Les trois problèmes sont obligatoires.
Le candidat ne sera jugé que sur la base des traces écrites sur sa copie.
Il sera tenu grand compte de la clarté et de la précision des raisonnements.
Les seules calculatrices autorisées sont les calculatrices non programmables.
Situation d'évaluation
Contexte : Un programme pour l'atteinte de l'autosuffisance alimentaire
Tâche : Tu es invité(e) à apporter des réponses aux préoccupations de Omolola en résolvant les trois problèmes suivants:
1) est la similitude directe de centre , de rapport et d'angle .
L'écriture complexe de est donc:
2-a) En sachant que , on peut déduire à partir de l'affixe du vecteur .
On en déduit l'affixe de
b) est l'image de par la similitude directe
D'autre part, est le barycentre des points pondérés
Conclusion:
3-a) On sait que , et
Donc .
D'autre part :
On en tire que
b) Il s'agit de calculer l'aire du rectangle qu'on note
Or, on sait que
Et
Conclusion:
probleme 2
4) Pour tout réel l'équation de l'ensemble de points est .
Dans cette équation, les coefficients des inconnues ne sont pas tous nuls, en effet, le coefficient de par exemple est .
On en tire que pour tout réel :
5-a) Les deux plans respectivement d'équations , ont pour vecteurs normaux
respectivement
On a:
b) On doit montrer que la relation trouvée en 5-a) est vérifiée pour
On a:
On obtient:
c) La droite est l'intersection des deux plans d'équations:
Posons et trouvons en fonction de
Conclusion:
d) La représentation paramétrique trouvée est .
On doit montrer que la droite est incluse dans tous les plans , pour cela, on montre que les inconnues en fonction de de la représentation paramétrique de vérifient quelque soit le réel l'équation de .
Pour tout réel
Ce qu'il fallait démontrer, alors:
6-a) On a une représentation paralétrique du plan
On remarque que:
On en tire l'équation cartésienne du plan
b) Le vecteur normal au plan d'équation cartésienne admet pour coordonnées .
Or, la droite de représentation paramétrique admet le même vecteur comme vecteur directeur.
On en déduit que:
7-a) La distance du point au plan
b) D'après l'énoncé:
Le système fonctionne correctement si
La puce est placée sur la tige, donc: .
Donc:
Le point appartient à , donc ses coordonnées vérifient la représentation paramétrique de trouvée en 5-c) ; donc:
On tire de ce qui précède que:
Donc:
Or, , on obtient les triplets possibles pour le point
Triplet 1 :
Triplet 2 :
Conclusion:
probleme 3
8) La fonction définie sur par est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables sur .
Donc:
On obtient:
On en déduit que:
9-a) Soit une fonction dérivable sur
On a:
Conclusion:
b) Résolvons l'équation différentielle
Directement d'après le cours:
Et d'après la question précédente, les solutions de l'équation sont donc les fonctions de la forme
Ou encore:
c) Puisque la fonction est une solution de l'équation , alors il existe un réel tel que :
Or, d'après l'énoncé, s'annule en , il s'ensuit que:
On obtient:
10)Étude de la fonction
La fonction est une fonction définie sur
Calculons les limites aux bornes de
En
En
Conclusion:
La fonction est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables sur .
Pour tout
Puisque pour tout réel , donc le signe de est celui du trinôme .
Etudions le signe de calculons pour cela son discriminent
Le trinôme admet donc deux racines:
On trace le tableau de signes de
On en tire que:
On en déduit que:
Finalement:
Et on dresse le tableau de variations de
11-a) Étude des branches infinies:
Puisque , on calcule
Interprétation graphique:
De plus, on a
Interprétation graphique:
b) Le graphique:
On remarque que , donc la courbe coupe l'axe des abscisses en deux points et
Publié par malou/Panter
le
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