Fiche de mathématiques

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Bac Mathématiques

Congo-Brazzaville 2023

Série BG

Durée : 4h
4 points

exercice 1

On considère un polynôme du 3ème degré des nombres complexes défini par:

$P(z)=3z^3+(-5\sqrt{3}+10i)z^2+(5-15i\sqrt{3})z+24i$

1) Montre que l'équation $P(z)=0$ admet une solution imaginaire pure $z_0$ .

2) Achève la résolution de l'équation $P(z)=0$ . On notera $z_1\text{ et }z_2$ ses racines qui seront telles que $\mathscr{R}e(z_1)>\mathscr{R}e(z_2)$

3) Calcule l'argument et le module de chaque racine puis écris sous la forme trigonométrique.

4) Montre que les racines $z_0\text{ , }z_1\text{ et }z_2$ pris dans cet ordre sont en progression géométrique.

Détermine la raison de cette progression.
5 points

exercice 2

Dans $\R^3$ muni de la base $(\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ , on considère l'endomorphisme $f$ défini par:

$\begin{cases}f(\vec{e}_1)=\vec{e}_1\\f(\vec{e}_2)=\vec{e}_2\\f(\vec{e}_3)=\vec{e}_3\end{cases}\enskip\text{ , avec } \enskip\vec{e}_1=\vec{i}+2\vec{k}\enskip\text{ , }\enskip \vec{e}_2=\vec{j}-\vec{k}\enskip\text{ et }\enskip \vec{e}_3=-2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}$

1) Détermine $f(\vec{i})\text{ , }f(\vec{j})\text{ et } f(\vec{k})$ .

2) Détermine la matrice de $f$ dans la base $(\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ .

3) Vérifie si $f$ est bijectif.

4) Détermine l'expression analytique de $f$ dans la base $(\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ .

5) Détermine l'ensemble des vecteurs invariants par $f$ et en donne une base $\mathscr{B}_1$ .

6) Détermine l'ensemble des vecteurs transformés par leurs opposés par $f$ et en donne une base $\mathscr{B}_2$ .
7 points

exercice 3

Soit $f$ la fonction définie par: $\begin{cases} f(x)=-e^{-x}(e^{2x} +1)+2 &\text{ si }\enskip x\leq 0 \\ f(x)=x\ln x &\text{ si }\enskip x>0 \end{cases}$

On désigne par $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ . unité graphique $2\text{ cm}$ .

1) Détermine l'ensemble de définition $E_f$ de $f$ .

2) Étudie la continuité et la dérivabilité de $f$ en $x_0=0$ .

3) Étudie les variations de $f$ puis dresse son tableau de variation.

4) Étudie les branches infinies à $(C)$ .

5) Trace $(C)$ .

6) On pose $g(x)=-f(x)$ .

a) Dresse le tableau de variation de $g$ .

b) Trace la courbe $(C')$ de $g$ dans le même repère que $(C)$ .

7) Calcule l'aire $\mathscr{A}$ en $\text{ cm}^2$ de la partie du plan comprise entre $(C)\text{ , }(C')$ et les droites d'équation $x=1\text{ et }x=\dfrac{1}{e}$ .
4 points

exercice 4

Un panier contient 20 fruits: 5 pamplemousses; 7 oranges et 8 mandarines dont 5 mures et 3 vertes. On prend au hasard (simultanément) 3 fruits du panier.

1) Calcule le nombre de façons possibles de les prendre.

2) Calcule la probabilité de chacun des événements:

A: "Les 3 fruits pris sont de même nature" .
B: "Les 3 fruits pris sont des mandarines vertes" .
C: "On a pris 3 fruits de natures différentes" .

Voir la correction

exercice 1

$P(z)=3z^3+(-5\sqrt{3}+10i)z^2+(5-15i\sqrt{3})z+24i$

1) Montrons que l'équation $P(z)=0$ amdet une solution imaginaire pure $z_0$ .

Supposons qu'il existe un réel $\alpha \in \R$ tel que $z_0=i\alpha \text{ et }P(z_0)=0$

On a:

$\begin{matrix} P(z_0)=0&\iff& 3z_0^3+(-5\sqrt{3}+10i)z_0^2+(5-15i\sqrt{3})z_0+24i=0 \\&\iff& 3(i\alpha)^3+(-5\sqrt{3}+10i)(i\alpha)^2+(5-15i\sqrt{3})i\alpha+24i=0 \\&\iff& -3\alpha^3i+5\alpha^2 \sqrt{3}-10\alpha^2 i+5\alpha i-15\sqrt{3}\alpha+24i=0 \\&\iff& 5\sqrt{3}\alpha(\alpha +3)+i(-3\alpha^3-10\alpha^2+5\alpha+24)=0 \\&\iff& \begin{cases} 5\sqrt{3}\alpha(\alpha+3)=0 \\ -3\alpha^3-10\alpha^2+5\alpha+24=0\end{cases}\end{matrix}$

Or,

$\begin{matrix} 5\sqrt{3}\alpha(\alpha+3)=0&\iff& \alpha = 0 \text{ ou }\alpha +3= 0 \\&\iff& \alpha = 0 \text{ ou }\alpha =-3 \end{matrix}$

Vérifions si les deux valeurs trouvées conviennent:

$\bullet \text{ Si }\alpha=0 \text{ alors: }-3\alpha^3-10\alpha^2+5\alpha+24=24\neq 0$

$\alpha = 0$ ne convient pas.

$\bullet \text{ Si }\alpha=-3 \text{ alors: }$

$\begin{matrix}-3\alpha^3-10\alpha^2+5\alpha+24&=& -3 (-3)^3-10(-3)^2+5\times (-3)+24 \\&=& 81-90-15+24 \\&=& 105-105 \\&=& 0 \end{matrix}$

Donc $\alpha =-3$ convient, cela veut dire que:

$\boxed{\text{L'équation }P(z)=0 \text{ admet une solution imaginaire pure }z_0=-3i }$

2) Puisque $z_0$ est une solution de l'équation $P(z)=0$ , alors $z_0$ est une racine de $P$ , il existe donc trois complexes $a;b\text{ et }c$ tels que:

$\begin{matrix} P(z)=(z-z_0)(az^2+bz+c) &\iff& P(z)=az^3+bz^2+cz-az_0z^2-bz_0z-cz_0 \\&\iff& P(z)=az^3+(b+3ia)z^2+(c+3ib)z+3ic \\&\iff& \text{Identification: } \begin{cases} a=3 \\b+3ia=-5\sqrt{3}+10i \\c+3ib=5-15\qrt{3} \\3c=24 \end{cases}\\&\iff& \begin{cases} a=3 \\b=5\sqrt{3}+10i-9i \\ c+3ib=5-15i\sqrt{3} \\c=8\end{cases}\\&\iff& \begin{cases} a=3 \\b=5\sqrt{3}+i \\c=8 \end{cases} \end{matrix}$

Vérification: $c+3ib=8+3i(-5\sqrt{3}+i)=8-15\sqrt{3} i-3 = 5-15i\sqrt{3}$

On obtient: $P(z)=(z+3i)(3z^2+(-5\sqrt{3}+i)z+8)$

Donc, achèvons la résolution de l'équation $P(z)=0\text{ : }$

$P(z)=0 \iff (z+3i)(3z^2+(-5\sqrt{3}+i)z+8) =0\iff z=-3i \text{ ou }3z^2+(-5\sqrt{3}+i)z+8=0$ *

Résolvons l'équation $3z^2+(-5\sqrt{3}+i)z+8=0$ . Calculons le discriminent $\Delta\text{ :}$

$\Delta=(-5\sqrt{3}+i)^2-4\times 8 \times 3 = 75-10\sqrt{3}i-1-96=-22-10\sqrt{3}i$

Donc $\Delta\neq 0$ , il s'ensuit alors que l'équation admet deux solutions complexes.

Cherchons une racine carrée de $\Delta:$

Posons $\Delta=(s+it)^2 \text{ ; }s;t\in \R$

On a donc:

$\begin{cases} s^2-t^2=-22 \\s^2+t^2=|\Delta| \\ 2st=-10\sqrt{3} \end{cases} \iff \begin{cases} s^2-t^2=-22 \\s^2+t^2=\sqrt{(-22)^2+(-10\sqrt{3})^2} =28 \\ 2st=-10\sqrt{3} \end{cases}$

On obtient: $\begin{cases}2s^2=6 \\2st=-10\sqrt{3} \end{cases} \iff \begin{cases} s=\sqrt{3} \text{ ou }s=-\sqrt{3} \\ t=\dfrac{-5\sqrt{3}}{s} \end{cases} \iff \begin {cases} s=\sqrt{ 3} \text{ et } t=-5 \\ \text{ ou }\\ s=-\sqrt{ 3} \text{ et } t=5\end{cases}$

D'où $\Delta=(\sqrt{3}-5i)^2$

Les solutions de l'équation $3z^2+(-5\sqrt{3}+i)z+8=0$ sont donc:

$\dfrac{-(-5\sqrt{3}+i)-(\sqrt{3}-5i) }{6 } = \dfrac{5\sqrt{3}-\sqrt{3}-i+5i}{6}=\dfrac{4\sqrt{3}}{6}+\dfrac{4}{6}i= \dfrac{2\sqrt{3}}{3}+\dfrac{2}{3}i$

$\dfrac{-(-5\sqrt{3}+i)+(\sqrt{3}-5i) }{6 } = \dfrac{5\sqrt{3}+\sqrt{3}-i-5i}{6}=\dfrac{6\sqrt{3}}{6}-\dfrac{6}{6}i= \sqrt{3}-i$

Finalement, $z_1 \text{ et }z_2$ sont les solutions de l'équation $P(z)=0$ tels que : $\mathscr{R}e(z_1)>\mathscr{R}e(z_2)$

Et $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}<\sqrt{3}$ , on conclut alors que:

$\boxed{\text{L'ensemble des solutions de }P(z)=0\text{ est : }\left\lbrace z_0=-3i\text{ ; }z_1=\sqrt{3}-i\text{ ; }z_2=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+\dfrac{2}{3}i\right\rbrace}$

3) Calculons les modules de $z_0\text{ ; }z_1\text{ et }z_2\text{ : }$

$|z_0|=|-3|=3$

$|z_1|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1}=\sqrt{4}=2$

$|z_2|=\sqrt{\left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2+\left(\dfrac{2}{3}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{12}{9}+\dfrac{4}{9}}=\sqrt{\dfrac{16}{9}}=\dfrac{4}{3}$

$\boxed{|z_0|=3\text{ ; }|z_1|=2 \text{ ; }|z_2|=\dfrac{4}{3}}$

Calculons les arguments p de $z_0\text{ , }z_1\text{ et }z_2\text{ : }$

$\bullet \enskip\arg(z_0)=\arg(-3i) \iff \arg(z_0)=\arg(-i) \iff \boxed{\arg(z_0)\equiv -\dfrac{\pi}{2} \enskip[2\pi]}$

$\begin{matrix} \bullet \enskip\arg(z_1)=\arg(\sqrt{3}-i) &\iff& \arg(z_1)=\arg\left[2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i\right)\right] \\&\iff& \arg(z_1)=\arg\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i\right) \\&\iff&\arg(z_1)= \arg\left(\cos \left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right) \\&\iff& \boxed{\arg(z_1)\equiv -\dfrac{\pi}{6}\enskip[2\pi]} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \bullet \enskip\arg(z_2)=\arg\left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+\dfrac{2}{3}i\right) &\iff& \arg(z_2)=\arg\left[\dfrac 43\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)\right] \\&\iff& \arg(z_2)=\arg\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right) \\&\iff&\arg(z_2)= \arg\left(\cos \left(\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right) \\&\iff& \boxed{\arg(z_2)\equiv \dfrac{\pi}{6}\enskip[2\pi]} \end{matrix}$

En connaissant les modules et les arguments de chaque nombre complexe, on peut les écrire sous leur forme trigonométrique:

$\boxed{\begin{matrix} \bullet &z_0&=&3\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right) \\\bullet &z_1&=&2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)\\\bullet &z_2&=&\dfrac{4}{3}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)\end{matrix}}$

4) Il est plus commode d'utiliser la forme exponentielle des nombres complexes $z_0\text{ , }z_1\text{ et }z_2\text{ :}$

$\begin{matrix} \bullet &z_0&=&3\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right)&=& 3e^{-i\pi/2} \\\bullet &z_1&=&2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)&=&2e^{-i\pi/6}\\\bullet &z_2&=&\dfrac{4}{3}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)&=&\dfrac{4}{3}e^{i\pi/6}\end{matrix}$

On dit que $z_0\text{ , }z_1\text{ et }z_2$ pris dans cet ordre sont en progression géométrique si et seulement si il existe un complexe $\rho$ appelé raison tel que:

$z_1=\rho z_0\text{ et }z_2=\rho z_1$

Cherchons $\rho\in\C$ tel que : $z_1=\rho z_0$

$z_1=\rho z_0 \iff \rho=\dfrac{z_1}{z_0}\iff \rho =\dfrac{2e^{-i\pi/6}}{3e^{-i\pi/2}}\iff \rho=\dfrac{2}{3}e^{i(\pi/2-\pi/6)}\iff \rho=\dfrac{2}{3}e^{i\pi/3}$

Vérifions que $\rho=\dfrac{2}{3}e^{i\pi/3}$ vérifie aussi $z_2=\rho z_1$

$\rho z_1=\dfrac{2}{3}e^{i\pi/3}\times 2e^{-i\pi/6}=\dfrac{4}{3}e^{i(\pi/3-\pi/6)}=\dfrac{4}{3}e^{i\pi/6}=z_2$

Finalement: $\rho=\dfrac{2}{3}e^{i\pi/3}=\dfrac 23 \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)=\dfrac{2}3\left(\dfrac 12+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{1}{3}+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

On conclut alors que:

$\boxed{z_0\text{ , }z_1\text{ et }z_2\text{ pris dans cet ordre sont en progression géométrique de raison }\rho=\dfrac{2}{3}e^{i\pi/3}=\dfrac{1}{3}+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$

exercice 2

1) On a:

$\begin{cases}f(\vec{e}_1)=\vec{e}_1\\f(\vec{e}_2)=\vec{e}_2\\f(\vec{e}_3)=\vec{e}_3\end{cases}\enskip\text{ , avec } \enskip\vec{e}_1=\vec{i}+2\vec{k}\enskip\text{ , }\enskip \vec{e}_2=\vec{j}-\vec{k}\enskip\text{ et }\enskip \vec{e}_3=-2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}$

Donc:

$\begin{matrix} \begin{cases}f(\vec{e}_1)=\vec{e}_1\\f(\vec{e}_2)=\vec{e}_2\\f(\vec{e}_3)=\vec{e}_3\end{cases} &\iff& \begin{cases}f(\vec{i}+2\vec{k})=\vec{i}+2\vec{k}\\f(\vec{j}-\vec{k})=\vec{j}-\vec{k}\\f(-2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k})=-2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}\end{cases} \\&\iff& \begin{cases}f(\vec{i})+2f(\vec{k})=\vec{i}+2\vec{k}& (L_1)\\f(\vec{j})-f(\vec{k})=\vec{j}-\vec{k}&(L_2)\\-2f(\vec{i})+f(\vec{j)}+f(\vec{k})=-2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}&(L_3)\end{cases} \\&\iff& \begin{cases} f(\vec{i})+2f(\vec{k})+f(\vec{j})-f(\vec{k})-(-2f(\vec{i})+f(\vec{j})+f(\vec{k}))=\vec{i}+2\vec{k}+(\vec{j}-\vec{k})-(-2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}) &(L_1)+(L_2)-(L_3) \\ f(\vec{j)}-f(\vec{k})-2f(\vec{i})+f(\vec{j)}+f(\vec{k})= \vec{j}-\vec{k}-2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}&(L_2)+(L_3) \\ f(\vec{k})=f(\vec{j})-\vec{j}+\vec{k}&(L_2) \end{cases} \\&\iff& \begin{cases}3f(\vec{i})=3\vec{i}\\ 2f(\vec{j})-2f(\vec{i})=2\vec{j}-2\vec{i} \\f(\vec{k})=f(\vec{j})-\vec{j}+\vec{k}\end{cases} \end{matrix}$

On obtient: $\boxed{\begin{cases} f(\vec{i})=\vec{i}\\f(\vec{j})=\vec{j}\\ f(\vec{k})=\vec{k}\end{cases} }$

2) On a:

$\begin{cases} f(\vec{i})=\vec{i}\\f(\vec{j})=\vec{j}\\ f(\vec{k})=\vec{k}\end{cases} \iff \begin{cases} f(\vec{i})=\red 1\black\vec{i}+\red 0\black\vec{j}+\red 0\black\vec{k}\\f(\vec{j})=\red 0\black\vec{i}+\red 1\black\vec{j}+\red 0\black\vec{k}\\ f(\vec{k})=\red 0\black\vec{i}+\red 0\black\vec{j}+\red 1\black\vec{k}\end{cases}$

La matrice de $f$ relativement à la base $(\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ est alors:

$Mat_{\mathcal{B}}(f)=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \iff \boxed{Mat_{\mathcal{B}}(f)=I_3}$

3) La matrice de $f$ relativement à la base $(\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ étant la matrice unité qui est trivialement inversible, alors directement:

$\boxed{\text{L'endomorphisme }f\text{ est bien bijective, c'est donc un automorphisme }}$

4) La matrice de $f$ relativement à la base $(\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ étant la matrice unité, donc $f$ n'est autre que l'application identité, et donc:

$\boxed{\forall (x;y;z)\in\R^3\text{ : }f(x;y;z)=(x;y;z) }$

5) $f$ étant l'application identité, tout vecteur de $\R^3$ est invariant par $f$ , et donc:

$\boxed{\text{L'ensemble des vecteurs invariants par }f \text{ est }\R^3 \text{ qui admet }\mathscr{B}_1=(\vec{i};\vec{j};\vec{k})\text{ comme base. }}$

6) Puisque $f$ est l'application identité de $\R^3$ , alors le seul vecteur de $\R^3$ qui est transformé par son opposé est le vecteur nul $\vec{0}(0;0;0)$ .

$\boxed{\begin{matrix}\text{ L'ensemble des vecteurs transformés par leurs opposés par }f \text{ est l'espace nul }\lbrace \vec{0}\rbrace \text{ ,}\\ \text{ qui admet trivialement la famille vide comme base, soit : } \mathscr{B}_2=(\enskip)\end{matrix} }$

exercice 3

Soit $f$ la fonction définie par: $\begin{cases} f(x)=-e^{-x}(e^{2x} +1)+2 &\text{ si }\enskip x\leq 0 \\ f(x)=x\ln x &\text{ si }\enskip x>0 \end{cases}$

1) Déterminons le domaine de définition de la fonction $f\text{ :}$

La fonction $x\mapsto \ln x$ est définie pour tout $x>0$ , donc $f$ est bien définie sur $]0;+\infty[$

La fonction $x\mapsto \exp (x)$ est définie pour tout réel $x$ , alors aussi pour tout réel $x\leq 0$ , il s'ensuit que la fonction $f$ est définie sur $]-\infty;0]$ .

On en déduit que:

$f\text{ est définie sur }E_f=]-\infty;0]\cup ]0;+\infty[=]-\infty;+\infty[$

Ou encore:

$\boxed{ f\text{ est définie sur }E_f=\R}$

2) Étude de la continuité en $x_0=0\text{ :}$

$\displaystyle\lim_{x\to 0^-}f(x)=f(0)=-1\times(1+1)+2=-2+2=0$

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0$

On obtient: $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=f(0)=0$

D'où: $\boxed{f\text{ est continue en }x_0=0}$

Étude de la dérivabilité de $f$ en $x_0=0\text{ :}$

À droite:

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}= \displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{x\ln x}{x}=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$

Donc $f$ n'est pas dérivable à droite en $x_0=0$ , d'où:

$\boxed{f\text{ n'est pas dérivable en }x_0=0 }$

Étudions quand même la dérivabilité de $f$ à gauche en $x_0\text{ :}$

$\begin{matrix} \displaystyle\lim_{x\to 0^-}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}&=& \displaystyle\lim_{x\to 0^-}\dfrac{-e^{-x}(e^{2x}+1)+2-0}{x} \\ &=& \displaystyle\lim_{x\to 0^-}\dfrac{-e^{x}-e^{-x}+2}{x}\\ &=& \displaystyle\lim_{x\to 0^-}\dfrac{1-e^{x}+1-e^{-x}}{x}\\ &=& \displaystyle\lim_{x\to 0^-}\dfrac{1-e^{x}}{x}+\dfrac{1-e^{-x}}{x}\\ &=& \displaystyle\lim_{x\to 0^-}-\dfrac{e^{x}-1}{x}+\dfrac{e^{-x}-1}{-x}\\ &\underbrace{=}_{t=-x}& \displaystyle\lim_{x\to 0^-}-\dfrac{e^{x}-1}{x}+\displaystyle\lim_{t\to 0^+}\dfrac{e^{t}-1}{t}\\&=&-1+1\\&=&0\end{matrix}$

Donc: $f\text{ est dérivable à gauche en }x_0=0 \text{ et }f'_g(0)=0$

Interprétation graphique des résultats:

Rappelons que $f(0)=0$

$f$ n'étant pas dérivable à droite en $x_0=0\text{ : }$

$\boxed{\text{ La courbe }(C)\text{ admet une demi-tangente verticale à droite du point }O(0;0)}$

$f$ est dérivable à gauche en $x_0=0\text{ et }f'_g(0)=0\text{ : }$

$(C)$ admet à gauche du point $O(0;0)$ une tangente d'équation $y=f'_g(0)(x-0)+f(0) \iff y=0$

$\boxed{\text{ La courbe }(C)\text{ admet l'axe des abscisses comme tangente à gauche du point }O(0;0)}$

3)

Sur $]-\infty;0[\text{ ; }f$ est dérivable comme produit de fonctions en exponentielle dérivables sur $]-\infty;0[$ .

$\begin{matrix} \forall x\in ]-\infty;0[\text{ : }f'(x)&=& \left(-e^{-x}(e^{2x}+1)+2\right)' \\&=& -(e^{-x})'(e^{2x}+1)-e^{-x}(e^{2x}+1)' \\&=& e^{-x}(e^{2x}+1)-2e^{-x}e^{2x} \\&=&e^{-x}(-e^{2x}+1)\end{matrix}$

Puisque: $\forall x\in ]-\infty;0[$ $\text{ : }e^{-x}>0$ . Alors le signe de $f'(x)$ sur $]-\infty;0[$ est celui de $-e^{2x}+1$

Or, $\forall x<0 \text{ : }2x<0 \Longrightarrow e^{2x}<1 \Longrightarrow 1-e^{2x}>0$

On obtient: $\boxed{\forall x\in ]-\infty;0[\text{ : }f'(x)>0 }\enskip (A)$

Sur $]0;+\infty[\text{ ; }f$ est dérivable comme produit de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$ .

$\begin{matrix} \forall x\in ]0;+\infty[\text{ : }f'(x)&=& \left(x\ln x\right)' \\&=& (x)'\ln x+x(ln x)' \\&=& \ln x + x\times \dfrac{1}{x} \\&=&\ln x + 1\end{matrix}$

Résolvons l'équation: $\ln x+1 =0 \iff \ln x = -1 \iff x=e^{-1 }$

Et puisque la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ , alors, dressons le tableau de signes de $f'(x)=\ln x + 1$

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & 0 & & e^{-1} & & +\infty \\\hline \ln x+1 & \dbarre &- &\barre{0}&+& \\ \hline \end{array}}$

D'où:

$\boxed{ \begin{matrix} \forall x\in ]0;e^{-1}[\text{ : } f'(x)<0 \\ f'(e^{-1})=0 \\ \forall x\in ]e^{-1};+\infty[\text{ : } f'(x)>0\end{matrix}}\enskip (B)$

De $(A) \text{ et } (B)\text{ : }$

$\boxed{\begin{matrix} f\text{ est strictement croissante sur }]-\infty;0[\cup ]e^{-1};+\infty[ \\ f\text{ admet un minimum local en }e^{-1}\\ f\text{ admet un maximum local en }x_0=0 \\ f\text{ est strictement décroissante sur }]0;e^{-1}[ \end{matrix}}$

Dressons le tableau de variations de la fonction $f\text{ :}$

Pour cela, calculons les limites aux bornes de $E_f\text{ :}$

$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to -\infty}-e^{-x}(e^{2x}+1)+2=-(+\infty)(0+1)+2=-\infty+2=-\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x\ln x=(+\infty)(+\infty)=+\infty$

$f(0)=0$

$f(e^{-1})=e^{-1}\ln (e^{-1})=-e^{-1}$

Donc:

$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & &0 & & e^{-1} & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & \dbarre &-&\barre{0}&+& \\ \hline & &&&&& &+\infty \\ f& & &0&&&\nearrow& \\ & &\nearrow &&\searrow&&& \\ & -\infty& &&&-e^{-1}&& \\ \hline \end{array}}$

4) En $-\infty$ :

Puisque $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$ , on doit calculer $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{f(x)}{x}\text{ :}$

$\begin{matrix}\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{f(x)}{x}&=& \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{-e^{-x}(e^{2x}+1)+2}{x}\\&=& \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{e^{-x}}{-x}(e^{2x}+1)+\dfrac{2}{x}\\&\underbrace{=}_{t=-x}&\displaystyle\lim_{t\to +\infty}\dfrac{e^{t}}{t}(e^{-2t}+1)-\dfrac 2 t\\&=&(+\infty)(0+1)+0\\&=&+\infty\end{matrix}$

Interprétation graphique:

$\boxed{(C)\text{ admet une branche parabolique de la direction celle de l'axe des ordonnées au voisinage de }-\infty }$

En $+\infty$ :

Puisque $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$ , on doit calculer $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}\text{ :}$

$\begin{matrix}\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}&=& \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x\ln x}{x}&=& \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\ln x&=&+\infty\end{matrix}$

Interprétation graphique:

$\boxed{(C)\text{ admet une branche parabolique de la direction celle de l'axe des ordonnées au voisinage de }+\infty }$

5) Voir 6-b) s.v.p.

6-a) Puisque la fonction $g$ est l'opposé de la fonction $f$ , alors le tableau de variation de la fonction $g$ se déduit de celui de la fonction $f$ .

En effet, $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;0[\cup ]e^{-1};+\infty[$ , alors $g=-f$ est strictement décroissante sur cet intervalle .

De plus, $f$ est strictement décroissante sur $]0;e^{-1}[$ , alors $g=-f$ est strictement croissante sur cet intervalle .

Finalement:

$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}g(x)=\displaystyle\lim_{x\to -\infty}-f(x)=-(-\infty)=+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}g(x)=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}-f(x)=-\infty$

$g(0)=-f(0)=0$

$g(e^{-1})=-f(e^{-1})=e^{-1}$

On obtient le tableau de varaitons de la fonction $g$ :

$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & &0 & & e^{-1} & & +\infty \\ \hline g'(x) & & - & \dbarre &+&\barre{0}&-& \\ \hline &+\infty &&&&& & \\ g& &\searrow &&&e^{-1}&& \\ & &&&\nearrow &&\searrow& \\ & & &0&&&& -\infty \\ \hline \end{array}}$

b) Le graphique:

On rappelle que $(C')$ est le symétrique de $(C)$ par rapport à l'axe des abscisses.

Bac Congo-Brazzaville 2023 série BG : image 1

7) L'aire $\mathscr{A}$ de la partie du plan comprise entre $(C)\text{ , }(C')$ et les droites d'équation $x=1\text{ et }x=\dfrac{1}{e}$ est en unité d'aire $(U.A)\text{ : }$

$\mathscr{A}=\displaystyle \int_{1/e}^{1}|f(x)-g(x)|\text{ d}x=\displaystyle \int_{1/e}^{1}|f(x)+f(x)|\text{ d}x=\displaystyle \int_{1/e}^{1}|2f(x)|\text{ d}x=2\displaystyle \int_{1/e}^{1}|f(x)|\text{ d}x$

Or, on voit sur le graphique que $\forall x\in [e^{-1};1]\text{ : }f(x)\leq 0$

$\begin{matrix}\mathscr{A}&=&2\displaystyle \int_{1/e}^{1}|f(x)|\text{ d}x &=& -2\displaystyle \int_{1/e}^{1}f(x)\text{ d}x&=& -2\displaystyle \int_{1/e}^{1}x\ln x\text{ d}x\end{matrix}$

Intégration par parties:

$\begin{cases} u'(x)=x \\ v(x)=\ln x\end{cases} \text{ , donc: } \begin{cases} u(x)=\dfrac{x^2}{2} \\ v'(x)=\dfrac{1}{x} \end{cases}$

$\begin{matrix}\mathscr{A}&=& -2\displaystyle \int_{1/e}^{1}x\ln x\text{ d}x \\&=& -2\left(\displaystyle \left[\dfrac{x^2}{2}\ln x \right]_{1/e}^{1} -\displaystyle \int_{1/e}^{1} \dfrac{x^2}{2} \times \dfrac{1}{x} \text{ d}x\right) \\&=&\displaystyle -2\left(\left[\dfrac{x^2}{2}\ln x \right]_{1/e}^{1} -\dfrac{1}{2}\int_{1/e}^{1} x \text{ d}x\right) \\&=& -2\left(\left[\dfrac{x^2}{2}\ln x \right]_{1/e}^{1} -\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{1/e}^1 \right) \\&=& -2\left(\left[\dfrac{x^2}{2}\ln x \right]_{1/e}^{1} -\left[\dfrac{x^2}{4}\right]_{1/e}^1 \right) \\&=& -2\left[\dfrac{x^2}{2}\ln x -\dfrac{x^2}{4}\right]_{1/e}^{1} \\&=& -2\left[\dfrac{x^2}{2}\left(\ln x -\dfrac{1}{2}\right)\right]_{1/e}^{1} \\&=& \left[x^2\left(\dfrac{1}{2}-\ln x\right)\right]_{1/e}^{1} \\&=& \left(\dfrac{1}{2}-\ln 1\right)-e^{-2}\left(\dfrac{1}{2}-\ln e^{-1}\right) \\&=& \dfrac 12 -\dfrac 32 e^{-2}\\&=& \dfrac 12 (1-3e^{-2})\enskip (U.A.)\end{matrix}$

Finalement, l'unité graphique est $2\text{ cm}$ , donc: $1 \text{(U.A.) }= 2 \text{ cm }\times 2 \text{ cm }=4\text{ cm}^2$

On conclut alors que:

$\mathscr{A}=\dfrac 12 (1-3e^{-2})\enskip (U.A.)\Longrightarrow \boxed{\mathscr{A}= 2 (1-3e^{-2})\enskip (\text{ cm}^2)}$

exercice 4

1) Un panier contient 20 fruits et on prend au hasard (simultanément) 3 fruits du panier, donc le nombre de façons possibles de les prendre est:

$\boxed{\text{Card } \Omega = { 20\choose 3}=1140}$

2) Calculons les probabilités:

A: "Les 3 fruits pris sont de même nature" , $\text{ donc }A=\lbrace P;P;P\rbrace \text{ ou }\lbrace O;O;O\rbrace \text{ ou }\lbrace M;M;M\rbrace$

Donc: $P(A)=\displaystyle \dfrac{ {5 \choose 3 } + {7\choose 3 }+{8\choose 3}}{1140}= \dfrac{10+35+56}{1140}\Longrightarrow \boxed{P(A)=\dfrac{101}{1140}}$

B: "Les 3 fruits pris sont des mandarines vertes" , $\text{ donc }B=\lbrace M_v;M_v;M_v\rbrace$

Donc: $P(B)=\displaystyle \dfrac{ {3 \choose 3 } }{1140}= \Longrightarrow \boxed{P(B)=\dfrac{1}{1140}}$

C: "On a pris 3 fruits de natures différentes", $\text{ donc }C=\lbrace P;O;M\rbrace$

Donc: $P(C)=\displaystyle \dfrac{ {5 \choose 1 } {7\choose 1 }{8\choose 1}}{1140}= \dfrac{5\times 7\times 8}{1140}=\dfrac{280}{1140}\Longrightarrow \boxed{P(C)=\dfrac{14}{57}}$

Publié par malou/Panter le 13-02-2024

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