Bac Mathématiques
Union des Comores 2023
Série D
Durée : 4h
Coefficient: 4
4 points exercice 1
1) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation:
2) Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé
. On donne les points
d'affixes respectives
.
a) Montrer que les points
appartiennent au cercle
de centre
origine du repère et de rayon
.
b) Tracer
puis placer les points
sur le repère
.
3) On pose
.
a) Montrer que
puis en déduire la forme exponentielle de
.
b) Déterminer la nature du triangle
.
4) Soit
l'image du point
par la rotation
de centre
et d'angle de mesure
.
a) Montrer que l'affixe du point
est
.
b) Montrer que
est un parallèlogramme.
c) Justifier que
est un losange.
6 points exercice 2
Une entreprise veut designer une nouvelle dirigeante: composée de trois personnes pour occuper trois postes
( sans possibilité de cumul de postes). Le choix se porte dur deux hommes et trois femmes.
I) Soit
la variable aléatoire désignant le nombre des femmes choisies pour occuper les postes.
a) Déterminer l'univers image associé à la variable aléatoire
.
b) Déterminer la loi de probabilité de
.
c) Déterminer la fonction de répartition de
.
d) Calculer l'espérance mathématique et la variance de
.
II) Le nombre d'employés de cette entreprise pendant les six dernières années est représenté dans le tableau ci-dessous.
le rang de l'année et
le nombre d'employés.
Avec
un nombre entier naturel .
Soit
la droite de régression de
en
obtenue par la méthode des moindres carrées d'équation réduite:
.
1) Déterminer les coordonnées du point moyen
; puis la valeur de
.
2-a) Justifier que la variance de
est
puis que la covariance de
et
est
.
b) On donne la variance de
, déterminer le coefficient de corrélation linéaire
puis interpréter le résultat.
c) Donner une estimation du nombre d'employés de l'entreprise en
2026 .
10 points probleme
Partie A: Étude d'une équation différentielle
On considère les équations différentielles
1) Vérifier que la fonction
définie sur
par:
est une solution particulière de
.
2-a) Montrer qu'une fonction
deux fois dérivable sur
est une solution de l'équation
si et seulement si
est une solution de
.
b) Résoudre dans
l'équation homogène
.
c) En déduire les solutions sur
de l'équation différentielle
.
d) Trouver la solution
de
qui vérifie les conditions suivantes:
.
Partie B: Étude d'une fonction auxiliaire
On considère la fonction
définie sur
par:
.
1-a) Déterminer
.
b) Calculer
puis dresser le tableau de variation de
.
2-a) Montrer que l'équation
admet sur
une solution unique
.
b) Vérifier que
.
c) En déduire le signe de
suivant les valeurs de
.
Partie C: Étude d'une fonction
Soit
la fonction définie sur
par
et
sa courbe représentative dans un repère orthonormé
.
1-a) Justifier que :
.
b) Montrer qu'en
, la courbe
de
admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
2-a) Montrer que la droite
d'équation
est une asymptote à la courbe
de
en
.
b) Étudier la position relative de la courbe
par rapport à l'asymptote
.
3-a) Calculer la dérivée
de
puis vérifier que
.
b) Dresser le tableau de variation de
.
4-a) Déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe
avec l'axe des abscisses.
b) Tracer l'asymptote
et la courbe
dans le repère orthonormé
.
(On prendra
)
5) Soit
un réel strictement négatif. On pose
.
a) Montrer que
.
b) A l'aide d'une intégration par parties, montrer que
.
c) En déduire
.