Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Mathématiques

Sénégal 2023

Séries T1-T2

Épreuve du 1er groupe

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Durée : 4 heures

Coefficient T1 : 5

Coefficient T2 : 4


4,5 points

exercice 1

Bac Sénégal 2023 série T1-T2 : image 1


5,5 points

exercice 2

Bac Sénégal 2023 série T1-T2 : image 2


10 points

probleme

Bac Sénégal 2023 série T1-T2 : image 4

Bac Sénégal 2023 série T1-T2 : image 3






Bac Sénégal 2023 série T1-T2

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4,5 points

exercice 1

Dans l'espace muni du repère orthonormal direct   {(O\;;\vec i,\vec j,\vec k),  }  on considère les points suivants :

 \overset{ { \white{ . } } } {A(1\;;\;0\;;\;0),\,B(0\;;\;2\;;\;0)}  et  \overset{ { \white{ . } } } {C(0\;;\;0\;;\;3).} 


1.a)  Nous devons déterminer les coordonnées du vecteur  \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}. 

 \left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}0-1\\2-0\\0-0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}\\\\\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}0-1\\0-0\\3-0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix}\end{matrix}\right. 

Nous en déduisons que  \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}\wedge\begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix} 
 { \white{ WWWWWWxWWWWW} }  \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=\begin{pmatrix}2\times3-0\times0\\0\times(-1)-(-1)\times3\\ (-1)\times0-2\times(-1)\end{pmatrix}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=\begin{pmatrix}6\\3\\2\end{pmatrix}} 

D'où nous obtenons le vecteur  \overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,\begin{pmatrix}6\\3\\2\end{pmatrix}.} 

1.b)  Nous devons justifier que les points A, B  et C  déterminent un plan  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{P}). } 

Le vecteur   {\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}}  n'est pas le vecteur nul.
Dès lors, les vecteurs   {\overrightarrow{AB}}  et  {\overrightarrow{AC}}  ne sont pas colinéaires.

Par conséquent, les points A, B  et C  déterminent un plan  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{P}). } 

1.c)  Déterminons une équation cartésienne de  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{P}). } 

Le vecteur  \overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,\begin{pmatrix}6\\3\\2\end{pmatrix}}  est un vecteur normal au plan  \overset{ { \white{ . } } } {(\mathscr{P}). } 
D'où l'équation du plan  \overset{ { \white{ . } } } {(\mathscr{P})}  est de la forme  \overset{ { \white{ . } } } {6x+3y+2z+d=0 }  où  \overset{ { \white{ _. } } } {d }  est un nombre réel.

Nous savons que  \overset{ { \white{ . } } } {A(1\;;\;0\;;\;0) }  appartient à ce plan.
Donc  \overset{ { \white{ . } } } {6\times1+3\times0+2\times0+d=0, }  soit  \overset{ { \white{ _. } } } {d=-6. } 

Par conséquent, une équation cartésienne du plan  \overset{ { \white{ . } } } {(\mathscr{P}) }  est  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{6x+3y+2z-6=0}\,. } 

2.  Soit  \overset{ { \white{ . } } } { I }  et  \overset{ { \white{ . } } } {  J}  les milieux respectifs des segments  \overset{ { \white{ . } } } {[AB]  }  et  \overset{ { \white{ . } } } { [AC]. } 
On désigne par  \overset{ { \white{ . } } } { \Delta }  la droite passant par  \overset{ { \white{ . } } } { I }  et de vecteur directeur   { \vec k }  et par  \overset{ { \white{ . } } } { \Delta ' }  la droite passant par  \overset{ { \white{ . } } } { J }  et de vecteur directeur   { \vec j . } 

2. a)  Déterminons une représentation paramétrique de chacune des droites  \overset{ { \white{ . } } } { \Delta }  et  \overset{ { \white{ . } } } { \Delta '. } 

 \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}} Droite  \overset{ { \white{ . } } } { \Delta } 

Déterminons les coordonnées du point  \overset{ { \white{ . } } } { I. } 

 \left\lbrace\begin{matrix}A\,(1\;;\;0\;;\;0)\\B\,(0\;;\;2\;;\;0)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad I\,\left(\dfrac{1+0}{2}\;;\;\dfrac{0+2}{2}\;;\;\dfrac{0+0}{2}       \right) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWwWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{I\,\left({\blue{\dfrac{1}{2}}}\;;\;{\blue{1}}\;;\;{\blue{0}}     \right)}} 

Un vecteur directeur de  \overset{ { \white{ . } } } { \Delta } : le vecteur  \overset{ { \white{ . } } } { \vec k\,\begin{pmatrix}{\red{0}}\\ {\red{0}}\\ {\red{1}}\end{pmatrix} } 
Donc une représentation paramétrique de la droite  \overset{ { \white{ . } } } { \Delta}  est :  \overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix}x={\blue{\dfrac{1}{2}}}+{\red{0}}\times k\\\overset{ { \phantom{ . } } } {y={\blue{1}}+{\red{0}}\times k}\phantom{}\\z={\blue{0}}+{\red{1}}\times k\end{matrix}\right.\quad \quad(k\in\R) } 
soit  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\Delta:\left\lbrace\begin{matrix}x=\dfrac12\\\overset{ { \white{ . } } } {y=1}\phantom{}\\z=k\end{matrix}\right.\quad \quad(k\in\R)} } 

 \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}} Droite  \overset{ { \white{ . } } } { \Delta '} 

Déterminons les coordonnées du point  \overset{ { \white{ . } } } { J. } 

 \left\lbrace\begin{matrix}A\,(1\;;\;0\;;\;0)\\C\,(0\;;\;0\;;\;3)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad J\,\left(\dfrac{1+0}{2}\;;\;\dfrac{0+0}{2}\;;\;\dfrac{0+3}{2}       \right) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWwWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{J\,\left({\blue{\dfrac{1}{2}}}\;;\;{\blue{0}}\;;\;{\blue{\dfrac32}}     \right)}} 

Un vecteur directeur de  \overset{ { \white{ . } } } { \Delta ' } : le vecteur  \overset{ { \white{ . } } } { \vec j\,\begin{pmatrix}{\red{0}}\\ {\red{1}}\\ {\red{0}}\end{pmatrix} } 
Donc une représentation paramétrique de la droite  \overset{ { \white{ . } } } { \Delta '}  est :  \overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix}x={\blue{\dfrac{1}{2}}}+{\red{0}}\times k'\\\overset{ { \phantom{ . } } } {y={\blue{0}}+{\red{1}}\times k'}\phantom{}\\z={\blue{\dfrac32}}+{\red{0}}\times k'\end{matrix}\right.\quad \quad(k'\in\R) } 
soit  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\Delta ':\left\lbrace\begin{matrix}x=\dfrac12\\\overset{ { \phantom{ . } } } {y=k'}\phantom{}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {z=\dfrac32}\end{matrix}\right.\quad \quad(k'\in\R)} } 

2. b)  Soit  \overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }  le point d'intersection de  \overset{ { \white{ . } } } { \Delta}  et  \overset{ { \white{ . } } } { \Delta '.} 
Les droites  \overset{ { \white{ _. } } } { \Delta}  et  \overset{ { \white{ _. } } } { \Delta '}  sont sécantes car leur vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.

Les coordonnées du point d'intersection  \overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }  sont données en résolvant le système composé par les représentations paramétriques de  \overset{ { \white{ . } } } {(\Delta ) }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { \Delta ' } 

Nous en déduisons immédiatement que les coordonnées de  \overset{ { \white{ . } } } {\Omega }  sont :  \boxed{\overset{ { \white{ _. } } } {\Omega\, \left(\dfrac12\;;\;1\;;\;\dfrac32 \right)}}\,. 

2. c)  Calculons la distance  \overset{ { \white{ . } } } { d(\Omega,(\mathscr{P})) }  du point  \overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }  au plan  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{P}). } 

 { \white{ xxi } }  d(\Omega,(\mathscr{P}))=\dfrac{\left|\,6\times\dfrac12+3\times1+2\times\dfrac32-6\, \right|}{\sqrt{6^2+3^2+2^2}} = \dfrac{|\,3+3+3-6\,|}{\sqrt{36+9+4}}    = \dfrac{3}{7}  

 { \white{ xxi } }  \Longrightarrow\quad \boxed{d(\Omega,(\mathscr{P}))=\dfrac37} 

5,5 points

exercice 2

1.  On considère dans  \overset{ { \white{ _. } } } { \C }  l'équation  \overset{ { \white{ . } } } { (E):z^2-(3-\text i)z+4=0. } 

1.a)  Nous devons résoudre  \overset{ { \white{ . } } } { (E). } 

Discriminant de l'équation :  \overset{ { \white{ . } } } { \Delta=[-(3-\text i)]^2-4\times1\times4 } 
 { \white{ WWWWWWWWWWWW} }  \\\phantom{w}\overset{ { \white{ . } } } {=9-6\,\text i-1-16 } \\\phantom{w}\overset{ { \white{ . } } } {=-8-6\,\text i} 
 { \white{ WWWWWWWWWWWW} }  \\\phantom{w}\overset{ { \white{ . } } } {=1-6\,\text i}-9 \\\phantom{w}\overset{ { \white{ . } } } {=1-6\,\text i+(3\text i)^2} \\\phantom{w}\overset{ { \white{ . } } } {=(1-3\text i)^2} 

Solutions de l'équation :

 \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}z_1=\dfrac{(3-\text i)-(1-3\,\text i)}{2}=\dfrac{2+2\,\text i}{2}=\dfrac{2(1+\text i)}{2} \quad\Longrightarrow\quad\boxed{z_1=1+\text i} 

 \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}z_2=\dfrac{(3-\text i)+(1-3\,\text i)}{2}=\dfrac{4-4\,\text i}{2}=\dfrac{2(2-2\,\text i)}{2} \quad\Longrightarrow\quad\boxed{z_2=2-2\,\text i} 

1.b)  Nous devons mettre  \overset{ { \white{ . } } } { z_1 }  et  \overset{ { \white{ . } } } { z_2 }  sous forme trigonométrique.

 { \white{ xxi } }  \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\boxed{z_1=1+\text i} 

 { \white{ xxi } }  { \white{ xxi } }  |z_1|=\sqrt{1^2+1^2}\quad\Longrightarrow |z_1|=\sqrt2 \\\\\text{D'où }\;z_1=\sqrt2\left(\dfrac{1}{\sqrt2}+\text i\dfrac{1}{\sqrt2}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{D'où }\;z_1}=\sqrt2\left(\dfrac{\sqrt2}{2}+\text i\dfrac{\sqrt2}{2}\right)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\text{D'où }\;z_1}=\sqrt2\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+\text i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z_1=\sqrt2\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+\text i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)}  

 { \white{ xxi } }  \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\boxed{z_2=2-2\,\text i} 

 { \white{ xxi } }  { \white{ xxi } }  |z_2|=\sqrt{2^2+(-2)^2}\quad\Longrightarrow |z_2|=\sqrt8=2\,\sqrt2 \\\\\text{D'où }\;z_2=2\,\sqrt2\left(\dfrac{2}{2\,\sqrt2}-\text i\dfrac{2}{2\,\sqrt2}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{D'où }\;z_2}=2\,\sqrt2\left(\dfrac{1}{\sqrt2}-\text i\dfrac{1}{\sqrt2}\right)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\text{D'où }\;z_2}=2\,\sqrt2\left(\dfrac{\sqrt2}{2}-\text i\dfrac{\sqrt2}{2}\right)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\text{D'où }\;z_2}=2\,\sqrt2\Bigg(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+\text i\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\Bigg)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z_2=2\,\sqrt2\Bigg(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+\text i\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\Bigg)}  

2.  On considère dans  \overset{ { \white{ _. } } } { \C }  une autre équation  \overset{ { \white{ . } } } { (E '):3z^3-(9-\text i)z^2+(14+6\,\text i)z-8\,\text i=0. } 

2.a)  Nous devons montrer que  \overset{ { \white{ . } } } {(E ')  }  admet une racine imaginaire pure.

Dans le membre de gauche de l'équation  \overset{ { \white{ . } } } {(E '),  }  remplaçons  \overset{ { \white{ . } } } { z }  par  \overset{ { \white{ . } } } { (\text i b) }  avec  \overset{ { \white{ _. } } } { b\in\R^*.} 

Nous obtenons ainsi :

 3(\text i b)^3-(9-\text i)(\text i b)^2+(14+6\,\text i)(\text i b)-8\,\text i=0 \\\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad3\text i^3b^3-(9-\text i)\text i^2b^2+(14+6\,\text i)\text ib-8\,\text i=0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad-3\text ib^3-(9-\text i)(-b^2)+(14+6\,\text i)\text ib-8\,\text i=0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad-3\text ib^3+9b^2-\text ib^2+14\,\text ib-6b-8\,\text i=0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad(9b^2-6b)+\text i(-3b^3-b^2+14b-8)=0} 

 \\\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}9b^2-6b=0\\-3b^3-b^2+14b-8=0\end{matrix}\right.} \\\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}3b(3b-2)=0\\-3b^3-b^2+14b-8=0\end{matrix}\right.} \\\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}3b=0\quad\text{ou}\quad3b-2=0\\-3b^3-b^2+14b-8=0\end{matrix}\right.} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}b=0\quad\text{ou}\quad3b-2=0\\-3b^3-b^2+14b-8=0\end{matrix}\right.} 

 \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}b=0\\-3b^3-b^2+14b-8=0\end{matrix}\right.\quad\text{ ou }\quad \left\lbrace\begin{matrix}b=\dfrac23\\\overset{ { \white{ . } } } {-3b^3-b^2+14b-8=0}\end{matrix}\right.} 

Le premier système d'équations est impossible car la seconde équation n'est pas vérifiée par  \overset{ { \white{ . } } } { b=0. } 
Le deuxième système admet comme solution  \overset{ { \white{ . } } } { b=\dfrac23 }  car la seconde équation est vérifiée par  \overset{ { \white{ . } } } { b=\dfrac23. } 
Nous en déduisons que  \overset{ { \white{ . } } } { \text i b=\dfrac23\text i }  vérifie l'équation  \overset{ { \white{ . } } } {(E ').  } 
Par conséquent,   \overset{ { \white{ . } } } {(E ')  }   admet une racine imaginaire pure, à savoir :   \overset{ { \white{ . } } } { z_0=\dfrac23\,\text i } .

2.b)  Nous devons résoudre  \overset{ { \white{ . } } } { (E '). } 

Nous savons par la question précédente que  \overset{ { \white{ . } } } { z_0=\dfrac23\,\text i }  est une racine de l'équation  \overset{ { \white{ . } } } { (E ') } 

Dès lors, le polynôme  \overset{ { \white{ . } } } { 3z^3-(9-\text i)z^2+(14+6\,\text i)z-8\,\text i }  se factorise par  \overset{ { \white{ . } } } { z-\dfrac23\,\text i }  et par suite ce polynôme est divisible par  \overset{ { \white{ . } } } { z-\dfrac23\,\text i } .
Déterminons le quotient par la méthode de Horner.

  { \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|cc|cc|cc|c|}\hline &&&&&&&&&\phantom{x}3&&\phantom{x}-9+\text i&&\phantom{x}14+6\,\text i&&\phantom{x}-8\,\text i\phantom{x} &&&&&&&& \\\hline &&&&&&& \\\dfrac23\,\text i&\phantom{x}&&\phantom{x}2\,\text i&&\phantom{x}-6\,\text i-2&&8\,\text i\\&&&&&&&\\\hline &&&&&&&\\&\phantom{x}3&&\phantom{x}-9+3\,\text i&&\phantom{x}12&&{\red{0}}\\&&&&&&&\\\hline \end{array}  

 \text{D'où }\quad 3z^3-(9-\text i)z^2+(14+6\,\text i)z-8\,\text i =\left(z-\dfrac23\,\text i\right)\Big(3z^2+(-9+3\,\text i)z+12\Big) \\\phantom{WWWWWWWWWWWxWWWWW }=3\left(z-\dfrac23\,\text i\right)\Big(z^2+(-3+\text i)z+4\Big) 
L'équation  \overset{ { \white{ . } } } { (E ') }  peut alors s'écrire :  \overset{ { \white{ . } } } {(E '): 3\left(z-\dfrac23\,\text i\right)\Big(z^2+(-3+\text i)z+4\Big)=0 } 

Nous obtenons alors :

 3\left(z-\dfrac23\,\text i\right)\Big(z^2+(-3+\text i)z+4\Big)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad\left(z-\dfrac23\,\text i\right)\Big(z^2-(3-\text i)z+4\Big)=0 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW} \quad\Longleftrightarrow\quad z-\dfrac23\,\text i=0\quad\text{ou}\quad z^2-(3-\text i)z+4=0 \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}z-\dfrac23\,\text i=0\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{z=\dfrac23\,\text i} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\white{x}}z^2-(3-\text i)z+4=0\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{z=1+\text i\quad\text{ou}\quad z=2-2\,\text i }\quad(\text{voir question 1. a)} 

Par conséquent, l'ensemble  \overset{ { \white{ _. } } } { S }  des solutions de l'équation  \overset{ { \white{ . } } } { (E ') }  est  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ S=\left\lbrace\dfrac23\,\text i\;;\;1+\text i\;;\;2-2\,\text i\right\rbrace}\,. } 

3.  Dans le plan complexe, on considère les points A, B  et C  d'affixes respectives  \overset{ { \white{ . } } } { 1+\text i,2-2\,\text i }  et  \overset{ { \white{ . } } } {\dfrac23\,\text i.  } 

On pose :  \overset{ { \white{ . } } } { Z=\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A} .} 

3.a)  Déterminons le module et l'argument de  \overset{ { \white{ . } } } { Z. } 

 { \white{ xxi } }   Z=\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A} =\dfrac{(2-2\,\text i)-(1+\text i)}{\dfrac23\,\text i-(1+\text i)}=\dfrac{2-2\,\text i-1-\text i}{\dfrac23\,\text i-1-\text i} =\dfrac{1-3\,\text i}{-1-\dfrac13\,\text i} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{Z}=\dfrac{3-9\,\text i}{-3-\text i} =\dfrac{(3-9\,\text i)(-3+\text i)}{(-3-\text i)(-3+\text i)}=\dfrac{-9+3\,\text i+27\,\text i+9}{9+1}=\dfrac{30\,\text i}{10}=3\,\text i} 

 { \white{ xxi } }   \Longrightarrow\quad\boxed{Z=3\,\text i} 

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}|Z|=3\phantom{WWWw}\\\overset{ { \white{ . } } } {\arg(Z)=\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]} \end{matrix}\right.} } 

Interprétons ces résultats géométriquement.

 \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}   \overset{ { \white{ . } } } { |Z|=3 }  signifie que  \overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{AB}{AC}=3 } , soit que  \overset{ { \white{ _. } } } { AB=3\,AC. } 

 \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}  \overset{ { \white{ . } } } {\arg(Z)=\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi] }  signifie que  \overset{ { \white{ . } } } { \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]. } 

3.b)  De la question précédente, nous déduisons que ABC  est un triangle rectangle en A  non isocèle.

Bac Sénégal 2023 série T1-T2 : image 5

10 points

probleme

Partie A (3 points) 

Soit  \overset{ { \white{ . } } } { g }  la fonction définie sur  \overset{ { \white{ . } } } {]\,0\;;\;+\infty\,[ }  par  \overset{ { \white{ . } } } {g(x)=x^2+3x-4+4\ln x.  } 

1.  Nous devons déterminer la limite de  \overset{ { \white{ . } } } { g }  en 0 et la limite de  \overset{ { \white{ . } } } { g }  en  \overset{ { \white{ . } } } { +\infty. } 

 \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}} Déterminons la limite de  \overset{ { \white{ . } } } { g }  en 0.

 { \white{ xxi } }  \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to 0}\,(x^2+3x-4)=-4\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to 0}\,\ln x=-\infty\phantom{WWW}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to 0}\,(x^2+3x-4+4\ln x)=-\infty \\\\\phantom{WWWWWWWWxWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to 0}\,g(x)=-\infty} 

 \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}} Déterminons la limite de  \overset{ { \white{ . } } } { g }  en  \overset{ { \white{ . } } } { +\infty. } 

 { \white{ xxi } }  \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to +\infty}\,(x^2+3x-4)=+\infty\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to +\infty}\,\ln x=+\infty\phantom{WWxW}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to +\infty}\,(x^2+3x-4+4\ln x)=+\infty \\\\\phantom{WWWWWWWWWxWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}\,g(x)=+\infty} 

2.  Soit  \overset{ { \white{ . } } } { g' }  la dérivée de  \overset{ { \white{ . } } } { g. } 

2.a)  Déterminons l'expression algébrique de  \overset{ { \white{ . } } } { g'(x). } 

La fonction  \overset{ { \white{ . } } } { g }  est dérivable sur  \overset{ { \white{ . } } } {]\,0\;;\;+\infty\,[. } 

Pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { x\in\; ]\,0\;;\;+\infty\,[ } ,

 { \white{ xxi } }  g'(x)=(x^2+3x-4+4\ln x)' \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{g'(x)}=2x+3+\dfrac4x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{g'(x)}=\dfrac{2x^2+3x+4}{x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\; ]\,0\;;\;+\infty\,[,\;g'(x)=\dfrac{2x^2+3x+4}{x}} 

2.b)  Nous devons dresser le tableau de variations de  \overset{ { \white{ . } } } { g. } 

 \forall\,x\in\; ]\,0\;;\;+\infty\,[,\;\left\lbrace\begin{matrix}2x^2+3x+4>0\\x>0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{g'(x)>0} 
Nous en déduisons que la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { g }  est strictement croissante sur  \overset{ { \white{ . } } } {]\,0\;;\;+\infty\,[. } 

Tableau de variations de  \overset{ { \white{ . } } } {g : } 

  { \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &||&&&&&&\\g'(x)&||&+&+&+&+&+&\\&||&&&&&&\\\hline&||&&&&&&+\infty\\g(x)&||&\nearrow&\nearrow&\nearrow&\nearrow&\nearrow&\\&-\infty&&&&&&\\\hline \end{array}  

3.   \overset{ { \white{ . } } } {  g(1)=1+3-4+4\ln 1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{g(1)=0}  } 

Complétons le tableau de variations de  \overset{ { \white{ . } } } {g  }  et déduisons-en le signe de  \overset{ { \white{ . } } } {g . } 

  { \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&1&&&+\infty &&&&&&&&\\\hline&||&&&&&&+\infty\\g(x)&||&\nearrow&\nearrow&0&\nearrow&\nearrow&\\&-\infty&&&&&&\\\hline&||&&&&&&\\g(x)&||&-&-&0&+&+&\\&||&&&&&&\\\hline \end{array}  

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\forall\,x\in\;]\,0\;;\;1\,[,\;g(x)<0. 
 { \white{ WWWWwxW} }  \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in\;]\,1\;;\;+\infty\,[,\;g(x)>0.} 


Partie B (5,75 points) 

Soit  \overset{ { \white{ . } } } { f }  la fonction définie sur  \overset{ { \white{ . } } } {]\,0\;;\;+\infty\,[ }  par  \overset{ { \white{ . } } } {f(x)=x+3\ln x-\dfrac{4\ln x}{x}.  }  
On note  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f) }  la courbe de  \overset{ { \white{ . } } } { f }  dans un repère orthonormal  \overset{ { \white{ . } } } {(O\;;\;\vec i, \vec j)  }  (unité : 3 cm).

1.  Nous devons déterminer la limite de  \overset{ { \white{ . } } } { f }  en 0.

Remarquons que  \overset{ { \white{ . } } } {\forall\,x\in\;]\,0\;;\;+\infty\,[,\;f(x)=x+3\ln x-\dfrac{4\ln x}{x}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{f(x)=x+\left(3-\dfrac{4}{x}\right)\ln x}}  

 \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to 0}\,x=0\phantom{xxW}\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to 0^{(+)}}\,\dfrac{4}{x}=+\infty\phantom{xx}}\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to 0^{(+)}}\,\ln x=-\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to 0}\,x=0\phantom{WWWW}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\lim\limits_{x\to 0^{(+)}}\,\left(3-\dfrac{4}{x}\right)=-\infty}\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to 0^{(+)}}\,\ln x=-\infty\phantom{WW}}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to 0^{(+)}}\,\left[x+\left(3-\dfrac{4}{x}\right)\ln x\right]=+\infty \\\\\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to 0}\,f(x)=+\infty}  

2.a)  Déterminons la limite de  \overset{ { \white{ . } } } { f }  en  \overset{ { \white{ . } } } { +\infty. } 

 \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to +\infty}\,x=+\infty\phantom{WWWWWWWWWWW}\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to +\infty}\,3\ln x=+\infty\phantom{WWWWWWWWW}}\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to +\infty}\,-\dfrac{4\ln x}{x}=0\;(\text{croissances comparées)}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to \infty}\,\left(x+3\ln x-\dfrac{4\ln x}{x}\right)=+\infty \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWxWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}\,f(x)=+\infty}  

2.b)  Nous devons étudier la branche infinie de  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f) }  en  \overset{ { \white{ . } } } { +\infty } 

Calculons  {\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\,. } 

 \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x+3\ln x-\frac{4\ln x}{x}}{x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWwW}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{3\ln x}{x}-\dfrac{4\ln x}{x^2}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWwW}=1+0-0\quad(\text{croissances comparées})} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWwW}=1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=1} 

Calculons  {\lim\limits_{x\to+\infty}\Big(f(x)-x\Big)\,. } 

 \lim\limits_{x\to+\infty}\Big(f(x)-x\Big)=\lim\limits_{x\to+\infty}\Big(3\ln x-\dfrac{4\ln x}{x}\Big) \\\\\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}3\ln x=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{4\ln x}{x}=0 \end{matrix}\right. \\\\\text{D'où  }\;\lim\limits_{x\to+\infty}\Big(3\ln x-\dfrac{4\ln x}{x}\Big)=+\infty \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\Big(f(x)-x\Big)=+\infty} 

Nous en déduisons que la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f) }  admet une branche parabolique de direction la droite d'équation :  \overset{ { \white{ . } } } { y=x. } 

3.a)  Montrons que pour tout réel  \overset{ { \white{ . } } } { x }  strictement positif :   { f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}. } 

Pour tout réel  \overset{ { \white{ . } } } { x>0, } 

 { \white{ xxi } }  f'(x)=\left(x+3\ln x-\dfrac{4\ln x}{x}\right)' \\\phantom{f'(x)}=1+\dfrac 3x-4\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)' \\\phantom{f'(x)}=1+\dfrac 3x-4\left(\dfrac{(\ln x)'\times x-\ln x\times x'}{x^2}\right) \\\phantom{f'(x)}=1+\dfrac 3x-4\left(\dfrac{\frac1x\times x-\ln x\times 1}{x^2}\right) 
 { \white{ xxi } }  \\\phantom{f'(x)}=1+\dfrac 3x-4\left(\dfrac{1-\ln x}{x^2}\right) \\\phantom{f'(x)}=\dfrac{x^2+3x-4+4\ln x }{x^2} \\\phantom{f'(x)}=\dfrac{g(x) }{x^2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x>0, f'(x)=\dfrac{g(x) }{x^2}} 

3.b)  Nous devons dresser le tableau de variations de  \overset{ { \white{ . } } } { f. } 

Le signe de  \overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }  est le signe de  \overset{ { \white{ _. } } } { g(x) }  car   { \forall\,x>0,\,x^2>0.} 
En utilisant les résultats de la question 3. - Partie A, nous obtenons le tableau de signes de  \overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }  et le tableau de variations de  \overset{ { \white{ . } } } { f. } 

  { \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&1&&&+\infty &&&&&&&&\\\hline&||&&&&&&\\f'(x)&||&-&-&0&+&+&\\&||&&&&&&\\\hline&+\infty&&&&&&+\infty \\f(x)&||&\searrow&\searrow&&\nearrow&\nearrow&\\&||&&&1&&&\\\hline \end{array}  

4.a)  Déterminons les points d'intersection de  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f) }  et de la droite  \overset{ { \white{ . } } } { \Delta:y=x} 

Les abscisses de ces points d'intersection sont les solutions de l'équation  \overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x. } 

 f(x)=x\quad\Longleftrightarrow\quad x+3\ln x-\dfrac{4\ln x}{x}=x \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad 3\ln x-\dfrac{4\ln x}{x}=0} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad\left(3-\dfrac{4}{x}\right) \ln x=0} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad 3-\dfrac{4}{x}=0\quad\text{ou}\quad \ln x=0} 
 { \white{ WWWxW} }   \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad 3=\dfrac{4}{x}\quad\text{ou}\quad \ln x=0} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=\dfrac{4}{3}\quad\text{ou}\quad x=1}} 

Les points d'intersection de  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f) }  et de la droite  \overset{ { \white{ . } } } { \Delta:y=x}  sont  \boxed{A(1\;;\;1)\;\text{et}\;B\left(\dfrac43\;;\;\dfrac43\right)}\,. 

4.b)  Nous devons étudier la position relative de  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f) }  et  \overset{ { \white{ . } } } { \Delta .} 

Étudions le signe de  \overset{ { \white{ . } } } {f(x)-x  }  sur l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } { ]\,0\;;\;+\infty\,[. } 

 f(x)-x=\left(3-\dfrac{4}{x}\right) \ln x \quad\Longrightarrow\quad \boxed{ f(x)-x=\dfrac{3x-4}{x}\times \ln x} 

 { \white{ xxi } }  \begin{matrix}3x-4<0\Longleftrightarrow x<\dfrac43\\\overset{ { \white{.} } } {3x-4=0\Longleftrightarrow x=\dfrac43} \\\overset{ { \phantom{.} } } {3x-4>0\Longleftrightarrow x>\dfrac43} \\\\\ln x<0\Longleftrightarrow0<x<1\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \ln x=0\Longleftrightarrow x=1\phantom{WW}}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \ln x>0\Longleftrightarrow x>1\phantom{WW}}\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&1&&\dfrac43&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\3x-4&&-&-&-&0&+&\\x&0&+&+&+&+&+& \\\ln x&||&-&0&+&+&+&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\f(x)-x&||&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline \end{array}  

Nous en déduisons que :  \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}  f(x)-x >0   sur  ]\,0\;;\;1\,[\;\cup\;]\,\dfrac43\;;\;+\infty\,[ 
 { \white{ WWWWWWxWWW} }  \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}  f(x)-x <0   sur  ]\,1\;;\;\dfrac43\,[. 
Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}} sur  ]\,0\;;\;1\,[\;\cup\;]\,\dfrac43\;;\;+\infty\,[ , la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f) }  est au-dessus de la droite  { \Delta .} 
 { \white{ WWWWxWw} }  \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}} sur  ]\,1\;;\;\dfrac43\,[ , la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f) }  est en dessous de la droite   { \Delta .} 

4.c)  Traçons la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f) }  et la droite   { \Delta .} 

Bac Sénégal 2023 série T1-T2 : image 6


Partie C (1,25 points) 

1.  Soit   { h }  la fonction définie sur  \overset{ { \white{ . } } } {]\,0\;;\;+\infty\,[ }  par  \overset{ { \white{ . } } } {h(x)=x\ln x-x.  }  
Calculons  \overset{ { \white{ . } } } { h'(x). } 

La fonction  \overset{ { \white{ _. } } } { h }  est dérivable sur   \overset{ { \white{ . } } } { ]\,0\;;\;+\infty\,[. }  

 { \white{ xxi } }  h'(x)=(x\ln x)'-x' \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{h'(x)}=x'\times \ln x+x\times (\ln x)'-x'} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{h'(x)}=1\times \ln x+x\times \dfrac1x-1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{h'(x)}=\ln x+1-1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{h'(x)}=\ln x} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\;]\,0\;;\;+\infty\,[,\;h'(x)=\ln x} 

2.  Nous devons calculer en cm2 l'aire   { \mathscr{A} }  du domaine délimité par  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f),\;\Delta,\;(D_1):x=1 }  et  \overset{ { \white{ . } } } { (D_2):x=\dfrac43. } 

Déterminons d'abord l'aire   { \mathscr{A} }  en unité d'aire (u.a.).

Nous savons que sur  ]\,1\;;\;\dfrac43\,[ , la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f) }  est en dessous de la droite  \overset{ { \white{ _. } } } { \Delta .} 

 { \white{ xxi } }  \mathscr{A}=\displaystyle\int_{1}^{\frac43} \Big(x-f(x)\Big)\,\text{d}x\;(\text{u.a.}) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A}=\displaystyle\int_{1}^{\frac43} \left(\dfrac4x-3\right)\ln x\,\text{d}x\;(\text{u.a.})} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A}=\displaystyle\int_{1}^{\frac43}\dfrac4x\ln x\,\text{d}x-\displaystyle\int_{1}^{\frac43}3\ln x\,\text{d}x\;(\text{u.a.})} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A}=4\displaystyle\int_{1}^{\frac43}\dfrac1x\ln x\,\text{d}x-3\displaystyle\int_{1}^{\frac43}\ln x\,\text{d}x\;(\text{u.a.})}  
 { \white{ xxxxi } }  \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A}=4\displaystyle\int_{1}^{\frac43}(\ln x)'\ln x\,\text{d}x-3\displaystyle\int_{1}^{\frac43}(x\ln x-x)'\,\text{d}x\;(\text{u.a.})\quad\text{(voir question 1})} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A}=4\times\left[\dfrac{\ln^2x}{2} \right]_1^{\frac43}-3\times\left[\overset{}{x\ln x-x} \right]_1^{\frac43}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A}=2\times\left[\overset{}{\ln^2x} \right]_1^{\frac43}-3\times\left[\overset{}{x\ln x-x} \right]_1^{\frac43}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A}=2\times\left(\ln^2\frac43-\ln^21 \right)-3\times\left[(\overset{}{\frac43\ln \frac43-\frac43)-(1\ln 1-1)} \right]}  
 { \white{ xxi } }  \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A}=2\ln^2\frac43-3\times\left(\overset{}{\frac43\ln \frac43-\frac43+1} \right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A}=2\ln^2\frac43-3\times\left(\overset{}{\frac43\ln \frac43-\frac13} \right)}  \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A}=2\ln^2\frac43-4\ln \frac43+1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\mathscr{A}=2\ln^2\frac43-4\ln \frac43+1}\;(\text{u.a.}) 

Or l'unité graphique du repère est 3 cm.
Dès lors l'unité d'aire est 9 cm2.

Par conséquent,  \boxed{\mathscr{A}=9\,(2\ln^2\frac43-4\ln \frac43+1)\text{ cm}^2\approx0,13\text{ cm}^2}\,. 

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