Fiche de mathématiques

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Bac Niger 2023

Mathématiques série D

Durée : 4 heures
Coefficient : 5

exercice 1

1) Résoudre l'inéquation $(I)\text{ : }1-2\sqrt{x+1}>0$ .

2) Soit $f$ la fonction définie par: $f(x)=\sqrt{x+1}-x$ .

a) Utiliser la question 1) . Pour étudier les variations de $f$ .

b) Justifier que $f$ réalise une bijection de $\left[-\dfrac{3}{4};+\infty\right[$ vers un intervalle $J$ à déterminer.

c) Étudier la dérivabilité de $f^{-1}$ et calculer $(f^{-1})'(1)$ .

d) Calculer $(f^{-1})'(x)$ et justifier que, pour tout $x$ de $J\text{ , }f^{-1}(x)=\dfrac{1-2x+\sqrt{5-4x}}{2}$

exercice 2

Le tableau ci-dessous donne la distance de freinage sur une route sèche en fonction de la vitesse du véhicule. La série statistique étudiée comporte deux variables $X$ : la vitesse en $\text{ km/h }$ et $Y$ : la distance de freinage en $\text{ m }$ .

$\begin{array}{|c|l|l|l|l|l|}\hline \text{ Vitesse en km/h}&40&50&60&70&80\\ \hline \text{ Distance de freinage en m} &20,29&20,42&37,57&45,75&58,94\\ \hline \end{array}$

1-a) Pour tout $i\in\lbrace1;2;3;4;5;6;7;8;9\rbrace\text{ , on pose }z_i=\sqrt{y_i}$ et on appelle $Z$ la variable dont les modalités sont: $z_1;z_2;\cdots;z_9$ .

Calculer les différentes modalités de $Z$ .

b) Construire le nuage des points à la série double de variables $X\text{ et }Z$ .

c) Déterminer le coefficient de corrélation entre $X\text{ et }Z$ puis interpréter le.

d) Déterminer une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ .

2-a) Déterminer une relation fonctionnelle unissant $x\text{ et }y$ .

b) Déterminer une estimation de la distance de freinage nécessaire à un véhicule circulant à $120\text{ km/h}.$

probleme

Partie A
On considère les fonctions $u\text{ et }v$ définies par $u(x)=x-\ln(1+x)\text{ et }v(x)=x-\dfrac{x^2}{2}-\ln(1+x)$ .

1-a) Étudier les variations des fonctions $u \text{ et }v$ et donner leurs signes.

b) En déduire que, pour tout nombre réel $x\text{ , }x\geq 0 \text{ , }$

$x-\dfrac{x^2}{2}\leq \ln(1+x)\leq x \enskip\enskip(1)$

2) Soit $g$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par: $g(x)=\ln(1+x)-\dfrac{2x}{2+x}$

a) Démontrer que $g$ est dérivable sur son ensemble de définition et calculer $g'(x)$ $\text{[math]}$ .

b) Pour tout nombre réel $x\text{ , }x\geq 0$ , minorer $(1+x)(2+x)^2$ , puis en déduire que $0\leq g'(x)\leq \dfrac{x^2}{4}$ .

c) En déduire que, pour tout nombre réel $x\text{, }x\geq 0 \text{ , }0\leq g(x)\leq \dfrac{x^3}{12}\enskip\enskip (2)$

3) On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[ \text{ par: }\begin{cases} f(0)=1\\ f(x)=\dfrac{\ln (x+1)}{x}&\text{ si }x\neq 0 \end{cases}$

a) Étudier la continuité en $0$ .

b) Calculer $f'(x)$ , puis établir que, pour tout nombre réel $x\text{ , }x\geq 0\text{ , }$

$g(x)\leq \ln(x+1)-\dfrac{x}{x+1}$

4-a) Déterminer la limite de $f(x)$ en $+\infty.$

b) En utilisant 2-b) , justifier que $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x-\ln(x+1)}{x^2}=\dfrac{1}{2}\enskip\enskip(3)$

c) En déduire que $f$ est dérivable en $0$ et calculer $f'(0)$ .

d) Donner une équation de la tangente $T$ à $C_f$ en $0$ et préciser leur position .

5-a) En utilisant la question 3-b) , montrer que $x^2 f'(x)+g(x)\leq 0 \text{ , pour tout }x\geq 0$ .

b) En déduire le signe de $f'(x)$ .

c) Dresser le tableau de variation de $f$ , puis tracer la courbe de $f$ .

Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=a\text{ et }u_ {n+1}=\ln(1+u_n)\text{ où }a$ est un réel donné strictement positif.

1-a) Justifier, que pour tout $n$ entier naturel, $u_n>0$ et que la suite $(u_n)$ est décroissante.

b) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et montrer que sa limite est nulle.

Encadrement de $u_n$

On prend $a=1$ et on pose pour tout entier naturel $n\text{ , }v_n=\dfrac{1}{u_n}.$

2-a) Exprimer $v_{n+1}-v_n$ en fonction de $u_n$ et en déduire à l'aide de $(3)$ la limite de $v_{n+1}-v_n$ .

b-(i) Montrer à l'aide de l'égalité $(2)$ , que pour tout entier $n\text{ , }\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\ln(x+1)}=\dfrac{(2-x)g(x)}{2x\ln (x+1)}$ , et que:

$\dfrac{(2-x)g(x)}{2x\ln(x+1)}\leq \dfrac{(2+x)^2}{4x^2} g(x)$

(ii) Montrer que, pour tout réel $x\text{ de }]0;1]\text{ , }\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{16}x\leq \dfrac{1}{\ln(x+1)}-\dfrac{1}{x}\leq \dfrac{1}{2}$ .

(iii) Prouver que, pour tout réel $x\text{ , }\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{16}u_n\leq v_{n+1}-v_n\leq \dfrac{1}{2} \enskip\enskip(4)$ . Puis que $\dfrac{1}{4}\leq v_{n+1}-v_n\leq \dfrac{1}{2}\enskip\enskip (5)$

3-a) En effectuant la somme des inégalités $(5)$ , encader $v_n-v_1$ .

b) En déduire que, pour tout entier naturel $n\text{ , }\dfrac{2}{n+2}\leq u_n\leq\dfrac{4}{n+4}$ .

c) Retrouver la limite de la suite $(u_n)$ .

Publié par malou/Panter le 17-07-2023

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