La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
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7 points
exercice 1
Le directeur d'un hôtel souhaite connaître l'évolution de la fréquentation du site Internet de son établissement. Il consulte les données sur les huit premiers mois de l'année 2006.
Mois
janvier
février
mars
avril
mai
juin
juillet
août
Rang
1
2
3
4
5
6
7
8
Nombre de connexions yi
112
126
151
159
169
185
200
214
1. Calculer le pourcentage d'augmentation du nombre de connexions entre le mois de janvier et le mois d'août 2006 (arrondi à 1% près).
2. Représenter graphiquement dans un repère orthogonal (O ; I, J) le nuage de points associé à cette série statistique en prenant comme unités :
sur l'axe des abscisses : 1 cm pour un mois ;
sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 10 connexions ; commencer la graduation à 100.
3. Déterminer les coordonnées du point moyen G1 associé aux quatre premiers mois, et du point moyen G2 associé aux quatre derniers mois.
Placer ces points sur le graphique puis tracer la droite (G1G2).
4. Montrer qu'une équation de la droite (G1G2) est .
5. On admet que la droite (G1G2) réalise une bonne approximation du nombre de connexions jusqu'à la fin de l'année 2007.
a) A l'aide du graphique, estimer le nombre prévisible de connexions en décembre 2006.
b) Déterminer par le calcul durant quel mois on devrait atteindre 500 connexions.
13 points
exercice 2
Partie A (étude mathématique)
Soit la fonction définie sur l'intervalle [30 ; 120] par
1. Déterminer la fonction dérivée de ; montrer qu'elle peut s'écrire sous la forme :
2. Etudier le signe de puis construire le tableau de variations sur l'intervalle [30 ; 120].
3. a) Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera les valeurs arrondies à 10-1 près).
30
40
50
55
60
65
70
90
120
70
b) Tracer la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal pour appartenant à l'intervalle [30 ; 120].
On prendra :
1 cm pour 10 unités sur l'axe des abscisses,
1 cm pour 5 unités sur l'axe des ordonnées.
4. A l'aide du graphique, encadrer par deux entiers consécutifs les solutions de l'équation , en laissant apparaître les traits de construction utiles.
Partie B (étude de coût)
Dans un restaurant, le coût moyen unitaire exprimé en euros de fabrication de repas est donné par la relation : pour compris entre 30 et 120.
1. En utilisant la partie A, déterminer le nombre de repas qui donne un coût moyen unitaire minimum. Quel est ce coût ?
2. Montrer que le coût total exprimé en euros de fabrication de repas est donné par la relation : .
3. Le restaurateur propose le repas au prix de 35 ?.
a) Calculer le bénéfice réalisé en fonction du nombre de repas servis.
b) Combien doit-il servir de repas pour réaliser un bénfice ?
1.Calcul du pourcentage d'augmentation du nombre de connexions entre le mois de janvier et le mois d'août 2006 : Donc le taux d'augmentation est de 91%.
2.Représentation graphique :
3.Coordonnées des points moyens G1 et G2 : Donc les points G1 et G2 ont pour coordonnées et .
4.Vérifions que le point G1 appartient à la droite D d'équation : Donc le point G1 appartient à la droite D.
Vérifions que le point G2 appartient à la droite D d'équation : Donc le point G2 appartient à la droite D.
Donc la droite (G1G2) a pour équation .
5. a) Le mois de décembre 2006 correspond à .
Graphiquement, on trouve que le nombre de connexions en décembre 2006 est environ de 268 connexions.
5. b)Recherche du mois durant lequel on devrait atteindre 500 connexions : On résout l'équation :
Les 500 connexions seront atteintes au mois de rang 28, c'est à dire en avril 2008. Mais l'énoncé précise que la droite (G1G2) ne réalise une bonne approximation que jusque fin 2007 ...
13 points
exercice 2
Partie A (étude mathématique)
1.Calcul de la dérivée de la fonction f :
2.Tableau de signe de la dérivée et variations de la fonction : Sur l'intervalle d'étude, est une quantité strictement positive.
a donc le même signe que d'où le tableau de variations :
3.Tableau de valeurs :
30
40
50
55
60
65
70
90
120
70
30
14
10,9
10
10,8
12,9
30
70
3. b)Représentation graphique :
4. Graphiquement on trouve que la 1ère solution de l'équation se situe entre 38 et 39, et la 2ème solution entre 94 et 95.
Partie B (étude de coût)
1. En utilisant le tableau de variations, on trouve que le côut unitaire minimal est de 10? pour 60 repas.
2. Le côut total est égal au nombre de repas multiplié par le prix d'un repas, donc :
3. a) La recette est donnée par la fonction R définie par : Donc le bénéfice est donné par la fonction B définie par :
3. b) Le bénéfice est positif si :
Donc, en utilisant le résultat de la question 4 de la partie A, on en déduit que pour réaliser un bénéfice, le restaurateur doit servir entre 39 et 94 repas.
Publié par Cel/jamo
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)
associé à cette série statistique en prenant comme unités :
.
la fonction définie sur l'intervalle [30 ; 120] par  = 2x - 230 + \frac{7200}{x})
de  = \frac{2(x - 60)(x + 60)}{x^2})
)
puis construire le tableau de variations sur l'intervalle [30 ; 120].
appartenant à l'intervalle [30 ; 120].
 = 35)
, en laissant apparaître les traits de construction utiles.
 = 2x - 230 + \frac{7200}{x})
pour 
})
et })
.
:
.
 = 2 - \frac{7200}{x^2} \\ f'(x) = \frac{2x^2 - 7200}{x^2} \\ f'(x) = \frac{2(x^2 - 3600)}{x^2} \\ f'(x) = \frac{2(x^2 - 60^2)}{x^2} \\ \boxed{f'(x) = \frac{2(x-60)(x+60)}{x^2} })
}{x^2})
est une quantité strictement positive.
)
a donc le même signe que 
d'où le tableau de variations :
} & & - & 0 & + & & \\ \hline {f} & {^{70}} & \searrow & {_{10}& \nearrow & {^{70}} & \\ \hline \end{array})
=35)
se situe entre 38 et 39, et la 2ème solution entre 94 et 95.
 = x \times C_M(x) = x \times \left(2x - 230 + \frac{7200}{x}\right) = 2x^2 - 230x + 7200)
 = 35x)
 = R(x) - C(x) \\ B(x) = 35x - (2x^2 - 230x + 7200) \\ \boxed{B(x) = -2x^2+ 265x - 7200})
 \ge 0 \\ \Longleftrightarrow \, 35x - (2x^2 - 230x + 7200) \ge 0 \\ \Longleftrightarrow \, 35x \ge 2x^2 - 230x + 7200 \\ \Longleftrightarrow \, 35 \ge 2x - 230 + \frac{7200}{x} \\ \Longleftrightarrow \, f(x) \le 35)