une flûte et un violon.
On choisit au hasard un étudiant de cette université. Tous les étudiants ont la même probabilité d'ètre choisis.
On définit les évènements suivants :
    D : « l'étudiant a un ordinateur » ;
    V : « l'étudiant a un violon » ;
    F : « l'étudiant a une flûte » ;
    R : « l'étudiant n'a aucun de ces deux instruments de musique ».
On rappelle que \overline{\text{D}} désigne l'évènement contraire de l'évènement D.

1. Déterminer la probabilité pour que l'étudiant n'ait pas d'ordinateur.

2. Recopier et compléter l'arbre de probabilités suivant, correspondant à la situation décrite par l'énoncé.
bac TMD Métropole Septembre 2007 - terminale : image 1

3. a) Calculer la probabilité de l'évènement « l'étudiant a un ordinateur et un violon ».
    b) Calculer la probabilité de l'évènement « l'étudiant a un violon et n'a pas d'ordinateur ».
    c) En déduire que la probabilité de l'évènement V est égale à 0,1325.

4. Quelle est la probabilité de l'évènement « l'étudiant a un ordinateur » sachant qu'il a un violon ?
On donnera la valeur exacte puis une valeur décimale approchée à 10-2 près.


6 points

exercice 2

Questionnaire à choix multiple
Pour chacune des questions 1 à 6, trois affirmations sont proposées dont une seule est exacte.
Indiquer sur la copie, pour chaque question, la bonne réponse.
Toute réponse bonne donne 1 point, toute mauvaise réponse enlève 0,5 point, une absence de réponse ne donne aucun point et n'en enlève aucun. S'il est négatif, le total de l'exercice est ramené à 0.


On désigne par log le logarithme décimal et par \ln le logarithme népérien.

1. Soit T le nombre réel tel que : 5^{\nombre{4000}} = 10^{\text{T}}. Alors on peut affirmer que :
a) \ln \text{T} = 4000\ln 5 - \ln 10b) \log 5 = \dfrac{\text{T}}{4000}c) \text{T} = 2000

2. On rappelle que, dans la gamme de tempérament égal :
    l'octave est divisée en douze demi-tons égaux séparant les notes, si bien que la suite des fréquences des notes est géométrique de raison qq est un nombre réel positif tel que q^{12} =  2.
    une quarte juste contient cinq demi-tons.
Dans cette gamme, le rapport des fréquences correspondant à une quarte juste ascendante est :
a) égal à \dfrac{4}{3}b) inférieur à \dfrac{4}{3}c) égal à 2^{\frac{5}{12}}

3. La somme d'une fonction sinusoïdale de fréquence 400~Hz et d'une fonction sinusoïdale de fréquence 800 Hz, est :
    a) non périodique
    b) périodique de fréquence 1200 Hz
    c) périodique de fréquence 400 Hz

4. On rappelle que :
Si a, b et c sont des entiers naturels, «a congru à b modulo c» s'écrit : a \equiv  b~~ (\text{modulo}~ c).
L'équation 7n \equiv 11 (\text{modulo}~ 12) d'inconnue n, entier compris entre 0 et 6 :
a) a une solution et une seuleb) n'a aucune solutionc) a deux solutions

5. L'ensemble des solutions de l'inéquation \text{e}^{-3x+1} < \text{e}^{-2x+3} d'inconnue réelle x est :
a) l'intervalle ]-\infty~ ;~ - 2[b) l'intervalle [-2 ~;~ + \infty[c) ]- 2~ ;~ + \infty[

6. On considère une échelle de fréquence logarithmique graduée de 40 à 10 000 Hz et de longueur totale 24 cm.
Sachant que de 40 Hz à 10 000 Hz, il y a entre sept et huit octaves, on peut alors affirmer que sur cette échelle :
    a) toutes les octaves ont une « largeur » de 15 mm environ.
    b) toutes les octaves ont une « largeur » de 3 cm environ.
    c) l'octave DO4-DO5 a une « largeur » bien supérieure à l'octave DO3-DO4.
On considère ici que la note DO4 correspond à une fréquence de 520 Hz.


7 points

exercice 3 - Enseignement obligatoire (au choix)

1. Soit g la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; + \infty[ par :     g(x) = x^2 +3 - 2 \ln x.
    a) On désigne par g' la fonction dérivée de la fonction g.
Montrer que, pour tout x de l'intervalle ]0 ~;~ + \infty[,~ g'(x) = \dfrac{2(x - 1)(x + 1) }{x}.
    b) Étudier le signe de g'(x) pour tout x de l'intervalle ]0 ; + \infty[.
    c) Dresser le tableau de variations de la fonction g sur l'intervalle ]0 ; + \infty[.
Les limites aux bornes de l'intervalle ne sont pas demandées.
    d) En déduire que, pour tout x de l'intervalle ]0 ; + \infty[, g(x) > 0.

2. Soit f la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; + \infty[ par :     f(x) = x - \dfrac{1}{x} + \dfrac{ 2\ln x}{x}.
On désigne par f', la fonction dérivée de la fonction f.
    a) Montrer que, pour tout x de l'intervalle ]0 ; + \infty[, f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}.
    b) À l'aide des résultats de la question 1., en déduire le signe de f'(x) pour tout x de l'intervalle ]0 ; + \infty[.
    c) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; + \infty[.
Les limites aux bornes de l'intervalle ne sont pas demandées.
    d) Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en donnant, à chaque fois, une valeur décimale approchée à 10^{-1} près :
x0,7511,5234567
f(x)         
    e) Tracer la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle [0,75 ; 7], dans un repère orthononnal (O ; \vec{i},\vec{j}) du plan d'unité graphique 2 cm.


7 points

exercice 4 - Enseignement renforcé (au choix)

A. On considère la fonction T définie pour tout réel x de l'intervalle \left[0~;~  \dfrac{3\pi}{2}\right] par :     T(x) = 2 \cos \left(\dfrac{2x}{3}\right).

1. Calculer le réel T\left(\dfrac{3\pi}{4}\right).

2. a) Montrer que, pour tout réel x tel que 0 \leqslant  x < \dfrac{3\pi}{4}, on a 0 \leqslant  \dfrac{2x}{3} < \dfrac{\pi}{2}.
    b) En déduire le signe de T(x) lorsque x appartient à l'intervalle \left[0~;~  \dfrac{3\pi}{4}\right].
Par la suite, on admettra que si x appartient à l'intervalle \left]\dfrac{3\pi}{4}~;~  \dfrac{3\pi}{2}\right] alors T( x) < 0.


B. On considère la fonction f définie pour tout réel x de l'intervalle \left[0~;~  \dfrac{3\pi}{2}\right] par :     f(x) = 3\sin  \left(\dfrac{2x}{3}\right).
1. Calculer les réels f(0),~ f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) et f\left(\dfrac{3\pi}{2}\right).

2. a) On désigne par f' la fonction dérivée de la fonction f.
Montrer que, pour tout x de l'intervalle \left[0~;~  \dfrac{3\pi}{2}\right],~ f'(x) = T (x).
    b) En utilisant les résultats de la partie A, dresser le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle \left[0~;~  \dfrac{3\pi}2}\right].


C.
1. Calculer l'intégrale I définie par \text{I} = \displaystyle\int_{0}^{\dfrac{3\pi}{2}}  3 \sin \left( \dfrac{2x}{3}\right)\:\text{d}x.

2. Sur le graphique de la fin, on a tracé la courbe \mathcal{C} représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthonormal (O ; \vec{i},\vec{j}) d'unité graphique 2 cm.
On considère le domaine plan délimité par les droites d'équation x = 0 et x = \dfrac{3\pi}{2}, l'axe des abscisses et la courbe \mathcal{C}.
Déduire du calcul de l'intégrale I, la mesure \mathcal{A}, exprimée en cm2, de ce domaine.


FEUILLE ANNEXE

ENSEIGNEMENT RENFORCÉ (au choix)
Exercice 4 : annexe

bac TMD Métropole Septembre 2007 - terminale : image 2




exercice 1

1. P(\overline{D})=1-P(D)=1-\dfrac{55}{100}=\boxed{0,45}

2.
bac TMD Métropole Septembre 2007 - terminale : image 4


3. a) P(D\cap V)=0,55\times 0,2=\boxed{0,11}

3. b) P(\overline{D}\cap V)=0,45\times 0,05=\boxed{0,0225}

3. c) P(V)=P(D\cap V)+P(\overline{D}\cap V)=0,11+0,0225=\boxed{0,1325}

4. La probabilité demandée est P_V(D)=\dfrac{P(D\cap V)}{P(V)}=\dfrac{0.11}{0.1325}=\dfrac{44}{53}\approx0.83




exercice 2

1. Réponse correcte b)
En remarquant que \log(10)=1 on a : 5^{\nombre{4000}} = 10^{\text{T}}\Longleftrightarrow \log\left( 5^{\nombre{4000}}\right) = \log \left(10^{\text{T}}\right)\Longleftrightarrow 4000\log 5=T\Longleftrightarrow \log 5=\dfrac{T}{4000}

2. Réponse correcte c)
La suite des fréquences des notes est géométrique de raison q strictement positive avec q^{12}=2 soit q=2^\frac{1}{12}
Une quarte juste contient 5 demi-tons, donc le rapport des fréquences est égal à \left(2^\frac{1}{12}\right)^5=2^\frac{5}{12}

3. Réponse correcte c)
C'est un son de fréquence 400 Hz (qui n'est plus sinusoïdal)

4. Réponse correcte a)
L'équation 7n \equiv 11 (\text{modulo}~ 12) est équivalent à dire que 12 divise  7n-11, or : 7n-11=\begin{cases}-11\text{ pour n=0}\\-4\text{ pour n=1}\\3\text{ pour n=2}\\10\text{ pour n=3} \\17 \text{ pour n=4} \\ 24 \text{ pour n=5} \\ 31 \text{ pour n=6}\end{cases}
Seul 24 est multiple de 12, donc l'équation n'admet qu'une seule solution n=5 dans l'intervalle donné.

5. Réponse correcte c)
La fonction exponentielle étant strictement croissante sur \mathbb{R} on a :
\text{e}^{-3x+1} < \text{e}^{-2x+3}\Longleftrightarrow -3x+1<-2x+3 \Longleftrightarrow 1-3<3x-2x\Longleftrightarrow -2<x\Longleftrightarrow x\in ]-2,+\infty[

6. Réponse correcte b)
Puisque l'échelle est logarithmique et qu'un intervalle d'une octave correspond à un rapport de fréquences de 2, tous les intervalles seront égaux.
\dfrac{10 000}{40} = 250 \text{ et }2^8 = 256 donc on a presque 8 octaves et \dfrac{24}{8}=3




exercice 3 - Enseignement obligatoire (au choix)

1. a) La fonction g est définie sur ]0 ; + \infty[ par : g(x) = x^2 +3 - 2 \ln x
Donc g est dérivable sur ]0 ; +\infty[ et pour tout x appartenant à cet intervalle, on a :
g'(x)=2x-2\times\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x\times x -2 }{x}=\dfrac{2(x^2-1)}{x}=\boxed{\dfrac{2(x-1)(x+1)}{x}}


1. b) x étant strictement positif, donc \dfrac{2}{x}>0 et x+1>0, il s'ensuit que g'(x) a le même signe que x-1
\boxed{g'(x)\text{ est positif pour } x \text{ de } [1,+\infty[  \text{ et négatif pour } x \text{ de } ]0,1]}


1. c) En utilisant le résultat obtenu en 1. b) , on obtient :
\begin{tabvar}{|C|CCCCC|}     \hline  x                    & 0        &                & 1          &         & +\infty    \\ \hline  g'(x)                & \dbarre  &    -           & \barre{0}  &    +    &    \\ \hline \niveau{2}{3} g       & \dbarre  &     \decroit   &   4        &  \croit &      \\ \hline \end{tabvar}

Remarque : g(1)=1^2+3-2\ln 1=4

1. d) D'après le tableau de variations, g(1)=4 est la valeur minimale prise par la fonction g sur ]0 ; +\infty[, donc :
\text{Pour tout } x \text{ de }]0,+\infty[\text{ , } g(x)\ge 4 >0

On en déduit :
\boxed{\text{ Pour tout } x \text{ de l'intervalle } ]0 ; + \infty[ \text{ , } g(x) > 0}


2. a) La fonction f est définie sur l'intervalle ]0 ; + \infty[ par : f(x) = x - \dfrac{1}{x} + \dfrac{ 2\ln x}{x}
Donc f est dérivable sur ]0 ; +\infty[ et on a, pour tout x de ]0 ; +\infty[ :
f'(x)=1+\dfrac{1}{x^2}+2\dfrac{\frac{1}{x}x-1\times\ln x}{x^2}=1+\dfrac{1}{x^2}+2\dfrac{1-\ln x}{x^2}=\dfrac{x^2+1+2(1-\ln x)}{x^2}=\dfrac{x^2+1+2-2\ln x}{x^2}=\boxed{\dfrac{g(x)}{x^2}}


2. b) Sur ]0 ; +\infty[~,~x^2>0 , donc f'(x) a le même signe que g(x).
En utilisant 1. d), on en déduit que :
\boxed{ f'(x)>0 \text{ pour tout } x \text{ de } ]0,+\infty[}


2. c) Directement :
\begin{tabvar}{|C|CCCC|}     \hline  x                    & 0       & &            & +\infty    \\ \hline  f'(x)                & \dbarre & &       +    &    \\ \hline \niveau{2}{3} f       & \dbarre & &     \croit &      \\ \hline \end{tabvar}

2. d) Tableau de valeurs :
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \textit{x}& 0.75& 1&1.5&2& 3&4& 5&6& 7 \\  \hline \textit{f}\text{(}\textit{x}\text{)}&-1.4&0&1.4&2.2&3.4&4.4&5.4&6.4&7.4 \\  \hline\end{tabular}


2. e) On note \mathcal{C}_f la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle [0,75 ; 7].
bac TMD Métropole Septembre 2007 - terminale : image 3





exercice 4 - Enseignement renforcé (au choix)

A.
1. T\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = 2 \cos \left(\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3\pi}{4}\right)=2 \cos \left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\boxed{0}

2. a) Soit x un réel vérifiant 0 \leq  x < \dfrac{3\pi}{4}.
Puisque \dfrac{2}{3}>0, on peut multiplier les trois membres de cette double inégalité sans changer l'ordre, ce qui donne :
\boxed{0 \leqslant \dfrac{2x}{3}  < \dfrac{\pi}{2}}


2. b) D'après 2. a), pour tout x appartenant à l'intervalle \left[0~;~  \dfrac{3\pi}{4}\right] \text{ on a: } 0 \leqslant \dfrac{2x}{3}  \le \dfrac{\pi}{2}
Or, on sait que la fonction t\mapsto \cos(t) est décroissante sur \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right], donc pour tout x de \left[0~;~  \dfrac{3\pi}{4}\right]\text{ : } \cos 0 \geqslant \cos \left(\dfrac{2x}{3}\right)  \ge \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)
Donc pour tout x de \left[0~;~  \dfrac{3\pi}{4}\right]\text{ : } \cos \left(\dfrac{2x}{3}\right)  \ge 0, et en multipliant par 2, on trouve :
\boxed{\text{Pour tout } x \text{ de } \left[0,\dfrac{3\pi}{4}\right]\text{ , } T(x)\ge 0}


B.
1.
f(0)=  3\sin  \left(\dfrac{2\times 0}{3}\right)=3\sin(0)=\boxed{0}
f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=3\sin  \left(\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3\pi}{4}\right)=3\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\boxed{3}
f\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=3\sin  \left(\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3\pi}{2}\right)=3\sin\left(\pi\right)=\boxed{0}

2. a) f étant définie pour tout réel x de l'intervalle \left[0~;~  \dfrac{3\pi}{2}\right] par : f(x) = 3\sin  \left(\dfrac{2x}{3}\right), elle est dérivable sur cet intervalle.
D'autre part, f(x) est de la forme \sin(u) (de dérivée u'\cos(u)), donc :
Pour tout x de \left[0~;~  \dfrac{3\pi}{2}\right] , f'(x)=3\times\dfrac{2}{3}\times \cos  \left(\dfrac{2x}{3}\right)=2\cos  \left(\dfrac{2x}{3}\right)=\boxed{T(x)}

2. b) D'après la partie A.: \begin{cases} T(x)\ge 0 \text{ pour tout } x\in \left[0,\dfrac{3\pi}{4}\right] \\ T(x)\le 0 \text{ pour tout } x\in \left[\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}\right]\end{cases}, donc: \begin{cases} f'(x)\ge 0 \text{ pour tout } x\in \left[0,\dfrac{3\pi}{4}\right] \\ f'(x)\le 0 \text{ pour tout } x\in \left[\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}\right]\end{cases}
Donc f est croissante sur \left[0,\dfrac{3\pi}{4}\right] et décroissante sur \left[\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}\right], d'où le tableau de variations suivant :
\begin{tabvar}{|C|CCCCC|}     \hline  x                    & 0        &                & \dfrac{3\pi}{4}          &         & \dfrac{3\pi}{2}   \\ \hline  f'(x)                &          &    +           & \barre{0}                &    -    &    \\ \hline \niveau{2}{3} f       &  0        &     \croit   &   3                      &  \decroit &    0  \\ \hline \end{tabvar}


C.
1. Afin de calculer l'intégrale I, il faut déterminer une primitive de la fonction f sur \left[0,\dfrac{3\pi}{2}\right]
On sait qu'une primitive de x\mapsto\sin(ax) est x\mapsto -\dfrac{1}{a} \cos(ax)a est une constante réelle non nulle.
Donc la fonction f définie par f(x)=3\sin  \left(\dfrac{2x}{3}\right) sur \left[0,\dfrac{3\pi}{2}\right] a pour primitive sur cet intervalle la fonction notée F qui est définie sur le même intervalle par :
F(x)=-3\dfrac{1}{\frac{2}{3}} \cos(\dfrac{2x}{3})=\boxed{-\dfrac{9}{2}\cos\left(\dfrac{2x}{3}\right)}

Donc l'intégrale I est égale à :
\text{I} = \displaystyle\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}}  f(x)\:\text{d}x=\displaystyle\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}}  3 \sin \left( \dfrac{2x}{3}\right)\:\text{d}x= \left[F(x)\right]_{0}^{\frac{3\pi}{2}}=F\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)-F(0)=-\dfrac{9}{2}\cos\left(\pi\right)+\dfrac{9}{2}\cos 0=\dfrac{9}{2}+\dfrac{9}{2}=\boxed{9}

2. Pour x\in\left[0~;~\dfrac{3\pi}{2}\right]~f~ ne prend que des valeurs positives, donc l'aire \mathcal{A} qui correspond à l'aire demandée vaut en unité d'aire la valeur I=9. Or 1 u.a = 4cm2 donc :
On en déduit :
\mathcal{A}=4I=4\times 9= \boxed{36\text{ cm}^2}
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