Fiche de mathématiques
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Bac Technologique
Série Hôtellerie
Session 2007

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Durée de l'épreuve : 1 heure 30         Coefficient : 2

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des calculatrices est autorisé. Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
7 points

exercice 1

Le directeur d'un hôtel souhaite connaître l'évolution de la fréquentation du site Internet de son établissement. Il consulte les données sur les huit premiers mois de l'année 2006.

Mois janvier février mars avril mai juin juillet août
Rang x_i 1 2 3 4 5 6 7 8
Nombre de connexions yi 112 126 151 159 169 185 200 214


1. Calculer le pourcentage d'augmentation du nombre de connexions entre le mois de janvier et le mois d'août 2006 (arrondi à 1% près).

2. Représenter graphiquement dans un repère orthogonal (O ; I, J) le nuage de points (x_i \, ; \, y_i) associé à cette série statistique en prenant comme unités :
      sur l'axe des abscisses : 1 cm pour un mois ;
      sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 10 connexions ; commencer la graduation à 100.

3. Déterminer les coordonnées du point moyen G1 associé aux quatre premiers mois, et du point moyen G2 associé aux quatre derniers mois.
Placer ces points sur le graphique puis tracer la droite (G1G2).

4. Montrer qu'une équation de la droite (G1G2) est y = 13,75x + 102,625.

5. On admet que la droite (G1G2) réalise une bonne approximation du nombre de connexions jusqu'à la fin de l'année 2007.
   a) A l'aide du graphique, estimer le nombre prévisible de connexions en décembre 2006.
   b) Déterminer par le calcul durant quel mois on devrait atteindre 500 connexions. 13 points

exercice 2

Partie A (étude mathématique)

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [30 ; 120] par f(x) = 2x - 230 + \frac{7200}{x}

1. Déterminer la fonction dérivée f' de f ; montrer qu'elle peut s'écrire sous la forme : f' (x) = \frac{2(x - 60)(x + 60)}{x^2}

2. Etudier le signe de f'(x) puis construire le tableau de variations sur l'intervalle [30 ; 120].

3. a) Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera les valeurs arrondies à 10-1 près).

x 30 40 50 55 60 65 70 90 120
f(x)                 70

   b) Tracer la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal pour x appartenant à l'intervalle [30 ; 120].
On prendra :
      1 cm pour 10 unités sur l'axe des abscisses,
      1 cm pour 5 unités sur l'axe des ordonnées.

4. A l'aide du graphique, encadrer par deux entiers consécutifs les solutions de l'équation f(x) = 35, en laissant apparaître les traits de construction utiles.

Partie B (étude de coût)

Dans un restaurant, le coût moyen unitaire exprimé en euros de fabrication de x repas est donné par la relation : C_M(x) = 2x - 230 + \frac{7200}{x} pour x compris entre 30 et 120.

1. En utilisant la partie A, déterminer le nombre de repas qui donne un coût moyen unitaire minimum. Quel est ce coût ?

2. Montrer que le coût total exprimé en euros de fabrication de x repas est donné par la relation : C(x) = 2x^2 - 230x + 7200.

3. Le restaurateur propose le repas au prix de 35 ?.
   a) Calculer le bénéfice réalisé B(x) en fonction du nombre x de repas servis.
   b) Combien doit-il servir de repas pour réaliser un bénfice ?



exercice 1

1. Calcul du pourcentage d'augmentation du nombre de connexions entre le mois de janvier et le mois d'août 2006 :
t = \frac{y_8 - y_1}{y_1} = \frac{214 - 112}{112} = \frac{102}{112} \approx 0,9107 \approx 91,07 \%
Donc le taux d'augmentation est de 91%.

2. Représentation graphique :
sujet du bac hôtellerie Métropole 2007 - terminale : image 1


3. Coordonnées des points moyens G1 et G2 :
x_1 = \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4} = \frac{1+2+3+4}{4} = 2,5 \\ y_1 = \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4} = \frac{112+126+151+159}{4} = 137 \\ x_2 = \frac{x_5+x_6+x_7+x_8}{4} = \frac{5+6+7+8}{4} = 6,5 \\ y_2 = \frac{y_5+y_6+y_7+y_8}{4} = \frac{169+185+200+214}{4} = 192
Donc les points G1 et G2 ont pour coordonnées \boxed{G_1 (2,5 ; 137)} et \boxed{G_2 (6,5 ; 192)}.

4. Vérifions que le point G1 appartient à la droite D d'équation y = 13,75x + 102,625 :
13,75 x_1 + 102,625 = 13,75 \times 2,5 + 102,625 = 34,375 + 102,625 = 137 = y_1
Donc le point G1 appartient à la droite D.
    Vérifions que le point G2 appartient à la droite D d'équation y=13,75x+102,625 :
13,75 x_2 + 102,625 = 13,75 \times 6,5 + 102,625 = 89,375 + 102,625 = 192 = y_2
Donc le point G2 appartient à la droite D.
Donc la droite (G1G2) a pour équation y=13,75x+102,625.

5. a) Le mois de décembre 2006 correspond à x = 12.
Graphiquement, on trouve que le nombre de connexions en décembre 2006 est environ de 268 connexions.

5. b) Recherche du mois durant lequel on devrait atteindre 500 connexions :
On résout l'équation :
13,75x = 500 - 102,625 \\ \Longleftrightarrow \, 13,75x = 500 - 102,625 \\ \Longleftrightarrow \, 13,75x = 397,375 \\ \Longleftrightarrow \, x = \frac{397,375}{13,75} \approx 28,9
Les 500 connexions seront atteintes au mois de rang 28, c'est à dire en avril 2008.
Mais l'énoncé précise que la droite (G1G2) ne réalise une bonne approximation que jusque fin 2007 ... 13 points

exercice 2

Partie A (étude mathématique)

1. Calcul de la dérivée de la fonction f :
f'(x) = 2 - \frac{7200}{x^2} \\ f'(x) = \frac{2x^2 - 7200}{x^2} \\ f'(x) = \frac{2(x^2 - 3600)}{x^2} \\ f'(x) = \frac{2(x^2 - 60^2)}{x^2} \\ \boxed{f'(x) = \frac{2(x-60)(x+60)}{x^2} }

2. Tableau de signe de la dérivée et variations de la fonction :
Sur l'intervalle d'étude, \dfrac{2(x+60)}{x^2} est une quantité strictement positive.
f\,'(x) a donc le même signe que x-60
x-60>0\text{ pour } x>60 d'où le tableau de variations :

\begin{array} {|c|cccccc|} \hline x & 30 & & 60 & & 120 & \\ \hline {f'(x)} & & - & 0 & + & & \\ \hline {f} & {^{70}} & \searrow & {_{10}& \nearrow & {^{70}} & \\ \hline \end{array}


3. Tableau de valeurs :

x 30 40 50 55 60 65 70 90 120
f(x) 70 30 14 10,9 10 10,8 12,9 30 70


3. b) Représentation graphique :
sujet du bac hôtellerie Métropole 2007 - terminale : image 3


4. Graphiquement on trouve que la 1ère solution de l'équation f(x)=35 se situe entre 38 et 39, et la 2ème solution entre 94 et 95.

Partie B (étude de coût)

1. En utilisant le tableau de variations, on trouve que le côut unitaire minimal est de 10? pour 60 repas.

2. Le côut total est égal au nombre de repas multiplié par le prix d'un repas, donc :
C(x) = x \times C_M(x) = x \times \left(2x - 230 + \frac{7200}{x}\right) = 2x^2 - 230x + 7200

3. a) La recette est donnée par la fonction R définie par : R(x) = 35x
Donc le bénéfice est donné par la fonction B définie par :
B(x) = R(x) - C(x) \\ B(x) = 35x - (2x^2 - 230x + 7200) \\ \boxed{B(x) = -2x^2+ 265x - 7200}

3. b) Le bénéfice est positif si :
B(x) \ge 0 \\ \Longleftrightarrow \, 35x - (2x^2 - 230x + 7200) \ge 0 \\ \Longleftrightarrow \, 35x \ge 2x^2 - 230x + 7200 \\ \Longleftrightarrow \, 35 \ge 2x - 230 + \frac{7200}{x} \\ \Longleftrightarrow \, f(x) \le 35
Donc, en utilisant le résultat de la question 4 de la partie A, on en déduit que pour réaliser un bénéfice, le restaurateur doit servir entre 39 et 94 repas.
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