Fiche de mathématiques

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Bac Mathématiques

Mali 2023

Série TSECO

Durée : 3h
Coefficient: 3

6 points

exercice 1

1. Le 16 mars, on veut remplacer trois payements de 680000 $F$ échéant le 31 mars, 460000 $F$ échéant 30 avril et 810000 $F$ échéant le 15 mai, par un payement unique de 2000000 $F$ , au taux d'escompte de 6%. Détermine la date de ce payement.

2. Aly dispose de 500000 $F$ CFA d'économie. Trouve lui, le placement le plus avantageux entre :

$\circ\quad$ 200000 $^F$ CFA à 9% et 300000 $F$ CFA à 11% ou

$\circ\quad$ 500000 $F$ CFA à 10%.

6 points

exercice 2

Amadou et Moussa sont deux amis, chacun à son niveau décide de placer la somme de 100000 $F$ au taux annuel de 10%. Ainsi Amadou choisit de placer son capital à intérêt simple tandis que Moussa choisit de placer à intérêt composé avec capitalisation annuelle des intérêts. On note respectivement par $U_n$ et $V_n$ , les valeurs acquises respectives des placements de ces deux amis, après $n$ années.

1. Précise la différence entre un placement à intérêt simple et un placement à intérêt composé :

2. Calcule $U_1$ , $U_2$ et $U_3$ puis déduis-en la nature de la suite $( U_n )$ ;

3. Calcule $V_1$ , $V_2$ et $V_3$ puis déduis-en la nature de la suite $( V_n )$ ;

4. Exprime $U_n$ et $V_n$ en fonction de $n$ ;

5. En cinq (5) ans, chacun obtiendra combien ? Qui a effectué le meilleur placement ?

8 points

probleme

La production d'oignons d'une coopérative agricole, en fonction de la durée $t$ exprimée en jours est modélisée par la fonction $f$ , définie par $f(t) = 20t^3 - 60t$ sur [0; 30], jours de production.

1. Trouve le domaine de définition $D_f$ de $f$ ;

2. Calcule $f'(t)$ et dresse le tableau de variations de $f$ ;

3. Trouve la date de production assurant une perte minimale ; que vaut cette perte ?

4. Calcule la production pour $t = 30$ jours ;

5. Trace dans un repère orthonormé, la courbe exprimant la production d'oignons pendant 30 jours. On prendra :

$\circ$ un (1) cm pour deux (2) jours en abscisse ;

$\circ$ un (1) cm pour cent mille (100000) kg en ordonnée.

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Bac Mali 2023 série TSECO

6 points

exercice 1

1. Le 16 mars, on veut remplacer trois paiements de 680 000^F échéant le 31 mars, 460 000^F échant le 30 avril et 810 000^F échéant le 15 mai, par un paiement unique de 2 000 000^F, au taux d'escompte de 6%.

Nous devons déterminer la date de ce paiement.

Rappelons que si

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ . } } } { e }$ est l'escompte en F,
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ ${ V }$ est la valeur nominale en F,
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ ${ t=6 }$ est le taux d'escompte en pourcentage
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ est le nombre de jours entre le 16 mars et la date de l'échéance,

alors nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { e=\dfrac{V\times t \times n}{36\,000}. }$

De plus, si $\overset{ { \white{ . } } } { V_A }$ est la valeur actuelle en F, alors $\overset{ { \white{ . } } } { V_A=V-e\quad\Longrightarrow\qiad\boxed{V_A=V-\dfrac{V\times 6\times n}{36\,000}=V\left(1-\dfrac{ n}{6\,000}\right)} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Du 16 mars au 31 mars, 15 jours se sont écoulés.
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Du 16 mars au 30 avril, 45 jours se sont écoulés.
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Du 16 mars au 15 ma1, 60 jours se sont écoulés.

Nous obtenons alors :

$2\,000\,000\left(1-\dfrac{ n}{6\,000}\right)=680\,000\left(1-\dfrac{ 15}{6\,000}\right)+460\,000\left(1-\dfrac{ 45}{6\,000}\right)+810\,000\left(1-\dfrac{ 60}{6\,000}\right) \\\phantom{2\,000\,000\left(1-\dfrac{ n}{6\,000}\right)}=678\,300+456\,550+801\,900 \\\phantom{2\,000\,000\left(1-\dfrac{ n}{6\,000}\right)}=1\,936\,750 \\\\\phantom{WWW}\Longrightarrow 1-\dfrac{n}{6\,000}=\dfrac{1\,936\,750}{2\,000\,000}=\dfrac{7\,747}{8\,000} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWW} \Longrightarrow -\dfrac{n}{6\,000}=-\dfrac{253}{8\,000}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWW} \Longrightarrow n=6\?000\times\dfrac{253}{8\,000}} \\\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWW} \Longrightarrow \boxed{n=\dfrac{749}{4}=189,75}}$

Nous den déduisons que le paiement de 2 000 000^F doit être effectué 190 jours après le 16 mars, soit le 22 septembre.

2. Aly dispose de 500 000^F CFA d'économie.
Deux placements sont possibles.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Premier placement : 200 000^F CFA à 9% et 300 000^F CFA à 11%.

Calculons les intérêts simples $\overset{ { \white{ _. } } } { I_1 }$ de ce placement après une période, qu'elle soit annuelle, mensuelle ou journalière.

$I_1=\dfrac{200\,000\times9}{100}+\dfrac{300\,000\times11}{100}=51\,000\quad\Longrightarrow\quad\boxed{I_1=51\,000^{\text{F}}\text{CFA}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Second placement : 500 000^F CFA à 10%.

Calculons les intérêts simples $\overset{ { \white{ . } } } { I_2 }$ de ce placement après une période, qu'elle soit annuelle, mensuelle ou journalière.

$I_2=\dfrac{500\,000\times10}{100}=50\,000\quad\Longrightarrow\quad\boxed{I_2=50\,000^{\text{F}}\text{CFA}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Par conséquent, le placement de 200 000^F CFA à 9% et 300 000^F CFA à 11% est le plus avantageux.

Nous obtiendrions une conclusion analogue si les intérêts étaient composés qui seront traités dans l'exercice suivant.

6 points

exercice 2

1. Dans un placement à intérêt simple, les intérêts sont calculés sur base d'un capital fixe, sans prendre en compte les intérêts antérieurs.

Dans un placement à intérêt composé, à chaque période, les intérêts sont ajoutés au capital précédent pour produire à leur tour des intérêts.

2. On note par $\overset{ { \white{ . } } } {U_n }$ la valeur acquise par le placement effectué par Amadou de 100 000^F à intérêt simple au taux annuel de 10% après $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ années.

Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } {U_1,\,U_2 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { U_3 }$ , puis en déduire la nature de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (U_n). }$

Les montants des intérêts à chaque période sont $\overset{ { \white{ . } } } { I=100\,000\times \dfrac{10}{100} }$ , soit ${ \boxed{I=10\,000^{\text{F}}}\,. }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\boxed{U_0=100\,000} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}U_1=U_0+10\,000=100\,000+10\,000\quad\Longrightarrow\quad\boxed{U_1=110\,000} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}U_2=U_1+10\,000=110\,000+10\,000\quad\Longrightarrow\quad\boxed{U_2=120\,000} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}U_3=U_2+10\,000=120\,000+10\,000\quad\Longrightarrow\quad\boxed{U_3=130\,000}$

En général, chaque terme de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (U_n) }$ , à partir du deuxième, est égal au précédent augmenté de 10 000.
Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (U_n) }$ est une suite arithmétique de raison $\overset{ { \white{ . } } } { r=10\,000 }$ dont le premier terme est $\overset{ { \white{ . } } } { U_0=100\,000. }$

3. On note par $\overset{ { \white{ . } } } {V_n }$ la valeur acquise par le placement effectué par Moussa de 100 000^F à intérêt composé avec capitalisation annuelle des intérêts au taux annuel de 10%, après $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ années.

Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } {V_1,\,V_2 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { V_3 }$ , puis en déduire la nature de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (V_n). }$

Le montant des intérêts gagnés sur le capital initial au cours d'une période donnée est réinvesti avec ce capital au cours de la période suivante.

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\boxed{V_0=100\,000} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}V_1=V_0+0,10\times V_0=(1+0,10)\,V_0=1,10\times 100\,000\quad\Longrightarrow\quad\boxed{V_1=110\,000} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}V_2=V_1+0,10\times V_1=(1+0,10)\,V_1=1,10\times 110\,000\quad\Longrightarrow\quad\boxed{V_1=121\,000} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}V_3=V_2+0,10\times V_2=(1+0,10)\,V_2=1,10\times 121\,000\quad\Longrightarrow\quad\boxed{V_1=133\,100}$

En général, chaque terme de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (V_n) }$ , à partir du deuxième, est égal au précédent multiplié par 1,10.
Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (V_n) }$ est une suite géométrique de raison $\overset{ { \white{ . } } } { q=1,1 }$ dont le premier terme est $\overset{ { \white{ . } } } { V_0=100\,000. }$

4. Exprimons $\overset{ { \white{ . } } } { U_n }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { V_n }$ en fonction de $\overset{ { \white{ . } } } { n. }$

Le terme général de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (U_n) }$ est $\overset{{\white{.}}}{U_n=U_0+n\,r.}$
Donc, pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\in\N,\quad \boxed{U_n=100\,000+10\,000 n}}$

Le terme général de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (V_n) }$ est $\overset{{\white{.}}}{V_n=V_0\times q^n.}$
Donc, pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\in\N,\quad \boxed{V_n=100\,000\times 1,1^n}}$

5. Déterminons les sommes obtenues par les deux amis au bout de 5 années de placement.

${ \white{ xxi } }$ $\bullet{\white{x}}U_5=100\,000+10\,000\times 5 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet{\phantom{x}U_5}}=100\,000+50\,000} \\\\\Longrightarrow \quad\boxed{U_5=150\,000}$

${ \white{ xxi } }$ $\bullet{\white{x}}V_5=100\,000\times 1,1^5 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet{\phantom{x}U_5}}=100\,000\times1,61051} \\\\\Longrightarrow \quad\boxed{V_5=161\,051}$

Par conséquent, au bout de 5 ans, Amadou possédera 150 000^F et Moussa possédera 161 051^F.

Le meilleur placement est par évidence celui de Moussa.

8 points

probleme

La production d'oignons d'une coopérative agricole, en fonction de la durée $\overset{ { \white{ _. } } } { t}$ exprimée en jours est modélisée par la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f, }$ définie par $\overset{ { \white{ . } } } {f(t) = 20t^3-60t }$ sur [0; 30], jours de production.

1. Le domaine de définition de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ D_f= [0\;;\;30]}\,.}$

2. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } {f'(t) }$ et dresser le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { t\in[0\;;\;30], }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(t) = (20t^3-60t)' \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(t) }=60t^2-60 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(t) }=60(t^2-1) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(t) }=60(t+1)(t-1) } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,t\in[0\;;\;30],\quad f'(t)=60(t+1)(t-1)}$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { t\in[0\;;\;30]\uad\Longrightarrow\quad 60(t+1)>0. }$

D'où, sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;30], }$ le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(t) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { (t-1) }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{matrix}t-1<0\Longleftrightarrow t<1\\\overset{ { \white{.} } } {t-1=0\Longleftrightarrow t=1} \\\overset{ { \phantom{.} } } {t-1>0\Longleftrightarrow t>1}\end{matrix} \begin{matrix}\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&&t&0&&&1&&&30 &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\t-1&&-&-&0&+&+&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\f'(t)&&-&-&0&+&+&\\&&&&&&&\\\hline \end{array}$

Dressons le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f. }$

$\begin{cases}f(0)=0\\f(1)=20-60=-40\\f(30)=20\times30^3-60\times30\\\phantom{WiW}=538\,200\end{cases} \begin{matrix}\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&1&&&30 &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\f'(t)&&-&-&0&+&+&\\&&&&&&&\\\hline&0&&&&&&538\,200\\f(t)&&\searrow&\searrow&&\nearrow&\nearrow&\\&&&&-40&&&\\\hline \end{array}$

3. La date de production assurant une perte minimale est $\overset{ { \white{ _. } } } { t=1 }$ jour.
${ \white{ xx } }$ Cette perte est alors égale à 40 kg.

4. La production pour 30 jours est de 538200 kg.

5. Traçons dans un repère orthonormé, la courbe exprimant la production d'oignons pendant 30 jours.

Publié par malou/Panter le 09-03-2025

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