3) Le sac contient une boule verte, trois boules rouges et deux boules jaunes, donc 6 boules au total.
Et on tire simultanément et au hasard 2 boules du sac, donc:
a) Puisque A="Une des deux boules est verte" , alors .
D'où:
b) Puisque B="Les deux boules sont de couleurs distinctes" , alors .
D'où:
Remarque:
Cliquez pour afficher
On pouvait aussi remarquer que
Donc
c) Puisque C="Au moins une des deux boules est jaune" , alors .
D'où:
4-a) On sait que:
désigne le volume d'eau dans la citerne 1 heure après 7 heures, donc:
désigne le volume d'eau dans la citerne 2 heures après 7 heures, donc:
b) Pour tout entier naturel représente le volume d'eau dans la citerne heures après 7 heures, et est le volume d'eau dans la citerne heures après 7 heures.
Et puisque chaque heure, d'eau sont retirés de la citerne, donc:
.
c) On déduit de ce qui précède que :
Il s'ensuit alors que, pour tout entier naturel
Notons l'entier naturel qui représente le nombre d'heures après 7 heures auquel la citerne sera vide, c'est-à-dire contenant
On obtient donc:
Partie B
1) On a:
Donc:
2) Déterminons les réels
Pour tout
Par identification, on obtient:
Et on aboutit à une deuxième expression de
3) Calculons les limites en
On utilise la première expression de la fonction
Calculons les limites en
On utilise la deuxième expression de la fonction
Puisque
Alors:
Récapitulation:
4) Calculons les limites de
On utilise la deuxième expression de la fonction
On en déduit que:
De plus, on a:
Donc :
5) La fonction est dérivable sur comme quotient de deux fonctions polynomiales dérivables sur .
Donc, pour tout réel appartenant à
6) Puisque pour tout
Il s'ensuit alors que pour tout
D'où:
On en déduit que :
Dressons le tableau de variations de la fonction
Attention: Il faut mettre double barre en pour indiquer que la fonction (et sa dérivée) n'est pas définie en .
7) Supplément :
Cliquez pour afficher
Pour bien tracer le graphique, cherchons les coordonnées des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.
Pour cela, on résoud l'équation
Le discriminant
L'équation admet donc deux solutions
La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points respectivement de coordonnées
Ensuite, pour encore mieux tracer la courbe, on calcule quelques images, par exemple:
Le graphique :
8)Erreur dans l'énoncé : La fonction est définie sur par :
La fonction est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur .
Pour tout
Donc:
De plus :
Donc:
De
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l'équation : 
=1+8=9>0)
^2+e^x-2=0 \\&\iff& e^x=-2\text{ ou }e^x=1 &\text{(D'après }\red\text{ 1-a) }\black\text{)} \\&\iff& e^x=1 &\text{( Car pour tout réel }x\text{ : }e^x>0\text{ )} \\&\iff& \ln (e^x)=\ln 1 \\&\iff& x=0 \end{matrix})
le système d'équations : 
 })
\black\text{ )}\\&\iff& \begin{cases} \ln x=1\\\ln y=-1\end{cases}\\&\iff& \begin{cases} e^{ \ln x}=e^1\\ e^{\ln y}=e^{-1}\end{cases}\\&\iff& \begin{cases} x=e\\ y=e^{-1}\end{cases}\end{matrix})
 })
 = {6\choose 2}=15})
.
=\dfrac{{1\choose 1}{5\choose 1}}{15}=\dfrac{1\times 5 }{15} = \dfrac{5}{15}\Longrightarrow \boxed{P(A)=\dfrac{1}{3}})
.
=\dfrac{{1\choose 1}{2\choose 1}+{1\choose 1}{3\choose 1}+{2\choose 1}{3\choose 1}}{15}=\dfrac{2+3+6 }{15} \Longrightarrow \boxed{P(B)=\dfrac{11}{15}})
Cliquez pour afficher
.
=\dfrac{{1\choose 1}{2\choose 1}+{3\choose 1}{2\choose 1}+{2\choose 2}}{15} = \dfrac{2+6+1}{15}=\dfrac{9}{15}\Longrightarrow \boxed{P(C)=\dfrac{3}{5}})
désigne le volume d'eau dans la citerne 1 heure après 7 heures, donc: 
désigne le volume d'eau dans la citerne 2 heures après 7 heures, donc: 
représente le volume d'eau dans la citerne 
heures après 7 heures, et 
est le volume d'eau dans la citerne 
heures après 7 heures.
d'eau sont retirés de la citerne, donc:
\text{ est une suite arithmétique de premier terme }U_0=2000\text{ et de raison }r=-200 })
l'entier naturel qui représente le nombre d'heures après 7 heures auquel la citerne sera vide, c'est-à-dire contenant 
=\dfrac{-x^2-2x+7}{2x+2})
![D=\R\backslash\lbrace -1\rbrace \Longrightarrow \boxed{D=]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[ }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D=\R\backslash\lbrace -1\rbrace \Longrightarrow \boxed{D=]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[ })
=ax+b+\dfrac{c}{x+1} )
![\begin{matrix} f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}&\iff& f(x)= \dfrac{(ax+b)(x+1)+c}{x+1} \\\\&\iff& f(x)= \dfrac{ax^2+ax+bx+b+c}{x+1} \\\\&\iff& \dfrac{-x^2-2x+7}{2x+2} = \dfrac{ax^2+(a+b)x+(b+c)}{x+1} \\\\&\iff& \dfrac{-x^2-2x+7}{2x+2}= \dfrac{2[ax^2+(a+b)x+(b+c)]}{2(x+1)}\\\\&\iff& \dfrac{-x^2-2x+7}{2x+2}= \dfrac{2ax^2+2(a+b)x+2(b+c)}{2x+2} \end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}&\iff& f(x)= \dfrac{(ax+b)(x+1)+c}{x+1} \\\\&\iff& f(x)= \dfrac{ax^2+ax+bx+b+c}{x+1} \\\\&\iff& \dfrac{-x^2-2x+7}{2x+2} = \dfrac{ax^2+(a+b)x+(b+c)}{x+1} \\\\&\iff& \dfrac{-x^2-2x+7}{2x+2}= \dfrac{2[ax^2+(a+b)x+(b+c)]}{2(x+1)}\\\\&\iff& \dfrac{-x^2-2x+7}{2x+2}= \dfrac{2ax^2+2(a+b)x+2(b+c)}{2x+2} \end{matrix})
=-2 \\2(b+c)=7\end{cases}&\iff& \begin{cases} a=-\dfrac{1}{2} \\ a+b=-1 \\b+c=\dfrac{7}{2}\end{cases}&\iff& \begin{cases} a=-\dfrac{1}{2} \\ b=-1-a \\c=\dfrac{7}{2}-b\end{cases}&\iff& \begin{cases} a=-\dfrac{1}{2} \\ b=-1+\dfrac{1}{2} \\c=\dfrac{7}{2}-\left(-1+\dfrac{1}{2}\right)\end{cases}&\iff& \boxed{ \begin{cases} a=-\dfrac{1}{2} \\ b=-\dfrac{1}{2} \\c=4\end{cases}}\end{matrix})
=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{x+1} })
= \displaystyle\lim_{x\to -\infty} \dfrac{-x^2-2x+7}{2x+2}=\displaystyle\lim_{x\to -\infty} \dfrac{-x^2}{2x}=\displaystyle\lim_{x\to -\infty} \dfrac{-x}{2}=-(-\infty)=+\infty)
= \displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{-x^2-2x+7}{2x+2}=\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{-x^2}{2x}=\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{-x}{2}=-(+\infty)=-\infty)
= \displaystyle\lim_{x\to -1^-} -\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{x+1}=-\dfrac{1}{2}\times (-1)-\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{0^-}=0-\infty=-\infty)
= \displaystyle\lim_{x\to -1^+} -\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{x+1}=-\dfrac{1}{2}\times (-1)-\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{0^+}=0+\infty=+\infty)
=+\infty & ;&\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty \\\\ \displaystyle\lim_{x\to -1^-} f(x)=-\infty & ; &\displaystyle\lim_{x\to -1^+} f(x)=+\infty\end{matrix} })
-y \text{ tel que }y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2} \text{ en }-\infty \text{ et en }+\infty)
-y= \displaystyle\lim_{x\to -\infty} -\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{x+1}-\left(-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\right)= \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{4}{x+1}=\dfrac{4}{-\infty}=0)
-y= \displaystyle\lim_{x\to +\infty} -\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{x+1}-\left(-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\right)= \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{4}{x+1}=\dfrac{4}{+\infty}=0)
\text{ d'équation }y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\text{ est une asymptote }\\ \text{ oblique à la courbe }(C)\text{ au voisinage de }-\infty \text{ et de }+\infty\end{matrix} })
=-\infty \text{ et }\displaystyle\lim_{x\to -1^+} f(x)=+\infty)
 \\\text{ dirigée vers le bas à gauche, et vers le haut à droite . }\end{matrix}})
est dérivable sur 
comme quotient de deux fonctions polynomiales dérivables sur 
appartenant à 
&=& \left( -\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{x+1}\right)' &=& -\dfrac{1}{2} +\left(\dfrac{4}{x+1}\right)' \\\\&=& -\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{(x+1)^2} &=& -\dfrac{(x+1)^2-2\times 4 }{2(x+1)^2} \\\\&=& -\dfrac{(x+1)^2+8}{2(x+1)^2}&=& \dfrac{-\left((x+1)^2+8\right)}{2(x+1)^2}\end{matrix})
= \dfrac{-\left((x+1)^2+8\right)}{2(x+1)^2}})
^2> 0 \text{ , donc : }2(x+1)^2> 0\text{ et }(x+1)^2+8 >8> 0)
^2+8}{2(x+1)^2} > 0)
=\dfrac{-\left((x+1)^2+8\right)}{2(x+1)^2}< 0 } )
![\boxed{\text{La fonction }f\text{ est strictement décroissante sur }D=]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\text{La fonction }f\text{ est strictement décroissante sur }D=]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[})
 & & - & &\dbarre & &- & \\ \hline & +\infty & & &\dbarre &+\infty & & \\ f & &\searrow& &\dbarre & &\searrow& \\ & & & -\infty &\dbarre & & & -\infty \\ \hline \end{array})
pour indiquer que la fonction 
est définie sur ![]-1;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-1;+\infty[)
par : =-\dfrac{(x\red+\black 1)^2}{4}+4\ln (x+1)+\dfrac{1}{4})
![x\in ]-1;+\infty[\text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in ]-1;+\infty[\text{ : })
![\begin{matrix} F'(x)&=& \left(-\dfrac{(x+1)^2}{4}+4\ln (x+1)+\dfrac{1}{4}\right)' &=& -\dfrac{1}{4}\left[(x+1)^2\right]'+4\left[\ln (x+1)\right]' \\\\&=& -\dfrac{1}{4}(2(x+1)) +4\dfrac {(x+1)'}{x+1}&=& \dfrac{-(x+1)}{2}+\dfrac{4}{x+1} \\\\&=& \dfrac{-(x+1)^2+8 }{2(x+1)}&=& \dfrac{-(x^2+2x+1)+8 }{2x+2} \\\\&=& \dfrac{-x^2-2x-1+8 }{2x+2}&=& f(x)\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} F'(x)&=& \left(-\dfrac{(x+1)^2}{4}+4\ln (x+1)+\dfrac{1}{4}\right)' &=& -\dfrac{1}{4}\left[(x+1)^2\right]'+4\left[\ln (x+1)\right]' \\\\&=& -\dfrac{1}{4}(2(x+1)) +4\dfrac {(x+1)'}{x+1}&=& \dfrac{-(x+1)}{2}+\dfrac{4}{x+1} \\\\&=& \dfrac{-(x+1)^2+8 }{2(x+1)}&=& \dfrac{-(x^2+2x+1)+8 }{2x+2} \\\\&=& \dfrac{-x^2-2x-1+8 }{2x+2}&=& f(x)\end{matrix})
![\text{ La fonction }F\text{ est une primitive de }f\text{ sur }]-1;+\infty[ \enskip\enskip\enskip (I)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{ La fonction }F\text{ est une primitive de }f\text{ sur }]-1;+\infty[ \enskip\enskip\enskip (I) )
=-\dfrac{(0+1)^2}{4}+4\ln (0+1)+\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4}+\underbrace{4\ln 1}_{=0} +\dfrac{1}{4} = -\dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{4}=0)
=0\enskip\enskip\enskip (II))
\text{ et } (II)\text{ , on déduit que: })
![\boxed{\text{ La fonction }F\text{ est la primitive de }f\text{ sur }]-1;+\infty[ \text{ qui s'annule en }0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\text{ La fonction }F\text{ est la primitive de }f\text{ sur }]-1;+\infty[ \text{ qui s'annule en }0} )
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