Fiche de mathématiques

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Bac T1-T2 Sénégal 2021

Durée : 4 heures

Coefficient T1 : 5

Coefficient T2 : 4

4 points

exercice 1

5 points

exercice 2

11 points

probleme

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Bac T1-T2 Sénégal 2021

4 points

exercice 1

1. ${\blue{\overset{{\white{.}}}{\text{Réponse c }}}}$ : Les racines carrées de -3 - 4i sont 1 - 2i et -1 + 2i.

En effet,

$\bullet\phantom{x}(1-2\,\text{i})^2=1^2-2\times1\times2\,\text{i}+(2\,\text{i})^2 \\\phantom{\bullet\phantom{x}(1-2\,\text{i})^2}=1-4\,\text{i}-4 \\\phantom{\bullet\phantom{x}(1-2\,\text{i})^2}=-3-4\,\text{i} \\\\\Longrightarrow\boxed{(1-2\,\text{i})^2=-3-4\,\text{i}} \\\\ \bullet\phantom{x}(-1+2\,\text{i})^2=[-(1-2\,\text{i})]^2 \\\phantom{\bullet\phantom{x}(-1+2\,\text{i})^2}=(1-2\,\text{i})^2 \\\phantom{\bullet\phantom{x}(-1+2\,\text{i})^2}=-3-4\,\text{i} \\\\\Longrightarrow\boxed{(-1+2\,\text{i})^2=-3-4\,\text{i}}$

2. ${\blue{\overset{{\white{.}}}{\text{Réponse b }}}}$ : Dans

, l'équation $\overset{{\white{.}}}{(2-\text{i})z^2-4\text{i}z-2-\text{i}=0}$ a pour ensemble de solutions : ${\red{\lbrace-\dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{5}\,\text{i}\,,\,\text{i}\rbrace}}.$

Résolvons l'équation $\overset{{\white{.}}}{(2-\text{i})z^2-4\text{i}z-2-\text{i}=0}$

$\bullet\phantom{w}\underline{\text{Discriminant}}:\Delta=(-4\,\text{i})^2-4\times(2-\text{i})\times(-2-\text{i}) \\\phantom{\bullet\phantom{w}\underline{\text{Discriminant}}:\Delta}=-16+4(2-\text{i})(2+\text{i}) \\\phantom{\bullet\phantom{w}\underline{\text{Discriminant}}:\Delta}=-16+4(4+1) \\\phantom{\bullet\phantom{w}\underline{\text{Discriminant}}:\Delta}=-16+20 \\\phantom{\bullet\phantom{w}\underline{\text{Discriminant}}:\Delta}=4>0$

$\bullet\phantom{w}\underline{\text{Racines}}:z_1=\dfrac{4\,\text{i}-\sqrt{4}}{2(2-\text{i})}=\dfrac{4\,\text{i}-2}{2(2-\text{i})}=\dfrac{2(2\,\text{i}-1)}{2(2-\text{i})}=\dfrac{2\,\text{i}-1}{2-\text{i}}=\dfrac{(2\,\text{i}-1)(2+\text{i})}{(2-\text{i})(2+\text{i})} \\\\\phantom{\bullet\phantom{w}\underline{\text{Racines}}:z_2}=\dfrac{4\,\text{i}-2-2-\text{i}}{4+1}=\dfrac{-4+3\,\text{i}}{5}=-\dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{5}\,\text{i} \\\\\phantom{\bullet\phantom{w}\underline{\text{Racines}}:} z_2=\dfrac{4\,\text{i}+\sqrt{4}}{2(2-\text{i})}=\dfrac{4\,\text{i}+2}{2(2-\text{i})}=\dfrac{2(2\,\text{i}+1)}{2(2-\text{i})}=\dfrac{2\,\text{i}+1}{2-\text{i}}=\dfrac{(2-\,\text{i})\,\text{i}}{2-\text{i}}=\text{i}$

$\Longrightarrow\boxed{z_1=-\dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{5}\,\text{i}\phantom{w}\text{ et }\phantom{x}z_2=\text{i}}$

3. ${\blue{\overset{{\white{.}}}{\text{Réponse a }}}}$ : $\begin{aligned}\int\nolimits_{\text{e}}^{\text{e}^2} \dfrac{\ln x}{x}\,\text d x\end{aligned}={\red{\dfrac{3}{2}.}}$

En effet,

$\begin{aligned}\int\nolimits_{\text{e}}^{\text{e}^2} \dfrac{\ln x}{x}\,\text d x\end{aligned}=\begin{aligned}\int\nolimits_{\text{e}}^{\text{e}^2} \dfrac{1}{x}\times\ln x\,\text d x\end{aligned}=\begin{aligned}\int\nolimits_{\text{e}}^{\text{e}^2} (\ln x)'\times(\ln x)^1\,\text d x\end{aligned} \\\\\phantom{\begin{aligned}\int\nolimits_{\text{e}}^{\text{e}^2} \dfrac{\ln x}{x}\,\text d x\end{aligned}}=\left[\dfrac{(\ln x)^2}{2}\right]_{\text{e}}^{\text{e}^2}=\dfrac{(\ln {\text{e}^2})^2}{2}-\dfrac{(\ln {\text{e}})^2}{2}=\dfrac{2^2}{2}-\dfrac{1^2}{2}=\dfrac{4}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{\begin{aligned}\int\nolimits_{\text{e}}^{\text{e}^2} \dfrac{\ln x}{x}\,\text d x\end{aligned}=\dfrac{3}{2}}$

4. ${\blue{\overset{{\white{.}}}{\text{Réponse a }}}}$ : Soit la fonction f définie par $f(x)=\sqrt{x^2-2x+3}$ .
${\white{wwwwwwww.}}$ Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de f a, au voisinage de - infini

, une asymptote
${\white{wwwwwwww.}}$ d'équation : $\overset{{\white{.}}}{{\red{y=-x+1.}}}$

En effet,

$\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-(-x+1)]=\lim\limits_{x\to-\infty}(\sqrt{x^2-2x+3}+x-1) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-(-x+1)]}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{[\sqrt{x^2-2x+3}+(x-1)][\sqrt{x^2-2x+3}-(x-1)]}{\sqrt{x^2-2x+3}-(x-1)}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-(-x+1)]}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{(\sqrt{x^2-2x+3})^2-(x-1)^2}{\sqrt{x^2-2x+3}-x+1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-(-x+1)]}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{(x^2-2x+3)-(x^2-2x+1)}{\sqrt{x^2-2x+3}-x+1}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-(-x+1)]}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^2-2x+3-x^2+2x-1}{\sqrt{x^2-2x+3}-x+1}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-(-x+1)]}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{2}{\sqrt{x^2-2x+3}-x+1}} \\\\\text{Or }\lim\limits_{x\to-\infty}(\sqrt{x^2-2x+3}-x+1)=+\infty \\\\\text{D'où }\,\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-(-x+1)]=0}$

5 points

exercice 2

L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct $(O\,;\,\vec i,\vec j,\vec k),$ d'unité graphique 1 cm.
On considère les points E(1 ; -2 ; 0), F(-2 ; -3 ; 5), G(2 ; 1 ; 1) et H(1 ; 1 ; 3).

1. Nous devons démontrer que les points E, F, G et H sont coplanaires.

Calculons $\overrightarrow{EF}\wedge\overrightarrow{EG}.$

Déterminons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{FG}.$

$\left\lbrace\begin{matrix}E(1\,;-2\,;0)\\\overset{}{F(-2\,;-3\,;5)}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{EF} \, \begin{pmatrix} x_F-x_E\\ y_F-y_E \\ z_F-z_E \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2-1\\-3+2\\5-0 \end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{EF} \, \begin{pmatrix} -3\\-1\\5 \end{pmatrix}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}E(1\,;-2\,;0)\\\overset{}{G(2\,;1\,;1)}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{EG} \, \begin{pmatrix} x_G-x_E\\ y_G-y_E \\ z_G-z_E \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2-1\\1+2\\1-0 \end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{EG} \, \begin{pmatrix} 1\\3\\1 \end{pmatrix}}$

Dès lors,

$\overrightarrow{EF}\wedge\overrightarrow{EG}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{i}&&\overrightarrow{j}&&\overrightarrow{k}\\\\-3&&-1&&5\\\\1&&3&&1\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}-1&&5\\\\3&&1\end{vmatrix}\overrightarrow{i}-\begin{vmatrix}-3&&5\\\\1&&1\end{vmatrix}\overrightarrow{j}+\begin{vmatrix}-3&&-1\\\\1&&3\end{vmatrix}\overrightarrow{k} \\\\\\\phantom{\overrightarrow{EF}\wedge\overrightarrow{EG}}=(-1-15)\overrightarrow{i}-(-3-5)\overrightarrow{j}+(-9+1)\overrightarrow{k} \\\\\phantom{\overrightarrow{EF}\wedge\overrightarrow{EG}}=-16\overrightarrow{i}+8\overrightarrow{j}-8\overrightarrow{k} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{EF}\wedge\overrightarrow{EG}=-16\overrightarrow{i}+8\overrightarrow{j}-8\overrightarrow{k}}$

Le vecteur $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{EF}\wedge\overrightarrow{EG}\begin{pmatrix}-16\\8\\-8\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (EFG).

Montrons que le vecteur $\overrightarrow{n_1}$ est orthogonal au vecteur $\overrightarrow{EH}$ .

$\boxed{\overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix}-16\\8\\-8\end{pmatrix}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}E(1\,;-2\,;0)\\\overset{}{H(1\,;1\,;3)}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{EH} \, \begin{pmatrix} x_H-x_E\\ y_H-y_E \\ z_H-z_E \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1-1\\1+2\\3-0 \end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{EH} \, \begin{pmatrix} 0\\3\\3 \end{pmatrix}} \\\\\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{EH}=-16\times0+8\times3-8\times3 \\\phantom{\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{EH}}=0+24-24 \\\phantom{\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{EH}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{EH}=0}$

Donc le vecteur $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{EF}\wedge\overrightarrow{EG}$ est orthogonal au vecteur $\overrightarrow{EH}$ .

Par conséquent, les points E, F, G et H sont coplanaires.
On note (P) le plan passant par les points E, F, G et H.

2. Les vecteurs $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix}-16\\8\\-8\end{pmatrix}$ sont colinéaires car $\overrightarrow{n_1}=-8\,\overrightarrow{n}.$
Nous en déduisons que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à (P).

3. Nous devons déterminer une équation cartésienne du plan (P).

Le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à (P).
Soit M (x ; y ; z ) un point quelconque du plan (P).

$M\in(P)\Longleftrightarrow\overrightarrow{EM}\perp\overrightarrow{n} \\\phantom{M\in(P)}\Longleftrightarrow\overrightarrow{EM}\cdot\overrightarrow{n}=0 \\\\\text{Or }\bullet\left\lbrace\begin{matrix}E(1\,;\,-2\,;\,0)\\M(x\,;\,y\,;\,z)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{EM}:\begin{pmatrix}x-1\\y+2\\z\end{pmatrix} \\\\\phantom{\text{Or }}\bullet\overrightarrow{n}:\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix} \\\\\text{D'où }\overrightarrow{EM}\cdot\overrightarrow{n}=0\Longleftrightarrow2(x-1)-(y+2)+z=0 \\\phantom{\text{D'où }\overrightarrow{EM}\cdot\overrightarrow{n}=0}\Longleftrightarrow2x-2-y-2+z=0 \\\phantom{\text{D'où }\overrightarrow{EM}\cdot\overrightarrow{n}=0}\Longleftrightarrow \boxed{2x-y+z-4=0}$
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (P) est $\boxed{2x-y+z-4=0}\,.$

4. La droite (D) passe par le point $\overset{{\white{.}}}{A\blue{(1\,;\,2\,;\,5)}}}}$ et admet le vecteur $\overrightarrow{n}{\red{\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}}}$ comme vecteur directeur.
Un système d'équations paramétriques de la droite (D) est alors : $\left\lbrace\begin{matrix}x={\blue{1}}+{\red{2}}\times t\phantom{ww}\\y={\blue{2}}+{\red{(-1)}}\times t\\z={\blue{5}}+{\red{1}}\times t\phantom{ww} \end{matrix}\right.\phantom{www}(t\in\R)$
soit $\boxed{(D):\left\lbrace\begin{matrix}x=1+2t\\y=2-t\\z=5+t\end{matrix}\right.\phantom{www}(t\in\R)}$

5. Le point A(1 ; 2 ; 5) n'appartient pas au plan (P) car ses coordonnées ne vérifient pas l'équation cartésienne de (P).
En effet, $2\times1-2+5-4=1\ne 0.$

6. a) Nous devons déterminer l'aire $\mathscr{A}$ du triangle AFG.

Nous savons que $\mathscr{A}=\dfrac{1}{2}\left\lVert \overrightarrow{AF}\wedge\overrightarrow{AG}\right\rVert.$

Déterminons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{AG}.$

$\left\lbrace\begin{matrix}A(1\,;2\,;5)\\\overset{}{F(-2\,;-3\,;5)}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{AF} \, \begin{pmatrix} x_F-x_A\\ y_F-y_A \\ z_F-z_A \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2-1\\-3-2\\5-5 \end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AF} \, \begin{pmatrix} -3\\-5\\0 \end{pmatrix}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}A(1\,;2\,;5)\\\overset{}{G(2\,;1\,;1)}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{AG} \, \begin{pmatrix} x_G-x_A\\ y_G-y_A \\ z_G-z_A \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2-1\\1-2\\1-5 \end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AG} \, \begin{pmatrix} 1\\-1\\-4 \end{pmatrix}}$

Dès lors,

$\overrightarrow{AF}\wedge\overrightarrow{AG}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{i}&&\overrightarrow{j}&&\overrightarrow{k}\\\\-3&&-5&&0\\\\1&&-1&&-4\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}-5&&0\\\\-1&&-4\end{vmatrix}\overrightarrow{i}-\begin{vmatrix}-3&&0\\\\1&&-4\end{vmatrix}\overrightarrow{j}+\begin{vmatrix}-3&&-5\\\\1&&-1\end{vmatrix}\overrightarrow{k} \\\\\\\phantom{\overrightarrow{AF}\wedge\overrightarrow{AG}}=(20-0)\overrightarrow{i}-(12-0)\overrightarrow{j}+(3+5)\overrightarrow{k} \\\\\phantom{\overrightarrow{AF}\wedge\overrightarrow{AG}}=20\overrightarrow{i}-12\overrightarrow{j}+8\overrightarrow{k} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AF}\wedge\overrightarrow{AG}=20\overrightarrow{i}-12\overrightarrow{j}+8\overrightarrow{k}}$

Nous en déduisons que :

${\white{xxx}}$ $\mathscr{A}=\dfrac{1}{2}\left\lVert \overrightarrow{AF}\wedge\overrightarrow{AG}\right\rVert =\dfrac{1}{2}\left\lVert 20\overrightarrow{i}-12\overrightarrow{j}+8\overrightarrow{k}\right\rVert \\\\\phantom{x}=\dfrac{1}{2}\,\sqrt{20^2+(-12)^2+8^2}=\dfrac{1}{2}\,\sqrt{400+144+64} \\\\\phantom{x}=\dfrac{1}{2}\,\sqrt{608}=\dfrac{1}{2}\,\sqrt{16\times38}=\dfrac{1}{2}\times4\,\sqrt{38}=2\,\sqrt{38} \\\\\Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}=2\,\sqrt{38}}$

Par conséquent, l'aire du triangle AFG est $\boxed{\mathscr{A}=2\,\sqrt{38}\,\text{cm}^2.}$

6. b) Nous devons déterminer le volume $\mathscr{V}$ du tétraèdre AEFG.

Nous savons que $\mathscr{V}=\dfrac{1}{6}\left|(\overrightarrow{AF}\wedge\overrightarrow{AG})\cdot\overrightarrow{AE}\right|.$
$\overrightarrow{AF}\wedge\overrightarrow{AG}=20\overrightarrow{i}-12\overrightarrow{j}+8\overrightarrow{k}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AF}\wedge\overrightarrow{AG} \, \begin{pmatrix} 20\\-12\\8 \end{pmatrix}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}A(1\,;2\,;5)\\\overset{}{E(1\,;-2\,;0)}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{AE} \, \begin{pmatrix} x_E-x_A\\ y_E-y_A \\ z_E-z_A \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1-1\\-2-2\\0-5 \end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AE} \, \begin{pmatrix} 0\\-4\\-5 \end{pmatrix}} \\\\\text{D'où }\,(\overrightarrow{AF}\wedge\overrightarrow{AG})\cdot\overrightarrow{AE}=20\times0-12\times(-4)+8\times(-5) \\\phantom{\text{D'où }\,(\overrightarrow{AF}\wedge\overrightarrow{AG})\cdot\overrightarrow{AE}}=0+48-40 \\\phantom{\text{D'où }\,(\overrightarrow{AF}\wedge\overrightarrow{AG})\cdot\overrightarrow{AE}}=8$

Nous en déduisons que $\mathscr{V}=\dfrac{1}{6}\times|8|=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}.$
Par conséquent, le volume du tétraèdre AEFG est $\boxed{\mathscr{V}=\dfrac{4}{3}\,\text{cm}^3.}$

11 points

probleme

Soient f et g les fonctions définies sur

par $f(x)=\text{e}^{3x}-\text{e}^x$ et $g(x)=f(x)-2x.$

1. Nous devons calculer la limite de f en - infini

.

$\bullet\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}3x=-\infty\\\\\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0\end{matrix}\right.\phantom{w}\underset{X=3x}{\Longrightarrow}\phantom{w}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{3x}=0} \\\\ \bullet\phantom{w}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{x}=0} \\\\\text{D'où }\lim\limits_{x\to-\infty}(\text{e}^{3x}-\text{e}^{x})=0\Longleftrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0}$

Par suite, la droite d'équation y = 0 est asymptote horizontale à la courbe C_f au voisinage de -.

2. $\bullet{\white{w}}$ Calculons $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x).$

$f(x)=\text{e}^{3x}-\text{e}^x\Longleftrightarrow f(x)=\text{e}^x\,(\text{e}^{2x}-1) \\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^x=+\infty\phantom{www.}\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}(\text{e}^{2x}-1)=+\infty\end{matrix}\right.\phantom{ww.}\Longrightarrow\phantom{ww.}\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^x\,(\text{e}^{2x}-1)=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWW.}\Longrightarrow\phantom{ww.}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}$

$\bullet{\white{w}}$ Calculons $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}.$

$\forall\,x\neq0,\phantom{w}\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{\text{e}^{3x}-\text{e}^x}{x}\Longleftrightarrow \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{\text{e}^x\,(\text{e}^{2x}-1)}{x}\Longleftrightarrow \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{\text{e}^x}{x}\,(\text{e}^{2x}-1) \\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x}=+\infty\phantom{xx}\text{ (croissances comparées)}\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}(\text{e}^{2x}-1)=+\infty\phantom{WWWWWWWW}\end{matrix}\right.\phantom{ww.}\Longrightarrow\phantom{ww.}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x}\,(\text{e}^{2x}-1)=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWWW.}\Longrightarrow\phantom{ww.}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty}$

Par suite, (C_f ) présente une branche parabolique de direction la droite d'équation x = 0 en +.

3. La fonction f est dérivable sur

(comme somme de fonctions dérivables sur

).

$f'(x)=(\text{e}^{3x})'-(\text{e}^x)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=(3x)'\,\text{e}^{3x}-\text{e}^x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=3\,\text{e}^{3x}-\text{e}^x} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\R,\,f'(x)=3\,\text{e}^{3x}-\text{e}^x=\text{e}^x\,(3\,\text{e}^{2x}-1)}$

4. Nous devons étudier le signe de $3\,\text{e}^{2x}-1.$

$\begin{matrix}3\,\text{e}^{2x}-1<0\Longleftrightarrow 3\,\text{e}^{2x}<1\\\phantom{3\,\text{e}^2x-1<0}\Longleftrightarrow \text{e}^{2x}<\dfrac{1}{3}\\\phantom{3\,\text{e}^2x-1<0xxx}\Longleftrightarrow 2x<\ln\left(\dfrac{1}{3}\right)\\\phantom{3\,\text{e}^2x-1<0xx}\Longleftrightarrow 2x<-\ln3\\\phantom{3\,\text{e}^2x-1<0xx}\Longleftrightarrow x<\dfrac{-\ln 3}{2} \\\\\text{D'où }\,\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}3\,\text{e}^{2x}-1<0\Longleftrightarrow x<-\dfrac{\ln 3}{2}\\\overset{{\white{.}}}{3\,\text{e}^{2x}-1=0\Longleftrightarrow x=-\dfrac{\ln 3}{2}}\\\overset{{\white{.}}}{3\,\text{e}^{2x}-1>0\Longleftrightarrow x>-\dfrac{\ln 3}{2}}\end{matrix}\right.} \end{matrix}$

5. Nous devons déterminer le sens de variation de f .
L'exponentielle est strictement positive sur

.
Donc le signe de f' (x ) est le signe de $3\,\text{e}^{2x}-1.$

D'où le sens de variation de f :

${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ f est strictement décroissante sur l'intervalle $]-\infty\,;\,-\dfrac{\ln 3}{2}[$
${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ f est strictement croissante sur l'intervalle $]-\dfrac{\ln 3}{2}\,;\,+\infty[.$

6. Tableau de variations de f .

${\white{www}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&-\dfrac{\ln 3}{2}\approx-0,55&&+\infty\\&&&&&\\\hline&0&&&&+\infty\\f(x)&&\searrow&&\nearrow&\\&&&f\left(-\dfrac{\ln 3}{2}\right)\approx-0,385&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

7. Soit (T ) la droite d'équation y = 2x .

7. a) Une équation de la tangente à (C_f ) au point d'abscisse 0 est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$ , soit de la forme $y=f'(0)\,x+f(0).$

$\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}f'(x)=3\,\text{e}^{3x}-\text{e}^x\\f(x)=\text{e}^{3x}-\text{e}^x\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}f'(0)=3\,\text{e}^{0}-\text{e}^0\\f(0)=\text{e}^{0}-\text{e}^0\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}f'(0)=2\\f(0)=0\end{matrix}\right.}$

D'où une équation de la tangente à (C_f ) au point d'abscisse 0 est $\boxed{y=2x}\,.$
Par conséquent, la droite (T ) est tangente à (C_f ) au point d'abscisse 0.

7. b) Pour tout réel x ,

$\bullet\phantom{w}g(x)=f(x)-2x\Longrightarrow g'(x)=f'(x)-2 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\bullet\phantom{w}g(x)=f(x)-2x}\Longrightarrow \boxed{g'(x)={\red{3\,\text{e}^{3x}-\text{e}^x-2}}}} \\\\\bullet\phantom{w}(\text{e}^{x}-1)(3\,\text{e}^{2x}+3\,\text{e}^{x}+2)=3\,\text{e}^{3x}+3\,\text{e}^{2x}+2\,\text{e}^{x}-3\,\text{e}^{2x}-3\,\text{e}^{x}-2 \\\phantom{\bullet\phantom{w}}\Longrightarrow\boxed{(\text{e}^{x}-1)(3\,\text{e}^{2x}+3\,\text{e}^{x}+2)={\red{3\,\text{e}^{3x}-\text{e}^{x}-2}}} \\\\\text{Par conséquent, }\boxed{g'(x)=(\text{e}^{x}-1)(3\,\text{e}^{2x}+3\,\text{e}^{x}+2)}$

7. c) L'exponentielle est strictement positive sur

.
Nous en déduisons que pour tout réel x , $3\,\text{e}^{2x}+3\,\text{e}^{x}+2>0.$
Donc le signe de g' (x ) est le signe de $\text{e}^{x}-1.$

Étudions le signe de $\text{e}^{x}-1.$

$\begin{matrix}\text{e}^{x}-1<0\Longleftrightarrow \text{e}^{x}<1\\\phantom{\text{e}^x-1<.}\Longleftrightarrow x<0 \\\\\text{D'où }\,\left\lbrace\begin{matrix}\text{e}^{x}-1<0\Longleftrightarrow x<0\\\overset{{\white{.}}}{\text{e}^{x}-1=0\Longleftrightarrow x=0}\\\overset{{\white{.}}}{\text{e}^{x}-1>0\Longleftrightarrow x>0}\end{matrix}\right. \end{matrix}$

$\text{soit }\,\left\lbrace\begin{matrix}g'(x)<0\Longleftrightarrow x<0\\\overset{{\white{.}}}{g'(x)=0\Longleftrightarrow x=0}\\\overset{{\white{.}}}{g'(x)>0\Longleftrightarrow x>0}\end{matrix}\right.$

Il s'ensuit le sens de variation de g :

${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ g est strictement décroissante sur l'intervalle $]-\infty\,;\,0[$
${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ g est strictement croissante sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[.$

Tableau de variations de g .

$\underline{\text{Calculs préliminaires }}: \\\\\bullet\phantom{w}\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}(f(x)-2x) \\\phantom{\underline{\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)}}=\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)-\lim\limits_{x\to-\infty}2x \\\\\phantom{\bullet\phantom{w}}\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0\phantom{ww}(\text{voir question 1)}\\\lim\limits_{x\to-\infty}2x=-\infty\phantom{WWWWWWWW}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\bullet\phantom{w}}\text{D'où }\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=+\infty}$

$\\\\\bullet\phantom{w}\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}(\text{e}^{3x}-\text{e}^x-2x) \\\\\phantom{\bullet\phantom{w}\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)}=\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{3x}\left(1-\dfrac{1}{\text{e}^{2x}}-\dfrac{2x}{\text{e}^{3x}}\right) \\\\\phantom{\bullet\phantom{w}}\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{3x}=+\infty\phantom{WWWWWWWWW}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\text{e}^{2x}}=0}\phantom{WWWWWWWWWW}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x}{\text{e}^{3x}}=0\phantom{x}(\text{croissances comparées)}}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\bullet\phantom{w}}\text{D'où }\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty}$

$\underline{\text{Tableau de variations de }g}: \\\\ {\white{www}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&0&&+\infty\\&&&&&\\\hline&+\infty&&&&+\infty\\g(x)&&\searrow&&\nearrow&\\&&&0&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

7. d) Sur base du tableau de variations de g , nous pouvons déduire que pour tout réel x , g(x) 0.

De plus,

$\forall\,x\in\R,\,g(x)\ge0\Longleftrightarrow f(x)-2x\ge0 \\\phantom{\forall\,x\in\R,\,g(x)\ge0}\Longleftrightarrow \boxed{f(x)\ge2x}$

Par conséquent, la courbe (C_f ) est au-dessus de la droite (T).

8. Soit h la restriction de f à l'intervalle ]0 ; + infini

[.

8. a) La fonction h est continue et strictement croissante sur ]0 ; + infini

[ (voir question 5.).
Nous savons que h (0) = 0 et $\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=+\infty.}$

Donc la fonction h définit une bijection de ]0 ; +[ vers ]0 ; +[.

8. b) La fonction h ^-1 a le même sens de variation que la fonction h .
Donc la fonction h ^-1 est strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; +[.

9. Représentations graphiques de (C_f ) et de (C_h^-1 ).
Sur l'intervalle ]0 ; + infini

[, les courbes (C_h^-1 ) et (C_f ) sont symétriques par rapport à la droite ( deltamaj

) : y = x .

Publié par malou le 26-01-2022

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