Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Hôtellerie
Polynésie Française - Session Juin 2007

Durée de l'épreuve : 1 heure 30 Coefficient : 2

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

8 points

exercice 1

Répondre au QCM (annexe à remettre avec la copie).

Chaque bonne réponse rapporte 1 point.
Pour chaque question, une seule proposition est exacte.
Entourer sur chaque ligne la bonne réponse sans justification:

1. Un restaurateur sert 5 200 couverts lors de l'année 2003, il estime que ce nombre va progresser de 1,5 % tous les ans. Le nombre de couverts prévisible pour l'année 2008 sera donc (à l'unité près) :
    a) 10 459
    b) 5 602
    c) 5 590
    d) 4 822

2. Un employé de restauration est embauché au 1^er janvier 2004 avec un salaire annuel de 14 400 €. Chaque année, son salaire annuel augmente de 150 € au 1^er janvier. La somme de tous les salaires perçus entre le 1^er janvier 2004 et le 1^er janvier 2009 s'élève donc à :
    a) 73 875 €
    b) 2 160 000 €
    c) 73 500 €
    d) 15 150 €

3. Soient A et B deux événements incompatibles avec p(A) = 0,25 et p(B) = 0,6 alors :
    a) p(A $\cup$ B) = 0,35
    b) p(A $\cup$ B) = 0,75
    c) p(A $\cap$ B) = 1
    d) p(A $\cap$ B) = 0

4. On donne le tableau de variations de la fonction $f$ :
$\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & 0 & & 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & \niveau{2}{2} 1 & \decroit & \niveau{1}{2} -1 & \croit & \niveau{2}{2} 2 \\ \hline \end{tabvar}$
    a) $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=2$
    b) $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$
    c) $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$
    d) $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=-3$

5. Toujours avec le tableau de variations de la fonction $f$ donné dans la question précédente :
    a) $f$ est strictement croissante sur [0 ; + $\infty$ [
    b) $f$ est strictement décroissante sur [2 ; + $\infty$ [
    c) $f'(2)=0$
    d) $f(x)=0$

6. Une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x)=5x^2-3x+1$ est :
    a) $F(x)=\dfrac{5}{3}x^3-\dfrac{3}{2}x+1$
    b) $F(x)=\dfrac{5}{3}x^3-\dfrac{3}{2}x^2+x+1$
    c) $F(x)=\dfrac{5}{3}x^3-\dfrac{3}{2}x^2+6x$
    d) $F(x)=5x^3-x^2+x$

7. La solution de l'équation $\ln(2x+3)=0$ est :
    a) $x=-1$
    b) $x=\dfrac{e-3}{2}$
    c) $x=-\dfrac{3}{2}$
    d) $x=-2$

8. La dérivée de la fonction $f$ définie par $f(x)=\text{e}^{2x+1}$ est :
    a) $f'(x)=\text{e}^{2}$
    b) $f'(x)=\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x+1}$
    c) $f'(x)=(2x+1)\text{e}^{2x+1}$
    d) $f'(x)=2\text{e}^{2x+1}$

12 points

exercice 2

Les deux parties de ce problème traitent d'un même sujet mais peuvent être étudiées indépendamment.

Loisirs Accueil Jura : Évolution du chiffre d'affaires
Créée en 1982 sous le statut d'association loi 1901, la centrale de réservation départementale Loisirs Accueil Jura a vu ses missions évoluer ces dernières années. Aussi; assure-t-elle, en plus du traitement des demandes d'informations adressées au Comité Départemental du Tourisme et de la commercialisation d'hébergements, la conception et la mise en marché de séjours thématiques.
(extrait du site http://dklik.planetb.fr/cdt-jura-institu/).

Partie A

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du chiffre d'affaires de cette centrale de réservation en milliers d'euros entre 2001 et 2005.

Année	2001	2002	2003	2004	2005
Rang de l'année $x_{i}$	1	2	3	4	5
Chiffre d'affaires $y_{i}$	125	138	165	200	250

Source : l'Observatoire du Comité Départemental du Tourisme du Jura.

1. Calculer les quatre pourcentages d'augmentation successifs du chiffre d'affaires (entre 2001 et 2002, entre 2002 et 2003, ...). Les résultats seront arrondis au dixième.

On représente cette série dans un repère orthogonal par un nuage de points $M_{i}\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ . On obtient le nuage donné en annexe.

Bac hôtellerie Polynésie Française Juin 2007 - terminale : image 1

On se propose d'étudier un autre nuage de points.

2. On pose $z_{i} = \ln y_{i}$ .
Reproduire et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à 10^-1 près :

Année	2001	2002	2003	2004	2005
Rang de l'année $x_{i}$	1	2	3	4	5
$z_{i} = \ln y_{i}$	4,83

3. Représenter sur papier millimétré le nuage de points $N_{i}\left(x_{i} ; z_{i}\right)$ dans un repère orthogonal, avec pour unités graphiques :
2 cm en abscisses (commencer à 0)
5 cm en ordonnées (commencer à 4)

4. On admet que la droite D d'équation $z = 0,179x+4,613$ constitue un bon ajustement affine du nuage de points $N_{i}$ .
Tracer D dans le repère de la question 3..

5. Le responsable de la centrale de réservation Loisirs Accueil Jura pense que la tendance décrite par la droite D se continuera dans les années à venir.
Déterminer par le calcul le chiffre d'affaires prévisible en 2007 arrondi au millier d'euros près.

Partie B

Le but de cette partie est d'étudier la fonction $f : x \longmapsto 100\text{e}^{0,18x}$ sur l'intervalle [0 ; 8] et de montrer qu'elle réalise une approximation acceptable du chiffre d'affaires de la centrale de reservation Loisirs Accueil Jura.
Pour cela on posera $x$ le rang de l'année ( $x =1$ pour l'an 2001) et $f(x)$ le montant en milliers d'euros du chiffre d'affaires.

1. Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ est toujours positive sur [0 ; 8].

2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur [0 ; 8].

3. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant en arrondissant les valeurs à 10 près.

$x$	0	1	2	4	6	8
$f(x)$					294,5

4. Tracer sur l'Annexe la courbe représentative de $f$ sur [0 ; 8].
On observera que la courbe obtenue fournit une approximation acceptable du nuage de points entre 2001 et 2005.

5. Déterminer par la méthode de votre choix le chiffre d'affaires prévisible en 2007 arrondi au millier d'euros près.
On remarquera que l'on obtient un résultat très proche de celui obtenu à la question A.5..

Correction

exercice 1

1. Réponse correcte b)
Soit $u_n$ le nombre de couverts dans l'année de rang $n$ et prenons 2003 l'année de rang 0, donc $u_0=5200$
Le nombre de couverts augmente chaque année de 1,5%, donc pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_{n+1}=u_n+\dfrac{1,5}{100}u_n=1,015u_n$
$(u_n)$ est donc une suite géométrique de raison 1,015 et donc, pour tout entier naturel $n$ : $u_n=u_0(1,015)^n$
2003 étant de rang 0, alors 2008 est de rang 5, on en déduit que le nombre de couverts demandé est : $u_5=u_0(1,015)^5=5200\times 1,015^5\approx \boxed{5602 \text{ à l'unité près}}$

2. Réponse correcte c)
L'année 2004, il gagne 14400, l'année 2005 il gagne 14550, l'année 2006 il gagne 14700, l'année 2007 il gagne 14850, l'année 2008 il gagne 15000
Le premier janvier 2009, il a gagné au total : 14 400 + 14 550 + 14 700 + 14 850 + 15 000 = 73 500

3. Réponse correcte c)
Propriété des événements incompatibles (voir cours)

4. Réponse correcte a)
D'après le tableau de variations

5. Réponse correcte c)
On lit dans le tableau que la dérivée en 2 vaut 0.
6. Réponse correcte b)
$F'(x)=3\times \dfrac{5}{3} x^2-2\times \dfrac{3}{2}x+1=5x^2-3x+1=\boxed{f(x)}$

7. Réponse correcte a)
$\ln\left(2\times(-1)+3\right)=\ln(-2+3)=\ln 1=\boxed{0}$

8. Réponse correcte d)
$f'(x)=\boxed{2e^{2x+1}} \text{(dérivée de e}^u\text{)}$

exercice 2

Partie A

1. On notera le pourcentage d'augmentation par $P_a$
Entre 2001 et 2002: $P_a_1=(138-125)\times \dfrac{100}{125}=\boxed{10,4\%}$
Entre 2002 et 2003: $P_a_2=(165-138)\times \dfrac{100}{138}\approx\boxed{19,6\%}$
Entre 2003 et 2004: $P_a_3=(200-165)\times \dfrac{100}{165}\approx\boxed{21,2\%}$
Entre 2001 et 2002: $P_a_4=(250-200)\times \dfrac{100}{200}=\boxed{25\%}$

2.

Année	2001	2002	2003	2004	2005
Rang de l'année $x_{i}$	1	2	3	4	5
$z_{i} = \ln y_{i}$	4,83	4,9	5,1	5,3	5,5

3./4.

Bac hôtellerie Polynésie Française Juin 2007 - terminale : image 2

5. Le rang de l'année 2007 étant 7, le chiffre d'affaire demandé est : $C.A=e^z=e ^{0,179\times 7+4,613 }\boxed{\approx 353\text{ milliers d'euros.}}$

Partie B

1. La fonction $f$ est définie sur [0 ; 8] par $f(x)=100~\text{e}^{0,18x}$ ; elle est dérivable sur cet intervalle et :
Pour tout $x$ de [0 ; 8], $f'(x)=0,18 \times 100~ \text{e}^{0,18x}=\boxed{18~\text{e}^{0,18x}}$
On sait qu'une exponentielle est toujours positive, alors : $\boxed{\text{ Pour tout }x \text{ de }[0;8] \text{ , } f'(x)>0}$

2. Tableau de variations : $\begin{tabvar}{|C|CCC|} \hline x & 0 & & 8 \\ \hline f'(x) & & + & \\ \hline \niveau{2}{3} f & 100 & \croit & 100e^{1,44} \\ \hline \end{tabvar}$
Puisque : $f(0)=100~\text{e}^{0,18\times 0}=100 \text{ et } f(8)=100~\text{e}^{0,18\times 8}=100~\text{e}^{1,44}$

3. Tableau :

$x$	0	1	2	4	6	8
$f(x)$	100	119,7	143,3	205,4	294,5	422,1

Bac hôtellerie Polynésie Française Juin 2007 - terminale : image 3

5. Il s'agit de calculer : $f(7)=100~\text{e}^{0,18\times 7}\approx \boxed{352}$
Le chiffre d'affaires prévisible en 2007 s'élève à 352 milliers d'euros, résultat très proche de celui obtenu en A.5.

Publié par TP/dandave le 28-07-2014

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