Fiche de mathématiques
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Bac probatoire Mathématiques

Cameroun 2023

Série A-ABI

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Durée : 2h
Coefficient: 2


Partie A: Évaluation des resources (15 points)



4 points

exercice 1


Bac probatoire Cameroun 2023 série A-ABI : image 1


6 points

exercice 2


Bac probatoire Cameroun 2023 série A-ABI : image 4


5 points

exercice 3


Bac probatoire Cameroun 2023 série A-ABI : image 3


Partie B: Évaluation des compétences (5 points)


Bac probatoire Cameroun 2023 série A-ABI : image 5








Partie A


exercice 1



1) Résolvons le système (S) dans \R^2\text{ : }

\begin{matrix} (S)\text{ : }\begin{cases} 14x+8y=222\\x+y=21\end{cases} &\iff& \begin{cases} 14x+8y=222\\8x+8y=168\end{cases} \\&\iff& \begin{cases} 14x+8y-(8x+8y)=222-168\\x+y=21\end{cases}  \\&\iff& \begin{cases} 6x=54\\y=21-x\end{cases}\\&\iff& \begin{cases} x=\dfrac{54}{6}=9\\y=21-9=12\end{cases}\\\\&\iff& (x;y)=(9;12)\end{matrix}

Conclusion:

\boxed{\text{Le système }(S)\text{ admet une seule solution qui est le couple }(9;12) }


2) Soient a\text{ et }b respectivement le nombre de sacs de haricot et le nombre de sacs de maïs chargés dans le camion des marchandises.

Pusique ce camion transporte en total 21 sacs, alors: \boxed{a+b=21}\enskip\enskip(I)

De plus, un sac de haricot pèse 140 kg, alors a sacs de haricot pèsent 140a kg .

De même, un sac de maïs pèse 80 kg, alors b sacs de maïs pèsent 80b kg .

La charge totale du camion s'élève donc à 140a+80b , qui est égal à 2220 kg, la charge totale du camion selon le pesage routier, on obtient:

140a+82b=2220 \iff \boxed{ 14a+8b=222 }\enskip\enskip (II)


On déduit de (I)\text{ et }(II)\text{ que : }

\begin{cases} 14a+8b=222\\a+b=21\end{cases}\iff \boxed{ a\text{ et }b \text{ vérifient le système }(S) }


3) Puisque a\text{ et }b vérifient le système (S) et que la seule solution de ce système est (9;12) .

Alors (a;b)=(9;12) , ou encore:

\boxed{\text{ Le camion transporte } 9 \text{ sacs de haricots et }12\text{ sacs de maïs }}



exercice 2



1-a) La couturière prend au hasard et simultanément 5 boutons parmi les 27 boutons dans a boîte, donc le nombre de prises possibles est :

\boxed{\text{Card }\Omega={27\choose 5}=80730}


b) Pour obtenir exactement 3 boutons rouges, il faut les prendre parmi les 12 boutons rouges qui se trouvent dans la boîte, les deux boutons restants doivent être pris des boutons restants dans la boîte 27-12=15 , donc le nombre de prises possibles est :

\boxed{\text{Card }\Omega^{'}={12\choose 3}{15\choose 2}=220\times 105 =23100}


2-a) L'effectif total noté N est la somme de tous les effectifs , alors :

N=\displaystyle\sum_{i}n_i=5+6+4+3+2=20

On calcule alors la moyenne de cette série statistique :

\begin{matrix}\bar{x}&=&\dfrac{1}{N} \displaystyle \sum_i n_i c_i \\&=& \dfrac{1}{20}\left(5\times \dfrac{0+2}{2}+6\times\dfrac{2+4}{2}+4\times\dfrac{4+6}{2}+3\times\dfrac{6+8}{2}+2\times\dfrac{8+10}{2}\right) \\&=& \dfrac{1}{20}\times\left(5\times 1+6\times 3+4\times 5+3\times 7+2\times 9\right)\\&=&\dfrac{1}{20}\left(5+18+20+21+18)\\&=&\dfrac{82}{20}\\&=&4,1\end{matrix}

Donc :

\boxed{\bar{x}=4,1}


b-i) Complétons le tableau par la ligne des effectifs cumulés croissants:

\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}\hline \text{Masse corporelle}&[0;2[&[2;4[&[4;6[&[6;8[&[8;10[\\  \hline \text{ Effectif} & 5&6&4&3&2 \\ \hline \text{Effectif cumulé croissant} &5&6+5=11&11+4=15&15+3=18&18+2=20 \\\hline \end{array}


ii) La classe médiane est par définition la classe correspondant à la première fois où l'effectif cumulé croissant est supérieur ou égal à la moitié de l'effectif total N=20.

La moitié de l'éffectif total est \dfrac{N}{2}=10 , on remarque que la première fois que l'effectif cumulé dépasse 10 se trouve à la modalité [2;4[ .

Ainsi:

\boxed{[2;4[\text{ est la classe médiane de cette série }}


c) L'histogramme:

Bac probatoire Cameroun 2023 série A-ABI : image 6



exercice 3


\forall x\in [0;4]\text{ : }f(x)=x^2-4x+5


1-a) La fonction f est dérivable sur [0;4] car elle est une fonction polynomiale.

On a pour tout x appartenant à [0;4]\text{ :}

\begin{matrix}\begin{matrix} f'(x)&=& (x^2-4x+5)'&=& 2x-4\end{matrix} &\Longrightarrow& \boxed{\forall x\in [0;4]\text{ : }f'(x)=2x-4}\end{matrix}

b) Étudions de signe de f'(x)\text{ , résolvons pour cela l'équation }f'(x)=0\text{ : }

f'(x)=0 \iff 2x-4=0 \iff x=2


On dresse le tableau de signes:

\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & 0 &&2&&4 \\ \hline f'(x)=2x-4 & &-&\barre{0}&+& \\ \hline \end{array}


On en déduit alors que:

\begin{matrix} \bullet & \forall x\in [0;2] & : & f'(x)\leq 0 \\ \bullet & \forall x\in [2;4] & : & f'(x)\geq 0 \end{matrix}


On en tire que:

\begin{matrix} \bullet & f \text{ est décroissante sur }[0;2] \\ \bullet & f \text{ est croissante sur }[2;4] \end{matrix}


Et on dresse le tableau des variations de la fonction f \text{ : }

On calcule pour cela les images suivantes:

\begin{matrix} f(0)=0^2-4\times 0 + 5 =0+0-5=5 \\ f(2)=2^2-4\times 2+5=4-8+5=1 \\ f(4)=4^2-4\times 4 +5 = 16-16+5=5 \end{matrix}

\begin{array}{|c|rcccc|} \hline x     & 0  &        &      2    &       &   4                                            \\ \hline f'(x) &          & -               &\barre{0} &   +        &                            \\ \hline       &   5     &        &          &&   5                              \\  f           &          &\searrow&          &\nearrow &                                        \\	             &       &        &  1 & &                                     \\  \hline \end{array}


2) Une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse x_0=3 est par définition:

(T)\text{ : }y=f'(3)(x-3)+f(3)


Or,

f'(3)=2\times 3 - 4 = 6-4 = 2

f(3)=3^2-4\times 3 + 5 = 9-12+5=14-12=2

On remplace dans l'équation de (T)\text{ , on obtient: }

(T)\text{ : }y=f'(3)(x-3)+f(3) \iff y=2(x-3)+2=2x-6+2\iff y=2x-4

Conclusion:

\boxed{\text{ Une équation de la tangente }(T)\text{ est: }\enskip (T)\text{ : }y=2x-4}


3) La figure: On rappelle que f n'est définie que sur [0;4] , alors on ne trace le graphique que sur cet intervalle.

Bac probatoire Cameroun 2023 série A-ABI : image 7


Partie B



1) Notons a la longueur du petit côté de l'angle droit, et notons b la longueur du grand côté de l'angle droit (Voir la figure ci-dessous)

Bac probatoire Cameroun 2023 série A-ABI : image 8


Talor doit placer du fil barbelé tout au long du petit côté, la longueur du fil barbelé est donc a, qu'on doit calculer.

Puisque le jardin a une forme de triangle rectangle, alors son aire est: S=\dfrac{ab}{2} \iff \dfrac{ab}{2}=9600 \iff ab=19200

De plus, la somme des mesures des deux côtés de l'angle droit est \enskip 280 \text{ m , donc: } a+b=280

On obtient le système :

\begin{matrix}\begin{cases} ab=19200\\a+b=280\end{cases} &\iff& \begin{cases} ab=19200 \\b=280-a \end{cases} \\&\iff& \begin {cases}a(280-a)=19200 \\b=280-a \end{cases}\\&\iff& \begin {cases}-a^2+280a=19200 \\b=280-a \end{cases}\\&\iff& \begin {cases}a^2-280a+19200=0 \\b=280-a \end{cases}\enskip (*)\end{matrix}

On résoud l'équation a^2-280a+19200=0\text{ : }

Calculons le discriminent \Delta= (-280)^2-4\times 1 \times 19200 = 78400-76800=1600=40^2 >0

L'équation admet deux solutions:

a_1=\dfrac{-(-280)-\sqrt{40^2}}{2} =\dfrac{280-40}{2}=\dfrac{240}{2}=120

a_2=\dfrac{-(-280)+\sqrt{40^2}}{2} =\dfrac{280+40}{2}=\dfrac{320}{2}=160

On poursuit la résolution du système:

\begin{matrix} (*)&\iff& \begin {cases} a=120\text{ ou }a=160 \\b=280-a \end{cases} \\&\iff& \begin {cases} a=120 \text{ et } b=280-120=160 \\\text{ ou }\\a=160 \text{ et }b=280-160=120 \end{cases} \end{matrix}

Finalement, a est la mesure du petit côté de l'angle droit, donc a \leq b .

Il s'ensuit que la seule solution possible est: a=120\text{ m }\enskip \enskip \text{ et }\enskip \enskip b=160 \text{ m }

Conclusion:

\boxed{\text{La longueur de fil barbelé utile pour la protection du jardin est }120\text{ m }}


2)

Calculons le taux de hausse des fruits et légumes, qu'on note t (en pourcentage).

Notons p_1 \text{ et }p_2=5408\text{ F } respectivement le premier et deuxième prix de hausse d'un seau de carottes dont le prix initial était 5000\text{ F} .

Donc:

p_1(t)=5000+\dfrac{5000\times t}{100}=5000+50t

\begin{matrix}p_2(t)=5408&\iff&p_1(t)+\dfrac{p_1(t)\times t}{100}=5408&\iff&5000+50t+\dfrac{(5000+50t)t}{100}=5408\\\\&\iff&\dfrac{100(5000+50t)+(5000+50t)t}{100}=5408&\iff&500000+5000t+5000t+50t^2=540800\\\\&\iff&50t^2+10000t+500000-540800=0&\iff& 50t^2+10000t-40800=0 \\\\&\iff& t^2+200-816=0&\text{ (en divisant par 50) }\end{matrix}

Résolvons cette équation de second degré, pour cela, calculons son discriminant: \Delta=(200)^2+4\times 816 =43264=(208)^2>0

L'équation admet deux solutions:

t_1=\dfrac{-200-208}{2} =\dfrac{-408}{2}=-204 \enskip\text{ et }\enskip t_2=\dfrac{-200+208}{2}=\dfrac{8}{2}=4

Or, -204<0 , donc le taux d'augmentation recherché est \boxed{t=4\%}

Calculons à présent le prix de vente d'un cageot de tomates qui coutait 6000\text{ F le mois dernier:}

On a le prix de vente après la première hausse: 6000+\dfrac{6000\times 4 }{100}=6000+240=6240\text{ F}

Donc le prix de vente actuel (après la deuxième hausse) est:

p=6240+\dfrac{6240\times 4 }{100}=6240+249,6\iff \boxed{ p=6489,6\text{ F}}


3) Etudions les variations de la fonction q pour déterminer le rang de l'année pour lequel la production des tomates sera maximale.

La fonction q est dérivable sur [1;10] comme fonction polynomiale dérivable sur \R, et donc aussi sur [1;10]

\forall t\in [1;10]\text{ : }q'(t)=(-t^2+10t-5)'=-2t+10

Étudions le signe de q'(t)\text{ , résolvons pour cela l'équation }q'(t)=0\text{ : }

q'(t)=0 \iff -2t+10=0 \iff 2t=10\iff t=5


On dresse le tableau de signes:

\begin{array}{|c|ccccc|} \hline t &  1&&5&&10 \\ \hline q'(t)=-2t+10 & &+&\barre{0}&-& \\ \hline \end{array}


On en déduit alors que:

\begin{matrix} \bullet & \forall t\in [1;5] & : & q'(t)\geq 0 \\ \bullet & \forall t\in [5;10] & : & q'(t)\leq 0 \end{matrix}


On en tire que:

\begin{matrix} \bullet & q \text{ est croissante sur }[1;5] \\ \bullet & q \text{ est décroissante sur }[5;10] \end{matrix}


Et on dresse le tableau des variations de la fonction q \text{ : }

On calcule pour cela les images suivantes:

\begin{matrix} q(1)=-1^2+10\times 1-5 =-1+10-5=4 \\ q(5)=-5^2+10\times 5+5=-25+50-5=20 \\ q(10)=-10^2+10\times 10 -5 = -100+100-5=-5 \end{matrix}

\begin{array}{|c|rcccc|} \hline x     & 1  &        &      5    &       &   10                                            \\ \hline q'(t) &          & +               &\barre{0} &   -        &                            \\ \hline       &        &        &       20   &&                                 \\  q           &          &\nearrow&          &\searrow &                                        \\	             &   4    &        &   & &  -5                                   \\  \hline \end{array}


On en déduit que la fonction q admet un maximum en t=5 qui est q(5)=20

Conclusion:

\boxed{\text{La production de tomates atteindra une valeur maximale de 20kg à l'année de rang 5}}
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