Fiche de mathématiques

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Bac D Burkina Faso 2021

Durée : 4 heures

Coefficient : 5

Les calculatrices ne sont pas autorisées

4 points

exercice 1

On considère le nombre complexe u défini par :

$u=\dfrac{3-i}{2+i}+\dfrac{2+i}{i}-3(1-2i)^2-2(2+i)(3+i).$

1. Montrer que $u=1-i.$
2. Résoudre dans C² le système d'inconnues z₁ et z₂ :
$\left\lbrace\begin{matrix} iz_1-z_2 & =& -1+i\\ \frac 1 2 z_1+(1-i)z_2& = & 2-5i \end{matrix}\right.$
3. Le plan complexe P étant muni d'un repère orthonormal direct $(O\,; \vec u \,,\vec v)$ , on donne les points A et B d'affixes respectives $z_A=-2i$ et $z_B=3-i .$
On considère l'application f définie de $P\setminus\lbrace A\rbrace$ dans P qui, à tout point M d'affixe z , associe le point M ' d'affixe z ' telle que $z'=\dfrac{iz-3i-1}{z+2i}$
$\white{ww}$ a. Soit C le point d'affixe u. Calculer l'affixe u ' de C ' , image de C par f.
$\white{ww}$ b. Montrer que $z'=\dfrac{i(z-3+i)}{z+2i}$
$\white{ww}$ c. Interpréter géométriquement le module et l'argument de z '.
$\white{ww}$ d. Déduire de la question 3. c. les ensembles des points suivants :
${\white{wwww}} \bullet$ l'ensemble $(\Gamma_1)$ tel que z ' appartient

R*.
${\white{wwww}} \bullet$ l'ensemble $(\Gamma_2)$ tel que z ' appartient

i R*.
${\white{wwww}} \bullet$ l'ensemble $(\Gamma_3)$ tel que $|z'|=1.$

4 points

exercice 2

Un revendeur de billets de loterie dispose de dix billets dont trois sont gagnants. Une personne achète cinq billets. On supposera que tous les choix sont équiprobables.
1. Calculer la probabilité pour qu'il y ait parmi les cinq billets achetés :
$\white{ww}$ a. un seul billet gagnant.
$\white{ww}$ b. au moins un billet gagnant.
2. Parmi les trois billets gagnants, un gagne 50 francs et deux gagnent 25 francs chacun.
Soit X la variable aléatoire égale au gain réalisé.
$\white{ww}$ a. Quelles sont les valeurs prises par X ?
$\white{ww}$ b. Déterminer la loi de probabilité de X.
$\white{ww}$ c. Calculer l'espérance mathématique E (X ) de X.

12 points

probleme

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O\;;\vec i \,,\vec j)$ d'unité graphique 2 cm.

Partie A

On considère la fonction h définie sur R par : $h(x)=x+1-\text e ^x.$
1. Calculer $\lim\limits_{x\to-\infty}\;h(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\;h(x).$

2. a. Etudier le sens de variation de h , puis dresser son tableau de variation.
$\white{w}$ b. En déduire le signe de h (x ) suivant les valeurs de x.

Partie B

On considère la fonction f définie sur R par $f(x)=3(x^2+x)\,\text e ^{-x}.$
Soit (C ) la courbe représentative de f dans le repère $(O\;;\,\vec i \,,\vec j).$
1. a. Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}\;f(x).$
$\white{w}$ b. Calculer $\lim\limits_{x\to -\infty}\;f(x)$ et $\lim\limits_{x\to -\infty}\;\dfrac{f(x)}{x}.$
$\white{w}$ c. Interpréter graphiquement les résultats des questions a. et b.

2. a. Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in$ R.
$\white{w}$ b. Etudier le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de f.

3. a. Déterminer une équation de la tangente (T ) à (C ) au point d'abscisse nulle.
$\white{w}$ b. Montrer que : $\forall x \in \textbf R\,, f(x)-3x=3x\text e ^{-x}\times h(x).$
$\white{w}$ c. Déduire les positions relatives de (C ) et (T ).

4. Tracer dans le repère $(O\;;\,\vec i \,,\vec j)$ la tangente (T ) et la courbe (C ).
$\left(\text{On prendra } f\left( \dfrac{1-\sqrt 5}{2}\right)\approx -1,3 \;\; f\left( \dfrac{1+\sqrt 5}{2}\right)\approx2,5\right).$

Partie C

1. Soit la fonction F définie par : $F(x)=(ax²+bx+c)\,\text e ^ {-x}$ , où a , b et c sont des nombres réels.
Déterminer a , b et c pour que F soit une primitive de f sur R.

2. Soit alpha

un réel strictement positif. Calculer, en cm², l'aire A ( alpha

) de la partie du plan délimitée par la courbe (C ), l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 0 et x = alpha

.

3. Calculer $\lim\limits_{\alpha\to +\infty}\;A(\alpha).$
On donne : $\sqrt 5 \approx 2,2.$

Correction

Bac D Burkina Faso 2021

4 points

exercice 1

On considère le nombre complexe u défini par : $u=\dfrac{3-i}{2+i}+\dfrac{2+i}{i}-3(1-2i)^2-2(2+i)(3+i).$

1. Nous devons montrer que $u=1-i.$

$u=\dfrac{3-i}{2+i}+\dfrac{2+i}{i}-3(1-2i)^2-2(2+i)(3+i) \\\overset{}{\phantom{u}=\dfrac{(3-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}+\dfrac{(2+i)\times(-i)}{i\times(-i)}-3(1-4i-4)-2(6+2i+3i-1)} \\\overset{}{\phantom{u}=\dfrac{6-3i-2i-1}{4+1}+\dfrac{-2i+1}{1}-3(-3-4i)-2(5+5i)} \\\overset{}{\phantom{u}=\dfrac{5-5i}{5}-2i+1+9+12i-10-10i} \\\overset{}{\phantom{u}=\dfrac{5(1-i)}{5}} \\\overset{}{\phantom{u}=1-i} \\\\\Longrightarrow\boxed{u=1-i}$

2. Résoudre dans C² le système d'inconnues z ₁ et z ₂ : $\left\lbrace\begin{matrix} iz_1-z_2 & =& -1+i\\ \frac 1 2 z_1+(1-i)z_2& = & 2-5i \end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} iz_1-z_2 & =& -1+i\\ \frac 1 2 z_1+(1-i)z_2& = & 2-5i \end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} z_2 & =& iz_1+1-i\\ \frac 1 2 z_1+(1-i)z_2& = & 2-5i \end{matrix}\right. \\\overset{{\white{p}}}{\phantom{\left\lbrace\begin{matrix} iz_1-z_2 & =&+1-i\\ \frac 1 2 z_1+(1-i)z_2& = & 2-5i \end{matrix}\right.}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} z_2 & =& iz_1+1-i\\ \frac 1 2 z_1+(1-i)( iz_1+1-i)& = & 2-5i \end{matrix}\right.}$

$\\\\\text{Or }\; \frac 1 2 z_1+(1-i)( iz_1+1-i) = 2-5i \Longleftrightarrow\frac 1 2 z_1+(1-i)iz_1+(1-i)^2 = 2-5i \\\\\phantom{\text{Or }\; \frac 1 2 z_1+(1-i)( iz_1+1-i) = 2-5i} \Longleftrightarrow\frac 1 2 z_1+iz_1+z_1+(1-2i-1) = 2-5i \\\\\phantom{\text{Or }\; \frac 1 2 z_1+(1-i)( iz_1+1-i) = 2-5i} \Longleftrightarrow\frac 3 2 z_1+iz_1-2i = 2-5i \\\\\phantom{\text{Or }\; \frac 1 2 z_1+(1-i)( iz_1+1-i) = 2-5i} \Longleftrightarrow(\frac 3 2+i )z_1= 2-3i \\\\\phantom{\text{Or }\; \frac 1 2 z_1+(1-i)( iz_1+1-i) = 2-5i} \Longleftrightarrow(3+2i)z_1 = 4-6i \\\\\phantom{\text{Or }\; \frac 1 2 z_1+(1-i)( iz_1+1-i) = 2-5i} \Longleftrightarrow z_1 = \dfrac{ 4-6i}{3+2i}= \dfrac{ -2i(3+2i)}{3+2i} \\\\\phantom{\text{Or }\; \frac 1 2 z_1+(1-i)( iz_1+1-i) = 2-5i} \Longleftrightarrow z_1 =-2i$

$\text{D'où }\;\left\lbrace\begin{matrix} iz_1-z_2 & =& -1+i\\ \frac 1 2 z_1+(1-i)z_2& = & 2-5i \end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} z_2 & =& iz_1+1-i\\ z_1& = & -2i \end{matrix}\right. \\\\\phantom{\text{D'où }\;\left\lbrace\begin{matrix} iz_1-z_2 & =& -1+i\\ \frac 1 2 z_1+(1-i)z_2& = & 2-5i \end{matrix}\right.\quad}\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} z_2 & =& i(-2i)+1-i\\ z_1& = & -2i \end{matrix}\right. \\\\\phantom{\text{D'où }\;\left\lbrace\begin{matrix} iz_1-z_2 & =& -1+i\\ \frac 1 2 z_1+(1-i)z_2& = & 2-5i \end{matrix}\right.\quad}\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} z_2 & =&2+1-i\\ z_1& = & -2i \end{matrix}\right. \\\\\phantom{\text{D'où }\;\left\lbrace\begin{matrix} iz_1-z_2 & =& -1+i\\ \frac 1 2 z_1+(1-i)z_2& = & 2-5i \end{matrix}\right.\quad}\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} z_2 & =&3-i\\ z_1& = & -2i \end{matrix}\right.$

Par conséquent, l'ensemble des solutions du système est $\boxed{S=\lbrace(-2i\,;\,3-i)\rbrace}\,.$

3. On considère l'application f définie de $\overset{{\white{.}}}{P\setminus\lbrace A\rbrace}$ dans P qui, à tout point M d'affixe z , associe le point M' d'affixe z' telle que $\overset{{\white{.}}}{z'=\dfrac{iz-3i-1}{z+2i}.}$

3. a) Soit C le point d'affixe u .
Nous devons calculer l'affixe u' de C' , image de C par f .

$u'=\dfrac{iu-3i-1}{u+2i} =\dfrac{i(1-i)-3i-1}{(1-i)+2i} =\dfrac{i+1-3i-1}{1+i} \\\\\phantom{u'}=\dfrac{-2i}{1+i} =\dfrac{-2i(1-i)}{(1+i)(1-i)} =\dfrac{-2i-2}{2} \\\\\phantom{u'}=\dfrac{2(-i-1)}{2}=-i-1 \\\\\Longrightarrow\boxed{u'=-1-i}$

3. b) En développant le numérateur, nous obtenons :

$\dfrac{i(z-3+i)}{z+2i}=\dfrac{iz-3i+i\times i}{z+2i}=\dfrac{iz-3i+i^2}{z+2i}=\dfrac{iz-3i-1}{z+2i}=z' \\\\\Longrightarrow\boxed{z'=\dfrac{i(z-3+i)}{z+2i}}$

${\red{\text{3. c) }}}\;|z'|=\left|\dfrac{i(z-3+i)}{z+2i}\right|=|i|\times\left|\dfrac{z-3+i}{z+2i}\right| \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{\text{3. c) }}}\;|z'|}=1\times\left|\dfrac{z-3+i}{z+2i}\right|=\left|\dfrac{z-(3-i)}{z-(-2i)}\right|} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{\text{3. c) }}}\;|z'|}=\left|\dfrac{z-z_B}{z-z_A}\right|=\dfrac{\left|z-z_B\right|}{\left|z-z_A\right|}}=\dfrac{MB}{MA} \\\\\Longrightarrow\boxed{|z'|=\dfrac{MB}{MA}}$

Géométriquement, le module de z' représente le rapport entre les longueurs MB et MA .

$\arg(z')=\arg\left(\dfrac{i(z-3+i)}{z+2i}\right) \\\phantom{\arg(z')}=\arg\left(i\times \dfrac{z-(3-i)}{z-(-2i)}\right) \\\phantom{\arg(z')}=\arg(i)+\arg\left(\dfrac{z-z_B}{z-z_A}\right) \\\phantom{\arg(z')}=\dfrac{\pi}{2}+\left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}\right)\;[2\pi] \\\\\Longrightarrow\boxed{\arg(z')=\dfrac{\pi}{2}+\left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}\right)\;[2\pi]}$

3. d) $\bullet{\white{w}}$ Déterminons l'ensemble ( gammamaj

₁) des points tels que $z'\in\R^{\star}.$

$z'\in \R^{\star}\Longrightarrow\arg(z')=0\;[\pi] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z'\in\R^{\star}}\Longrightarrow\dfrac{\pi}{2}+\left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}\right)=0\;[\pi]} \\\overset{\phantom{.}}{\phantom{z'\in\R^{\star}}\Longrightarrow\left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}\right)=\dfrac{\pi}{2}\,[\pi]}$

Nous en déduisons que le triangle AMB est rectangle en M .

Par conséquent, l'ensemble (₁) est le cercle de diamètre [AB ] privé des points A et B .

${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ Déterminons l'ensemble ( gammamaj

₂) des points tels que $z'\in i\R^{\star}.$

$z'\in i\R^{\star}\Longrightarrow\arg(z')=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z'\in\R^{\star}}\Longrightarrow\dfrac{\pi}{2}+\left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]} \\\overset{\phantom{.}}{\phantom{z'\in\R^{\star}}\Longrightarrow\left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}\right)=0\,[\pi]} \\\overset{\phantom{.}}{\phantom{z'\in\R^{\star}}\Longrightarrow A,\,B\text{ et }M\text{ sont alignés.}}$

Par conséquent, l'ensemble (₂) est la droite (AB ) privée des points A et B .

${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ Déterminons l'ensemble ( gammamaj

₃) des points tels que $\overset{{\white{.}}}{|z'|=1.}$

$|z'|=1\Longrightarrow\dfrac{MB}{MA}=1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z'\in\R^{\star}}\Longrightarrow MA=MB.}$

Par conséquent, l'ensemble (₃) est la médiatrice du segment [AB ].

4 points

exercice 2 (calculatrice interdite)

Un revendeur de billets de loterie dispose de dix billets dont trois sont gagnants. Une personne achète cinq billets. On supposera que tous les choix sont équiprobables.

L'univers considéré est l'ensemble des combinaisons de 5 billets parmi 10 dont le cardinal est $\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}.$

$\text{Or }\;\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}=\dfrac{10\,!}{5\,!\times(10-5)\,!}=\dfrac{10\,!}{5\,!\times5\,!}=\dfrac{10\times9\times8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}{5\times4\times3\times2\times1\times5\times4\times3\times2\times1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\dfrac{10\times9\times8\times7\times6\times\cancel{5}\times\cancel{4}\times\cancel{3}\times\cancel{2}\times\cancel{1}}{5\times4\times3\times2\times\cancel{1}\times\cancel{5}\times\cancel{4}\times\cancel{3}\times\cancel{2}\times\cancel{1}}}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\dfrac{10\times9\times8\times7\times6}{5\times4\times3\times2}=\dfrac{\cancel{10}\times9\times8\times7\times6}{\cancel{5}\times4\times3\times\cancel{2}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\dfrac{9\times8\times7\times6} {4\times3} =9\times2\times7\times2}=252.$

$\\\\\Longrightarrow\boxed{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}=252}$
Donc l'univers comprend 252 éléments.

1. a) Nous devons calculer la probabilité qu'il y ait un seul billet gagnant parmi les cinq billets achetés.

Il y a 3 possibilités d'obtenir un billet gagnant parmi les trois billets gagnants et $\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}$ possibilités d'obtenir 4 billets non gagnants parmi les 7 billets non gagnants.
Il y a donc au total $\overset{{\white{.}}}{3\times\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}}$ possibilités d'obtenir un seul billet gagnant parmi les cinq billets achetés.

$\text{Or }\;3\times\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}=3\times\dfrac{7\,!}{4\,!\times (7-4)\,!}=3\times\dfrac{7\,!} {4\,!\times 3\,!}=3\times\dfrac{7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}{4\times3\times2\times1\times3\times2\times1} \\\\\phantom{\text{Or }\;3\times\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}}=3\times\dfrac{7\times6\times5\times4\times\cancel{3}\times\cancel{2}\times\cancel{1}}{4\times3\times2\times\cancel{1}\times\cancel{3}\times\cancel{2}\times\cancel{1}}=3\times\dfrac{7\times6\times5\times4}{4\times3\times2} \\\\\phantom{\text{Or }\;3\times\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}}=3\times\dfrac{7\times\cancel{6}\times5\times\cancel{4}}{\cancel{4}\times\cancel{3}\times\cancel{2}}=3\times7\times5=105. \\\\\Longrightarrow\boxed{3\times\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}=105}$

D'où la probabilité pour qu'il y ait un seul billet gagnant parmi les cinq billets achetés est égale à $\overset{{\white{.}}}{\dfrac{105}{252}\approx 0,42.}$

1. b) Nous devons calculer la probabilité qu'il y ait au moins un billet gagnant parmi les cinq billets achetés.

Soit l'événement A : au moins un billet est gagnant parmi les cinq billets achetés .
Nous devons calculer P (A ).
L'événement contraire de A est $\overline{A}$ : aucun billet n'est gagnant parmi les cinq billets achetés .
Nous savons que $\overset{{\white{.}}}{P(A)=1-P(\overline{A}).}$

Ne posséder aucun billet gagnant parmi les cinq billets achetés revient à acheter 5 billets parmi les 7 billets perdants.
D'où le nombre de ces possibilités est égal à $\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}.$

$\text{Or }\;\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}=\dfrac{7\,!}{5\,!\times (7-5)\,!}=\dfrac{7\,!} {5\,!\times 2\,!}=\dfrac{7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}{5\times4\times3\times2\times1\times2\times1} \\\\\phantom{\text{Or }\;\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}}=\dfrac{7\times6\times5\times4\times3\times\cancel{2}\times1}{5\times4\times3\times2\times\cancel{1}\times\cancel{2}\times\cancel{1}}=\dfrac{7\times6\times5\times4\times3}{5\times4\times3\times2} \\\\\phantom{\text{Or }\;\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}}=\dfrac{7\times\cancel{6}\times\cancel{5}\times\cancel{4}\times3}{\cancel{5}\times\cancel{4}\times\cancel{3}\times\cancel{2}}=7\times3=21. \\\\\Longrightarrow\boxed{\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}=21}$

Nous obtenons ainsi : $\overset{{\white{.}}}{P(\overline{A})=\dfrac{21}{252}.}$

D'où la probabilité pour qu'il y ait au moins un billet gagnant parmi les cinq billets achetés est $\overset{{\white{.}}}{P(A)=1-\dfrac{21}{252}=\dfrac{231}{252}\approx 0,92.}$

2. Parmi les trois billets gagnants, un gagne 50 francs et deux gagnent 25 francs chacun.
Soit X la variable aléatoire égale au gain réalisé.

2. a) Les différents gains possibles sont :
${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ 0 franc si les cinq billets sont perdants.
${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ 25 francs si le seul billet gagnant accorde un gain de 25 francs.
${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ 50 francs si un seul billet est gagnant et accorde un gain de 50 francs ou si deux billets seulement sont gagnants et accordent chacun un gain de 25 francs.
${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ 75 francs si deux billets seulement sont gagnants et accordent l'un un gain de 25 francs et l'autre un gain de 50 francs.
${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ 100 francs si les trois billets sont gagnants, les gains étant alors de 25 francs + 25 francs + 50 francs, soient 100 francs.
Par conséquent, la variable aléatoire X peut prendre les valeurs : 0, 25, 50, 75, 100.

2. b) Déterminons la loi de probabilité de X .

${\white{www}}$ $P(X=0)=P(\overline{A})=\dfrac{21}{252}. \\\\P(X=25)=\dfrac{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}}{252}=\dfrac{2\times1\times35}{252}=\dfrac{70}{252} \\\\P(X=50)=\dfrac{\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}{252} \\\\\phantom{P(X=50)}=\dfrac{1\times1\times35+1\times1\times35}{252}=\dfrac{70}{252} \\\\P(X=75)=\dfrac{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}{252}=\dfrac{2\times1\times35}{252}=\dfrac{70}{252} \\\\P(X=100)=\dfrac{\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}7\\2\end{pmatrix}}{252}=\dfrac{1\times21}{252}=\dfrac{21}{252}$

Tableau résumant la loi de probabilité de X :

${\white{wwwwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x_i&0&25&50&75&100\\&&&&&\\\hline&&&&&\\P(X=x_i)&\dfrac{21}{252}&\dfrac{70}{252}&\dfrac{70}{252}&\dfrac{70}{252}&\dfrac{21}{252}\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

2. c) Nous devons calculer l'espérance mathématique E (X ) de X .

$E(X)=0\times\dfrac{21}{252}+25\times\dfrac{70}{252}+50\times\dfrac{70}{252}+75\times\dfrac{70}{252}+100\times\dfrac{21}{252} \\\\\phantom{E(X)}=0+(25+50+75)\times\dfrac{70}{252}+100\times\dfrac{21}{252} \\\\\phantom{E(X)}=150\times\dfrac{70}{252}+100\times\dfrac{21}{252} \\\\\phantom{E(X)}=\dfrac{10\,500}{252}+\dfrac{2\,100}{252}=\dfrac{12\,600}{252} \\\\\phantom{E(X)}=50 \\\\\Longrightarrow\boxed{E(X)=50}$

12points

probleme

Partie A

On considère la fonction h définie sur $\overset{{\white{.}}}{\R}$ par $\overset{{\white{.}}}{h(x)=x+1-\text{e}^x.}$

1. Nous devons déterminer la limite de h en - infini

.

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty\\\\\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{x}=0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\left(x+1-\text{e}^{x}\right)=-\infty \\\phantom{WWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}h(x)=-\infty}$

Nous devons déterminer la limite de h en + infini

.

Pour tout x différent de 0, $\overset{{\white{.}}}{h(x)=x\left(1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{\text{e}^x}{x}\right).}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\phantom{WWWWWWWWWWXW}\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0\phantom{WWWWWWWWWWXW}\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^{x}}{x}=+\infty\quad(\text{croissances comparées})\end{matrix}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\left[x\left(1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{\text{e}^x}{x}\right)\right]=-\infty$

$\text{D'où }\;\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=-\infty}$

2. a) La fonction h est dérivable sur $\overset{{\white{.}}}{\R}$ (somme de fonctions dérivables sur $\overset{{\white{.}}}{\R}$ )

$h'(x)=(x+1-\text{e}^x)' \\\phantom{f'(x)}=x'+1'-(\text{e}^x)' \\\phantom{f'(x)}=1+0-\text{e}^x \\\phantom{f'(x)}=1-\text{e}^x \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\R,\;h'(x)=1-\text{e}^x}$

$\bullet{\phantom{w}}x<0\Longleftrightarrow\text{e}^x<\text{e}^0 \\\phantom{x<0xx}\Longleftrightarrow\text{e}^x<1 \\\phantom{x<0xx}\Longleftrightarrow1-\text{e}^x>0 \\\phantom{x<0xx}\Longleftrightarrow h'(x)>0 \\\\ \bullet{\phantom{w}}x>0\Longleftrightarrow\text{e}^x>\text{e}^0 \\\phantom{x<0xx}\Longleftrightarrow\text{e}^x>1 \\\phantom{x<0xx}\Longleftrightarrow1-\text{e}^x<0 \\\phantom{x<0xx}\Longleftrightarrow h'(x)<0$

D'où,

${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ h' (x ) > 0 sur $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;\,0[}$
${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ h' (x ) < 0 sur $\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.}$

Par conséquent,

${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ la fonction h est croissante sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;\,0[}$
${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ la fonction h est décroissante sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.}$

Tableau de variation de h .

${\white{wwwwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&0&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\h'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&0&&\\h(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&-\infty&&&&-\infty\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

2. b) Nous déduisons du tableau de variation de h que :

${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ h (x ) < 0 pour tout x dans l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;\,0[}$
${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ h (0 ) = 0
${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ h (x ) < 0 pour tout x dans l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.}$

Partie B

On considère la fonction f définie sur $\overset{{\white{.}}}{\R}$ par $\overset{{\white{.}}}{f(x)=3(x^2+x)\,\text{e}^{-x}.}$

1. a) Nous devons déterminer $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x).}$

$f(x)=3(x^2+x)\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f(x)}=3x^2\,\text{e}^{-x}+3x\,\text{e}^{-x} \\\\\Longrightarrow \boxed{f(x)=\dfrac{3x^2}{\text{e}^{x}}+\dfrac{3x}{\text{e}^{x}}} \\\\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2}{\text{e}^{x}}=0\quad(\text{croissances comparées})\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x}{\text{e}^{x}}=0\quad(\text{croissances comparées})}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow \quad\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{3x^2}{\text{e}^{x}}+\dfrac{3x}{\text{e}^{x}}\right)=0 \\\\\\\text{D'où }\;\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0}$

1. b) Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x).}$

$f(x)=3(x^2+x)\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f(x)}=3x(x+1)\,\text{e}^{-x} \\\\\Longrightarrow \boxed{f(x)=3x(x+1)\,\text{e}^{-x}} \\\\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}3x=-\infty\phantom{ew} \\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to-\infty}(x+1)=-\infty} \\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}}=+\infty\phantom{ew}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow \quad\lim\limits_{x\to-\infty}3x(x+1)\,\text{e}^{-x}=+\infty \\\\\\\text{D'où }\;\quad\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty}$

Nous devons déterminer $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}.$

$\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{3(x^2+x)\,\text{e}^{-x} }{x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\dfrac{f(x)}{x}}=\dfrac{3x(x+1)\,\text{e}^{-x}}{x}} \\\\\Longrightarrow \boxed{\dfrac{f(x)}{x}=3(x+1)\,\text{e}^{-x}} \\\\\\\left\lbrace\begin{matrix}\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to-\infty}3(x+1)=-\infty} \\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}}=+\infty\phantom{ew}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow \quad\lim\limits_{x\to-\infty}3(x+1)\,\text{e}^{-x}=-\infty \\\\\\\text{D'où }\;\quad\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=-\infty}$

1. c) Interprétation graphique des résultats a) et b).

$\overset{{\white{\frac{.}{.}}}}{\bullet{\white{w}}\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0}$ : la droite d'équation y = 0 est asymptote horizontale à la courbe (C ) en +.

$\bullet{\white{w}}\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\quad\text{et}\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=-\infty$ : la courbe (C ) présente une branche parabolique de direction asymptotique (Oy ) en -.

2. a) La fonction f est dérivable sur $\overset{{\white{.}}}{\R}$ (produit de fonctions dérivables sur $\overset{{\white{.}}}{\R}$ ).

$f'(x)=3[(x^2+x)\,\text{e}^{-x}]' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=3[(x^2+x)'\times\text{e}^{-x}+(x^2+x)\times(\text{e}^{-x})']} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=3[(2x+1)\times\text{e}^{-x}+(x^2+x)\times(-\text{e}^{-x})]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=3[(2x+1-x^2-x)\times\text{e}^{-x}]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=3[(-x^2+x+1)\times\text{e}^{-x}]} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=3(-x^2+x+1)\,\text{e}^{-x}}$

2. b) Etudions le signe de f' (x ).

L'exponentielle est strictement positive sur $\overset{{\white{.}}}{\R}$ .
Dès lors, le signe de f' (x ) est le signe du trinôme du second degré -x ² + x + 1.

$\underline{\text{Discriminant}}:\Delta=1^2-4\times(-1)\times1 \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\Delta}=1+4 \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\Delta}=5>0 \\\\\underline{\text{Racines}}:x_1=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2\times(-1)}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1,6 \\\\\phantom{\underline{\text{Racines}}:}x_2=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2\times(-1)}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\approx-0,6$

$\underline{\text{Tableau de signes de }f'(x)} \\\\ {\white{wwwwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&-\infty&&\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}&&\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\-x^2+x+1&&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\f'(x)&&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

Tableau de variation de f :

$\left.\begin{matrix}\underline{\text{À noter que }}: f\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\approx-1,3\\\phantom{\underline{\text{À noter que }}: }f\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\approx2,5\end{matrix}\right\rbrace\quad(\text{voir énoncé}) \\\\\\ {\white{wwwwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&-\infty&&\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}&&\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\f'(x)&&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\\hline&+\infty&&&&\approx2,5&&\\f(x)&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&\\&&&\approx-1,3&&&&0\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

3. a) Nous devons déterminer une équation de la tangente (T ) à (C ) au point d'abscisse nulle.

Une équation de la tangente (T ) est de la forme : $y=f'(0)(x-0) + f(0)$ , soit de la forme $y=f'(0)x + f(0)$ .

$\text{Or }\;f'(x)=3(-x^2+x+1)\,\text{e}^{-x}\quad\Longrightarrow\quad f'(0)=3\times1\times\text{e}^{0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;f'(x)=3(-x^2+x+1)\,\text{e}^{-x}\quad}\Longrightarrow\quad \boxed{f'(0)=3}} \\\\\phantom{\text{Or }\;}f(x)=3(x^2+x)\,\text{e}^{-x}\quad\Longrightarrow\quad f(0)=3\times0\times\text{e}^{0}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;f(x)=3(x^2+x)\,\text{e}^{-x}\quad}\Longrightarrow\quad \boxed{f(0)=0}}$

Par conséquent, une équation de la tangente (T ) à (C ) au point d'abscisse nulle est $\boxed{y=3x}\,.$

3. b) Pour tout x réel,

$f(x)-3x=3(x^2+x)\,\text{e}^{-x}-3x \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)-3x}=3x^2\,\text{e}^{-x}+3x\,\text{e}^{-x}-3x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)-3x}=3x^2\,\text{e}^{-x}+3x\,\text{e}^{-x}-3x\times1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)-3x}=3x^2\,\text{e}^{-x}+3x\,\text{e}^{-x}-3x\,\text{e}^{-x}\,\text{e}^{x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f(x)-3x}=3x\,\text{e}^{-x}(x+1-\,\text{e}^{x})} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f(x)-3x}=3x\,\text{e}^{-x}\times h(x)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\R,\;f(x)-3x=3x\,\text{e}^{-x}\times h(x)}$

3. c) En tenant compte du signe de h(x) étudié dans la Partie A, 2. b), nous en déduisons le signe de f (x ) - 3x .

${\white{wwwwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&0&&+\infty\\&&&&&\\\hline 3x&&-&0&+&\\\text{e}^{-x}&&+&+&+&\\h(x)&&-&0&-&\\\hline&&&&&\\f(x)-3x&&+&0&-&\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

Par conséquent,

$\bullet{\white{w}}$ sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;\,0[,}$ la courbe (C ) est au-dessus de la tangente (T )
$\bullet{\white{w}}$ sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[,}$ la courbe (C ) est en dessous de la tangente (T )
$\bullet{\white{w}}$ au point (0 ; 0), la courbe (C ) et la tangente (T ) ont un point commun.

4. Représentation graphique de la courbe (C ) et de la tangente (T ).

Partie C

1. Soit la fonction F définie par : $\overset{{\white{}}}{F(x)=(ax²+bx+c)\,\text e ^ {-x},}$ où a , b et c sont des nombres réels.
Nous devons déterminer a , b et c pour que F soit une primitive de f sur $\R$ .

F est dérivable sur $\R$ comme produit de deux fonctions dérivables sur $\R$ .

F est une primitive de f sur $\R$ si et seulement si F' = f .

$\text{Or }\;F'(x)=(ax²+bx+c)'\times\text{e}^{-x}+(ax²+bx+c)\times(\text{e}^{-x})' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;F'(x)}=(2ax+b)\times\text{e}^{-x}+(ax²+bx+c)\times(-\text{e}^{-x})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;F'(x)}=(2ax+b)\times\text{e}^{-x}-(ax²+bx+c)\times\text{e}^{-x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;F'(x)}=\left(\overset{}{(2ax+b)-(ax²+bx+c)}\right)\times\text{e}^{-x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{Or }\;F'(x)}=(2ax+b-ax²-bx-c)\times\text{e}^{-x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{Or }\;F'(x)}=\left(\overset{}{-ax^2+(2a-b)x+b-c}\right)\times\text{e}^{-x}} \\\\\Longrightarrow\boxed{F'(x)=\left(\overset{}{-ax^2+(2a-b)x+b-c}\right)\,\text{e}^{-x}}$

$F'(x)=f(x)\Longleftrightarrow\left(\overset{}{-ax^2+(2a-b)x+b-c}\right)\,\text{e}^{-x}=3(x^2+x)\,\text{e}^{-x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)=f(x)}\Longleftrightarrow-ax^2+(2a-b)x+b-c=3(x^2+x)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)=f(x)}\Longleftrightarrow-ax^2+(2a-b)x+b-c=3x^2+3x+0}$

Par identification des coefficients des termes de même degré en x , nous obtenons :

$\left\lbrace\begin{matrix}-a=3\\2a-b=3\\b-c=0\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}a=-3\\2\times(-3)-b=3\\b=c\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}a=-3\\-6-b=3\\b=c\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}a=-3\\b=-9\\c=-9\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow\boxed{F'(x)=(-3x^2-9x-9)\,\text{e}^{-x}}$

2. Soit alpha

un réel strictement positif.
Nous devons calculer, en cm², l'aire A ( alpha

) de la partie du plan délimitée par la courbe (C ), l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 0 et x = alpha

.

$A(\alpha)=\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{\alpha} f(x)\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{F(x)}\right]_0^{\alpha} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A(\alpha)}=\left[\overset{}{(-3x^2-9x-9)\,\text{e}^{-x}}\right]_0^{\alpha}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A(\alpha)}=(-3\alpha^2-9\alpha-9)\,\text{e}^{-\alpha}-(0-0-9)\,\text{e}^{0}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A(\alpha)}=(-3\alpha^2-9\alpha-9)\,\text{e}^{-\alpha}+9} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{A(\alpha)}=9-3(\alpha^2+3\alpha+3)\,\text{e}^{-\alpha}} \\\\\Longrightarrow\boxed{A(\alpha)=3\left(\overset{}{3-(\alpha^2+3\alpha+3)\,\text{e}^{-\alpha}}\right)\;\text{unités d'aire}}$

Or l'unité graphique est 2 cm.
Donc l'unité d'aire est 4 cm².
Par conséquent, $\overset{{\white{.}}}{A(\alpha)=4\times3\left(\overset{}{3-(\alpha^2+3\alpha+3)\,\text{e}^{-\alpha}}\right)\;\text{cm}^2}$
soit $\boxed{A(\alpha)=12\left(\overset{}{3-(\alpha^2+3\alpha+3)\,\text{e}^{-\alpha}}\right)\;\text{cm}^2}$

3. Nous devons calculer $\lim\limits_{\alpha\to+\infty}A(\alpha).$

$\lim\limits_{\alpha\to+\infty}A(\alpha)=\lim\limits_{\alpha\to+\infty}12\left(\overset{}{3-(\alpha^2+3\alpha+3)\,\text{e}^{-\alpha}}\right) \\\phantom{\lim\limits_{\alpha\to+\infty}A(\alpha)}=12\times\lim\limits_{\alpha\to+\infty}\left(\overset{}{3-\dfrac{\alpha^2+3\alpha+3}{\text{e}^{\alpha}}}\right) \\\phantom{\lim\limits_{\alpha\to+\infty}A(\alpha)}=12\times\lim\limits_{\alpha\to+\infty}\left(\overset{}{3-\dfrac{\alpha^2}{\text{e}^{\alpha}}+\dfrac{3\alpha}{\text{e}^{\alpha}}+\dfrac{3}{\text{e}^{\alpha}}}\right) \\\phantom{\lim\limits_{\alpha\to+\infty}A(\alpha)}=36-12\times\lim\limits_{\alpha\to+\infty}\dfrac{\alpha^2}{\text{e}^{\alpha}}+36\lim\limits_{\alpha\to+\infty}\dfrac{\alpha}{\text{e}^{\alpha}}+36\lim\limits_{\alpha\to+\infty}\dfrac{1}{\text{e}^{\alpha}}$

$\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{\alpha\to+\infty}\dfrac{\alpha^2}{\text{e}^{\alpha}}=0\quad(\text{croissances comparées}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{\alpha\to+\infty}\dfrac{\alpha}{\text{e}^{\alpha}}=0\quad(\text{croissances comparées})}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{\alpha\to+\infty}\dfrac{1}{\text{e}^{\alpha}}=0\phantom{WWWWWWWWWW}}\end{matrix}\right.$

D'où, $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{\alpha\to+\infty}A(\alpha)=36-0+0+0,}$ soit $\boxed{\lim\limits_{\alpha\to+\infty}A(\alpha)=36\;(\text{cm}^2)}$

Publié par malou le 30-04-2022

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