1. : Les racines carrées de -3 - 4i sont 1 - 2i et -1 + 2i.
En effet,
2. : Dans , l'équation a pour ensemble de solutions :
Résolvons l'équation
3. :
En effet,
4. : Soit la fonction f définie par . Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de f a, au voisinage de -, une asymptote d'équation :
En effet,
5 points
exercice 2
L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct d'unité graphique 1 cm.
On considère les points E(1 ; -2 ; 0), F(-2 ; -3 ; 5), G(2 ; 1 ; 1) et H(1 ; 1 ; 3).
1. Nous devons démontrer que les points E, F, G et H sont coplanaires.
Calculons
Déterminons les coordonnées des vecteurs et
Dès lors,
Le vecteur est un vecteur normal au plan (EFG).
Montrons que le vecteur est orthogonal au vecteur .
Donc le vecteur est orthogonal au vecteur .
Par conséquent, les points E, F, G et H sont coplanaires.
On note (P) le plan passant par les points E, F, G et H.
2. Les vecteurs et sont colinéaires car
Nous en déduisons que le vecteur est un vecteur normal à (P).
3. Nous devons déterminer une équation cartésienne du plan (P).
Le vecteur est un vecteur normal à (P).
Soit M (x ; y ; z ) un point quelconque du plan (P).
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (P) est
4. La droite (D) passe par le point et admet le vecteur comme vecteur directeur.
Un système d'équations paramétriques de la droite (D) est alors :
soit
5. Le point A(1 ; 2 ; 5) n'appartient pas au plan (P) car ses coordonnées ne vérifient pas l'équation cartésienne de (P).
En effet,
6. a) Nous devons déterminer l'aire du triangle AFG.
Nous savons que
Déterminons les coordonnées des vecteurs et
Dès lors,
Nous en déduisons que :
Par conséquent, l'aire du triangle AFG est
6. b) Nous devons déterminer le volume du tétraèdre AEFG.
Nous savons que
Nous en déduisons que
Par conséquent, le volume du tétraèdre AEFG est
11 points
probleme
Soient f et g les fonctions définies sur par et
1. Nous devons calculer la limite de f en -.
Par suite, la droite d'équation y = 0 est asymptote horizontale à la courbe Cf au voisinage de -.
2.Calculons
Calculons
Par suite, (Cf ) présente une branche parabolique de direction la droite d'équation x = 0 en +.
3. La fonction f est dérivable sur (comme somme de fonctions dérivables sur ).
4. Nous devons étudier le signe de
5. Nous devons déterminer le sens de variation de f .
L'exponentielle est strictement positive sur .
Donc le signe de f' (x ) est le signe de
D'où le sens de variation de f :
f est strictement décroissante sur l'intervalle f est strictement croissante sur l'intervalle
6. Tableau de variations de f .
7. Soit (T ) la droite d'équation y = 2x .
7. a) Une équation de la tangente à (Cf ) au point d'abscisse 0 est de la forme , soit de la forme
D'où une équation de la tangente à (Cf ) au point d'abscisse 0 est
Par conséquent, la droite (T ) est tangente à (Cf ) au point d'abscisse 0.
7. b) Pour tout réel x ,
7. c) L'exponentielle est strictement positive sur .
Nous en déduisons que pour tout réel x ,
Donc le signe de g' (x ) est le signe de
Étudions le signe de
Il s'ensuit le sens de variation de g :
g est strictement décroissante sur l'intervalle g est strictement croissante sur l'intervalle
Tableau de variations de g .
7. d) Sur base du tableau de variations de g , nous pouvons déduire que pour tout réel x , g(x) 0.
De plus,
Par conséquent, la courbe (Cf ) est au-dessus de la droite (T).
8. Soit h la restriction de f à l'intervalle ]0 ; +[.
8. a) La fonction h est continue et strictement croissante sur ]0 ; +[ (voir question 5.).
Nous savons que h (0) = 0 et
Donc la fonction h définit une bijection de ]0 ; +[ vers ]0 ; +[.
8. b) La fonction h-1 a le même sens de variation que la fonction h .
Donc la fonction h-1 est strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; +[.
9. Représentations graphiques de (Cf ) et de (Ch-1 ).
Sur l'intervalle ]0 ; +[, les courbes (Ch-1 ) et (Cf ) sont symétriques par rapport à la droite () : y = x .
Publié par malou
le
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