Seules les calculatrices scientifiques non graphiques sont autorisées.
2 points
exercice 1
Soit une fonction numérique définie et deux (2) fois dérivable sur un intervalle contenant un nombre réel
On désigne par la courbe représentative de dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J),
et sont deux nombres réels tels que :
On note et les dérivées première et seconde respectives de
Ecris sur la feuille de copie, le numéro de chaque proposition suivi de VRAI si la proposition est vraie ou de
FAUX si la proposition est fausse.
Proposition n° 1 :
Si , alors admet un point d'inflexion au point d'abscisse
Proposition n° 2 :
Si est négative sur l'intervalle , alors l'aire (en unité d'aire) de la partie du plan
délimitée par , la droite (OI) et les droites d'équations est :
Proposition n° 3 :
Si
Proposition n° 4 :
Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de
la forme :
2 points
exercice 2
Pour chacun des énoncés ci-dessous, les informations des lignes A, B, C et D permettent d'obtenir quatre affirmations dont une seule est vraie.
Ecris, sur ta feuille de copie, le numéro de l'énoncé suivi de la lettre de la ligne qui donne l'affirmation vraie.
Énoncé 1 :
Soient une série statistique double et sa covariance. On note respectivement les variances de et de On admet que
On appelle coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double , le nombre réel noté
tel que ... A :
B :
C :
D :
Énoncé 2 :
Une primitive sur R de la fonction est la fonction ... A :
B :
C :
D :
Énoncé 3 :
Si est une suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 2, alors la somme des premiers
termes consécutifs de cette suite est égale à ... A :
B :
C :
D :
Énoncé 4 :
L'ensemble des solutions de l'inéquation : A:
B :
C :
D :
3 points
exercice 3
Un sondage effectué auprès d'anciens élèves d'un lycée révèle que :
55% d'entre eux poursuivent uniquement leurs études dans une université ;
10% poursuivent uniquement leurs études dans une grande école ;
les autres sont sur le marché du travail.
Ce sondage révèle aussi que certains de ces anciens élèves ont fait le choix de vivre en colocation. Il s'agit de :
45% des anciens élèves qui poursuivent leurs études dans une université ;
30% des anciens élèves qui poursuivent leurs études dans une grande école ;
15% des anciens élèves qui sont sur le marché du travail.
On interroge au hasard un ancien élève du lycée.
On considère les événements suivants :
U : "L'ancien élève poursuit ses études dans une université" ;
G : "L'ancien élève poursuit ses études dans une grande école" ;
T : "L'ancien élève est sur le marché du travail" ;
C : "L'ancien élève vit en colocation".
1. Construis un arbre pondéré traduisant la situation.
2. Calcule la probabilité pour que l'ancien élève poursuive ses études dans une université et ait choisi de vivre en
colocation.
3. Justifie que la probabilité de l'événement C est égale à 0,33.
4. Un ancien élève vit en colocation. Calcule la probabilité qu'il poursuive ses études dans une université.
3 points
exercice 4
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct . On désigne par les points d'affixe respectives
1. On note la similitude directe de centre qui transforme en
a. Justifie que :
b. Déduis de 1. a. que a pour rapport
et pour angle
c. Démontre que l'écriture complexe de est :
2. a. Justifie que l'affixe du point , image du point par la similitude directe
est :
b. Démontre que les points sont alignés.
5 points
exercice 5
Soit la fonction numérique définie sur par :
On note sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé (0; I, J). L'unité
graphique est : 2 cm.
1. a. Détermine la limite de en
b. On admet que est dérivable sur .
Justifie que :
c. Démontre que est strictement croissante sur ]0 ; 1[ et strictement décroissante
sur
d. Dresse le tableau de variation de
e. Construis dans le repère (0; I, J).
2. Démontre que l'équation admet une unique solution dans ]0 ; 1[.
3. On considère la suite définie par :
a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
b. Démontre que la suite est décroissante.
c. Justifie que la suite est convergente.
d. Détermine la limite de la suite
5 points
exercice 6
Une coopérative agricole possède un terrain qui a la forme d'un quart de disque de rayon 1 km représenté par la figure ci-après qui n'est pas en grandeurs réelles.
Elle veut partager son terrain en trois parcelles pour y cultiver respectivement des tomates, des aubergines et des patates;
La parcelle hachurée est réservée à la culture des tomates. La coopérative souhaite que l'aire de cette parcelle soit maximale.
L'agent de l'agriculture chargé de la mise en valeur de ces trois parcelles informa la coopérative que l'aire de la partie réservée à la culture des tomates
est égale à
Le gérant de la coopérative ne sachant comment déterminer l'aire maximale, te sollicite.
A l'aide d'une production argumentée basée sur tes connaissances mathématiques, réponds à la préoccupation du gérant de la coopérative.
Soit une fonction numérique définie et deux (2) fois dérivable sur un intervalle contenant un nombre réel . On désigne par la courbe représentative de dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J), et sont deux nombres réels tels que : On note et les dérivées première et seconde respectives de
Proposition n° 1 :Si , alors admet un point d'inflexion au point d'abscisse Proposition fausse.
En effet, la courbe admet un point d'inflexion au point d'abscisse si et seulement si s'annule et change de signe en
Proposition n° 2 :Si est négative sur l'intervalle , alors l'aire (en unité d'aire) de la partie du plan délimitée par , la droite (OI) et les droites d'équations est : Proposition vraie.
En effet, une aire reste toujours positive alors qu'une intégrale d'une fonction négative est négative.
Proposition n° 3 :Si alors Proposition fausse.
Donnons un contre-exemple montrant que cette dernière proposition est fausse.
Soit la fonction définie sur l'intervalle
Soit
Dans ce cas, nous obtenons :
De plus,
Dans ce cas, se traduirait par , ce qui est faux.
Dès lors, la proposition n° 4 est fausse.
En fait, l'inégalité des accroissements finis est la suivante :
Si alors
Proposition n° 4 :Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme : Proposition fausse.
En effet,
Il s'ensuit que
Dès lors, la proposition n° 4 est fausse.
En fait, les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme :
2 points
exercice 2
Énoncé 1 : Soient une série statistique double et sa covariance. On note respectivement et les variances de et de On admet que et
On appelle coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double le nombre réel noté tel que Proposition A.
Énoncé 2 :
Une primitive sur de la fonction est la fonction Proposition B.
En effet,
Énoncé 3 :
Si est une suite arithmétique de premier terme 3 et de raison , alors la somme des premiers termes consécutifs de cette suite est égale à Proposition B.
En effet,
Énoncé 4 :
L'ensemble des solutions de l'inéquation : est Proposition B.
En effet,
3 points
exercice 3
Un sondage effectué auprès d'anciens élèves d'un lycée révèle que :
55% d'entre eux poursuivent uniquement leurs études dans une université ; 10% poursuivent uniquement leurs études dans une grande école ; les autres sont sur le marché du travail.
Ce sondage révèle aussi que certains de ces anciens élèves ont fait le choix de vivre en colocation. Il s'agit de :
45% des anciens élèves qui poursuivent leurs études dans une université ; 30% des anciens élèves qui poursuivent leurs études dans une grande école ; 15% des anciens élèves qui sont sur le marché du travail.
On interroge au hasard un ancien élève du lycée.
On considère les événements suivants :
U : ''L'ancien élève poursuit ses études dans une université'' ; G : ''L'ancien élève poursuit ses études dans une grande école'' ; T : ''L'ancien élève est sur le marché du travail'' ; C : ''L'ancien élève vit en colocation''.
1. Construisons un arbre pondéré traduisant la situation.
2. Nous devons calculer la probabilité pour que l'ancien élève poursuive ses études dans une université et ait choisi de vivre en colocation.
Calculons
Par conséquent, la probabilité pour que l'ancien élève poursuive ses études dans une université et ait choisi de vivre en colocation est égale à 0,2475.
3. Nous devons déterminer
Les événements et forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :
Par conséquent, la probabilité que l'ancien élève vive en colocation est égale à 0,33.
4. Un ancien élève vit en colocation. Calculons la probabilité qu'il poursuive ses études dans une université.
Nous devons déterminer
D'où, la probabilité qu'un ancien élève vivant en colocation poursuive ses études dans une université est égale à 0,75.
3 points
exercice 4
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct On désigne par et les points d'affixe respectives et
1. On note la similitude directe de centre qui transforme en
1. a) Nous devons justifier que :
D'une part,
D'autre part,
Par conséquent,
1. b) De la question précédente, nous déduisons que :
le rapport de la similitude est
l'angle de la similitude est 1. c) Démontrons que l'écriture complexe de est :
L'écriture complexe de la similitude est de la forme avec et
La similitude transforme en
Dès lors,
Le point est le centre de la similitude
Dès lors,
Nous obtenons alors :
Par conséquent, l'écriture complexe de est :
2. a) Justifie que l'affixe du point , image du point par la similitude directe est :
En effet, nous savons que l'affixe du point est
Dès lors,
2. b) Nous devons démontrer que les points et sont alignés.
Par conséquent, les points et sont alignés.
5 points
exercice 5
Soit la fonction numérique définie sur par :
1. a) Nous devons déterminer la limite de en
D'où
1. b) On admet que est dérivable sur
Déterminons l'expression algébrique de
Pour tout
1. c) Étudions le signe de sur
L'exponentielle est strictement positive sur
Dès lors le signe de est le signe de
Nous en déduisons que est strictement croissante sur ]0 ; 1[ et strictement décroissante sur
1. d) Dressons le tableau de variations de
1. e) Construisons dans le repère (0; I, J).
2. Démontrons que l'équation admet une unique solution dans ]0 ; 1[.
La fonction f est continue et strictement croissante sur
Il s'ensuit que f réalise une bijection de sur
Or
Dès lors, l'équation admet une unique solution dans
3. On considère la suite définie par :
3. a) Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que
C'est une évidence car
Donc l'initialisation est vraie.
Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, , alors
En effet,
L'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel
3. b) Démontrons que la suite est décroissante.
Nous en déduisons que la suite est décroissante.
3. c) La suite est décroissante et minorée par 0. Cette suite est donc convergente.
3. d) Nous devons déterminer la limite de la suite
La fonction est continue sur
La suite est définie par la relation de récurrence :
Nous savons que la suite est convergente vers une limite notée .
Selon le théorème du point fixe, nous déduisons que vérifie la relation
D'où
5 points
exercice 6
L'aire de la partie réservée à la culture des tomates est égale à
Soit la fonction définie sur [0 ; 1] par :
Étudions les variations de la fonction
La fonction est dérivable sur [0 ; 1[ .
Pour tout
Étudions le signe de sur [0 ; 1[.
Nous en déduisons le tableau de variations de sur [0 ; 1].
Par conséquent, la fonction admet un maximum pour
Ce maximum est égal à
Le terrain de la coopérative a la forme d'un disque de rayon 1 km.
Ci-dessous la figure représentant le terrain divisé en trois parcelles.
La parcelle colorée en rouge est réservée à la culture des tomates.
L'aire de cette parcelle sera maximale si
Publié par malou
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Merci à Hiphigenie / malou pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !