Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Mathématiques

Sénégal 2023

Séries T1-T2

Épreuve du 1^er groupe

Durée : 4 heures

Coefficient T1 : 5

Coefficient T2 : 4

4,5 points

exercice 1

5,5 points

exercice 2

10 points

probleme

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Bac Sénégal 2023 série T1-T2

4,5 points

exercice 1

Dans l'espace muni du repère orthonormal direct ${(O\;;\vec i,\vec j,\vec k), }$ on considère les points suivants :

$\overset{ { \white{ . } } } {A(1\;;\;0\;;\;0),\,B(0\;;\;2\;;\;0)}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {C(0\;;\;0\;;\;3).}$

1.a) Nous devons déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}.$

$\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}0-1\\2-0\\0-0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}\\\\\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}0-1\\0-0\\3-0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix}\end{matrix}\right.$

Nous en déduisons que $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}\wedge\begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix}$
${ \white{ WWWWWWxWWWWW} }$    $\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=\begin{pmatrix}2\times3-0\times0\\0\times(-1)-(-1)\times3\\ (-1)\times0-2\times(-1)\end{pmatrix}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=\begin{pmatrix}6\\3\\2\end{pmatrix}}$

D'où nous obtenons le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,\begin{pmatrix}6\\3\\2\end{pmatrix}.}$

1.b) Nous devons justifier que les points A, B et C déterminent un plan $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{P}). }$

Le vecteur ${\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}}$ n'est pas le vecteur nul.
Dès lors, les vecteurs ${\overrightarrow{AB}}$ et ${\overrightarrow{AC}}$ ne sont pas colinéaires.

Par conséquent, les points A, B et C déterminent un plan $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{P}). }$

1.c) Déterminons une équation cartésienne de $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{P}). }$

Le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,\begin{pmatrix}6\\3\\2\end{pmatrix}}$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathscr{P}). }$
D'où l'équation du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathscr{P})}$ est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } {6x+3y+2z+d=0 }$ où $\overset{ { \white{ _. } } } {d }$ est un nombre réel.

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {A(1\;;\;0\;;\;0) }$ appartient à ce plan.
Donc $\overset{ { \white{ . } } } {6\times1+3\times0+2\times0+d=0, }$ soit $\overset{ { \white{ _. } } } {d=-6. }$

Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathscr{P}) }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{6x+3y+2z-6=0}\,. }$

2. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { I }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { J}$ les milieux respectifs des segments $\overset{ { \white{ . } } } {[AB] }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { [AC]. }$
On désigne par $\overset{ { \white{ . } } } { \Delta }$ la droite passant par $\overset{ { \white{ . } } } { I }$ et de vecteur directeur ${ \vec k }$ et par $\overset{ { \white{ . } } } { \Delta ' }$ la droite passant par $\overset{ { \white{ . } } } { J }$ et de vecteur directeur ${ \vec j . }$

2. a) Déterminons une représentation paramétrique de chacune des droites $\overset{ { \white{ . } } } { \Delta }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { \Delta '. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Droite $\overset{ { \white{ . } } } { \Delta }$

Déterminons les coordonnées du point $\overset{ { \white{ . } } } { I. }$

$\left\lbrace\begin{matrix}A\,(1\;;\;0\;;\;0)\\B\,(0\;;\;2\;;\;0)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad I\,\left(\dfrac{1+0}{2}\;;\;\dfrac{0+2}{2}\;;\;\dfrac{0+0}{2} \right) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWwWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{I\,\left({\blue{\dfrac{1}{2}}}\;;\;{\blue{1}}\;;\;{\blue{0}} \right)}}$

Un vecteur directeur de $\overset{ { \white{ . } } } { \Delta }$ : le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \vec k\,\begin{pmatrix}{\red{0}}\\ {\red{0}}\\ {\red{1}}\end{pmatrix} }$
Donc une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { \Delta}$ est : $\overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix}x={\blue{\dfrac{1}{2}}}+{\red{0}}\times k\\\overset{ { \phantom{ . } } } {y={\blue{1}}+{\red{0}}\times k}\phantom{}\\z={\blue{0}}+{\red{1}}\times k\end{matrix}\right.\quad \quad(k\in\R) }$
soit $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\Delta:\left\lbrace\begin{matrix}x=\dfrac12\\\overset{ { \white{ . } } } {y=1}\phantom{}\\z=k\end{matrix}\right.\quad \quad(k\in\R)} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Droite $\overset{ { \white{ . } } } { \Delta '}$

Déterminons les coordonnées du point $\overset{ { \white{ . } } } { J. }$

$\left\lbrace\begin{matrix}A\,(1\;;\;0\;;\;0)\\C\,(0\;;\;0\;;\;3)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad J\,\left(\dfrac{1+0}{2}\;;\;\dfrac{0+0}{2}\;;\;\dfrac{0+3}{2} \right) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWwWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{J\,\left({\blue{\dfrac{1}{2}}}\;;\;{\blue{0}}\;;\;{\blue{\dfrac32}} \right)}}$

Un vecteur directeur de $\overset{ { \white{ . } } } { \Delta ' }$ : le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \vec j\,\begin{pmatrix}{\red{0}}\\ {\red{1}}\\ {\red{0}}\end{pmatrix} }$
Donc une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { \Delta '}$ est : $\overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix}x={\blue{\dfrac{1}{2}}}+{\red{0}}\times k'\\\overset{ { \phantom{ . } } } {y={\blue{0}}+{\red{1}}\times k'}\phantom{}\\z={\blue{\dfrac32}}+{\red{0}}\times k'\end{matrix}\right.\quad \quad(k'\in\R) }$
soit $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\Delta ':\left\lbrace\begin{matrix}x=\dfrac12\\\overset{ { \phantom{ . } } } {y=k'}\phantom{}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {z=\dfrac32}\end{matrix}\right.\quad \quad(k'\in\R)} }$

2. b) Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ le point d'intersection de $\overset{ { \white{ . } } } { \Delta}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { \Delta '.}$
Les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta}$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta '}$ sont sécantes car leur vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.

Les coordonnées du point d'intersection $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ sont données en résolvant le système composé par les représentations paramétriques de $\overset{ { \white{ . } } } {(\Delta ) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta ' }$

Nous en déduisons immédiatement que les coordonnées de $\overset{ { \white{ . } } } {\Omega }$ sont : $\boxed{\overset{ { \white{ _. } } } {\Omega\, \left(\dfrac12\;;\;1\;;\;\dfrac32 \right)}}\,.$

2. c) Calculons la distance $\overset{ { \white{ . } } } { d(\Omega,(\mathscr{P})) }$ du point $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{P}). }$

${ \white{ xxi } }$    $d(\Omega,(\mathscr{P}))=\dfrac{\left|\,6\times\dfrac12+3\times1+2\times\dfrac32-6\, \right|}{\sqrt{6^2+3^2+2^2}} = \dfrac{|\,3+3+3-6\,|}{\sqrt{36+9+4}} = \dfrac{3}{7}$

${ \white{ xxi } }$    $\Longrightarrow\quad \boxed{d(\Omega,(\mathscr{P}))=\dfrac37}$

5,5 points

exercice 2

1. On considère dans $\overset{ { \white{ _. } } } { \C }$ l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E):z^2-(3-\text i)z+4=0. }$

1.a) Nous devons résoudre $\overset{ { \white{ . } } } { (E). }$

Discriminant de l'équation : $\overset{ { \white{ . } } } { \Delta=[-(3-\text i)]^2-4\times1\times4 }$
${ \white{ WWWWWWWWWWWW} }$    $\\\phantom{w}\overset{ { \white{ . } } } {=9-6\,\text i-1-16 } \\\phantom{w}\overset{ { \white{ . } } } {=-8-6\,\text i}$
${ \white{ WWWWWWWWWWWW} }$    $\\\phantom{w}\overset{ { \white{ . } } } {=1-6\,\text i}-9 \\\phantom{w}\overset{ { \white{ . } } } {=1-6\,\text i+(3\text i)^2} \\\phantom{w}\overset{ { \white{ . } } } {=(1-3\text i)^2}$

Solutions de l'équation :

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}z_1=\dfrac{(3-\text i)-(1-3\,\text i)}{2}=\dfrac{2+2\,\text i}{2}=\dfrac{2(1+\text i)}{2} \quad\Longrightarrow\quad\boxed{z_1=1+\text i}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}z_2=\dfrac{(3-\text i)+(1-3\,\text i)}{2}=\dfrac{4-4\,\text i}{2}=\dfrac{2(2-2\,\text i)}{2} \quad\Longrightarrow\quad\boxed{z_2=2-2\,\text i}$

1.b) Nous devons mettre $\overset{ { \white{ . } } } { z_1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { z_2 }$ sous forme trigonométrique.

${ \white{ xxi } }$    $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\boxed{z_1=1+\text i}$

${ \white{ xxi } }$    ${ \white{ xxi } }$    $|z_1|=\sqrt{1^2+1^2}\quad\Longrightarrow |z_1|=\sqrt2 \\\\\text{D'où }\;z_1=\sqrt2\left(\dfrac{1}{\sqrt2}+\text i\dfrac{1}{\sqrt2}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{D'où }\;z_1}=\sqrt2\left(\dfrac{\sqrt2}{2}+\text i\dfrac{\sqrt2}{2}\right)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\text{D'où }\;z_1}=\sqrt2\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+\text i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z_1=\sqrt2\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+\text i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)}$

${ \white{ xxi } }$    $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\boxed{z_2=2-2\,\text i}$

${ \white{ xxi } }$    ${ \white{ xxi } }$    $|z_2|=\sqrt{2^2+(-2)^2}\quad\Longrightarrow |z_2|=\sqrt8=2\,\sqrt2 \\\\\text{D'où }\;z_2=2\,\sqrt2\left(\dfrac{2}{2\,\sqrt2}-\text i\dfrac{2}{2\,\sqrt2}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{D'où }\;z_2}=2\,\sqrt2\left(\dfrac{1}{\sqrt2}-\text i\dfrac{1}{\sqrt2}\right)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\text{D'où }\;z_2}=2\,\sqrt2\left(\dfrac{\sqrt2}{2}-\text i\dfrac{\sqrt2}{2}\right)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\text{D'où }\;z_2}=2\,\sqrt2\Bigg(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+\text i\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\Bigg)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z_2=2\,\sqrt2\Bigg(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+\text i\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\Bigg)}$

2. On considère dans $\overset{ { \white{ _. } } } { \C }$ une autre équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E '):3z^3-(9-\text i)z^2+(14+6\,\text i)z-8\,\text i=0. }$

2.a) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ . } } } {(E ') }$ admet une racine imaginaire pure.

Dans le membre de gauche de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {(E '), }$ remplaçons $\overset{ { \white{ . } } } { z }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { (\text i b) }$ avec $\overset{ { \white{ _. } } } { b\in\R^*.}$

Nous obtenons ainsi :

$3(\text i b)^3-(9-\text i)(\text i b)^2+(14+6\,\text i)(\text i b)-8\,\text i=0 \\\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad3\text i^3b^3-(9-\text i)\text i^2b^2+(14+6\,\text i)\text ib-8\,\text i=0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad-3\text ib^3-(9-\text i)(-b^2)+(14+6\,\text i)\text ib-8\,\text i=0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad-3\text ib^3+9b^2-\text ib^2+14\,\text ib-6b-8\,\text i=0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad(9b^2-6b)+\text i(-3b^3-b^2+14b-8)=0}$

$\\\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}9b^2-6b=0\\-3b^3-b^2+14b-8=0\end{matrix}\right.} \\\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}3b(3b-2)=0\\-3b^3-b^2+14b-8=0\end{matrix}\right.} \\\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}3b=0\quad\text{ou}\quad3b-2=0\\-3b^3-b^2+14b-8=0\end{matrix}\right.} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}b=0\quad\text{ou}\quad3b-2=0\\-3b^3-b^2+14b-8=0\end{matrix}\right.}$

$\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}b=0\\-3b^3-b^2+14b-8=0\end{matrix}\right.\quad\text{ ou }\quad \left\lbrace\begin{matrix}b=\dfrac23\\\overset{ { \white{ . } } } {-3b^3-b^2+14b-8=0}\end{matrix}\right.}$

Le premier système d'équations est impossible car la seconde équation n'est pas vérifiée par $\overset{ { \white{ . } } } { b=0. }$
Le deuxième système admet comme solution $\overset{ { \white{ . } } } { b=\dfrac23 }$ car la seconde équation est vérifiée par $\overset{ { \white{ . } } } { b=\dfrac23. }$
Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { \text i b=\dfrac23\text i }$ vérifie l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {(E '). }$
Par conséquent,    $\overset{ { \white{ . } } } {(E ') }$    admet une racine imaginaire pure, à savoir :    $\overset{ { \white{ . } } } { z_0=\dfrac23\,\text i }$ .

2.b) Nous devons résoudre $\overset{ { \white{ . } } } { (E '). }$

Nous savons par la question précédente que $\overset{ { \white{ . } } } { z_0=\dfrac23\,\text i }$ est une racine de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E ') }$

Dès lors, le polynôme $\overset{ { \white{ . } } } { 3z^3-(9-\text i)z^2+(14+6\,\text i)z-8\,\text i }$ se factorise par $\overset{ { \white{ . } } } { z-\dfrac23\,\text i }$ et par suite ce polynôme est divisible par $\overset{ { \white{ . } } } { z-\dfrac23\,\text i }$ .
Déterminons le quotient par la méthode de Horner.

${ \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|cc|cc|cc|c|}\hline &&&&&&&&&\phantom{x}3&&\phantom{x}-9+\text i&&\phantom{x}14+6\,\text i&&\phantom{x}-8\,\text i\phantom{x} &&&&&&&& \\\hline &&&&&&& \\\dfrac23\,\text i&\phantom{x}&&\phantom{x}2\,\text i&&\phantom{x}-6\,\text i-2&&8\,\text i\\&&&&&&&\\\hline &&&&&&&\\&\phantom{x}3&&\phantom{x}-9+3\,\text i&&\phantom{x}12&&{\red{0}}\\&&&&&&&\\\hline \end{array}$

$\text{D'où }\quad 3z^3-(9-\text i)z^2+(14+6\,\text i)z-8\,\text i =\left(z-\dfrac23\,\text i\right)\Big(3z^2+(-9+3\,\text i)z+12\Big) \\\phantom{WWWWWWWWWWWxWWWWW }=3\left(z-\dfrac23\,\text i\right)\Big(z^2+(-3+\text i)z+4\Big)$
L'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E ') }$ peut alors s'écrire : $\overset{ { \white{ . } } } {(E '): 3\left(z-\dfrac23\,\text i\right)\Big(z^2+(-3+\text i)z+4\Big)=0 }$

Nous obtenons alors :

$3\left(z-\dfrac23\,\text i\right)\Big(z^2+(-3+\text i)z+4\Big)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad\left(z-\dfrac23\,\text i\right)\Big(z^2-(3-\text i)z+4\Big)=0 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW} \quad\Longleftrightarrow\quad z-\dfrac23\,\text i=0\quad\text{ou}\quad z^2-(3-\text i)z+4=0 \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}z-\dfrac23\,\text i=0\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{z=\dfrac23\,\text i} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\white{x}}z^2-(3-\text i)z+4=0\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{z=1+\text i\quad\text{ou}\quad z=2-2\,\text i }\quad(\text{voir question 1. a)}$

Par conséquent, l'ensemble $\overset{ { \white{ _. } } } { S }$ des solutions de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E ') }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ S=\left\lbrace\dfrac23\,\text i\;;\;1+\text i\;;\;2-2\,\text i\right\rbrace}\,. }$

3. Dans le plan complexe, on considère les points A, B et C d'affixes respectives $\overset{ { \white{ . } } } { 1+\text i,2-2\,\text i }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac23\,\text i. }$

On pose : $\overset{ { \white{ . } } } { Z=\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A} .}$

3.a) Déterminons le module et l'argument de $\overset{ { \white{ . } } } { Z. }$

${ \white{ xxi } }$ $Z=\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A} =\dfrac{(2-2\,\text i)-(1+\text i)}{\dfrac23\,\text i-(1+\text i)}=\dfrac{2-2\,\text i-1-\text i}{\dfrac23\,\text i-1-\text i} =\dfrac{1-3\,\text i}{-1-\dfrac13\,\text i} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{Z}=\dfrac{3-9\,\text i}{-3-\text i} =\dfrac{(3-9\,\text i)(-3+\text i)}{(-3-\text i)(-3+\text i)}=\dfrac{-9+3\,\text i+27\,\text i+9}{9+1}=\dfrac{30\,\text i}{10}=3\,\text i}$

${ \white{ xxi } }$ $\Longrightarrow\quad\boxed{Z=3\,\text i}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}|Z|=3\phantom{WWWw}\\\overset{ { \white{ . } } } {\arg(Z)=\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]} \end{matrix}\right.} }$

Interprétons ces résultats géométriquement.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$    $\overset{ { \white{ . } } } { |Z|=3 }$ signifie que $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{AB}{AC}=3 }$ , soit que $\overset{ { \white{ _. } } } { AB=3\,AC. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$    $\overset{ { \white{ . } } } {\arg(Z)=\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi] }$ signifie que $\overset{ { \white{ . } } } { \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]. }$

3.b) De la question précédente, nous déduisons que ABC est un triangle rectangle en A non isocèle.

10 points

probleme

Partie A (3 points)

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ la fonction définie sur $\overset{ { \white{ . } } } {]\,0\;;\;+\infty\,[ }$ par $\overset{ { \white{ . } } } {g(x)=x^2+3x-4+4\ln x. }$

1. Nous devons déterminer la limite de $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ en 0 et la limite de $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ en $\overset{ { \white{ . } } } { +\infty. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons la limite de $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ en 0.

${ \white{ xxi } }$    $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to 0}\,(x^2+3x-4)=-4\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to 0}\,\ln x=-\infty\phantom{WWW}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to 0}\,(x^2+3x-4+4\ln x)=-\infty \\\\\phantom{WWWWWWWWxWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to 0}\,g(x)=-\infty}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons la limite de $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ en $\overset{ { \white{ . } } } { +\infty. }$

${ \white{ xxi } }$    $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to +\infty}\,(x^2+3x-4)=+\infty\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to +\infty}\,\ln x=+\infty\phantom{WWxW}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to +\infty}\,(x^2+3x-4+4\ln x)=+\infty \\\\\phantom{WWWWWWWWWxWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}\,g(x)=+\infty}$

2. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { g' }$ la dérivée de $\overset{ { \white{ . } } } { g. }$

2.a) Déterminons l'expression algébrique de $\overset{ { \white{ . } } } { g'(x). }$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } {]\,0\;;\;+\infty\,[. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in\; ]\,0\;;\;+\infty\,[ }$ ,

${ \white{ xxi } }$    $g'(x)=(x^2+3x-4+4\ln x)' \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{g'(x)}=2x+3+\dfrac4x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{g'(x)}=\dfrac{2x^2+3x+4}{x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\; ]\,0\;;\;+\infty\,[,\;g'(x)=\dfrac{2x^2+3x+4}{x}}$

2.b) Nous devons dresser le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { g. }$

$\forall\,x\in\; ]\,0\;;\;+\infty\,[,\;\left\lbrace\begin{matrix}2x^2+3x+4>0\\x>0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{g'(x)>0}$
Nous en déduisons que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } {]\,0\;;\;+\infty\,[. }$

Tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } {g : }$

${ \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &||&&&&&&\\g'(x)&||&+&+&+&+&+&\\&||&&&&&&\\\hline&||&&&&&&+\infty\\g(x)&||&\nearrow&\nearrow&\nearrow&\nearrow&\nearrow&\\&-\infty&&&&&&\\\hline \end{array}$

3. $\overset{ { \white{ . } } } { g(1)=1+3-4+4\ln 1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{g(1)=0} }$

Complétons le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } {g }$ et déduisons-en le signe de $\overset{ { \white{ . } } } {g . }$

${ \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&1&&&+\infty &&&&&&&&\\\hline&||&&&&&&+\infty\\g(x)&||&\nearrow&\nearrow&0&\nearrow&\nearrow&\\&-\infty&&&&&&\\\hline&||&&&&&&\\g(x)&||&-&-&0&+&+&\\&||&&&&&&\\\hline \end{array}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\forall\,x\in\;]\,0\;;\;1\,[,\;g(x)<0.$
${ \white{ WWWWwxW} }$    $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in\;]\,1\;;\;+\infty\,[,\;g(x)>0.}$

Partie B (5,75 points)

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ la fonction définie sur $\overset{ { \white{ . } } } {]\,0\;;\;+\infty\,[ }$ par $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=x+3\ln x-\dfrac{4\ln x}{x}. }$
On note $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f) }$ la courbe de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ dans un repère orthonormal $\overset{ { \white{ . } } } {(O\;;\;\vec i, \vec j) }$ (unité : 3 cm).

1. Nous devons déterminer la limite de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ en 0.

Remarquons que $\overset{ { \white{ . } } } {\forall\,x\in\;]\,0\;;\;+\infty\,[,\;f(x)=x+3\ln x-\dfrac{4\ln x}{x}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{f(x)=x+\left(3-\dfrac{4}{x}\right)\ln x}}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to 0}\,x=0\phantom{xxW}\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to 0^{(+)}}\,\dfrac{4}{x}=+\infty\phantom{xx}}\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to 0^{(+)}}\,\ln x=-\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to 0}\,x=0\phantom{WWWW}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\lim\limits_{x\to 0^{(+)}}\,\left(3-\dfrac{4}{x}\right)=-\infty}\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to 0^{(+)}}\,\ln x=-\infty\phantom{WW}}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to 0^{(+)}}\,\left[x+\left(3-\dfrac{4}{x}\right)\ln x\right]=+\infty \\\\\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to 0}\,f(x)=+\infty}$

2.a) Déterminons la limite de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ en $\overset{ { \white{ . } } } { +\infty. }$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to +\infty}\,x=+\infty\phantom{WWWWWWWWWWW}\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to +\infty}\,3\ln x=+\infty\phantom{WWWWWWWWW}}\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to +\infty}\,-\dfrac{4\ln x}{x}=0\;(\text{croissances comparées)}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to \infty}\,\left(x+3\ln x-\dfrac{4\ln x}{x}\right)=+\infty \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWxWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}\,f(x)=+\infty}$

2.b) Nous devons étudier la branche infinie de $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f) }$ en $\overset{ { \white{ . } } } { +\infty }$

Calculons ${\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\,. }$

$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x+3\ln x-\frac{4\ln x}{x}}{x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWwW}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{3\ln x}{x}-\dfrac{4\ln x}{x^2}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWwW}=1+0-0\quad(\text{croissances comparées})} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWwW}=1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=1}$

Calculons ${\lim\limits_{x\to+\infty}\Big(f(x)-x\Big)\,. }$

$\lim\limits_{x\to+\infty}\Big(f(x)-x\Big)=\lim\limits_{x\to+\infty}\Big(3\ln x-\dfrac{4\ln x}{x}\Big) \\\\\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}3\ln x=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{4\ln x}{x}=0 \end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\;\lim\limits_{x\to+\infty}\Big(3\ln x-\dfrac{4\ln x}{x}\Big)=+\infty \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\Big(f(x)-x\Big)=+\infty}$

Nous en déduisons que la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f) }$ admet une branche parabolique de direction la droite d'équation : $\overset{ { \white{ . } } } { y=x. }$

3.a) Montrons que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ strictement positif : ${ f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}. }$

Pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x>0, }$

${ \white{ xxi } }$    $f'(x)=\left(x+3\ln x-\dfrac{4\ln x}{x}\right)' \\\phantom{f'(x)}=1+\dfrac 3x-4\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)' \\\phantom{f'(x)}=1+\dfrac 3x-4\left(\dfrac{(\ln x)'\times x-\ln x\times x'}{x^2}\right) \\\phantom{f'(x)}=1+\dfrac 3x-4\left(\dfrac{\frac1x\times x-\ln x\times 1}{x^2}\right)$
${ \white{ xxi } }$    $\\\phantom{f'(x)}=1+\dfrac 3x-4\left(\dfrac{1-\ln x}{x^2}\right) \\\phantom{f'(x)}=\dfrac{x^2+3x-4+4\ln x }{x^2} \\\phantom{f'(x)}=\dfrac{g(x) }{x^2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x>0, f'(x)=\dfrac{g(x) }{x^2}}$

3.b) Nous devons dresser le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f. }$

Le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { g(x) }$ car ${ \forall\,x>0,\,x^2>0.}$
En utilisant les résultats de la question 3. - Partie A, nous obtenons le tableau de signes de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ et le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f. }$

${ \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&1&&&+\infty &&&&&&&&\\\hline&||&&&&&&\\f'(x)&||&-&-&0&+&+&\\&||&&&&&&\\\hline&+\infty&&&&&&+\infty \\f(x)&||&\searrow&\searrow&&\nearrow&\nearrow&\\&||&&&1&&&\\\hline \end{array}$

4.a) Déterminons les points d'intersection de $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f) }$ et de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { \Delta:y=x}$

Les abscisses de ces points d'intersection sont les solutions de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x. }$

$f(x)=x\quad\Longleftrightarrow\quad x+3\ln x-\dfrac{4\ln x}{x}=x \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad 3\ln x-\dfrac{4\ln x}{x}=0} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad\left(3-\dfrac{4}{x}\right) \ln x=0} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad 3-\dfrac{4}{x}=0\quad\text{ou}\quad \ln x=0}$
${ \white{ WWWxW} }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad 3=\dfrac{4}{x}\quad\text{ou}\quad \ln x=0} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=\dfrac{4}{3}\quad\text{ou}\quad x=1}}$

Les points d'intersection de $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f) }$ et de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { \Delta:y=x}$ sont $\boxed{A(1\;;\;1)\;\text{et}\;B\left(\dfrac43\;;\;\dfrac43\right)}\,.$

4.b) Nous devons étudier la position relative de $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { \Delta .}$

Étudions le signe de $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)-x }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]\,0\;;\;+\infty\,[. }$

$f(x)-x=\left(3-\dfrac{4}{x}\right) \ln x \quad\Longrightarrow\quad \boxed{ f(x)-x=\dfrac{3x-4}{x}\times \ln x}$

${ \white{ xxi } }$    $\begin{matrix}3x-4<0\Longleftrightarrow x<\dfrac43\\\overset{ { \white{.} } } {3x-4=0\Longleftrightarrow x=\dfrac43} \\\overset{ { \phantom{.} } } {3x-4>0\Longleftrightarrow x>\dfrac43} \\\\\ln x<0\Longleftrightarrow0<x<1\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \ln x=0\Longleftrightarrow x=1\phantom{WW}}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \ln x>0\Longleftrightarrow x>1\phantom{WW}}\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&1&&\dfrac43&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\3x-4&&-&-&-&0&+&\\x&0&+&+&+&+&+& \\\ln x&||&-&0&+&+&+&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\f(x)-x&||&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline \end{array}$

Nous en déduisons que : $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$    $f(x)-x >0$ sur $]\,0\;;\;1\,[\;\cup\;]\,\dfrac43\;;\;+\infty\,[$
${ \white{ WWWWWWxWWW} }$    $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$    $f(x)-x <0$ sur $]\,1\;;\;\dfrac43\,[.$
Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ sur $]\,0\;;\;1\,[\;\cup\;]\,\dfrac43\;;\;+\infty\,[$ , la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f) }$ est au-dessus de la droite ${ \Delta .}$
${ \white{ WWWWxWw} }$    $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ sur $]\,1\;;\;\dfrac43\,[$ , la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f) }$ est en dessous de la droite ${ \Delta .}$

4.c) Traçons la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f) }$ et la droite ${ \Delta .}$

Partie C (1,25 points)

1. Soit ${ h }$ la fonction définie sur $\overset{ { \white{ . } } } {]\,0\;;\;+\infty\,[ }$ par $\overset{ { \white{ . } } } {h(x)=x\ln x-x. }$
Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { h'(x). }$

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]\,0\;;\;+\infty\,[. }$

${ \white{ xxi } }$    $h'(x)=(x\ln x)'-x' \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{h'(x)}=x'\times \ln x+x\times (\ln x)'-x'} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{h'(x)}=1\times \ln x+x\times \dfrac1x-1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{h'(x)}=\ln x+1-1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{h'(x)}=\ln x} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\;]\,0\;;\;+\infty\,[,\;h'(x)=\ln x}$

2. Nous devons calculer en cm² l'aire ${ \mathscr{A} }$ du domaine délimité par $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f),\;\Delta,\;(D_1):x=1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (D_2):x=\dfrac43. }$

Déterminons d'abord l'aire ${ \mathscr{A} }$ en unité d'aire (u.a.).

Nous savons que sur $]\,1\;;\;\dfrac43\,[$ , la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f) }$ est en dessous de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta .}$

${ \white{ xxi } }$    $\mathscr{A}=\displaystyle\int_{1}^{\frac43} \Big(x-f(x)\Big)\,\text{d}x\;(\text{u.a.}) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A}=\displaystyle\int_{1}^{\frac43} \left(\dfrac4x-3\right)\ln x\,\text{d}x\;(\text{u.a.})} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A}=\displaystyle\int_{1}^{\frac43}\dfrac4x\ln x\,\text{d}x-\displaystyle\int_{1}^{\frac43}3\ln x\,\text{d}x\;(\text{u.a.})} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A}=4\displaystyle\int_{1}^{\frac43}\dfrac1x\ln x\,\text{d}x-3\displaystyle\int_{1}^{\frac43}\ln x\,\text{d}x\;(\text{u.a.})}$
${ \white{ xxxxi } }$    $\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A}=4\displaystyle\int_{1}^{\frac43}(\ln x)'\ln x\,\text{d}x-3\displaystyle\int_{1}^{\frac43}(x\ln x-x)'\,\text{d}x\;(\text{u.a.})\quad\text{(voir question 1})} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A}=4\times\left[\dfrac{\ln^2x}{2} \right]_1^{\frac43}-3\times\left[\overset{}{x\ln x-x} \right]_1^{\frac43}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A}=2\times\left[\overset{}{\ln^2x} \right]_1^{\frac43}-3\times\left[\overset{}{x\ln x-x} \right]_1^{\frac43}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A}=2\times\left(\ln^2\frac43-\ln^21 \right)-3\times\left[(\overset{}{\frac43\ln \frac43-\frac43)-(1\ln 1-1)} \right]}$
${ \white{ xxi } }$    $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A}=2\ln^2\frac43-3\times\left(\overset{}{\frac43\ln \frac43-\frac43+1} \right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A}=2\ln^2\frac43-3\times\left(\overset{}{\frac43\ln \frac43-\frac13} \right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A}=2\ln^2\frac43-4\ln \frac43+1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\mathscr{A}=2\ln^2\frac43-4\ln \frac43+1}\;(\text{u.a.})$

Or l'unité graphique du repère est 3 cm.
Dès lors l'unité d'aire est 9 cm².

Par conséquent, $\boxed{\mathscr{A}=9\,(2\ln^2\frac43-4\ln \frac43+1)\text{ cm}^2\approx0,13\text{ cm}^2}\,.$

Publié par malou le 12-03-2024

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