Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Hôtellerie
Métropole - Session Septembre 2007

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Durée de l'épreuve : 1 heure 30       Coefficient : 2

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.
8 points

exercice 1

1. En 2002, une enquête sur les habitudes alimentaires a été effectuée auprès de 2 000 personnes, réparties selon quatre classes d'âge (les 12-17 ans, les 18-24 ans, les 25-44 ans, les 45-64 ans).
Recopier et compléter le tableau, sans justifier, sachant que :
    Les 12-17 ans représentent \dfrac{1}{5} des personnes interrogées.
    Les 25-44 ans représentent 25 % des personnes interrogées. 30 % d'entre elles mangent du poisson au moins deux fois par semaine.
    Parmi les 700 personnes qui ont entre 45 et 64 ans, 392 mangent du poisson au plus une fois par semaine.
    Parmi les 622 personnes qui mangent du poisson au moins deux fois par semaine, 80 ont entre 12 et 17 ans.
Source : Inpes, baromètre santé nutrition 2002
 Mange du poisson au moins deux fois par semaineMange du poisson au plus une fois par semaineTotal
12-17 ans80 400
18-24 ans   
25-44 ans   
45-64 ans   
Total622  

2. On interroge au hasard une personne parmi les 2 000 ayant participé à l'enquête. Chaque personne a la même probabilité d'être interrogée. On considère les évènements suivants :
    A : «la personne interrogée mange du poisson au moins deux fois par semaine»
    B : «la personne interrogée a entre 12 et 17 ans»
    a) Calculer les probabilités p(A) et p(B). Les résultats seront donnés sous forme décimale exacte.
    b) Définir par une phrase l'événement A \cap B ; calculer sa probabilité.
    c) Définir par une phrase l'événement A \cup B ; calculer sa probabilité.

3. On interroge au hasard une personne parmi les 12-17 ans. Chaque personne a la même probabilité d'être interrogée. Déterminer la probabilité p_{1} que la personne interrogée mange du poisson au moins deux fois par semaine.

4. On interroge au hasard une personne parmi celles qui mangent du poisson au moins deux fois par semaine. Chaque personne a la même probabilité d'être interrogée. Déterminer la probabilité p_{2} que la personne interrogée ait entre 45 et 64 ans (arrondir à 10-2 près).


12 points

exercice 2

Partie A : Nuage de points

Dans une étude effectuée entre 1970 et 2004 par l'International Obesity TaskForce, à propos du surpoids chez les enfants anglais âgés de 7 à 11 ans, apparaissent les résultats suivants :
Année19741984199419982002
Rang : x_{i}414242832
Pourcentage d'enfants souffrant de problème de poids : y_{i}7 %8 %13 %20 %27 %
Le rang x = 0 représente l'année 1970.
Représenter le nuage de points de coordonnées \left(x_{i}  ; y_{i}\right) de cette série statistique dans le repère orthogonal fourni en annexe.

Partie B : Étude de fonction

Soit f la fonction définie sur I = [0 ; + \infty[ par :
f(x) = \text{exp}\left(0,001x^2+0,018x + 1,7\right) que l'on notera : f(x) = \text{e}^{0,001x^2+0,018x+1,7}.

1. Déterminer la limite de f en +\infty.
Montrer que la fonction dérivée de f est donnée par
f'(x) =  (0,002x +0,018)\text{e}^{0,001x^2+0,018x+1,7}.
Étudier le signe de f'(x) sur I.

2. Dresser le tableau de variations de f sur I.

3. Reproduire et compléter le tableau de valeurs numériques suivant ; on fera figurer les valeurs arrondies à 10-1 près.
x041014202428323436384042
f(x) 6   15      68

4. Tracer \mathcal{C}_{f} la courbe représentative de la fonction f dans le même repère que le nuage de points sur l'annexe.

Partie C : Application

On admet que f(x) fournit une bonne approximation du pourcentage d'enfants souffrant d'un problème de poids, lorsque le rang de l'année est compris entre 0 et 42.

1. Par le calcul, déterminer quel serait le pourcentage d'enfants souffrant d'un problème de poids en 2007 ?

2. Par lecture graphique, déterminer en quelle année plus de la moitié des enfants souffrirait d'un problème de poids. Faire apparaitre les traits de construction utiles sur le graphique.

Bac hôtellerie Métropole  Septembre 2007 - terminale : image 1




exercice 1

1.
 Mange du poisson au moins deux fois par semaineMange du poisson au plus une fois par semaineTotal
12-17 ans80320400
18-24 ans84316400
25-44 ans150350500
45-64 ans308392700
Total62213782000


2. a)
    D'après les résultats du tableau : p(A)=\dfrac{622}{2000}=\boxed{0,311}
    D'après l'énoncé : p(B)=\dfrac{1}{5}=\boxed{0,2}

2. b) L'événement A \cap B est défini par : "La personne interrogée mange du poisson au moins deux fois par semaine et a entre 12 et 17 ans"
Et p(A\cap B)=\dfrac{80}{2000}=\boxed{0,04}

2. c) L'événement A \cup B est défini par : "La personne interrogée mange du poisson au moins deux fois par semaine ou a entre 12 et 17 ans"
p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)
p(A\cup B)=0,311+0,2-0,04=\boxed{0,471}

3. p_1=\dfrac{80}{400}=\boxed{0,2}

4. p_2=\dfrac{308}{622}\approx \boxed{0,50}




exercice 2

Partie A

Voir figure Partie B. 4.

Partie B

1.
    La limite :
On sait que : \displaystyle\lim_{x\to+\infty}0,001x^2+0,018x+1,7 =+\infty
Donc : \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)= \lim_{x\to+\infty} \text{e}^{0,001x^2+0,018x+1,7}=+\infty
\boxed{\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty}

    Dérivée :
f étant définie sur I = [0 ; + \infty[ par f(x) = \text{e}^{0,001x^2+0,018x+1,7}, elle est dérivable sur cet intervalle. La fonction f est de la forme e^u donc de dérivée u'e^u , on en déduit :
\text{Pour tout }x\text{ de }[0;+\infty[ , f'(x)= \left(2\times 0,001x+0,018\right)e^{0,001x^2+0,018x+1,7}
\boxed{\text{Pour tout }x \text{ de } [0;+\infty[ \text{ , } f'(x) =  (0,002x +0,018)\text{e}^{0,001x^2+0,018x+1,7}}

    Etude du signe :
Pour tout x de [0;+\infty[ \text{ , } \text{e}^{0,001x^2+0,018x+1,7}>0 \text{ et } 0,002x +0,018>0
Donc :
\boxed{\text{ Pour tout }x \text{ de } [0;+\infty[\text{ , } f'(x)>0}


2. Tableau de variations :
\begin{tabvar}{|C|CCC|}       \hline  x                      & 0        &                & +\infty     \\ \hline  f'(x)                &          &    +           &      \\ \hline \niveau{2}{3} f       &  e^{1,7} &     \croit     &   +\infty   \\ \hline \end{tabvar}

Remarque : f(0)= \text{e}^{0,001\times 0^2+0,018\times 0+1,7}=\boxed{e^{1,7}}

3.
x041014202428323436384042
f(x)5,56,07,28,611,715,019,827,132,138,246,055,768,0


4.
Bac hôtellerie Métropole  Septembre 2007 - terminale : image 2


Partie C

1. Le rang correspondant à l'année 2007 est x=37, il s'agit donc de calculer f(37) .
f(37)=\text{e}^{0,001\times 37^2+0,018\times 37+1,7}\approx \boxed{41,9}
En 2007, le pourcentage d'enfants souffrant d'un problème de poids serait 41,9 %


2. D'après le graphique (Voir les traits pointillés de construction dans la figure ci-dessus), l'année au cours de laquelle le pourcentage d'enfants souffrant d'un problème de poids dépasserait 50% est l'année de rang 39.
Conclusion :
A partir de 2009, plus de la moitié des enfants souffrirait d'un problème de poids.
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