Bac Mathématiques
Guinée 2023
Série SM
Durée : 4h
Coefficient: 4
4 points exercice 1
I. Démontre par récurrence que pour tout entier naturel
II. 1) On considère dans

l'équation
a) Montre que si
)
est solution de
)
, alors
![y\equiv 3\enskip[11]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y\equiv 3\enskip[11])
.
b) Résous l'équation
)
.
2) Le prix total de
41 pièces détachées, réparties en trois lots, est de

.
Le prix d'une pièce du premier lot est de

.
Le prix d'une pièce du deuxième lot est de

.
Le prix d'une pièce du troisième lot est de

.
Détermine le nombre de pièces de chaque lot.
5 points exercice 2
Soit le nombre complexe
_{n\in\N})
la suite de nombres complexes définie par:
1) Détermine

sous forme algébrique.
2) Soit
)
la suite définie par
a) Détermine

sous forme algébrique.
b) Démontre que
)
est une suite géométrique de raison

.
c) Exprime

en fonction de

.
3) Soit

.
Exprime

en fonction de

. En déduis que
^n)
.
4-a) Détermine le module et un argument de

.
b) Donne la forme algébrique de

.
5) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé
)
, on désigne par

le point d'affixe

le point d'affixe

le point d'affixe

.
Détermine les éléments caractéristiques de la similitude directe

qui transforme

.
11 points probleme
Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormé
)
et l'unité est

.
Partie A:
On considère la fonction

définie sur
![]0;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0;+\infty[)
par :
=\left(2-\dfrac{2}{x}\right)\left(\ln x-1\right))
.
)
désigne sa courbe représentative relative au repère
)
.
1) Détermine les limites de

en

et en

.
2) Montre que

est dérivable sur
![]0;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0;+\infty[)
, puis calcule
)
.
3) Soit

la fonction définie sur
![]0;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0;+\infty[)
par :
=2\ln x+2x-4)
.
a) Étudie le sens de variation de

sur
![]0;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0;+\infty[)
, puis dresse son tableau de variation.
b) Montre que l'équation
=0)
admet une unique solution

dans
![[1;2]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[1;2])
. On donne

.
c) En déduis le signe de

sur
![]0;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0;+\infty[)
.
4-a) Étudie le sens de variation de

et dresse son tableau de variation sur
![]0;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0;+\infty[)
.
b) Montre que
=\dfrac{-2(\alpha-1)^2}{\alpha} )
.
c) Calcule
\text{ et }f(e))
.
5-a) Étudie le signe de

sur
![]0;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0;+\infty[)
.
b) Calcule
}{x})
et donne une interprétation du résultat obtenu.
c) Construis
)
. On prendra
=-0,6)
.
6) Soit

la fonction définie sur
![]0;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0;+\infty[)
par :
=-f(x))
,
)
désigne sa courbe représentative. Sans étudier

, construis
)
dans le même repère. Justifie la construction de
)
.
Partie B:
Soit

la fonction définie sur
![]0;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0;+\infty[)
par :
=\displaystyle\int_1^x f(t)\text{ d}t)
,
)
désigne sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1-a) Que représente

pour

?
b) Sans calculer
)
, donne le sens de variation de

.
c) Que peut-on dire des tangentes à
)
aux points d'abscisses

?
(On pourra utiliser
4-c) de la
partie A).
2-a) Le nombre

étant strictement positif, caclule

(On pourra utiliser une intégration par parties).
b) Montre que, pour tout réel
=2\ln x-2\dfrac{\ln x}{x}+\dfrac{2}{x}-2)
.
c) En déduis l'expression de
)
en fonction de

.
3) Calcule l'aire

en

du domaine plan limité par
\text{ , }(C'))
et les droites d'équations

.