Fiche de mathématiques

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Bac Mathématiques Sénégal 2023

Séries L1a-L1b-L'1-L2-LA

Epreuve du 1^er groupe

Durée : 3 heures

Coefficient : 2

4,5 points

exercice 1

3,5 points

exercice 2

6 points

exercice 3

6 points

exercice 4

Voir la correction

Bac Sénégal 2023 série L

4,5 points

exercice 1

1. Rappelons la définition d'une suite géométrique et celle d'une suite arithmétique.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Une suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n)}$ est géométrique s'il existe un réel $\overset{ { \white{ . } } } {q }$ tel que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } {n,}$

$\boxed{u_{n+1} = q\,u_n}\,.$
Le réel $\overset{ { \white{ . } } } { q}$ est appelé raison de la suite.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Une suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n)}$ est arithmétique s'il existe un réel $\overset{ { \white{ . } } } {r }$ tel que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } {n,}$

$\boxed{u_{n+1} = u_n + r}\,.$
Le réel $\overset{ { \white{ . } } } { r}$ est appelé raison de la suite.

2. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n)}$ une suite arithmétique de raison $\overset{ { \white{ . } } } { r}$ et de premier terme $\overset{ { \white{ . } } } { u_0.}$
Nous devons donner l'expression de $\overset{ { \white{ . } } } { u_n}$ en fonction de $\overset{ { \white{ . } } } { r,n}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { u_1}$

Écrivons les premiers termes de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n).}$

${ \white{ xxi } }$ $u_2=u_1+r \\\overset{ { \white{ . } } } {u_3=u_2+r } \\\overset{ { \white{ . } } } {u_4=u_3+r } \\\overset{ { \white{ . } } } {\cdots } \\\overset{ { \phantom{ . } } } {u_{n}=u_{n-1}+r }$

Additionnons membre à membre ces $\overset{ { \white{ _. } } }{ n-1 }$ égalités.
Nous obtenons ainsi : $\overset{ { \white{ . } } } { u_2+u_3+u_4+\cdots+u_n=u_1+u_2+u_3+\cdots+u_{n-1}+(n-1)\times r}$

En retranchant aux deux membres les termes identiques, nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{u_n=u_1+(n-1)\times r} }$

Remarque : Donnons l'expression de $\overset{ { \white{ . } } } { u_n}$ en fonction de $\overset{ { \white{ . } } } { r,n}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { u_0}$

Écrivons les premiers termes de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n).}$

${ \white{ xxi } }$ $u_1=u_0+r \\\overset{ { \white{ . } } } {u_2=u_1+r } \\\overset{ { \white{ . } } } {u_3=u_2+r } \\\overset{ { \white{ . } } } {\cdots } \\\overset{ { \phantom{ . } } } {u_{n}=u_{n-1}+r }$

Additionnons membre à membre ces $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ égalités.
Nous obtenons ainsi : $\overset{ { \white{ . } } } { u_1+u_2+u_3+\cdots+u_n=u_0+u_1+u_2+\cdots+u_{n-1}+n\times r}$

En retranchant aux deux membres les termes identiques, nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{u_n=u_0+n\times r} }$

3. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n)}$ une suite géométrique de raison $\overset{ { \white{ . } } } { q}$ et de premier terme $\overset{ { \white{ . } } } { v_0.}$
Nous devons donner l'expression de $\overset{ { \white{ . } } } { v_n}$ en fonction de $\overset{ { \white{ . } } } { q,n}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { v_0}$

Préliminaires :
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Si $\overset{ { \white{ . } } } { v_0=0,}$ alors il est évident que tous les termes de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n)}$ sont nuls.
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Si $\overset{ { \white{ . } } } { q=0,}$ alors il est évident que tous les termes de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n)}$ à partir du deuxième, sont nuls.
Dans la suite nous envisagerons le cas général où $\overset{ { \white{ . } } } { v_0\neq0}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { q\neq0,}$

Écrivons les premiers termes de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n).}$

${ \white{ xxi } }$ $v_1=q\times v_0 \\\overset{ { \white{ . } } } {v_2=q\times v_1 } \\\overset{ { \white{ . } } } {v_3=q\times v_2 } \\\overset{ { \white{ . } } } {\cdots } \\\overset{ { \phantom{ . } } } {v_{n}=q\times v_{n-1} }$

Multiplions membre à membre ces $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ égalités.
Nous obtenons ainsi : $\overset{ { \white{ . } } } { v_1\times v_2\times v_3\times\cdots\times v_n=v_0\times v_1\times v_2\times\cdots\times v_{n-1}\times q^n.}$

En divisant les deux membres par les termes identiques (non nuls), nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{v_n=v_0\times q^n} }\,.$

4. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } {A }$ un événement d'un univers $\overset{ { \white{ _. } } } {\Omega }$ dans une épreuve aléatoire.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Dans le cas de l'équiprobabilité, nous calculons la probabilité de $\overset{ { \white{_ . } } } {A}$ par

$\overset{ { \white{ . } } }{p(A)=\dfrac{\text{nombre de résultats dans }A}{\text{nombre de résultats dans }\Omega}}.$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Dans le cas de non équiprobabilité, nous calculons la probabilité de $\overset{ { \white{ _. } } } {A}$ en additionnant les probabilités des événements élémentaires composant $\overset{ { \white{ _. } } } {A.}$

3,5 points

exercice 2

Soient les suites $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n)}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n)}$ définies par : $\overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix} u_0=9\phantom{WWW}\\\overset{ { \white{ . } } } {u_{n+1}=\dfrac13\,u_n+2}\end{matrix}\right. }$ ${ \white{ xi } }$ et ${ \white{ xi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } {v_n=u_n-3. }$

1. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { u_1,u_2,v_0}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {v_1. }$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}u_1=\dfrac13\,u_0+2=\dfrac13\times9+2=3+2=5\\\\u_2=\dfrac13\,u_1+2=\dfrac13\times5+2=\dfrac{5}{3}+2=\dfrac{11}{3}\\\\v_0=u_0-3=9-3=6\phantom{WWWWWW}\\\\v_1=u_1-3=5-3=2\phantom{WWWWWW}\end{matrix}\right. \quad\Longrightarrow\quad\boxed{\begin{matrix}u_1=5\\\\ u_2=\dfrac{11}{3}\\\\v_0=6\\\\v_1=2\end{matrix}}$

2. Nous devons montrer que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } {n\in\N,\quad v_{n+1}=\dfrac13\,v_n. }$

En effet, pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } {n\in\N,}$

${ \white{ xxi } }$ $v_{n+1}=u_{n+1}-3 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{v_{n+1}}=\dfrac13\,u_n+2-3} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{v_{n+1}}=\dfrac13\,u_n-1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{v_{n+1}}=\dfrac13\,(u_n-3)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{v_{n+1}}=\dfrac13\, v_n} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N,\;v_{n+1}=\dfrac13\,v_n}$

Il s'ensuit que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n)}$ est une suite géométrique.
La raison de cette suite est $\overset{ { \white{ . } } } { q=\dfrac 13}$ et le premier terme est $\overset{ { \white{ . } } } { v_0=6.}$

3. Nous avons montré dans la question 3 que $\overset{ { \white{ . } } } { v_n=v_0\times q^n}$ .
Nous obtenons ainsi : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{v_n=6\times\left(\dfrac13\right)^n}\,.}$

4. Nous avons pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n\in\N,}$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}v_n=u_n-3\phantom{xx}\\\overset{ { \white{ . } } } { v_n=6\times\left(\dfrac13\right)^n}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad u_n-3=6\times\left(\dfrac13\right)^n \\\phantom{WWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad u_n=3+6\times\left(\dfrac13\right)^n$
Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{u_n=3\left(1+2\times\left(\dfrac13\right)^n\right)}\,.}$

6 points

exercice 3

Aminata a dans son sac sept billets de banque dont trois de 10 000 F et quatre de 5 000 F.
Elle désire acheter pour son fils un vélo qui coûte 30 000 F dans un magasin.
Elle tire au hasard simultanément 4 billets de son sac et compte le montant obtenu.
On précise que tous les billets ont la même chance d'être tirés.

1. Déterminons tous les montants qu'elle peut obtenir à l'issue de ce tirage.

Aminata peut tirer :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ soit 4 billets de 5 000 F, ce qui lui donne un montant de 20 000 F,
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ soit 3 billets de 5 000 F et 1 billet de 10 000 F, ce qui lui donne un montant de 25 000 F,
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ soit 2 billets de 5 000 F et 2 billets de 10 000 F, ce qui lui donne un montant de 30 000 F,
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ soit 1 billet de 5 000 F et 3 billets de 10 000 F, ce qui lui donne un montant de 35 000 F.

2. Nous devons calculer la probabilité d'obtenir un montant supérieur ou égal à 25 000 F.

Soit l'événement $\overset{ { \white{ . } } } { A: }$ ''obtenir un montant supérieur ou égal à 25 000 F''.
Dans ce cas, l'événement contraire est $\overset{ { \white{ _. } } } { \overline{A}: }$ ''obtenir un montant strictement inférieur à 25 000 F'', soit ''obtenir un montant égal à 20 000 F''.

Nous obtenons ainsi : $\overset{ { \white{ . } } } {p(A)=1-p(\,\overline{A}\,). }$

Nous sommes dans le cas d'une équiprobabilité.

Le nombre de possibilités de tirer 4 cartes parmi les 7 cartes est égal à

$\overset{ { \white{ . } } } {C_7^4=\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}=\dfrac{7!}{4!(7-4)!}=35. }$
Il y a une seule manière de tirer 4 billets de 5 000 F parmi les 4 billets de 5 000 F.

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { p(\,\overline{A}\,)=\dfrac{1}{35}.}$

Par conséquent, la probabilité d'obtenir un montant supérieur ou égal à 25 000 F est égale à

$\overset{ { \white{ . } } } {p(A)=1-\dfrac{1}{35}=\dfrac{34}{35} .}$

3. Nous devons calculer la probabilité d'obtenir 30 000 F.

Aminata obtiendra un montant de 30 000 F en tirant 2 billets de 5 000 F et 2 billets de 10 000 F.
Il y a 35 tirages possibles de 4 cartes parmi les 7 cartes.
Le nombre de possibilités de tirer 2 billets de 5 000 F parmi les 4 billets de 5 000 F et 2 billets de 10 000 F parmi les 3 billets de 10 000 F est égal à :
$\overset{ { \white{ . } } } {C_4^2\times C_3^2=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\dfrac{4!}{2!\times2!}\times\dfrac{3!}{2!\times1!}=6\times3=18. }$
Par conséquent, la probabilité d'obtenir exactement le montant permettant à Aminata d'acheter le vélo est égale à $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac{18}{35}. }$

6 points

exercice 4

On considère la fonction numérique de la variable réelle $\overset{ { \white{ . } } } { x}$ définie par $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=\text{e}^{x-1}-x+1}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathscr{C}_f) }$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\overset{ { \white{ . } } } {(O\;;\;\vec i,\vec j) }$ d'unité 1 cm.
1. L'ensemble de définition de $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { D_f=\R.}$

2. Nous devons calculer les limites de $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ aux bornes de $\overset{ { \white{ . } } } {D_f. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to-\infty} f(x).}$

Rappelons que $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=\text{e}^{x-1}-x+1 }$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=\text{e}^{x-1}-(x-1). }$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(x-1)=-\infty\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{X\to-\infty}\text e^X=0\phantom{WWW}}\end{matrix}\right.\quad\underset{(X=x-1)}{\Longrightarrow}\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\text e^{x-1}=0 \\\phantom{WWWWWWWWxWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\text e^{x-1}-(x-1)=+\infty .\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWxWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to+\infty} f(x).}$

Posons $\overset{ { \white{ . } } } {X=x-1. }$
Dès lors, si $\overset{ { \white{ . } } } {x }$ tend vers $\overset{ { \white{ . } } } {+\infty, }$ alors $\overset{ { \white{ _. } } } {X }$ tend également vers $\overset{ { \white{ . } } } {+\infty.}$

Nous en déduisons que :

$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{X\to+\infty}(\text e^X-X) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)}=\lim\limits_{X\to+\infty}\text e^X\left(1-\dfrac{X}{\text e^X}\right)} \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{X\to+\infty}\text e^X=+\infty \phantom{WWWWWWWWW}\\\lim\limits_{X\to+\infty}\dfrac{X}{\text e^X}=0\quad(\text{croissances comparées)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{X\to+\infty}\text e^X=+\infty\phantom{WW}\\\lim\limits_{X\to+\infty}\left(1-\dfrac{X}{\text e^X}\right)=1\end{matrix}\right. \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{X\to+\infty}\text e^X\left(1-\dfrac{X}{\text e^X}\right)=+\infty}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=+\infty}\,.}$

3. Montrons que la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(D):y=-x+1}$ est une asymptote oblique à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f)}$ en $\overset{ { \white{ . } } } { -\infty.}$

$\lim\limits_{x\to-\infty}\Big(f(x)-(-x+1)\Big)=\lim\limits_{x\to-\infty}\Big(f(x)+x-1\Big) \\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}\Big(f(x)-(-x+1)\Big)}=\lim\limits_{x\to-\infty}(\text{e}^{x-1}-x+1+x-1) \\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}\Big(f(x)-(-x+1)\Big)}=\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{x-1} \\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}\Big(f(x)-(-x+1)\Big)}=0 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}\Big(f(x)-(-x+1)\Big)=0}$

D'où la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(D):y=-x+1}$ est une asymptote oblique à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f)}$ en $\overset{ { \white{ . } } } { -\infty.}$

4. Étudions la position de $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f)}$ par rapport à $\overset{ { \white{ . } } } { (D).}$

En utilisant les résultats de la question 3, nous déduisons que :

$\lim\limits_{x\to-\infty}\Big(f(x)-(-x+1)\Big)=\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{x-1}=0^+.$
Par conséquent, la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f)}$ est au-dessus de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (D).}$

5. Calculons la dérivée $\overset{ { \white{ . } } } {f' }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { f.}$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } {\R. }$

Pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x,}$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=(\text{e}^{x-1}-x+1)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=(\text{e}^{x-1})'-1+0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=(x-1)'\times\text{e}^{x-1}-1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=1\times\text{e}^{x-1}-1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\text{e}^{x-1}-1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\;f'(x)=\text e^{x-1}-1}$

Étudions le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x)}$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { \R.}$

$\begin{matrix}\text e^{x-1}-1<0\Longleftrightarrow \text e^{x-1}<1 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWW}\Longleftrightarrow x-1<\ln1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWW}\Longleftrightarrow x-1<0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WxWW}\Longleftrightarrow x<1} \\\overset{ { \phantom{-} } } {\text e^{x-1}-1=0\Longleftrightarrow x=1\phantom{WW}} \\\overset{ { \phantom{-} } } {\text e^{x-1}-1>0\Longleftrightarrow x>1\phantom{WW}} \end{matrix} \begin{matrix}\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-\infty&&&1&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\\text e^{x-1}-1&&-&-&0&+&+&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\f'(x)&&-&-&0&+&+&\\&&&&&&&\\\hline \end{array}$

$\text{Donc }\;f'(x)<0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\;]-\infty\;;\;1[\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWx} f'(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=1}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWx} f'(x)>0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\;]1\;;\;+\infty[}$

6. Nous pouvons dresser le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { \R.}$

$\text {Remarque : }\;f(1)=\text{e}^{1-1}-1+1\\\phantom{ \text { \text {Remarque : }\;}f(1)}=1-1+1\\\phantom{ \text {Remarque : }\;f(1).}=1$

Tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f}$

${ \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-\infty&&&1&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\f'(x)&&-&-&0&+&+&\\&&&&&&&\\\hline&+\infty&&&&&&+\infty\\f(x)&&\searrow&\searrow&&\nearrow&\nearrow&\\&&&&1&&&\\\hline \end{array}$

7. Nous devons calculer ${\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\,. }$

$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^{x-1}-x+1}{x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{\text{e}^{x-1}}{x}-\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{\text{e}^{x-1}}{x}-1+\dfrac{1}{x}\right)}$

$\text{Or }\;\bullet\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^{x-1}}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^{x}\times\text{e}^{-1}}{x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWvW}=\text{e}^{-1}\times\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^{x}}{x}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWvW}=+\infty\quad(\text{croissances comparées})} \\\\\phantom{WW}\bullet\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0 \\\\\text{D'où }\;\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{\text{e}^{x-1}}{x}-1+\dfrac{1}{x}\right)=+\infty$

Par conséquent, $\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty}\,.$

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}$ et que $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty.$
Dès lors, la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathscr{C}_f)}$ possède une branche parabolique de direction $\overset{ { \white{ . } } } { (Oy).}$

8. Traçons la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(D) }$ et la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathscr{C}_f)}$ dans le même repère.

9. Soit la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } {F}$ définie par $\overset{ { \white{ _. } } } { F(x)=\text e^{x-1}-\dfrac12x^2+x}$ pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } {x\in\R. }$

9. a) Nous devons montrer que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { F}$ est une primitive de $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ dans $\overset{ { \white{ . } } } {\R. }$

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { F}$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } {\R. }$
Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in\R,}$

${ \white{ xxi } }$ $F'(x)=\left(\text e^{x-1}-\dfrac12x^2+x\right)' \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{F(x)}=(x-1)'\times\text e^{x-1}-\dfrac12\times(2x)+1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{F(x)}=1\times\text e^{x-1}-x+1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{F(x)}=\text e^{x-1}-x+1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{F(x)}=f(x)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\;F'(x)=f(x)}$
Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { F}$ est une primitive de $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ dans $\overset{ { \white{ . } } } {\R. }$

9. b) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle \int_0^2 f(x) \text{d}x.}$

${ \white{ xxi } }$ $\displaystyle \int_0^2 f(x) \text{d}x=\left[\overset{}{F(x)}\right]_0^2=\left[\overset{}{\text e^{x-1}-\dfrac12x^2+x}\right]_0^2 \\\phantom{\displaystyle \int_0^2 f(x) \text{d}x}=\left(\text e^{2-1}-\dfrac12\times2^2+2\right)-\left(\text e^{-1}-\dfrac12\times0+0\right) \\\phantom{\displaystyle \int_0^2 f(x) \text{d}x}=\text e-\text e^{-1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle \int_0^2 f(x) \text{d}x=\text e-\dfrac{1}{\text e}\approx2,35}$

Le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ nous apprend que le minimum de $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ est égal à 1.
Il s'ensuit que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ est positive sur l'intervalle [0 ; 2].

De plus, l'unité de longueur du repère est 1 cm.
Nous en déduisons que l'aire en cm², de la partie du plan délimitée par la courbe $\overset{ { \phantom{ (c) } } } { (\mathscr{C}_f) }$ , les droites d'équations $\overset{ { \white{ _. } } } { x=0 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { x=2 }$ et l'axe des abscisses est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \left(\text e-\dfrac{1}{\text e}\right)\text{cm}^2}$ , soit environ $\overset{ { \white{ . } } } { 2,35\text{ cm}^2.}$

Publié par malou le 19-02-2024

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