Fiche de mathématiques
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Bac probatoire Mathématiques

Cameroun 2023

Série IH

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Durée : 2h
Coefficient: 3



5 points

exercice 1


Bac probatoire Cameroun 2023 série IH : image 1


5 points

exercice 2


Bac probatoire Cameroun 2023 série IH : image 3


10 points

probleme


Bac probatoire Cameroun 2023 série IH : image 2








exercice 1



1) Résolvons le système d'équations (S)\text{ , notons pour cela les lignes : }L_1\text{ ; }L_2\text{ et }L_2\text{ : }

\begin{matrix} (S)\text{ : }\begin{cases}4x+2y+z=1900&(L_1)\\6x+15y+z=5750&(L_2)\\x+y+z=750&(L_3)\end{cases} &\iff& \begin{cases}3x+y=1150&(L_1)\to (L_1)-(L_3)\\2x+13y=3850&(L_2)\to (L_2)-(L_1)\\x+y+z=750&(L_3)\end{cases} \\\\&\iff& \begin{cases}39x+13y=14950&(L_1)\to 13(L_1)\\2x+13y=3850&(L_2)\\x+y+z=750&(L_3)\end{cases} \\\\&\iff& \begin{cases}37x=11100&(L_1)\to (L_1)-(L_2)\\2x+13y=3850&(L_2)\\x+y+z=750&(L_3)\end{cases} \\\\&\iff& \begin{cases}x=\dfrac{11100}{37}=300&(L_1)\\13y=3850-2x&(L_2)\\z=750-x-y&(L_3)\end{cases} \\\\&\iff& \begin{cases}x=300\\y=\dfrac{3850-600}{13}=250\\z=750-300-250=200\end{cases}  \end{matrix}

On obtient:
\boxed{ \text{ Le système admet une seule solution } (300;250;200)}


2-a) On note x\text{ ; }y\text{ et }z respectivement les prix initiaux d'un paquet d'aiguilles, d'une bobine à fil et d'un paquet d'épingles.

Le premier mois, 20 paquets d'aiguilles, 10 bobines de fil et 5 paquets d'épingles sont achetés à 9500\text{ FCFA} , donc:

20x+10y+5z=9500 \iff \dfrac{20}{5}x+\dfrac{10}{5}y+\dfrac{5}{5}z=\dfrac{9500}{5} \iff \boxed{ 4x+2y+z=1900}

Le deuxième mois, 10 paquets d'aiguilles, 10 bobines de fil et 10 paquets d'épingles sont achetés à 7500\text{ FCFA} , d'où:

10x+10y+10z=7500 \iff \dfrac{10}{10}x+\dfrac{10}{10}y+\dfrac{10}{10}z=\dfrac{7500}{10} \iff \boxed{ x+y+z=750}

Le troisième mois, 10 paquets d'aiguilles, 30 bobines de fil et 4 paquets d'épingles sont achetés à 11500\text{ FCFA} , avec une augmentation de 20\% du prix d'un paquet d'aiguille x, et une baisse de 50\% du prix d'un paquet d'épingles z :

\begin{matrix}10(x+0,2x)+30y+4(z-0,5z)=11500 &\iff& 12x+30y+2z=11500 \\&\iff& \dfrac{12}{2}x+\dfrac{30}{2}y+\dfrac{2}{2}z=\dfrac{11500}{2}  \\\\&\iff&  \boxed{ 6x+15y+z=5750}\end{matrix}

On a obtenu les trois équations du système (S)\text{ , ce qui veut dire que : }

\boxed{\text{Le triplet }(x;y;z)\text{ vérifie le système }(S)}


b) Puisque le triplet (x;y;z) vérifie le système (S) , alors, d'après 1) :

(x;y;z)=(300;250;200)


Conclusion:

\boxed{\begin{matrix} \text{ Le prix d'un paquet d'aiguilles  est }300\text{ FCFA} \\ \text{ Le prix d'une bobine de fil est }250\text{ FCFA}  \\ \text{ Le prix d'un paquet d'épingles est }200\text{ FCFA} \end{matrix}}



exercice 2



1) Complètons le tableau:

\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}\hline \text{Notes}&[0;4[&[4;8[&[8;12[&[12;16[&[16;20[\\  \hline \text{ Effectifs} & 2&22&7&16&3 \\ \hline \text{Centres} &\dfrac{0+4}{2}=2&\dfrac{4+8}{2}=6&\dfrac{8+12}{2}=10&\dfrac{12+16}{2}=15&\dfrac{16+20}{2}=18 \\\hline \end{array}


2) L'effectif total noté N est la somme de tous les effectifs , alors : N=\displaystyle\sum_{i}n_i=2+22+7+16+3=50
On calcule alors la moyenne de cette série statistique :

\begin{matrix}\bar{x}&=&\dfrac{1}{N} \displaystyle \sum_i n_i c_i \\&=& \dfrac{1}{50}\left(2\times 2+22\times 6+7\times 10+16\times 15+3\times18\right) \\&=&\dfrac{500}{50}\\&=&10\end{matrix}

Donc :
\boxed{\text{ La moyenne est: }\bar{x}=10}


Caclulons l'écart-type:

L'écart-type se calcule par: \sigma=\sqrt{\dfrac{1}{N}\left(\displaystyle\sum_{i}(\bar{x}-c_i)^2n_i\right) }=\sqrt{\dfrac{1}{\text{ effectif total}}\left(\displaystyle \sum (\text{moyenne - centre})^2\times \text{effectif }\right)}

D'où:

\begin{matrix}\sigma&=&\sqrt{\dfrac{1}{50}\left[2(10-2)^2+22(10-6)^2+7(10-10)^2+16(10-15)^2+3(10-18)^2\right] }\\&=&\sqrt{\dfrac{1}{50}\times 1072}\\&=& \sqrt{\dfrac{536}{25}}\\&\approx& 4,63 \end{matrix}

\boxed{\text{ L'écart-type est: }\sigma=4,63 }


3-a) Le président choisit au hasard et simultanément 5 élèves parmi ceux qui ont eu une note supérieure ou égale à 12/20, donc parmi 16+3=19 élèves, le nombre de choix possibles est donc:

\boxed{\text{Card }\Omega={19\choose 5}=11628}


b) Il faut choisir 2 élèves parmi les 3 qui ont eu une note supérieure ou égale à 16, les trois élèves restants doivent être choisis parmi les 16 élèves qui ont eu une note comprise entre 12 et 16 , donc le nombre de choix possibles est:

\boxed{\text{Card }\Omega^{'}={3\choose 2}{16\choose 3}=3\times 560 =1680}



probleme



I) On a:

\forall x\in [-4;1]\text{ : }f(x)=ax^2+bx-3


Puisque la courbe de f passe par : A(-2;-5)\text{ et }B(-1;-6) , alors: \begin{cases} f(-2)=-5 \\f(-1)=-6\end{cases}

Déterminons alors les constantes réelles a\text{ et }b\text{ : }

\begin{matrix} \begin{cases} f(-2)=-5 \\f(-1)=-6\end{cases} &\iff& \begin{cases} a(-2)^2-2b-3=-5 \\a(-1)^2-b-3=-6\end{cases}\\  &\iff& \begin{cases} 4a-2b=-2 \\a-b=-3\end{cases}\\  &\iff& \begin{cases} 2a-b=-1 \\a-b=-3\end{cases} \\  &\iff& \begin{cases} 2a-b=-1 \\2a-b-(a-b)=-1-(-3)\end{cases} &(L_2)\to (L_1)-(L_2)\\  &\iff& \begin{cases} b=1+2a \\a=2 \end{cases}\\  &\iff& \boxed{\begin{cases} b= 5 \\a=2 \end{cases}}\end{matrix}

On obtient:

\boxed{\forall x\in [-4;1]\text{ : }f(x)=2x^2+5x-3}


II-1) La fonction g est dérivable sur [-4;1] car elle est une fonction polynômiale, alors:

\begin{matrix} \forall x\in [-4;1]\text{ : }g'(x)&=& \left(2x^2+5x-3 \right)'&=& 2\times (2x)+5 &=& 4x+5\end{matrix}

\boxed{\forall x\in [-4;1]\text{ : }g'(x)=4x+5}


Etudions les variations de la fonction g, pour cela, étudions le signe de la dérivée g' sur [-4;1]\text{ : }

On a:

g'(x)=0\iff 4x+5=0\iff 4x=-5\iff x=-\dfrac{5}{4}

Dressons le tableau de signes de g'(x)\text{ : }

\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x     & -4     &     & -5/4 &          &   1                                         \\ \hline g'(x)=4x+5      &   &           -     &       \barre{0} &+&                             \\  \hline \end{array}}


On en déduit que:

\boxed{\begin{matrix} \forall x\in \left[-4;-\dfrac{5}{4}\right[ \text{ : } & g'(x)<0 \\ g'\left(-\dfrac{5}{4}\right)=0 &\\  \forall x\in \left]-\dfrac{5}{4};-1\right] \text{ : } & g'(x)>0 \end{matrix} } \enskip\enskip\text{ , donc : }\enskip\enskip \boxed{\begin{matrix}g\text{ est strictement décroissante sur } \left [-4;- \dfrac{5}{4}\right[\\g \text{ admet un minimum en }-\dfrac{5}{4}  \\ g\text{ est strictement croissante sur } \left]-\dfrac{5}{4};-1\right] \end{matrix}}


2) On calcule les images de -\dfrac{5}{4}\text{ ; }-4\text{ et de }1\text{ pour pouvoir dresser le tableau de variations : }

\begin{matrix} g\left(-\dfrac{5}{4}\right)&=& 2\left(-\dfrac{5}{4}\right)^2+5\times \left(-\dfrac{5}{4}\right)-3 \\&=&\dfrac{2\times 25 }{16}-\dfrac{5\times 5 }{4}-3 \\&=& \dfrac{25}{8}-\dfrac{50}{8}-\dfrac{24}{8}\\&=&-\dfrac{49}{8}\end{matrix}

g(-4)=2\left(-4\right)^2+5\times \left(-4\right)-3=2\times 16-20-3 = 32-20-3=9

g(1)=2\left(1\right)^2+5\times \left(1\right)-3=2+5-3 = 4

Et on dresse le tableau de variations de la fonction g\text{ : }

\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x     & -4     &     & -5/4 &          &   1                                        \\ \hline g'(x)        &   &           -     &       \barre{0} &+&                  \\ \hline       & 9& &&& 4  \\        g         &   &  \searrow &   &  \nearrow    &                           \\	            & & &-\dfrac{49}{8}&&   \\	            & & &&&    \\  \hline \end{array}}


3) Une équation de la tangente (T) au point A d'abscisse -2 s'écrit:

(T)\text{ : }y=g'(-2)(x+2)+g(-2)




Or: g(-2)=-5\enskip\ext{ et }\enskip g'(-2)=4\times (-2)+5=-8+3=-3

On obtient:

(T)\text{ : }y=- 3(x-2)-5\iff\boxed{(T)\text{ : }y=-3x-11}


4) Les antécédants de -5 sont les solutions de l'équation g(x)=-5

\begin{matrix} g(x)=-5&\iff& 2x^2+5x-3=-5 &\iff& 2x^2+5x+2=0\end{matrix}

Caclulons le discriminant \Delta=(5)^2-4\times 2\times 2 =25-16=9>0

L'équation admet deux solutions réelles:

x_1=\dfrac{-5-\sqrt{9	}}{4} = \dfrac{-5-3}{4}=\dfrac{-8 }{4}=-2

x_2=\dfrac{-5+\sqrt{9	}}{4} = \dfrac{-5+3}{4}=-\dfrac{2 }{4}=-\dfrac 12

Conclusion:

\boxed{\text{Les antécédants de -5 sont }-2\text{ et }-\dfrac{1}{2} }


5) et 6) On note (\mathscr{C}') la courbe de la fonction h.

Puisque pour tout x appartenant à [-4;1]\text{ : }h(x)=-g(x) . Alors (\mathscr{C}') est le symétrique de (\mathscr{C}) par rapport à l'axe des abscisses .

La figure:

Bac probatoire Cameroun 2023 série IH : image 4
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