Fiche de mathématiques
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Bac Maroc 2023

Série: SVT-PC et Sciences technologiques

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Durée : 3 heures
Coefficient : 7


exercice 1


Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O;\vec{i};\vec{j};\vec{k}) , on considère les points A(0,1,4)\text{ , }B(2;1;2)\text{ , }C(2;5;0)\text{ et }\Omega(3;4;4) .

1-a) Montrer que \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=4\left(2\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}\right).

b) En déduire l'aire du triangle ABC et la distance d(B;(AC)).

2) Soit D le milieu du segment [AC].

a) Vérifier que \overrightarrow{D\Omega}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right).

b) En déduire que d(\Omega;(ABC))=3.

3) Soit (S) la sphère d'équation x^2+y^2+z^2-6x-8y-8z+32=0.

a) Déterminer le centre et le rayon de la sphère (S) .

b) Montrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère (S) en un point que l'on déterminera.

4) Soient (Q_1)\text{ et }(Q_2) les deux plans parallèles à (ABC) tels que chacun d'eux coupe (S) suivant un cercle de rayon \sqrt{5} .

Déterminer une équation cartésienne pour chacun des deux plans (Q_1)\text{ et }(Q_2) .


exercice 2


Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O;\vec{u};\vec{v}), on considère les points A,B,C\text{ et }D d'affixes repsectives a=\sqrt{2}+i\sqrt{2}\text{ , }b=1+\sqrt{2}+i\text{ , }c=\overline{b}\text{ et }d=2i .

1)Écrire le nombre complexe a sous forme trigonométrique.

2-a) Vérifier que b-d=c

b) Montrer que (\sqrt{2}+1)(b-a)=b-d et déduire que les points A\text{ , }B\text{ et }D sont alignés.

3-a) Vérifier que ac=2b .

b) En déduire que 2\arg(b)\equiv \dfrac{\pi}{4} \enskip[2\pi] .

4) Soit R la rotation de centre O et d'angle \dfrac{\pi}{4} et qui transforme chaque point M du plan d'affixe z en un point M' d'affixe z' .

a) Montrer que z'=\dfrac{1}{2} a z .

b) En déduire que R(C)=B\text{ et que }R(A)=D .

c) Montrer que \dfrac{b-a}{c-a}=\left(\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}\right)a , puis déduire une mesure de l'angle \widehat{\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)} .


exercice 3


Une urne U_1 contient six boules portant les nombres : 0\text{ ; }0\text{ ; }1\text{ ; }1\text{ ; }1\text{ ; } 2 et une urne U_2 contient cinq boules portant les nombres 1\text{ ; }1\text{ ; }1\text{ ; }2\text{ ; }2 .

On suppose que les boules des deux urnes sont indiscernables au toucher.

On considère l'exprérience aléatoire suivante:

« On tire une boule de l'urne U_1 et on note le nombre a qu'elle porte, puis on la met dans l'urne U_2 , ensuite on tire une boule de l'urne U_2 et on note le nombre b qu'elle porte »

On considère les événements suivants:

A: "La boule tirée de l'urne U_1 porte le nombre 1"

B: "Le produit ab est égal à 2"

1-a) Calculer P(A) ; la probabilité de l'événement A .

b) Montrer que P(B)=\dfrac{1}{4} (On peut utiliser l'arbre des possibilités)

2) Calculer P(A/B) ; probabilité de l'événement A sachant que l'événement B est réalisé.

3) Soit X la variable aléatoire qui associe à chaque résultat de l'expérience, le produit ab .

a) Montrer que p(X=0)=\dfrac{1}{3} .

b) Donner la loi de probabilité de X (Remarquer que les valeurs prises par X sont : 0\text{ ; }1\text{ ; }2\text{ et }4 )

c) On considère les événements:

M: "Le produit ab est pair non nul" et N:" Le produit ab est égal à 1" .

Montrer que les événements M et N sont équiprobables.


probleme


On considère la fonction numérique f définie sur ]0;+\infty[ par : f(x)=2-\dfrac{2}{x}+(1-\ln x)^2 .

Soit (C_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;\vec{i};\vec{j}) (unité: 1\text{ cm})

1-a) Vérifier que pour tout x\in]0;+\infty[\text{ : }f(x)=\dfrac{3x-2-2x\ln x + x(\ln x)^2}{x} .

b) Montrer que \displaystyle\lim_{x\to 0^+}x(\ln x)^2=0 \text{ et que }\lim_{x\to+\infty} \dfrac{(\ln x)^2}{x}=0 \enskip\text{ (on peut poser } t=\sqrt{x} \text{ )}.

c) Déduire que \displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=-\infty , puis donner une interprétation géométrique du résultat.

d) Calculer \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) , puis montrer que la courbe (C_f) admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de +\infty .

2) Montrer que pour tout x\in ]0;+\infty[\text{ : }f'(x)=\dfrac{2(1-x+x\ln x)}{x^2} .

3) En exploitant le tableau de variation ci-dessous, de la fonction dérivée f' de f sur ]0;+\infty[ :

\begin{array}{|c|cccccccc|} \hline x     & 0  &  &            & 1     &        &\beta  &        &   +\infty                                       \\   &   &  &            &      &        &  &        &           \\ \hline       &\dbarre &  +\infty      &        &          & &f'(\beta)      & &                                               \\  f'(x)           &  \dbarre &        &\searrow&          &     \nearrow       &&    \searrow &                                     \\	           &\dbarre  &          &        &  0 & &            &        & 0                                     \\  \hline \end{array}}


(On donne \beta\approx 4,9)

a) Prouver que f est strictement croissante sur ]0;+\infty[ puis dresser le tableau de variations de f.

b) Donner le tableau de signe de la dérivée seconde f'' de la fonction f sur ]0;+\infty[ .

c) Déduire la concavité de la courbe (C_f) en précisant les abscisses de ses deux points d'inflexion.

4) La courbe (C_g) ci-contre est la représentation graphique de la fonction g:x\mapsto f(x)-x et qui s'annule en \alpha et 1\enskip\text{ (}\alpha\approx 0,3\text{)} .

Bac Maroc 2023 SVT-PC et sciences technologiques : image 1


Soit (\Delta) la droite d'équation y=x.

a) A partir de la courbe (C_g) , déterminer le signe de la fonction g sur ]0;+\infty[.

b) Déduire que la droite (\Delta) est en dessous de (C_f) sur l'intervalle [\alpha;1] et au-dessus de (C_f) sur les intervalles ]0;\alpha] et [1;+\infty[ .

5) Construire la courbe (C_f) et la droite (\Delta) dans le repère (O;\vec{i};\vec{j}) .

\text{(On prend : }\alpha\approx 0,3\text{ ; }\beta\approx 4,9\text{ et }f(\beta)\approx 1,9 \text{)}

6-a) Vérifier que la fonction x\mapsto 2x-x\ln x est une primitive de la focntion x\mapsto 1-\ln x sur [\alpha;1] .

b) En utilisant une intégration par parties, montrer que \displaystyle \int_{\alpha}^{1} (1-\ln x)^2 \text{ d}x=5(1-\alpha)+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha .

c) Déduire en fonction de \alpha l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe (C_f) , l'axe des abscisses et les droites d'équations x=\alpha\text{ et }x=1 .

7) Soit la suite numérique (u_n) définie par u_0\in]\alpha;1[ et la relation u_{n+1}=f(u_n)\text{ , pour tout }n\in\N .

a) Montrer par récurrence que \alpha<u_n<1\text{ , pour tout }n\in\N .

b) Montrer que la suite (u_n) est croissante (on peut utiliser la question 4-b) )

c) En déduire que la suite (u_n) est convergente et calculer sa limite.




Bac Maroc 2023 SVT-PC et sciences technologiques

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exercice 1

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct  (O;\vec{i};\vec{j};\vec{k}) , on considère les points

A(0\;;\;1\;;\;4)\text{ , }B(2\;;\;1\;;\;2)\text{ , }C(2\;;\;5\;;\;0)\text{ et }\Omega(3\;;\;4\;;\;4) .

1. a)  Montrons que  \overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=4\left(2\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}\right).}

\left\lbrace\begin{matrix}A(0\;;\;1\;;\;4)\\B(2\;;\;1\;;\;2)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}2-0\\1-1\\2-4\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}A(0\;;\;1\;;\;4)\\C(2\;;\;5\;;\;0)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}2-0\\5-1\\0-4\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}2\\4\\-4\end{pmatrix}}

\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}0&4\\-2&-4\end{vmatrix}\vec i-\begin{vmatrix}2&2\\-2&-4\end{vmatrix}\vec j+\begin{vmatrix}2&2\\0&4\end{vmatrix}\vec k \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}}=(0+8)\vec i-(-8+4)\vec j+(8-0)\vec k} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}}=8\vec i+4\vec j+8\vec k} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}}=4(2\vec i+\vec j+2\vec k})

D'où  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=4(2\vec i+\vec j+2\vec k)} }\,.} 

1. b)  Nous devons en déduire l'aire  \overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{A}_{ABC} }  du triangle   { ABC }  et la distance  \overset{ { \white{ . } } } { d(B;(AC)). } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\mathscr{A}_{ABC}=\dfrac12\times||\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}|| \\\overset{ { \phantom{ . } } }{\phantom{WWWx}=\dfrac12\times||4(2\vec i+\vec j+2\vec k)||} \\\overset{ { \phantom{ . } } }{\phantom{WWWx}=2\times||2\vec i+\vec j+2\vec k||} \\\overset{ { \phantom{ . } } }{\phantom{WWWx}=2\times\sqrt{2^2+1^2+2^2}} \\\overset{ { \phantom{ . } } }{\phantom{WWWx}=2\times\sqrt{9}} \\\overset{ { \phantom{ . } } }{\phantom{WWWx}=6}

\\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\mathscr{A}_{ABC}=6}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}d(B;(AC))=\dfrac{||\,\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,||}{||\,\overrightarrow{AC}\,||}

{ \white{ xxi } }\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix} \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=4(2\vec i+\vec j+2\vec k)\\\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow {AC}=2\vec i+4\vec j-4\vec k\phantom{WWW}}\end{matrix}\right.

{ \white{ xxi } }\text{D'où  }\;d(B;(AC))=\dfrac{||\,4(2\vec i+\vec j+2\vec k)\,||}{||\,2\vec i+4\vec j-4\vec k\,||} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{D'où  }\;d(B;(AC))}=\dfrac{4\,\sqrt{2^2+1^2+2^2}}{\sqrt{2^2+4^2+(-4)^2}}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{D'où  }\;d(B;(AC))}=\dfrac{4\,\sqrt{9}}{\sqrt{36}}=\dfrac{4\times3}{6}}=2

\\\\\Longrightarrow\quad\boxed{d(B;(AC))=2}

2.  Soit  \overset{ { \white{ . } } } { D }  le milieu du segment  \overset{ { \white{ . } } } { [AC]. }

2. a)  Nous devons vérifier que  \overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{D\Omega}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right). } 

Le point  \overset{ { \white{ _. } } } { D }  est le milieu du segment  \overset{ { \white{ . } } } { [AC]. }
Nous en déduisons les coordonnées de  \overset{ { \white{ . } } } { D. } 

\left\lbrace\begin{matrix}A(0\;;\;1\;;\;4)\\C(2\;;\;5\;;\;0)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad D\left(\dfrac{x_A+x_D}{2}\;;\;\dfrac{y_A+y_D}{2}\;;\;\dfrac{z_A+z_D}{2}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWWx}\quad\Longrightarrow\quad D\left(\dfrac{0+2}{2}\;;\;\dfrac{1+5}{2}\;;\;\dfrac{4+0}{2}\right)} \\\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWWx}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{D(1\;;\;3\;;\;2)}}

Dès lors,

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\left\lbrace\begin{matrix}D(1\;;\;3\;;\;2)\\\Omega(3\;;\;4\;;\;4)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {D\Omega}\begin{pmatrix}3-1\\4-3\\4-2\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {D\Omega}\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} \\\\\phantom{WWWWWxW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {D\Omega}=2\vec i+\vec j+2\vec k}

\\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=4\left(2\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}\right)\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\dfrac14\left(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right)=2\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}}

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\overrightarrow{D\Omega}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right)}\,. } 

2. b)  Nous devons en déduire que  \overset{ { \white{ . } } } { d(\Omega;(ABC))=3. } 

Nous avons :  \overrightarrow{D\Omega}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow{D\Omega}\perp\text{plan }(ABC)}\,. 

De plus, le point  \overset{ { \white{ _. } } } { D }  étant le milieu du segment  \overset{ { \white{ . } } } { [AC], }  nous en déduisons que le point  \overset{ { \white{ _. } } } { D }  appartient au plan  \overset{ { \white{ . } } } { (ABC). } 

Dès lors, le point  \overset{ { \white{ _. } } } { D }  est le projeté orthogonal du point  \overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }  sur le plan  \overset{ { \white{ . } } } { (ABC). } 

Par conséquent,

{ \white{ xxi } }\overset{ { \white{ . } } } { d(\Omega;(ABC))=D\Omega } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ d(\Omega;(ABC))}=||2\vec i+\vec j+2\vec k|| } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ d(\Omega;(ABC))}=\sqrt{2^2+1^2+2^2} =\sqrt9=3} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{d(\Omega;(ABC))=3}

3.  Soit  \overset{ { \white{ . } } } {(S)  }  la sphère d'équation  \overset{ { \white{ . } } } { x^2+y^2+z^2-6x-8y-8z+32=0. } 

3. a)  Déterminons le centre et le rayon de la sphère  \overset{ { \white{ . } } } {(S).  } 

Rappelons que la sphère de centre  \overset{ { \white{ . } } } { (a\;;\;b\;;\;c)  }  et de rayon  \overset{ { \white{ . } } } { R }  admet une équation cartésienne de la forme  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2} } 

Transformons l'équation  \overset{ { \white{ . } } } { x^2+y^2+z^2-6x-8y-8z+32=0. } 

x^2+y^2+z^2-6x-8y-8z+32=0 \\\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad  (x^2-6x{\red{\,+\,9}})+(y^2-8y{\red{\,+\,16}})+(z^2-8z{\red{\,+\,16}})+32=0{\red{\,+\,9}}}{\red{+\,16}}{\red{+\,16}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad  \boxed{(x-3)^2+(y-4)^2+(z-4)^2=9}}

D'où le centre de la sphère  \overset{ { \white{ . } } } {(S)  }  est  \overset{ { \white{ . } } } { \Omega(3\;;\;4\;;\;4) }  et le rayon est  \overset{ { \white{ _. } } } { R=3. } 

3. b)  Montrons que le plan  \overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }  est tangent à la sphère  \overset{ { \white{ . } } } {(S) . } 

Nous avons montré que  \overset{ { \white{ . } } } { d(\Omega\;;\;(ABC))=3 }  et que le rayon de la sphère  \overset{ { \white{ . } } } { (S) }  est également égal à 3.

Il s'ensuit que le plan  \overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }  est tangente à la sphère  \overset{ { \white{ . } } } { (S). } 

De plus nous avons montré dans la question 2. b) que  \overset{ { \white{ . } } } { D\Omega=3 }  et que le point  \overset{ { \white{ . } } } { D }  appartient au plan  \overset{ { \white{ . } } } { (ABC). } 
Dès lors, le plan  \overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }  est tangent à la sphère  \overset{ { \white{ . } } } { (S) }  au point  \overset{ { \white{ . } } } { D. } 

4.  Soient  \overset{ { \white{ . } } } { (Q_1) }  et  \overset{ { \white{ . } } } { (Q_2) }  les deux plans parallèles à  \overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }  tels que chacun d'eux coupe  \overset{ { \white{ . } } } { (S) }  suivant un cercle de rayon  \overset{ { \white{ . } } } { \sqrt5. } 

Nous devons déterminer une équation cartésienne pour chacun des deux plans  \overset{ { \white{ . } } } { (Q_1) }  et  \overset{ { \white{ . } } } { (Q_2) .} 

Nous savons que le vecteur   { \overrightarrow{D\Omega}\,(2\;;\;1\;;\;2) }  est normal au plan  \overset{ { \white{ . } } } { (ABC) } .
Dès lors,   { \overrightarrow{D\Omega} }  est normal aux plans  \overset{ { \white{ . } } } { Q_1 }  et  \overset{ { \white{ . } } } { Q_2 }  parallèles à  \overset{ { \white{ . } } } { (ABC). } 

Par suite, chacun de ces deux plans possède une équation cartésienne de la forme :  \overset{ { \white{ . } } } { 2x+y+2z+d=0. } 

De plus, si nous notons  \overset{ { \white{ . } } } {(Q_i)   }  l'un des deux plans  \overset{ { \white{ . } } } { (Q_1) }  ou  \overset{ { \white{ . } } } { (Q_2) ,}  nous obtenons par Pythagore :

{ \white{ xxi } }(\sqrt5)^2=3^2-\Big(d(\Omega, (Q_i))\Big)^2\quad\Longleftrightarrow\quad5=9-\Big(d(\Omega, (Q_i))\Big)^2 \\\phantom{(\sqrt5)^2=3^2-\Big(d(\Omega, (Q_i))\Big)^2}\quad\Longleftrightarrow\quad\Big(d(\Omega, (Q_i))\Big)^2=4 \\\phantom{(\sqrt5)^2=3^2-\Big(d(\Omega, (Q_i))\Big)^2}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{d(\Omega, (Q_i))=2}

Nous obtenons ainsi :

{ \white{ xxi } }d\Big(\Omega(3;4;4), (Q_i)\Big)=2\quad\Longleftrightarrow\quad\dfrac{|\,2\times3+1\times4+2\times4+d\,|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=2 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{d\Big(\Omega(3;4;4), (Q_i)\Big)=2}\quad\Longleftrightarrow\quad\dfrac{|\,18+d\,|}{\sqrt{9}}=2} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{d\Big(\Omega(3;4;4), (Q_i)\Big)=2}\quad\Longleftrightarrow\quad\dfrac{|\,18+d\,|}{3}=2} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{d\Big(\Omega(3;4;4), (Q_i)\Big)=2}\quad\Longleftrightarrow\quad |\,18+d\,|=6}

{ \white{ xxi } }\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{d\Big(\Omega(3;4;4), (Q_i)\Big)=2}\quad\Longleftrightarrow\quad 18+d=6\quad\text{ou}\quad18+d=-6} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{d\Big(\Omega(3;4;4), (Q_i)\Big)=2}\quad\Longleftrightarrow\quad d=-12\quad\text{ou}\quad d=-24} \\\\\Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}(Q_1):2x+y+2z-12=0\\\\ (Q_2):2x+y+2z-24=0\end{matrix}\right.}

exercice 2

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct  \overset{ { \white{ . } } } { (O;\vec{u};\vec{v}), }  on considère les points  \overset{ { \white{ . } } } { A,B,C\text{ et }D }  d'affixes respectives  \overset{ { \white{ . } } } { a=\sqrt{2}+\text i\sqrt{2}\text{ , }b=1+\sqrt{2}+\text i\text{ , }c=\overline{b}\text{ et }d=2\text i . } 

1.  Nous devons écrire le nombre complexe  \overset{ { \white{ . } } } { a }  sous forme trigonométrique.

{ \white{ xxxi } }a=\sqrt{2}+\text i\sqrt{2}\quad\Longrightarrow\quad |a|=\sqrt{(\sqrt2)^2+(\sqrt2)^2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{a=\sqrt{2}+i\sqrt{2}}\quad\Longrightarrow\quad |a|=\sqrt{2+2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{a=\sqrt{2}+i\sqrt{2}}\quad\Longrightarrow\quad |a|=2} \\\\\text{D'où }\;a=\sqrt{2}+\text i\sqrt{2}\quad\Longleftrightarrow\quad a=2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \\\\\phantom{\text{D'où }\;a=\sqrt{2}+i\sqrt{2}}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{ a=2\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+\text i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)}

2. a)  Nous devons vérifier que :  \overset{ { \white{ . } } } { b-d=c. } 

{ \white{ xxxi } }b-d=(1+\sqrt{2}+\text i)-2\text i \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{b-d}=(1+\sqrt{2})-\text i} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{b-d}=\overline{(1+\sqrt{2})+\text i}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{b-d}=\overline{b}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{b-d}=c} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{b-d=c}

2. b)  Nous devons montrer que  \overset{ { \white{ . } } } { (\sqrt{2}+1)(b-a)=b-d. } 

{ \white{ xxxii } }(\sqrt{2}+1)(b-a)=(\sqrt{2}+1)(1+\sqrt2+\text i-\sqrt2-\text i \sqrt2) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{(\sqrt{2}+1)(b-a)}=(\sqrt{2}+1)(1+\text i-\text i \sqrt2)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{(\sqrt{2}+1)(b-a)}=\sqrt{2}+\text i\sqrt2-2\text i+1+\text i-\text i \sqrt2} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{(\sqrt{2}+1)(b-a)}=\sqrt{2}+1-\text i} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{(\sqrt{2}+1)(b-a)}=\overline{b}} \\\phantom{(\sqrt{2}+1)(b-a)}=c \\\phantom{(\sqrt{2}+1)(b-a)}=b-d\quad\text{(voir 2. a)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{(\sqrt{2}+1)(b-a)=b-d}

Dès lors,  \overset{ { \white{ . } } } { (\sqrt{2}+1)(b-a)=b-d\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{b-d}{b-a}=\sqrt{2}+1\,{\red{\in\R}} } 

Par conséquent, les points  \overset{ { \white{ . } } } { A,\,B }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { D }  sont alignés.

3. a)  Nous devons vérifier que   { ac=2b . }

{ \white{ xxxii } }ac=(\sqrt2+\text i\sqrt2)(1+\sqrt2-\text i) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ac}= \sqrt2+2-\text i \sqrt2+\text i\sqrt 2+2\text i+\sqrt 2  } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ac}=2+ 2\sqrt2+2\text i} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ac}=2(1+ \sqrt2+\text i)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{ac}=2b} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ac=2b}

3. b)  Nous devons en déduire que  \overset{ { \white{ . } } } { 2\arg(b)\equiv \dfrac{\pi}{4} \enskip[2\pi] .  } 

{ \white{ xxxii } }2b=ac\quad\Longrightarrow\quad \arg(2b)\equiv\arg(ac)\;[2\pi] \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{2b=ac}\quad\Longrightarrow\quad \arg(2)+\arg(b)\equiv\arg(a)+\arg(c)\; [2\pi] } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{2b=ac}\quad\Longrightarrow\quad 0+\arg(b)\equiv\dfrac{\pi}{4}+\arg(\,\overline b\,)\;[2\pi]\quad\text{car }\left\lbrace\begin{matrix}\arg(2)\equiv0\;[2\pi]\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\arg(a)\equiv\frac{\pi}{4}\;[2\pi]}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {c=\overline{b}\phantom{WWWW}}\end{matrix}\right. } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{2b=ac}\quad\Longrightarrow\quad \arg(b)\equiv\dfrac{\pi}{4}-\arg(b)\;[2\pi] \quad\text{car }\arg(\,\overline b\,)=-\arg(b)\;[2\pi]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{2b=ac}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{ 2\arg(b)\equiv\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]} }

4.  Soit  \overset{ { \white{ _. } } } { R }  la rotation de centre  \overset{ { \white{ _. } } } { O }  et d'angle  \overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{\pi}{4} }  et qui transforme chaque point  \overset{ { \white{ _. } } } { M }  du plan d'affixe  \overset{ { \white{ . } } } { z }  en un point  \overset{ { \white{ _. } } } { M' }  d'affixe  \overset{ { \white{ _. } } } { z'. } 

4. a)  Montrons que  \overset{ { \white{ . } } } { z'=\dfrac{1}{2} a z .  } 

{ \white{ xxxii } }M'=R(M)\quad\Longleftrightarrow\quad z'-z_O=\text e^{\text i\frac{\pi}{4}}(z-z_O) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{M'=R(M)}\quad\Longleftrightarrow\quad z'-0=\text e^{\text i\frac{\pi}{4}}(z-0)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{M'=R(M)}\quad\Longleftrightarrow\quad z'=\text e^{\text i\frac{\pi}{4}}z} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{M'=R(M)}\quad\Longleftrightarrow\quad z'=\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+\text i \sin\dfrac{\pi}{4}\right)z} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{M'=R(M)}\quad\Longleftrightarrow\quad z'=\left(\dfrac{\sqrt 2}{2}+\text i \,\dfrac{\sqrt 2}{2}\right)z} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{M'=R(M)}\quad\Longleftrightarrow\quad z'=\dfrac{1}{2}(\sqrt 2+\text i \,\sqrt 2)z} \\\overset{ {\phantom{ . } } } {\phantom{M'=R(M)}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{z'=\dfrac{1}{2}az}}

4. b)  Nous devons en déduire que  \overset{ { \white{ . } } } {R(C)=B  }  et que  \overset{ { \white{ . } } } {R(A)=D.  } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Nous savons que  \overset{ { \white{ _. } } } { 2b=ac. } 
Dès lors,  \overset{ { \white{ . } } } { \dfrac12ac=b. } 
En utilisant l'expression complexe de la rotation  \overset{ { \white{ _. } } } { R }  démontrée dans la question 4. a), nous en déduisons que  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{R(C)=B}\,. } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Pour démontrer que  \overset{ { \white{ . } } } {R(A)=D,  }  démontrons que  \overset{ { \white{ . } } } { \dfrac12aa=d. } 
En effet,

{ \white{ xxxii } }\dfrac12aa=\dfrac12a^2 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\dfrac12aa}=\dfrac12\left(\sqrt 2+\text i\sqrt 2\right)^2} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\dfrac12aa}=\dfrac12\left(2+4\text i-2\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\dfrac12aa}=\dfrac12\left(4\text i\right)} \\ \phantom{\dfrac12aa}=2\text i \\\phantom{\dfrac12aa}=d \\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac12aa=d}

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{R(A)=D}\,. } 

4. c)  Nous devons montrer que  \overset{ { \white{ . } } } {\dfrac{b-a}{c-a}=\left(\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}\right)a , }  puis en déduire une mesure de l'angle  { \widehat{\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)}. } 

\dfrac{b-a}{c-a}=\dfrac{b-a}{\overline{b}-a} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{1+\sqrt2+\text i-\sqrt2-\text i\sqrt2}{1+\sqrt2-\text i-\sqrt2-\text i\sqrt2}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{1+\text i(1-\sqrt2)}{1-\text i(1+\sqrt2)}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{\Big(1+\text i(1-\sqrt2)\Big){\red{\Big(1+\text i(1+\sqrt2)\Big)}}}{\Big(1-\text i(1+\sqrt2)\Big){\red{\Big(1+\text i(1+\sqrt2)\Big)}}}}

{ \white{ xxxxi } }\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{1+\text i(1+\sqrt2)+\text i(1-\sqrt2)-(1-\sqrt2)(1+\sqrt2)}{1+(1+\sqrt2)^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{1+\text i+\text i\sqrt2+\text i-\text i\sqrt2-(1-2)}{1+(1+2\sqrt2+2)}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{1+\text i+\text i\sqrt2+\text i-\text i\sqrt2+1}{4+2\sqrt2}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{2+2\text i}{4+2\sqrt2}}

{ \white{ xxxxi } }\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{1+\text i}{2+\sqrt2}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{(1+\text i){\red{(2-\sqrt2)}}}{(2+\sqrt2){\red{(2-\sqrt2)}}}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{(1+\text i){\red{(2-\sqrt2)}}}{4-2}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{(2-\sqrt2)}{2}}(1+\text i)

\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{\sqrt2(\sqrt2-1)}{2}}(1+\text i) \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{\sqrt2-1}{2}}\times\sqrt2(1+\text i) \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{\sqrt2-1}{2}}\times(\sqrt2+\text i\sqrt2) \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{\sqrt2-1}{2}}\times a \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\dfrac{b-a}{c-a}=\dfrac{\sqrt2-1}{2}\times a}

Nous devons en déduire une mesure de l'angle  { \widehat{\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)}. } 

Nous savons que  \overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{\sqrt2-1}{2}>0 } 

Dès lors,

{ \white{ xxi } }\text{mes}\ \widehat{\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)}\equiv\arg\left( \dfrac{b-a}{c-a}\right) \;[2\pi] \\\phantom{\text{mes}\ \widehat{\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)}}\equiv\arg\left( \dfrac{\sqrt2-1}{2}\times a\right) \;[2\pi] \\\phantom{\text{mes}\ \widehat{\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)}}\equiv\left(\arg\left( \dfrac{\sqrt2-1}{2}\right)+\arg( a)\right) \;[2\pi] \\\phantom{\text{mes}\ \widehat{\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)}}\equiv\left(0+\dfrac{\pi}{4}\right) \;[2\pi] \\\phantom{\text{mes}\ \widehat{\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)}}\equiv\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi] \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\text{mes}\ \widehat{\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)}\equiv\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]}

exercice 3

Une urne  \overset{ { \white{ . } } } { U_1 }  contient six boules portant les nombres :  \overset{ { \white{ . } } } {0\text{ ; }0\text{ ; }1\text{ ; }1\text{ ; }1\text{ ; } 2}  et une urne  \overset{ { \white{ . } } } { U_2 }  contient cinq boules portant les nombres  \overset{ { \white{ . } } } { 1\text{ ; }1\text{ ; }1\text{ ; }2\text{ ; }2 . } 

On suppose que les boules des deux urnes sont indiscernables au toucher.
On considère l'expérience aléatoire suivante :

''On tire une boule de l'urne  \overset{ { \white{ . } } } { U_1 }  et on note le nombre  \overset{ { \white{ . } } } { a }  qu'elle porte, puis on la met dans l'urne  \overset{ { \white{ . } } } { U_2 }  , ensuite on tire une boule de l'urne  \overset{ { \white{ . } } } {  U_2}  et on note le nombre  \overset{ { \white{ _. } } } { b }  qu'elle porte.''

On considère les événements suivants:

A : ''La boule tirée de l'urne  \overset{ { \white{ . } } } { U_1 }  porte le nombre 1.''
B : ''Le produit  \overset{ { \white{ _. } } } { ab }  est égal à 2''

Dressons un arbre pondéré représentant la situation.

Bac Maroc 2023 SVT-PC et sciences technologiques : image 3
1. a)  Nous devons calculer  \overset{ { \white{ . } } } { P(A). } 

L'urne  \overset{ { \white{ . } } } { U_1 }  contient 6 boules dont 3 portent le nombre 1.
D'où  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{P(A)=\dfrac36=\dfrac12}\,. }

  1. b)  Nous devons calculer  \overset{ { \white{ . } } } { P(B). } 

Le produit  \overset{ { \white{ _. } } } { ab }  égal à 2 peut être obtenu par le calcul  \overset{ { \white{ _. } } } { 1\times2 }  ou le calcul  \overset{ { \white{ _. } } } { 2\times1 } , soit en obtenant 1 au premier tirage et 2 au second tirage ou en obtenant 2 au premier tirage et 1 au second tirage.

En nous aidant de l'arbre des probabilités, nous obtenons :  \overset{ { \white{ . } } } { P(B)=\dfrac36\times\dfrac26+\dfrac16\times\dfrac36=\dfrac{9}{36}=\dfrac14. } 
D'où  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{P(B)=\dfrac14}\,. }

  2.  Nous devons calculer  \overset{ { \white{ . } } } { P(A/B) }  , probabilité de l'événement  \overset{ { \white{ _. } } } { A }  sachant que l'événement  \overset{ { \white{ _. } } } { B }  est réalisé.

Nous savons que  \overset{ { \white{ . } } } { P(A/B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}.} 

Or  \overset{ { \white{ _. } } } { A\cap B }  est réalisé lorsqu'on tire une boule portant le numéro 1 de l'urne  \overset{ { \white{ . } } } { U_1 }  et une boule portant le numéro 2 de l'urne  \overset{ { \white{ . } } } { U_2. } 

En nous aidant de l'arbre des probabilités, nous obtenons :  \overset{ { \white{ . } } } { P(A\cap B)=\dfrac36\times\dfrac26\quad\Longrightarrow\quad P(A\cap B)=\dfrac16 } 
De plus, nous avons montré que  \overset{ { \white{ . } } } { P(B)=\dfrac14. } 
D'où  \overset{ { \white{ . } } } {P(A/B)=\dfrac{\frac16}{\frac14}=\dfrac46.  } 
Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{P(A/B)=\dfrac23} \,.} 

3.  Soit  \overset{ { \white{ . } } } { X }  la variable aléatoire qui associe à chaque résultat de l'expérience, le produit  { ab. } 

3. a)  Montrons que  \overset{ { \white{ . } } } { P(X=0)=\dfrac{1}{3} .} 

En nous aidant de l'arbre des probabilités, nous déduisons que le produit  \overset{ { \white{ _. } } } { ab }  est nul si on tire une boule portant le numéro 0 de l'urne  \overset{ { \white{ . } } } { U_1 }  quel que soit le numéro de la boule tirée de l'urne  \overset{ { \white{ . } } } { U_2. } 
D'où  \overset{ { \white{ . } } } { P(X=0)=\dfrac{2}{6},}  soit  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ P(X=0)=\dfrac{1}{3}}\, .} 

3. b)  Nous devons donner la loi de probabilité de  \overset{ { \white{ _. } } } { X. } 

Les valeurs prises par  \overset{ { \white{ _. } } } { X }  sont :  0, 1, 2 et 4.

La loi de probabilité de  \overset{ { \white{ _. } } } { X }  est alors :

{ \white{ xxi } }\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}P(X=0)=\dfrac13. \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}P(X=1)=\dfrac36\times\dfrac46=\dfrac13 \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}P(X=2)=P(B)=\dfrac14 \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}P(X=4)=\dfrac16\times\dfrac36=\dfrac{1}{12}

Résumons cette loi de probabilité dans le tableau suivant :

{ \white{ WWWWWWW} }\begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline &&&&&&&&&&&&\\x_i&&0&&&1&&&2&&&4& \\&&&&&&&&&&&&\\\hline &&&&&&&&&&&&\\P(X=x_i)&&\dfrac13&&&\dfrac13&&&\dfrac14&&&\dfrac{1}{12}&\\&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}

3. c)  On considère les événements :

 \overset{ { \white{ . } } } { M: }  ''Le produit  \overset{ { \white{ _. } } } { ab }  est pair non nul'' et  \overset{ { \white{ . } } } { N: }  ''Le produit  \overset{ { \white{_. } } } { ab }  est égal à 1''.

Montrons que les événements  \overset{ { \white{ _. } } } { M }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { N }  sont équiprobables.

L'événement  \overset{ { \white{ _. } } } { M }  correspond au cas  \overset{ { \white{ _. } } } { ab=2 }  ou  \overset{ { \white{ _. } } } { ab=4. } 

Nous obtenons ainsi :

{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ _. } } } { P(M)=P(X=2)+P(X=4) } \\\overset{ { \white{ _. } } } { \phantom{P(M)}=\dfrac14+\dfrac{1}{12}=\dfrac{3}{12}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{4}{12} } \\\overset{ { \white{ _. } } } { \phantom{P(M)}=\dfrac13 } \\\\\Longrightarrow\boxed{P(M)=\dfrac13} 

L'événement  \overset{ { \white{ _. } } } { N }  correspond au cas  \overset{ { \white{ _. } } } { ab=1. } 

Nous obtenons ainsi :

{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ _. } } } { P(N)=P(X=1) } \\\overset{ { \white{ _. } } } { \phantom{P(N)}=\dfrac13 } \\\\\Longrightarrow\boxed{P(N)=\dfrac13} 

D'où  \overset{ { \white{ . } } } { P(M)=P(N). } 
Par conséquent, les événements  \overset{ { \white{ _. } } } { M }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { N }  sont équiprobables.

probleme

On considère la fonction numérique  \overset{ { \white{ . } } } {  f}  définie sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]0;+\infty[ }  par :  \overset{ { \white{ . } } } {  f(x)=2-\dfrac{2}{x}+(1-\ln x)^2 .} 
Soit  \overset{ { \white{ . } } } { (C_f)}  sa courbe représentative dans un repère orthonormé  \overset{ { \white{ . } } } {(O;\vec{i};\vec{j})  }  (unité : 1 cm.)

1. a)  Vérifions que pour tout   {x\in\,]0;+\infty[\text{ : }f(x)=\dfrac{3x-2-2x\ln x + x(\ln x)^2}{x} .   } 

Pour tout  \overset{ { \white{ . } } }  {x\in\,]0;+\infty[,}

{ \white{ xxi } } f(x)=2-\dfrac{2}{x}+(1-\ln x)^2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f(x)}=\dfrac{2x-2+x(1-\ln x)^2}{x}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f(x)}=\dfrac{2x-2+x\Big(1-2\ln x+(\ln x)^2\Big)}{x}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f(x)}=\dfrac{2x-2+x-2x\ln x+x(\ln x)^2}{x}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)}=\dfrac{3x-2-2x\ln x+x(\ln x)^2}{x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]0\;;\;+\infty[,\quad f(x)=\dfrac{3x-2-2x\ln x+x(\ln x)^2}{x}}

1. b)  Nous devons montrer que  \overset{ { \white{ R. } } } {\lim\limits_{x\to 0^+}x(\ln x)^2=0}   et que   {\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{(\ln x)^2}{x}=0}   (on peut poser  \overset{ { \white{ . } } }t=\sqrt{x}} ).

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons  \overset{ { \white{ R. } } } {\lim\limits_{x\to 0^+}x\,(\ln x)^2.}

Nous savons que  \overset{ { \white{ . } } } { t=\sqrt x\quad\Longleftrightarrow\quad  x=t^2. } 

Dès lors,

{ \white{ xxi } }\lim\limits_{x\to 0^+}x\,(\ln x)^2=\lim\limits_{t\to 0^+}t^2\,(\ln t^2)^2 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}x\,(\ln x)^2}=\lim\limits_{t\to 0^+}t^2\,(2\ln t)^2} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}x\,(\ln x)^2}=\lim\limits_{t\to 0^+}4\,t^2\,(\ln t)^2} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}x\,(\ln x)^2}=4\times\lim\limits_{t\to 0^+}(t\ln t)^2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}x\,(\ln x)^2}=4\times0\quad(\text{car }\lim\limits_{t\to 0^+}t\ln t=0\enskip-\enskip\text{croissances comparées)}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}x\,(\ln x)^2}=0}
Par conséquent,  \overset{ { \white{ R. } } } {\boxed{\lim\limits_{x\to 0^+}x(\ln x)^2=0}} 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons   {\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{(\ln x)^2}{x}.}

Nous savons que  \overset{ { \white{ . } } } { t=\sqrt x\quad\Longleftrightarrow\quad  x=t^2. } 

Dès lors,

{ \white{ xxi } }\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{(\ln x)^2}{x}=\lim\limits_{t\to +\infty}\dfrac{(\ln t^2)^2}{t^2} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}x\,(\ln x)^2}=\lim\limits_{t\to +\infty}\dfrac{(2\ln t)^2}{t^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}x\,(\ln x)^2}=\lim\limits_{t\to +\infty}\dfrac{4(\ln t)^2}{t^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}x\,(\ln x)^2}=4\times\left(\dfrac{\ln t}{t}\right)^2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}x\,(\ln x)^2}=4\times0\quad(\text{car }\lim\limits_{t\to +\infty}\dfrac{\ln t}{t}=0\enskip-\enskip\text{croissances comparées)}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}x\,(\ln x)^2}=0}
Par conséquent,  \overset{ { \white{ R. } } } {\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{(\ln x)^2}{x}=0}} 

1. c)  Nous devons en déduire que  \overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=-\infty .} 

Nous avons montré que  { f(x)=\dfrac{3x-2-2x\ln x + x(\ln x)^2}{x} .  } 

\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to 0^+}(3x-2)=-2\phantom{WWWWWWWWW}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to 0^+}2x\ln x=0\enskip(\text{croissances comparées})}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to 0^+}x(\ln x)^2=0\enskip(\text{voir 1. b})}\phantom{WWWWW}\end{matrix}\right. \\\\\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to 0^+}(3x-2-2x\ln x + x(\ln x)^2)=-2 \\\\\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{3x-2-2x\ln x + x(\ln x)^2}{x}=-\infty\quad\text{car }\lim\limits_{x\to 0^+}x=0^+

Nous en déduisons que  \overset{ { \white{ R. } } } { \displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=-\infty .} 

Conséquence graphique : la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (C_f}  ) admet une asymptote verticale d'équation  \overset{ { \white{ _. } } } { x=0. } 

1. d)  Nous devons calculer  \overset{ { \white{ R. } } } { \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) }  , puis montrer que la courbe  \overset{ { \white{ . } } } {(C_f ) }  admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de  \overset{ { \white{ . } } } { +\infty .  } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons  \overset{ { \white{ R. } } } {\lim\limits_{x\to +\infty}f(x).}

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac2x=0\phantom{WW}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty}\end{matrix}\right.\quad  \Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\left(2-\dfrac2x\right)=2\phantom{Ww}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}(1-\ln x)^2=+\infty}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWW}\quad \Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\Big(2-\dfrac{2}{x}+(1-\ln x)^2\Big)=+\infty

Par conséquent,  \overset{ { \white{ R. } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=+\infty} } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons   {\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}.}

\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\dfrac{3x-2-2x\ln x+x(\ln x)^2}{x}}{x} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{3x-2-2x\ln x+x(\ln x)^2}{x^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{3x}{x^2}-\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{2x\ln x}{x^2}-\dfrac{x(\ln x)^2}{x^2}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{2\ln x}{x}-\dfrac{(\ln x)^2}{x}\right)}

\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{3}{x}=0\phantom{WWWWWWWWWWW}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{2}{x^2}=0\phantom{WWWWWWWWWWW}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{2\ln x}{x}=0\enskip\text{(croissances comparées)}}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{(\ln x)^2}{x}=0\enskip\text{(voir ex. 1.b)}\phantom{WWWW}}\end{matrix}\right.

D'où  \lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{2\ln x}{x}-\dfrac{(\ln x)^2}{x}\right)=0

soit  \boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0}\,.

Par conséquent, la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (C_f)}  admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de  \overset{ { \white{ . } } } { +\infty . } 

2.  Nous devons montrer que pour tout  x\in\, ]0;+\infty[\text{ : }f'(x)=\dfrac{2(1-x+x\ln x)}{x^2} .

Pour tout  \overset{ { \white{ . } } } {x\in\, ]0;+\infty[\,,}

{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } } { f'(x)=\left(2-\dfrac{2}{x}+(1-\ln x)^2 \right)'} \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=0+\dfrac{2}{x^2}+2(1-\ln x)'(1-\ln x) } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{2}{x^2}+2\left(-\dfrac1x\right)(1-\ln x) }
{ \white{ xxi } }\\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{2}{x^2}-\dfrac2x(1-\ln x) } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{2-2x(1-\ln x)}{x^2} } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{2-2x+2x\ln x}{x^2} } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{2(1-x+x\ln x)}{x^2} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]0\;;\;+\infty[,\enskip f'(x)=\dfrac{2(1-x+x\ln x)}{x^2} }

3.  On donne ci-dessous, le tableau de variation de la fonction dérivée  \overset{ { \white{ . } } } { f' }  de  \overset{ { \white{ . } } } { f }  sur  \overset{ { \white{ . } } } {]0\;;\;+\infty[\,.  } 
{ \white{ xx } }(On donne  \overset{ { \white{ . } } } { \beta\approx 4,9)  } 

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&\\x & 0  & & 1 & &\beta & & +\infty \\ & & & & & & & \\ \hline &  +\infty && & &f'(\beta) & & \\ f'(x) &  &\searrow& & \nearrow && \searrow & \\ & & & 0 & & & & 0 \\ \hline \end{array}


3. a)  Nous devons prouver que  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est strictement croissante sur  \overset{ { \white{ . } } } {]0\;;\;+\infty[  }  puis dresser le tableau de variations de  \overset{ { \white{ . } } } { f. } 

Selon le tableau de variation de la fonction dérivée  \overset{ { \white{ . } } } { f' } , nous déduisons que pour tout  \overset{ { \white{ . } } } {x\in\, ]0;+\infty[\,,f'(x)\ge0.} 
De plus,  \overset{ { \white{ . } } } { f' }  ne s'annule qu'en 1.

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est strictement croissante sur  \overset{ { \white{ . } } } {]0\;;\;+\infty[ \,. } 

D'où, le tableau de variations de  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est le suivant :

 { \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&1&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\f'(x)&&+&+&0&+&+&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&+\infty\\f(x)&&\nearrow&\nearrow&1&\nearrow&\nearrow&\\&-\infty&&&&&&\\\hline \end{array}

3. b)  Nous devons donner le tableau de signe de la dérivée seconde  \overset{ { \white{ . } } } { f'' }  de la fonction  \overset{ { \white{ . } } } {  f}  sur  \overset{ { \white{ . } } } {]0\;;\;+\infty[ \,. } 

À l'aide du tableau de variation de la fonction dérivée  \overset{ { \white{ . } } } { f' } , nous pouvons en déduire le tableau de signe de la dérivée seconde  \overset{ { \white{ . } } } { f'' }  de la fonction  \overset{ { \white{ . } } } {  f}  sur  \overset{ { \white{ . } } } {]0\;;\;+\infty[ \,. } 

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&\\x & 0  & & 1 & &\beta & & +\infty \\ & & & & & & & \\ \hline &  +\infty && & &f'(\beta) & & \\ f'(x) &  &\searrow& & \nearrow && \searrow & \\ & & & 0& & & & 0\\ \hline &  && & && & \\ f''(x) &  &{\red{-}}& {\red{0}}& {\red{+}} &{\red{0}}& {\red{-}}& \\ & & & & & & &  \\ \hline \end{array}


3. c)  Nous pouvons en déduire la concavité de la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (C_f).} 

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&\\x & 0  & & 1 & &\beta & & +\infty \\ & & & & & & & \\ \hline &  && & && & \\ f''(x) &  &-&0& + &0& -& \\ & & & & & & &  \\ \hline &  &&| & &|& & \\ \text{Concavité de f} &  &\text{concave}&|& \text{convexe} &|& \text{concave}& \\ & & &| & &| & &  \\ \hline \end{array}


4.  La courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (C_g)}  ci-contre est la représentation graphique de la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { g:x\mapsto f(x)-x }  et qui s'annule en  \overset{ { \white{ . } } } {\alpha  }  et  \overset{ { \white{ . } } } { 1\enskip(\alpha\approx 0,3). } 

Bac Maroc 2023 SVT-PC et sciences technologiques : image 5


Soit  \overset{ { \white{ . } } } { (\Delta) }  la droite d'équation  \overset{ { \white{ . } } } { y=x. }

4. a)  A partir de la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (C_g) }  , nous devons déterminer le signe de la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { g }  sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]0;+\infty[.  }

 \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\boxed{\forall\,x\in\;]0\;;\;\alpha]\;\cup \;[1\;;\;+\infty[,\enskip g(x)\le 0}  car la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (C_g) }  est en dessous de l'axe des abscisses sur l'ensemble  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;\alpha]\;\cup \;[1\;;\;+\infty[. } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\boxed{\forall\,x\in\;[\alpha\;;\;1],\enskip g(x)\ge 0}  car la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (C_g) }  est au-dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } {[\alpha\;;\;1]. } 

4. b)  Déterminons la position relative de la droite  \overset{ { \white{ . } } } { (\Delta) }  et de la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (C_g). } 

Nous savons que  \overset{ { \white{ . } } } {\forall\,\in\;]0\;;\;+\infty[\enskip g(x)=f(x)-x.  } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\forall\,x\in\;[\alpha\;;\;1],\enskip g(x)\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)-x\ge0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{xx\forall\,x\in\;[\alpha\;;\;1],\enskip g(x)\ge 0}\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)\ge x}

D'où la droite  \overset{ { \white{ . } } } { (\Delta) }  est en dessous de  \overset{ { \white{ . } } } { (\C_f) }  sur l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } { [\alpha\;;\;1]. } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\forall\,x\in\;]0\;;\;\alpha]\;\cup \;[1\;;\;+\infty[,\enskip g(x)\le 0\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)-x\le0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{xx\forall\,x\in\;]0\;;\;\alpha]\;\cup \;[1\;;\;+\infty[,\enskip g(x)\ge 0}\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)\le x}

D'où la droite  \overset{ { \white{ . } } } { (\Delta) }  est au-dessus de  \overset{ { \white{ . } } } { (\C_f) }  sur les intervalles  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;\alpha] }  et  \overset{ { \white{ . } } } { [1\;;\;+\infty[ .} 

5.  Construisons la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (\C_f) }  et la droite  \overset{ { \white{ . } } } { (\Delta) }  dans le repère   { (O;\vec{i};\vec{j}) . } 
Nous prendrons  \overset{ { \white{ . } } } {\alpha\approx0,3\,;\;\beta\approx4,9  }  et  \overset{ { \white{ . } } } {f(\beta)\approx 1,9.  } 

Bac Maroc 2023 SVT-PC et sciences technologiques : image 4


6. a)  Vérifions que la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } { x\mapsto 2x-x\ln x }  est une primitive de la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } { x\mapsto 1-\ln x}  sur  \overset{ { \white{ . } } } {[\alpha;1] . } 

La fonction  \overset{ { \white{ _. } } } { x\mapsto 2x-x\ln x }  est dérivable sur  \overset{ { \white{ . } } } {[\alpha;1] . } 

\forall\,x\,\in\,[\alpha\;;\;1]\,,(2x-x\ln x)'=2-\Big(x'\times\ln x+x \times(\ln x)'\Big) \\\phantom{\forall\,x\,\in\,[\alpha\;;\;1]\,,(2x-x\ln x)'}=2-\Big(1\times\ln x+x \times\dfrac1x\Big) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,x\,\in\,[\alpha\;;\;1]\,,(2x-x\ln x)'}=2-(\ln x+1)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,x\,\in\,[\alpha\;;\;1]\,,(2x-x\ln x)'}=2-\ln x-1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,x\,\in\,[\alpha\;;\;1]\,,(2x-x\ln x)'}=1-\ln x} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\,\in\,[\alpha\;;\;1]\,,(2x-x\ln x)'=1-\ln x}

Par conséquent, la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } { x\mapsto 2x-x\ln x }  est une primitive de la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } { x\mapsto 1-\ln x}  sur  \overset{ { \white{ _. } } } {[\alpha;1] . } 

6. b)  En utilisant une intégration par parties, montrons que  

\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle \int_{\alpha}^{1} (1-\ln x)^2 \text{ d}x=5(1-\alpha)+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha .  } 

Calculons  \overset{ { \white{ . } } } {  \displaystyle \int_{\alpha}^{1} (1-\ln x)^2 \text{ d}x. } 

\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_{\alpha}^{1}u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_{\alpha}^{1}- \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{1}u'(x)v(x)\,\text{d}x}}.  \\ \\ \left\lbrace\begin{matrix}u(x)=(1-\ln x)^2\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=2\times\left(-\dfrac1x\right)\times(1-\ln x)=-\dfrac2x(1-\ln x) \\\\v'(x)=1\phantom{WWW}\quad\Longrightarrow\quad v(x)=x\phantom{WWWWWWWWWWWWWwW}\end{matrix}\right.

\text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle \int_{\alpha}^{1} (1-\ln x)^2 \text{ d}x=\left[\overset{}{x\,(1-\ln x)^2}\right]_{\alpha}^{1}-\displaystyle\int_{\alpha}^{1}-\dfrac2x(1-\ln x)\times x\,\text{d}x}  \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=\left[\overset{}{x\,(1-\ln x)^2}\right]_{\alpha}^{1}+2\displaystyle\int_{\alpha}^{1}(1-\ln x)\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=\left[\overset{}{x\,(1-\ln x)^2}\right]_{\alpha}^{1}+2\left[\overset{}{2x-x\ln x)}\right]_{\alpha}^{1}\quad(\text{voir ex. 6. a})}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=\Big(1-\alpha(1-\ln\alpha)^2\Big)+2\Big(2-(2\alpha-\alpha\ln\alpha)\Big)}
\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=1-\alpha\Big(1-2\ln\alpha+(\ln\alpha)^2\Big)+4-4\alpha+2\alpha\ln\alpha}  \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=5-\alpha+2\alpha\ln\alpha-\alpha(\ln\alpha)^2-4\alpha+2\alpha\ln\alpha}  \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=5-5\alpha+4\alpha\ln\alpha-\alpha(\ln\alpha)^2}  \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=5(1-\alpha)+\alpha\ln\alpha(4-\ln\alpha)}  \\\\\Longrightarrow\boxed{\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle \int_{\alpha}^{1} (1-\ln x)^2 \text{ d}x=5(1-\alpha)+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha . } }

6. c)  Nous avons montré dans la question 4. b) que  \overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in\;[\alpha\;;\;1],\enskip  f(x)\ge x. } 
il s'ensuit que  \overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in\;[\alpha\;;\;1],\enskip  f(x)\ge 0. } 

Dès lors, l'aire  \overset{ { \white{ . } } } {\mathscr{A}  }  de la partie du plan délimitée par la courbe  \overset{ { \white{ . } } } {  (C_f)}  , l'axe des abscisses et les droites d'équations  \overset{ { \white{ . } } } { x=\alpha }  et  \overset{ { \white{ . } } } {x = 1  }  est donnée par :

{ \white{ xxi } } \mathscr{A}=\displaystyle\int\limits_{\alpha}^{1}f(x)\,\text{d}x \\\phantom{A}=\displaystyle\int\limits_{\alpha}^{1}\left(2-\dfrac{2}{x}+(1-\ln x)^2\right)\,\text{d}x \\\phantom{A}=\displaystyle\int\limits_{\alpha}^{1}\left(2-\dfrac{2}{x}\right)\,\text{d}x+\displaystyle\int\limits_{\alpha}^{1}(1-\ln x)^2\right)\,\text{d}x \\\phantom{A}=\left[\overset{}{2x-2\ln x}\right]_{\alpha}^{1}+5(1-\alpha)+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha \\\phantom{A}=\left(\overset{}{2-(2\alpha-2\ln\alpha)}\right)+5(1-\alpha)+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha

{ \white{ xxi } } \\\phantom{A}=2-2\alpha+2\ln\alpha+5-5\alpha+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha  \\\phantom{A}=7-7\alpha+2\ln\alpha+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha  \\\\\Longrightarrow \quad\boxed{\mathscr{A}=\left[\overset{}{7-7\alpha+2\ln\alpha+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha}\right]\;\text{cm}^2 }

7.  Soit la suite numérique  \overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }  définie par  \overset{ { \white{ . } } } { u_0\in\,]\alpha\;;\;1[ }  et la relation  \overset{ { \white{ . } } } { u_{n+1}=f(u_n) }  pour tout  \overset{ { \white{ _. } } } { n\in\N . } 

7. a)  Nous devons montrer par récurrence que  \overset{ { \white{ . } } } { \alpha < u_n<1, }  pour tout  \overset{ { \white{ _. } } } { n\in\N . } 

Initialisation  : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 0, soit que   \overset{{\white{.}}}{\alpha < u_0<1.}
C'est une évidence car par définition de la suite  \overset{ { \white{ . } } } { (u_n),\; u_0\in\,]\alpha\;;\;1[} 
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité  : Montrons que si pour un nombre naturel n  fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n  fixé,   \overset{{\white{.}}}{\alpha < u_n<1}  , alors   \overset{{\white{.}}}{\alpha < u_{n+1}<1 .}
En effet, sachant que la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est strictement croissante sur  \overset{ { \white{ . } } } {[\alpha\;;\;1],   }   nous avons :  \overset{ { \white{ . } } } { f(\alpha)<f(u_n)<f(1). } 

D'où,

f(\alpha)<f(u_n)<f(1)\quad\Longleftrightarrow\quad g(\alpha)+\alpha<f(u_n)<g(1)+1\qquad\text{car }g(x)=f(x)-x \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f(\alpha)<f(u_n)<f(1)}\quad\Longleftrightarrow\quad 0+\alpha<u_{n+1}<0+1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f(\alpha)<f(u_n)<f(1)}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\alpha<u_{n+1}<1}}
L'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies,
nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } {n,\quad \alpha < u_n<1. } 

7. b)  Nous devons montrer que la suite  \overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }  est croissante.

Nous avons montré dans la question 4. b) que  \overset{ { \white{ . } } } {\forall\,x\in[\alpha\;;\;1],\;f(x)\ge x.  } 

Or  \forall\,n\in\N,\;\overset{ { \white{ . } } } { \alpha < u_n<1. }  (voir question 7. a)

Dès lors,  \forall\,n\in\N,\;\overset{ { \white{ . } } } { f(u_n)\ge u_n, } 

Nous avons ainsi :  \forall\,n\in\N,\;\overset{ { \white{ . } } } {u_{n+1}\ge u_n. } 

Par conséquent, la suite  \overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }  est croissante.

7. c)  La suite  \overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }  est croissante et majorée par 1.
{ \white{ xxxi } }Cette suite  \overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }  est donc convergente.

Nous devons déterminer la limite de la suite  \overset{ { \white{ . } } } { (u_n). } 

La fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est continue sur  \overset{{\white{.}}}{[\alpha\;;\;1]} .
La suite  \overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }  est définie par la relation de récurrence :  \overset{ { \white{ . } } } { u_{n+1}=f(u_n). } 
Nous savons que la suite  \overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }  est convergente vers une limite notée  \overset{{\white{_.}}}{\ell} .
Selon le théorème du point fixe, nous déduisons que  \overset{{\white{_.}}}{\ell}  vérifie la relation \overset{{\white{.}}}{\ell=f(\ell).}

{ \white{ xxi } } f(\ell)= \ell\quad\Longleftrightarrow\quad f(\ell)- \ell=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad g(\ell)=0}  \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad\ell=\alpha\quad\text{ou}\quad\,\ell=1}


Nous savons que la suite  \overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }  est croissante.

Par suite,  \forall\,n\in\N,\;\overset{ { \white{ . } } } { u_n\ge u_0. } 
Nous en déduisons que  \overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{n\tio+\infty}u_n\ge u_0 } 

Or  \overset{ { \white{ . } } } { u_0\in\,]\alpha\;;\;1[\quad\Longrightarrow\quad u_0>\alpha } 
Nous en déduisons que :  \overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{n\tio+\infty}u_n > \alpha } 

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1}\,.}

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