Fiche de mathématiques

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Bac Mathématiques Côte d'Ivoire 2023

Série A2-H

Durée : 2 heures

Coefficient : 2

Seules les calculatrices scientifiques non graphiques sont autorisées.

2 points

exercice 1

Sur ta feuille de copie, écris le numéro de chaque proposition suivi de Vrai si la proposition est vraie ou de Faux si la proposition est fausse.

$\begin{array} {|c|lc|} \hline \text N^°& \text {Propositions} & \\ \hline 1. & \lim\limits_{x\to -1\atop x<-1}\frac{1}{x+1} =-\infty& \\ \hline 2. & \text{Pour tous nombres réels } a \text{ et } b ,\text{ on a : } \text e ^{a+b}=\text e ^a+\text e ^b& \\ \hline 3. & \text{La suite } (a_n)_{n\in \textbf N} \text{ définie par } \left\lbrace\begin{matrix} & a_0 & = &3 \\ \forall n\in\textbf N,& a_{n+1} &= & \frac 1 4 a_n \end{matrix}\right \text{est une suite géométrique de raison } \frac 1 4 .& \\ \hline 4.& \text{Pour tous nombres réels strictement positifs } x \text{ et } y, \text{ on a : }\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y).& \\ \hline \end{array}$

2 points

exercice 2

Pour chacun des énoncés ci-dessous, les informations A, B et C permettent d'obtenir trois affirmations dont une seule est vraie.
Sur ta feuille de copie, écris le numéro de chaque énoncé suivi de la lettre de la colonne qui donne l'affirmation vraie.

Enoncé n° 1
L'ensemble des solutions du système : $(x,y)\in \textbf R\times \textbf R, \left\lbrace\begin{matrix} \text e ^x + 4\text e ^y & = & 17\\ 2\,\text e ^x -3\,\text e ^y & = & 1 \end{matrix}\right.$ est ...
$\white w$ A. $\white w$ $\begin{Bmatrix} (\text e^2\,;\text e ^3) \end{Bmatrix}$
$\white w$ B. $\white w$ $\begin{Bmatrix} (1\,;4))\end{Bmatrix}$
$\white w$ C. $\white w$ $\begin{Bmatrix} (\ln(5)\,;\ln(3))\end{Bmatrix}$

Enoncé n° 2
Si $E$ et $F$ sont deux événements d'un univers $\Omega$ , alors $P(E\cup F)$ est égale à ...
$\white w$ A. $\white w$ $P(E)+P(F)+P(E\cap F).$
$\white w$ B. $\white w$ $P(E)+P(F)-P(E\cap F).$
$\white w$ C. $\white w$ $P(E\cap F)-P(E)-P(F).$

Enoncé n° 3
La somme $w_0+w_1+\dots + w_{2021}$ des termes d'une suite arithmétique $(w_n)_{n\in \textbf N}$ est égale à ...
$\white w$ A. $\white w$ $\dfrac{w_0+w_{2022}}{2}.$
$\white w$ B. $\white w$ $2022\times \dfrac{w_0+w_{2021}}{2}.$
$\white w$ C. $\white w$ $\dfrac{w_0+w_{2021}}{2}.$

Enoncé n° 4
L'inéquation : $x\in \textbf R,\; \text e^x - 2 < 0$ a pour ensemble des solutions ...
$\white w$ A. $\white w$ $]-\infty\,;\ln 2[.$
$\white w$ B. $\white w$ $]-\infty\,;2[.$
$\white w$ C. $\white w$ $]\ln 2\,; +\infty[.$

5 points

exercice 3

Un jeune entrepreneur dispose d'une ferme avicole. pendant les 8 premiers mois de la campagne avicole 2023, il a observé l'évolution de sa production de volailles et a consigné les résultats dans le tableau ci-dessous :
X désigne le numéro du mois et Y la quantité de volailles produite.

${\white{wwwwwww}}\begin{array}{|c|c|c|c|c| c|c|c|c|}\hline &\text{Nov 22}&\text{Déc 22}&\text{Jan 23}&\text{Fév 23}&\text{Mar 23}&\text{Avr 23}&\text{Mai 23}&\text{Jui 23} \\\hline \text{Numéro du mois X}&1 &2&3&4&5&6&7&8 \\\hline \text{Quantité de volailles Y}&612 &628 &\656 &660 &664 &680 &692 &700 \\\hline\end{array}$

On divise la série statistique double (X , Y) en deux séries S₁ et S₂ de même effectif.

$\text S_1 \;: \;}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text X &1 &2 &3 &4 \\\hline \text{Y}&612 &628 &656 &660 \\\hline \end{array}{\white{wwwwwwwwwww}} \text S_2 \;: \;}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text X &5 &6 &7 &8 \\\hline \text{Y}&664&680 &692 &700 \\\hline \end{array}$

On note $G_1$ le point moyen de S₁ et $G_2$ celui de S₂.

1. Détermine les coordonnées des points moyens $G_1$ et $G_2.$
2. Justifie qu'une équation de la droite d'ajustement par la méthode de Mayer est : $y=11,25\,x + 610,875.$
3. Détermine la quantité de volailles que pourrait produire la ferme au mois d'octobre 2023. (On donnera le résultat arrondi à l'ordre 0).

6 points

exercice 4

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0\,; +\infty[$ par : $f(x)=\dfrac x 2 - \ln (x).$
On désigne par $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé (O ; I, J).

1. a. Justifie que $\lim\limits_{x\to 0\atop x>0} f(x)=+\infty$
$\white w$ b. Donne une interprétation graphique de la question 1. a.
2. On admet que pour tout nombre réel x strictement positif, $f(x)=x\left(\dfrac 1 2 -\dfrac{\ln (x)}{x}\right).$
Calcule $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x).$
3. On suppose que $f$ est dérivable sur $]0\,; +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
$\white w$ a. Justifie que pour tout élément x de $]0\,; +\infty[\;,\; f'(x)=\dfrac{x-2}{2x}\;.$
$\white w$ b. Étudie le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de x .
$\white w$ c. Dresse le tableau de variation de $f.$

5 points

exercice 5

La coopérative scolaire de ton établissement a été nominée pour participer à une cérémonie de récompense.
Le président de la coopérative espère que la récompense qui sera reçue permettra à sa structure de réaliser un projet d'un coût de 250 000 F. Le président t'invite à l'accompagner à la cérémonie de récompense.
Pour recevoir sa récompense, le président doit tirer au hasard et simultanément trois (3) enveloppes d'une caisse qui en contient huit (8) dont cinq (5) sont blanches et trois (3) sont vertes, toutes indiscernables au toucher.
Chaque enveloppe verte tirée rapporte la somme de 100 000 F et chaque enveloppe blanche tirée rapporte la somme de 50 000 F.
Avant d'effectuer le tirage précédent le président est inquiet, car selon lui il y a moins de 50% de chance de réaliser le projet.
A l'aide d'une production argumentée basée sur tes connaissances mathématiques, dis si le président de la coopérative a raison de s'inquiéter ou pas.

Voir la correction

Bac Côte d'Ivoire 2023 série A2-H

2 points

exercice 1

Proposition n°1 : $\overset{ { \white{ . } } } {\quad\lim\limits_{\overset{x\to-1}{x<-1}}\,\dfrac{1}{x+1}=-\infty.}$
Proposition vraie.

En effet,

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-1^-}(x+1)=0^-\\\lim\limits_{X\to0^-}\dfrac1X=-\infty\phantom{xx}\end{matrix}\right.\quad\underset{(X=x+1)}{\Longrightarrow}\quad\boxed{\lim\limits_{x\to-1^-}\dfrac{1}{x+1}=-\infty}$

Proposition n°2 : Pour tous les nombres réels $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { b, }$ on a : ${ \text e^{a+b}=\text e^a+\text e^b }$
Proposition fausse.

En effet, la proposition correcte est : Pour tous les nombres réels $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { b, }$ on a : ${ \text e^{a+b}=\text e^a\times\text e^b }$

Proposition n°3
La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (a_n)_{n\in\N} }$ définie par $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}\phantom{WWW}a_0&=&3\\\forall n \in\N,\;a_{n+1}&=&\dfrac14\,a_n\end{matrix}\right. }$ est une suite géométrique de raison $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac14. }$
Proposition vraie, par définition d'une suite géométrique.

Proposition n°4
Pour tous les nombres réels strictement positifs $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { y, }$ on a : $\overset{ { \white{ . } } } { \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y). }$
Proposition vraie.

2 points

exercice 2

Énoncé n°1 : Réponse C.
L'ensemble des solutions du système : $\overset{ { \white{ . } } } { (x,y)\in \R\times \R, \left\lbrace\begin{matrix} \text e ^x + 4\text e ^y & = & 17\\ 2\,\text e ^x -3\,\text e ^y & = & 1 \end{matrix}\right.}$ est $\overset{ { \white{ . } } } { {\red{\begin{Bmatrix} (\ln(5)\,;\ln(3))\end{Bmatrix}}}.}$

Vérifions que les valeurs $\overset{ { \white{ . } } } { x=\ln(5) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { y=\ln(3) }$ vérifient le système.

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\text e^x+4\,\text e^y=\text e^{\ln(5)}+4\,\text e^{\ln(3)}=5+4\times3=17\\2\,\text e^x-3\,\text e^y=2\,\text e^{\ln(5)}-3\,\text e^{\ln(3)}=2\times5-3\times3=1\end{matrix}\right.$

Énoncé n°2 : Réponse B.
Si $\overset{ { \white{ . } } } { E }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { F }$ sont deux événements d'un univers $\overset{ { \white{ . } } } { \Omega\,, }$ alors $\overset{ { \white{ . } } } { P(E\cup F)}$ est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { {\red{P(E)+P(F)-P(E\cap F)}}. }$

Énoncé n°3 : Réponse B.
La somme $\overset{ { \white{ . } } } { w_0+w_1+\dots + w_{2021} }$ des termes d'une suite arithmétique $\overset{ { \white{ . } } } { (w_n)_{n\in \N} }$
est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { {\red{ 2022\times \dfrac{w_0+w_{2021}}{2}}}. }$

En effet, la somme de n termes d'une suite arithmétique est donnée par $\overset{ { \white{ . } } } { S_n = \text{nombre de termes} \times \dfrac{\text{premier terme + dernier terme}}{2} }$

Énoncé n°4 : Réponse A.
L'inéquation : $\overset{ { \white{ . } } } { x\in \R,\; \text e^x - 2 < 0 }$ a pour ensemble des solutions $\overset{ { \white{ . } } } { {\red{]-\infty\,;\ln (2)\,[}}. }$

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $\text e^x - 2 < 0\quad\Longleftrightarrow\quad\text e^x <2 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text e^x - 2 < 0}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(e^x) <\ln(2)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text e^x - 2 < 0}\quad\Longleftrightarrow\quad x <\ln(2)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text e^x - 2 < 0}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x \in\,]-\infty\;;\;\ln(2)\,[}}$

5 points

exercice 3

Un jeune entrepreneur a observé l'évolution de sa production de volailles et a consigné les résultats dans le tableau ci-dessous dans lequel $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ désigne le numéro du mois et $\overset{ { \white{ _. } } } {Y }$ la quantité de volailles produite.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c| c|c|c|c|}\hline &\text{Novembre 2022}&\text{décembre 2022}&\text{Janvier 2023}&\text{Février 2023}&\text{Mars 2023}&\text{Avril 2023}&\text{Mai 2023}&\text{Juin 2023} \\\hline \text{Numéro du mois X}&1 &2&3&4&5&6&7&8 \\\hline \text{Quantité de volailles Y}&612 &628 &\656 &660 &664 &680 &692 &700 \\\hline\end{array}$

On divise la série statistique double $\overset{ { \white{ . } } } { (X\,,\,Y) }$ en deux séries $\overset{ { \white{ . } } } { S_1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { S_2 }$ de même effectif.

$\text S_1 \;: \;}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text X &1 &2 &3 &4 \\\hline \text{Y}&612 &628 &656 &660 \\\hline \end{array}{\white{wwwwwwwwwww}} \text S_2 \;: \;}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text X &5 &6 &7 &8 \\\hline \text{Y}&664&680 &692 &700 \\\hline \end{array}$

On note $\overset{ { \white{ . } } } { G_1 }$ le point moyen de $\overset{ { \white{ _. } } } { S_1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { G_2 }$ celui de $\overset{ { \white{ _. } } } { S_2. }$ .

1. Déterminons les coordonnées des points moyens $\overset{ { \white{ . } } } { G_1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { G_2. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Coordonnées de $\overset{ { \white{ . } } } { G_1. }$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\overline{X}=\dfrac{1+2+3+4}{4}\phantom{WWWv}\\\overset{ { \white{ . } } }{\overline{Y}=\dfrac{612+628+656+660}{4}}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\overline{X}=2,5\\\overset{ { \white{ . } } }{\overline{Y}=639}\end{matrix}\right.$

D'où les coordonnées de $\overset{ { \white{ . } } } { G_1 }$ sont $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{G_1(2,5\;;\;639)}\,. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Coordonnées de $\overset{ { \white{ . } } } { G_2. }$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\overline{X}=\dfrac{5+6+7+8}{4}\phantom{WWWv}\\\overset{ { \white{ . } } }{\overline{Y}=\dfrac{664+680+692+700}{4}}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\overline{X}=6,5\\\overset{ { \white{ . } } }{\overline{Y}=684}\end{matrix}\right.$

D'où les coordonnées de $\overset{ { \white{ . } } } { G_1 }$ sont $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{G_2(6,5\;;\;684)}\,. }$

2. Justifions qu'une équation de la droite d'ajustement par la méthode de Mayer est : $\overset{ { \white{ . } } } { y=11,25\,x + 610,875. }$

Montrons que la droite d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { y=11,25\,x + 610,875 }$ passe par les points $\overset{ { \white{ . } } } { G_1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { G_2. }$

$11,25\times{\red{2,5}} + 610,875=28,125+610,875={\red{639}}. \\\overset{ { \white{ . } } } { 11,25\times{\red{6,5}} + 610,875=73,125+610,875={\red{684}}.}$
Les coordonnées des points moyens $\overset{ { \white{ . } } } { G_1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { G_2 }$ vérifient l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { y=11,25\,x + 610,875. }$

Par conséquent, une équation de la droite d'ajustement est : $\overset{ { \white{ . } } } { y=11,25\,x + 610,875. }$

3. Déterminons la quantité de volailles que pourrait produire la ferme au mois d'octobre 2023.

Le mois d'octobre 2023 correspond à $\overset{ { \white{ . } } } { x=12. }$

Dans l'équation de la droite d'ajustement, remplaçons $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ par 12 et calculons la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { y. }$

$\overset{ { \white{ . } } } {11,25\times12 + 610,875=745,875.}$

D'où, au mois d'octobre 2023, la ferme pourrait produire 745 volailles.

6 points

exercice 4

On considère la fonction numérique $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\,; +\infty[ }$ par : $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=\dfrac x 2 - \ln (x). }$
On désigne par $\overset{ { \white{ . } } } { (C) }$ la courbe représentative de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ dans le plan muni d'un repère orthonormé (O ; I, J).

1. a) Montrons que $\overset{ { \white{ OW. } } } { \lim\limits_{x\to 0\atop x>0} f(x)=+\infty \,.}$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to 0\atop x>0} \dfrac x2=0\phantom{WWw}\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to 0\atop x>0} \ln(x)=-\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to 0\atop x>0} \left(\dfrac x2-\ln(x)\right)=+\infty$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{x\to 0\atop x>0} f(x)=+\infty}}$

1. b) Nous en déduisons que la droite d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { x=0 }$ est une asymptote verticale à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C). }$

2. On admet que pour tout nombre réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ strictement positif, $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x\left(\dfrac 1 2 -\dfrac{\ln (x)}{x}\right). }$
Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty} f(x). }$

$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0\quad(\text{croissances comparées})\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac12- \dfrac{\ln(x)}{x}\right)=\dfrac12 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0\quad(\text{croissances comparées})}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to +\infty}x\left(\dfrac12- \dfrac{\ln(x)}{x}\right)=+\infty}$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty}}$

3. On suppose que $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\,; +\infty[ }$ et on note $\overset{ { \white{ . } } } { f' }$ sa fonction dérivée.

3. a) Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ pour tout élément $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\,; +\infty[\;,\;}$

Pour tout élément $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\,; +\infty[\;,\;}$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\left(\dfrac x 2 - \ln (x)\right)' \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f'(x)}= \dfrac12-\dfrac1x } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f'(x)}= \dfrac{x-2}{2x} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]0\;;\;+\infty[\,,\quad f'(x)=\dfrac{x-2}{2x} }$

3. b) Étudions le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ suivant les valeurs de $\overset{ { \white{ . } } } { x. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\,; +\infty[\;,\;2x>0.}$
Donc le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { x-2. }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{matrix}x-2<0\Longleftrightarrow x<2\\\overset{ { \white{.} } } {x-2=0\Longleftrightarrow x=2} \\\overset{ { \phantom{.} } } {x-2>0\Longleftrightarrow x>2}\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&2&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\x-2&&-&-&0&+&+&\\&&&&&&&\\\hline&||&&&&&&\\f'(x)&||&-&-&0&+&+&\\&||&&&&&&\\\hline \end{array}$

3. c) Dressons le tableau de variation de $\overset{ { \white{ . } } } { f. }$

${ \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&2&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &||&&&&&&\\f'(x)&||&-&-&0&+&+&\\&||&&&&&&\\\hline&+\infty&&&&&&+\infty\\f(x)&||&\searrow&\searrow&&\nearrow&\nearrow&\\&||&&&1-\ln(2)&&&\\\hline \end{array}$

5 points

exercice 5

Pour recevoir sa récompense, le président doit tirer au hasard et simultanément trois (3) enveloppes d'une caisse qui en contient huit (8) dont cinq (5) sont blanches et trois (3) sont vertes, toutes indiscernables au toucher.

Déterminons d'abord les tirages possibles et les récompenses associées à ces tirages.

$\overset{ { \white{ . } } }{{\white{x}}\bullet}{\white{x}}$ 3 enveloppes vertes lui rapportent $\overset{ { \white{ . } } } {3\times 100\,000\text{ F}}$ , soit ${ 300\,000\text{ F}. }$
$\overset{ { \white{ . } } }{{\white{x}}\bullet}{\white{x}}$ 2 enveloppes vertes et une blanche lui rapportent $\overset{ { \white{ . } } } {2\times 100\,000\text{ F} + 1\times 50\,000\text{ F},}$ soit $250\,000\text{ F}.$
$\overset{ { \white{ . } } }{{\white{x}}\bullet}{\white{x}}$ 1 enveloppe verte et deux blanches lui rapportent $\overset{ { \white{ . } } } {1\times 100\,000\text{ F} + 2\times 50\,000\text{ F},}$ soit $200\,000\text{ F}.$
$\overset{ { \white{ . } } }{{\white{x}}\bullet}{\white{x}}$ 3 enveloppes blanches lui rapportent $\overset{ { \white{ . } } } {3\times 50\,000\text{ F},}$ soit $150\,000\text{ F}.$

Le président de la coopérative espère que la récompense qui sera reçue permettra à sa structure de réaliser un projet d'un coût de 250 000 F.
Donc pour réaliser son projet, la récompense doit s'élever à 300 000 F ou à 250 000 F.

Dès lors, le président doit tirer 3 enveloppes vertes ou bien 2 enveloppes vertes et une blanche.

Notons A l'événement : ''le président tire 3 enveloppes vertes''
${ \white{ WWW } }$ B l'événement ''le président tire 2 enveloppes vertes et une blanche''
${ \white{ WWW } }$ C l'événement '' le président tire 3 enveloppes vertes ou bien 2 enveloppes vertes et une blanche ''.

Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ . } } } { P(C). }$

a) Le nombre de façons de tirer simultanément 3 enveloppes dans un ensemble de 8 enveloppes est le nombre de combinaisons de 3 éléments parmi 8, soit $\overset{ { \white{ . } } } { C_8^3=\begin{pmatrix}8\\3\end{pmatrix}.}$
Or $\overset{ { \white{ . } } } { C_8^3=\begin{pmatrix}8\\3\end{pmatrix}=\dfrac{8!}{3!\times5!}=56. }$

D'où, il y a 56 façons différentes de tirer simultanément 3 enveloppes dans un ensemble de 8 enveloppes.

b) Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { P(A). }$

Il n'y a qu'une seule manière de tirer simultanément 3 enveloppes vertes parmi les 3 enveloppes vertes.
D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{P(A)=\dfrac{1}{56}}\,. }$

c) Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { P(B). }$

Le nombre de façons de tirer 2 enveloppes vertes et une blanche est
égal à $\overset{ { \white{ . } } } { C_3^2\times C_5^1=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}=3\times5=15. }$
D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{P(B)=\dfrac{15}{56}}\,. }$

c) Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { P(C). }$

$P(C)=P(A)+P(B) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{P(C)}=\dfrac{1}{56}+\dfrac{15}{56}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{P(C)}=\dfrac{16}{56}=\dfrac{2}{7}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(C)=\dfrac 27\approx0,29}$

Il s'ensuit que la probabilité que le président puisse réaliser son projet est égale à environ 0,29, soit environ 29 %.
Cette probabilité est inférieure à 50 %.

Par conséquent, le président de la coopérative a raison d'être inquiet.

Publié par malou le 18-04-2024

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