Soit On appelle équation caractéristique de l'équation du second degré . Notons son dicriminent .
L'équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes . Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme :
L'équation caractéristique admet une solution réelle . Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme :
L'équation caractéristique admet deux solutions complexes conjuguées, que l'on note . Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme :
sont des constantes réelles quelconques
Soit , son équation caractéristique s'écrit . Calculons le discriminent
L'équation caractéristique admet donc deux solutions complexes conjuguées:
Les solutions de l'équation différentielle s'écrivent:
Ou encore:
2-a) Déterminons la fonction solution de qui vérifie
La fonction est solution de , donc il existe .
La fonction est dérivable sur comme somme de fonctions trigonométriques dérivables sur , alors:
Déterminons les deux constantes réelles
On obtient la solution recherchée:
b) Pour tout réel
Donc:
c) Résolvons l'équation sur
Conclusion:
exercice 2
1) Résolvons l'équation
Calculons le discriminent:
Remarque:
Cliquez pour afficher
Il faut connaître par coeur ces deux carrés bien utiles:
Les solutions de l'équation sont donc:
D'où:
2-a) Calculons
On en déduit que:
On obtient donc:
b) Puisque le triangle est rectangle en , il suffit que pour que soit un rectangle .
c) Le triangle est rectangle en , donc le centre du cercle circonscrit au triangle est le milieu de , donc:
Donc:
Figure:
probleme
Partie A
1) Puisque la fonction est une fonction polynômiale , alors son domaine de définition .
De plus, si on note le domaine de définition de la fonction , alors: . On a donc
On en tire que:
2) Résolvons
On a
Graphiquement, les solutions de sont les abscisses des points d'intersection des courbes .
On lit sur le graphique qu'il n'y a qu'un seul point d'intersection et qui est le point de coordonnées .
D'où:
Résolvons
On a
Graphiquement, l'ensemble des solutions de est l'emsemble des abscisses des points pour lesquels .
On lit sur le graphique que est en dessous de sur l'intervalle , l'intervalle est ouvert en car l'inégalité est stricte.
D'où:
Résolvons
On a
Graphiquement, l'ensemble des solutions de est l'emsemble des abscisses des points pour lesquels .
On lit sur le graphique que est au-dessus de sur l'intervalle , mais, en sachant que la fonction n'est définie que sur , alors il ne convient pas de parler de la position de sur .
est donc au-dessus de sur l'intervalle
l'intervalle est ouvert en car n'est pas définie sur , et il est fermé en car l'inégalité est large.
D'où:
Partie B
1-a) Déterminons l'ensemble de définition de la fonction
Dressons un tableau de signes:
On en déduit que:
b) Les limites de aux bornes de
En effet, d'après le tableau de signe dressé en 1), au voisinage de -1 :
En effet, d'après le tableau de signe dressé en 1), au voisinage de 0 :
En effet, d'après le tableau de signe dressé en 1), au voisinage de 1 :
Conclusion:
2) La fonction est définie et dérivable sur comme composée des fonctions dérivables sur .
On a vu que, pour tout , le signe de est donc celui de
Dressons un tableau de signes:
Or, puisque le domaine d'étude est
On obtient donc:
On en déduit les variations de la fonction
Finalement:
Dressons le tableau de variations de la fonction
3)Supplément: Etude des branches infinies
Cliquez pour afficher
Puisque:
Alors:
Les droites verticales d'équations sont des asymptotes verticales à la courbe
De plus, , il faut calculer
Donc:
La courbe admet une branche parabolique de la direction celle de l'axe des abscisses au voisinage de
Le graphique:
4-a) La fonction est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Donc:
La fonction est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Donc:
Conclusion:
Soit la fonction définie sur par:
est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur , donc:
Conclusion:
b)L'aire de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses et les droites d'équations est en unité d'aire
Or , on sait que
De plus,
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\text{ : }y''+4y=0)
, son équation caractéristique s'écrit 
. Calculons le discriminent ^2) )
)
s'écrivent:
\text{ avec }\lambda;\mu\in\R)
\text{ sont les fonctions }f\text{ définies sur }\R\text{ par : } f(t)=\lambda \cos 2 t+ \mu \sin 2 t\enskip\text{ , où } \lambda;\mu\in\R})
solution de =0\text{ et }f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=1)
est solution de =\lambda \cos 2 t+ \mu \sin 2 t)
.
comme somme de fonctions trigonométriques dérivables sur =\left(\lambda \cos 2 t+ \mu \sin 2 t\right)'=-2\lambda \sin 2t +2\mu\cos 2t)
=0 \\ f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=1\end{cases} &\iff& \begin{cases} \lambda \cos \dfrac{2\pi}{6}+ \mu \sin \dfrac{2\pi}{6}=0 \\ -2\lambda \sin \dfrac{2\pi}{3} +2\mu\cos \dfrac{2\pi}{3} =1\end{cases} \\\\ &\iff& \begin{cases} \lambda \cos \dfrac{\pi}{3}+ \mu \sin \dfrac{\pi}{3}=0 \\ -2\lambda \sin \dfrac{\pi}{3} -2\mu\cos \dfrac{\pi}{3} =1\end{cases} \\\\ &\iff& \begin{cases} \dfrac{1}{2}\lambda + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\mu =0 \\ -\dfrac{2\sqrt{3}}{2}\lambda -\dfrac{2}{2}\mu =1\end{cases}\\\\ &\iff& \begin{cases} \lambda + \sqrt{3}\mu =0 \\ -\sqrt{3}\lambda -\mu =1\end{cases}\\\\ &\iff& \begin{cases} \sqrt{3}\lambda + 3\mu =0 \\ -\sqrt{3}\lambda -\mu =1\end{cases} \\\\ &\iff& \begin{cases} \sqrt{3}\lambda + 3\mu =0 \\ 2\mu =1\end{cases}\end{matrix} )
=0 \\ f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=1\end{cases} \black &\iff& \begin{cases} \lambda =-\dfrac{3}{\sqrt{3}}\mu \\ \mu =\dfrac 12\end{cases} \\\\ &\iff& \begin{cases} \lambda =-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \mu =\dfrac 12\end{cases}\end{matrix})
=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 t+ \dfrac 12 \sin 2 t})
&=& \cos 2t \enskip \cos \dfrac{7\pi}{6}-\sin 2t \enskip \sin \dfrac{7\pi}{6} \\&=& -\cos 2t \enskip \cos \dfrac{\pi}{6}+\sin 2t \enskip \sin \dfrac{\pi}{6} \\&=& -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 t+ \dfrac 12 \sin 2 t \\&=& f(t) \end{matrix} )
=\cos\left(2t+\dfrac{7\pi}{6}\right)})
=0)
sur 
=0&\iff& \cos\left(2t+\dfrac{7\pi}{6}\right)=0 \\&\iff& 2t+\dfrac{7\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\enskip / \enskip k\in\Z \\&\iff& 2t=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{7\pi}{6}+k\pi\enskip / \enskip k\in\Z \\&\iff& 2t=-\dfrac{2\pi}{3}+k\pi\enskip / \enskip k\in\Z \\&\iff& t=-\dfrac{\pi}{3}+k\dfrac{\pi}{2}\enskip / \enskip k\in\Z \end{matrix})
\text{ : }z^2-(1+3i)z+2i-2=0)
![\Delta= [-(1+3i)]^2-4(2i-2) = 1+6i-9-8i+8=-2i=(1-i)^2 \neq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Delta= [-(1+3i)]^2-4(2i-2) = 1+6i-9-8i+8=-2i=(1-i)^2 \neq 0 )
Cliquez pour afficher
-(1-i)}{2}\\&=& \dfrac{1+3i-1+i}{2}\\&=& \dfrac{4i}{2} \\&=& 2i \end{matrix} &&&& \begin{matrix}z_2&=&\dfrac{(1+3i)+(1-i)}{2}\\&=& \dfrac{1+3i+1-i}{2}\\&=& \dfrac{2+2i}{2} \\&=& 1+i \end{matrix} \end{matrix})
 \text{ est } S=\lbrace 2i \text{ ; }1+i\rbrace}})
}{1-i} \\\\&=& \dfrac{3(1+i)^2}{(1+i)(1-i)} &=& \dfrac{6 i}{2}&=& 3i\end{matrix})
![\begin{matrix}\arg\left(\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}\right)\equiv \arg(3i)\enskip[2\pi] &\Longrightarrow& \arg\left(\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}\right)\equiv \arg(i)\enskip[2\pi] \\&\Longrightarrow& \arg\left(\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}\right)\equiv \dfrac{\pi}{2}\enskip[2\pi] \\&\Longrightarrow & \boxed{\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}\right)\equiv \dfrac{\pi}{2} \enskip[2\pi]}\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}\arg\left(\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}\right)\equiv \arg(3i)\enskip[2\pi] &\Longrightarrow& \arg\left(\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}\right)\equiv \arg(i)\enskip[2\pi] \\&\Longrightarrow& \arg\left(\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}\right)\equiv \dfrac{\pi}{2}\enskip[2\pi] \\&\Longrightarrow & \boxed{\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}\right)\equiv \dfrac{\pi}{2} \enskip[2\pi]}\end{matrix})
est rectangle en 
, il suffit que 
pour que 
soit un rectangle .
du cercle circonscrit au triangle ![[AC]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[AC])
, donc:
.
le domaine de définition de la fonction 
, alors: 
. On a donc ![D_g=]-\infty;0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D_g=]-\infty;0[)
 et la courbe }C_g\text{ est la courbe (2)}})
\text{: })
\text{: }x^3-x-\ln(-x)=0 \iff f(x)-g(x)=0 \iff f(x)=g(x))
.
)
.
\text{ est : }S=\left\lbrace -1\right\rbrace })
\text{: })
\text{: }x^3-x-\ln(-x)<0 \iff f(x)-g(x)<0 \iff f(x)<g(x))
)
est l'emsemble des abscisses des points pour lesquels 
.
est en dessous de 
sur l'intervalle ![]-\infty;-1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty;-1[)
, l'intervalle est ouvert en 
car l'inégalité est stricte.
![\boxed{\text{ L'ensemble des solutions de }(F)\text{ est : }S=]-\infty;-1[}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\text{ L'ensemble des solutions de }(F)\text{ est : }S=]-\infty;-1[})
\text{: })
\text{: }x^3-x-\ln(-x)\geq 0 \iff f(x)-g(x)\geq 0 \iff f(x)\geq g(x))
)
est l'emsemble des abscisses des points pour lesquels 
.
, mais, en sachant que la fonction ![]-\infty;0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty;0[)
, alors il ne convient pas de parler de la position de 
.
car \text{ est : }S=[-1;0[})
>0 &\iff& x(x-1)(x+1) >0 \end{matrix})
(x+1) & & - & \barre{ 0} & + & \barre{0} & - & \barre{0} & + & \\ \hline \end{array})
![\begin{matrix} x\in D_h &\iff& x(x-1)(x+1) >0 &\iff& x\in ]-1;0[\cup ]1;+\infty[\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} x\in D_h &\iff& x(x-1)(x+1) >0 &\iff& x\in ]-1;0[\cup ]1;+\infty[\end{matrix})
![\boxed{\text{L'ensemble de définition de la fonction }h\text{ est: }D_h=]-1;0[\cup]1;+\infty[}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\text{L'ensemble de définition de la fonction }h\text{ est: }D_h=]-1;0[\cup]1;+\infty[})
aux bornes de 
= \displaystyle\lim_{x\to -1^+}\ln(x^3-x)=\ln 0^+ = -\infty)
= \displaystyle\lim_{x\to 0^-}\ln(x^3-x)=\ln 0^+ = -\infty)
= \displaystyle\lim_{x\to 1^+}\ln(x^3-x)=\ln 0^+ = -\infty)
= \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\ln(x^3-x)=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\ln(x^3)=\ln (+\infty) = +\infty)
=-\infty & \displaystyle\lim_{x\to 0^-}h(x)=-\infty \\\\ \displaystyle\lim_{x\to 1^+}h(x)=-\infty & \displaystyle\lim_{x\to +\infty}h(x)=+\infty \end{matrix}})
comme composée des fonctions 
dérivables sur &=& \left(\ln(x^3-x)\right)'&=& \dfrac{(x^3-x)'}{x^3-x} \\\\&=& \dfrac{3x^2-1}{x^3-x}&=& \dfrac{(\sqrt{3} x)^2-1}{x^3-x} \\\\&=& \dfrac{(\sqrt{3}x-1)(\sqrt{3}x+1)}{x^3-x}\end{matrix})
, le signe de )
est donc celui de (\sqrt{3}x+1))
(\sqrt{3}x+1) & & + & \barre{0} & - & \barre{0} & + & \\ \hline \end{array})
![\begin{matrix} \bullet \enskip D_h\cap ]-\infty;-1/\sqrt{3}[\cup ]1/\sqrt{3};+\infty[ &=&\left( ]-1;0[\cup]1;+\infty[\right)\cap \left(]-\infty;-1/\sqrt{3}[\cup ]1/\sqrt{3};+\infty[\right)\\&=&]-1;-1/\sqrt{3}[\cup ]1;+\infty[\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} \bullet \enskip D_h\cap ]-\infty;-1/\sqrt{3}[\cup ]1/\sqrt{3};+\infty[ &=&\left( ]-1;0[\cup]1;+\infty[\right)\cap \left(]-\infty;-1/\sqrt{3}[\cup ]1/\sqrt{3};+\infty[\right)\\&=&]-1;-1/\sqrt{3}[\cup ]1;+\infty[\end{matrix})
![\begin{matrix} \bullet \enskip D_h\cap ]-1/\sqrt{3};1/\sqrt{3}[ &=&\left( ]-1;0[\cup]1;+\infty[\right)\cap ]-1/\sqrt{3};1/\sqrt{3}[\\&=&]-1/\sqrt{3};0[\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} \bullet \enskip D_h\cap ]-1/\sqrt{3};1/\sqrt{3}[ &=&\left( ]-1;0[\cup]1;+\infty[\right)\cap ]-1/\sqrt{3};1/\sqrt{3}[\\&=&]-1/\sqrt{3};0[\end{matrix})
![\begin{cases} \forall x\in ]-1;-1/\sqrt{3}[\cup ]1;+\infty[ \text{ : } 3x^2-1 >0 \\ \text{ si }x=-1/\sqrt{3} \text{ , alors }3x^2-1 =0\\ \forall x\in ]-1/\sqrt{3};0[ \text{ : }3x^2-1< 0 \end{cases} \iff \boxed{\begin{cases} \forall x\in ]-1;-1/\sqrt{3}[\cup ]1;+\infty[ \text{ : } h'(x) >0 \\ h'(-1/\sqrt{3})=0 \\ \forall x\in ]-1/\sqrt{3};0[ \text{ : }h'(x)< 0 \end{cases}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{cases} \forall x\in ]-1;-1/\sqrt{3}[\cup ]1;+\infty[ \text{ : } 3x^2-1 >0 \\ \text{ si }x=-1/\sqrt{3} \text{ , alors }3x^2-1 =0\\ \forall x\in ]-1/\sqrt{3};0[ \text{ : }3x^2-1< 0 \end{cases} \iff \boxed{\begin{cases} \forall x\in ]-1;-1/\sqrt{3}[\cup ]1;+\infty[ \text{ : } h'(x) >0 \\ h'(-1/\sqrt{3})=0 \\ \forall x\in ]-1/\sqrt{3};0[ \text{ : }h'(x)< 0 \end{cases}})
![\boxed{\begin{matrix} h\text{ est strictement croissante sur }]-1;-1/\sqrt{3}[ \\ h \text{ admet un maximum en }-1/\sqrt{3} \\ h\text{ est strictement décroissante sur }]-1/\sqrt{3}; 0[ \\ h \text{ est strictement croissante sur }]1;+\infty[ \end{matrix}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\begin{matrix} h\text{ est strictement croissante sur }]-1;-1/\sqrt{3}[ \\ h \text{ admet un maximum en }-1/\sqrt{3} \\ h\text{ est strictement décroissante sur }]-1/\sqrt{3}; 0[ \\ h \text{ est strictement croissante sur }]1;+\infty[ \end{matrix}})
=\ln\left(\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^3+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) = \ln\left(-\dfrac{1}{3\sqrt{3}}+\dfrac{3}{3\sqrt{3}}\right)=\ln\left(\dfrac{2}{3\sqrt{3}}\right))
 & \dbarre & & + & \barre{0} &-& &\dbarre & \text{N.D.} &\dbarre& & +& \\ \hline & \dbarre&&&\ln\left(2/(3\sqrt{3})\right)& & &\dbarre&&\dbarre& &&+\infty \\ h & \dbarre & & \nearrow & & \searrow & & \dbarre &\text{ N.D.}&\dbarre& & \nearrow & \\ &\dbarre & -\infty&&&&-\infty&\dbarre&& \dbarre&-\infty&& \\ \hline \end{array}} )
est dérivable sur ![]1;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]1;+\infty[)
comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
![\begin{matrix}\forall x\in ]1;+\infty[\text{ : }\varphi'(x)&=& \left(x\ln x-x\right)' \\&=& (x\ln x)'-x' \\&=& x'\ln x+x(\ln x)'-1 \\&=& \ln x +1 -1 \\&=& \ln x\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}\forall x\in ]1;+\infty[\text{ : }\varphi'(x)&=& \left(x\ln x-x\right)' \\&=& (x\ln x)'-x' \\&=& x'\ln x+x(\ln x)'-1 \\&=& \ln x +1 -1 \\&=& \ln x\end{matrix})
est dérivable sur ![\begin{matrix}\forall x\in ]1;+\infty[\text{ : }\rho'(x)&=& \left[x\ln( x^2-1)-2x-\ln(x-1)+\ln(x+1)\right]' \\&=& (x\ln (x^2-1))'-(2x)'-(\ln(x-1))'+(\ln(x+1))' \\&=& x'\ln (x^2-1)+x(\ln(x^2-1))'-2-\dfrac{(x-1)'}{x-1} +\dfrac{(x+1)'}{x+1}\\&=& \ln ( x^2-1)+x\dfrac{(x^2-1)'}{x^2-1}-2-\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x+1}\\&=& \ln (x^2-1)+\dfrac{x(2x)}{x^2-1}-2-\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x+1}\\&=& \ln (x^2-1)+\dfrac{2x^2}{x^2-1}-\dfrac{2(x^2-1)}{x^2-1}-\dfrac{x+1}{(x-1)(x+1)}+\dfrac{x-1}{(x-1)(x+1)} \\&=& \ln (x^2-1)+\dfrac{2x^2-2x^2+2-(x+1)+(x-1)}{x^2-1} \\&=& \ln (x^2-1)+\dfrac{2x^2-2x^2+2-x-1+x-1}{x^2-1} \\&=& \ln (x^2-1)\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}\forall x\in ]1;+\infty[\text{ : }\rho'(x)&=& \left[x\ln( x^2-1)-2x-\ln(x-1)+\ln(x+1)\right]' \\&=& (x\ln (x^2-1))'-(2x)'-(\ln(x-1))'+(\ln(x+1))' \\&=& x'\ln (x^2-1)+x(\ln(x^2-1))'-2-\dfrac{(x-1)'}{x-1} +\dfrac{(x+1)'}{x+1}\\&=& \ln ( x^2-1)+x\dfrac{(x^2-1)'}{x^2-1}-2-\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x+1}\\&=& \ln (x^2-1)+\dfrac{x(2x)}{x^2-1}-2-\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x+1}\\&=& \ln (x^2-1)+\dfrac{2x^2}{x^2-1}-\dfrac{2(x^2-1)}{x^2-1}-\dfrac{x+1}{(x-1)(x+1)}+\dfrac{x-1}{(x-1)(x+1)} \\&=& \ln (x^2-1)+\dfrac{2x^2-2x^2+2-(x+1)+(x-1)}{x^2-1} \\&=& \ln (x^2-1)+\dfrac{2x^2-2x^2+2-x-1+x-1}{x^2-1} \\&=& \ln (x^2-1)\end{matrix})
![\boxed{\forall x\in ]1;+\infty[\text{ : }\varphi'(x)=\ln x \enskip\text{ et }\rho'(x)=\ln(x^2-1) }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\forall x\in ]1;+\infty[\text{ : }\varphi'(x)=\ln x \enskip\text{ et }\rho'(x)=\ln(x^2-1) })
la fonction définie sur =\rho(x)+\varphi(x))
![\begin{matrix}\forall x\in ]1;+\infty[\text{ : }F'(x)&=&(\rho(x)+\varphi(x))'\\&=&\rho'(x)+\varphi'(x)\\&=&\ln(x^2-1)+\ln x \\&=&\ln [(x^2-1) x ]\\&=& \ln (x^3-x)\\&=&h(x)\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}\forall x\in ]1;+\infty[\text{ : }F'(x)&=&(\rho(x)+\varphi(x))'\\&=&\rho'(x)+\varphi'(x)\\&=&\ln(x^2-1)+\ln x \\&=&\ln [(x^2-1) x ]\\&=& \ln (x^3-x)\\&=&h(x)\end{matrix} )
![\boxed{\forall x\in ]1;+\infty[\text{ : }F'(x)=h(x) } \enskip\text{ , donc: } \boxed{F \text{ est une primitive de }h\text{ sur }]1;+\infty[ }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\forall x\in ]1;+\infty[\text{ : }F'(x)=h(x) } \enskip\text{ , donc: } \boxed{F \text{ est une primitive de }h\text{ sur }]1;+\infty[ })
\text{ , })
l'axe des abscisses et les droites d'équations 
est en unité d'aire \text{ : })
|\text{ d}x\enskip )
>0 \text{ pour tout réel }2\leq x\leq 3 \text{ , alors : } A=\displaystyle \int_{2}^{3}h(x)\text{ d}x)
![F \text{ est une primitive de }h\text{ sur }]1;+\infty[ \text{ et }[2;3]\subset ]1;+\infty[ \text{ , donc: }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F \text{ est une primitive de }h\text{ sur }]1;+\infty[ \text{ et }[2;3]\subset ]1;+\infty[ \text{ , donc: })
![\begin{matrix}A&=&\displaystyle \int_{2}^{3}h(x)\text{ d}x \\&=& \left[F(x)\right]_2^3 \\ &=& F(3)-F(2) \\&=& \varphi(3)+\rho (3)-\varphi(2)-\rho(2) \\&=& (3\ln 3-3)+(3\ln 8-6-\ln 2+\ln 4) - (2\ln 2-2)-(2\ln 3-4-\ln 1+\ln 3) \\&=& 3\ln 3-3+3\ln 2^3-6-\ln 2 +\ln 2^2-2\ln 2+2-2\ln 3+4-\ln 3 \\&=& 3\ln 3+9\ln 2-\ln 2 +2\ln 2-2\ln 2-2\ln 3-\ln 3 -3\\&=&8\ln 2 - 3 \end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}A&=&\displaystyle \int_{2}^{3}h(x)\text{ d}x \\&=& \left[F(x)\right]_2^3 \\ &=& F(3)-F(2) \\&=& \varphi(3)+\rho (3)-\varphi(2)-\rho(2) \\&=& (3\ln 3-3)+(3\ln 8-6-\ln 2+\ln 4) - (2\ln 2-2)-(2\ln 3-4-\ln 1+\ln 3) \\&=& 3\ln 3-3+3\ln 2^3-6-\ln 2 +\ln 2^2-2\ln 2+2-2\ln 3+4-\ln 3 \\&=& 3\ln 3+9\ln 2-\ln 2 +2\ln 2-2\ln 2-2\ln 3-\ln 3 -3\\&=&8\ln 2 - 3 \end{matrix})
}})
 : ay''+by'+cy=0 \text{ , }a,b,c\in\R \text{ avec }a\neq 0)
. Notons 
son dicriminent .
L'équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes 
. Les solutions de l'équation différentielle 
L'équation caractéristique admet une solution réelle 
. Les solutions de l'équation différentielle \text{ e }^{\alpha t})
L'équation caractéristique admet deux solutions complexes conjuguées, que l'on note )
. Les solutions de l'équation différentielle  )
sont des constantes réelles quelconques 
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