Fiche de mathématiques

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Ile mathématiques > maths bac > Bac 2023 toujours : des sujets venus d'ailleurs

Baccalauréat Mathématiques

Sénégal 2023

Séries S2-S2A-S4-S5

2^e groupe

Durée : 4 heures

Coefficient : 5

Bac Sénégal 2023 série S2 (2e groupe) : image 5

5 points

exercice 1

Bac Sénégal 2023 série S2 (2e groupe) : image 8

5 points

exercice 2

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5 points

exercice 3

Bac Sénégal 2023 série S2 (2e groupe) : image 2

5 points

exercice 4

Voir la correction

Bac Sénégal 2023 série S2 (2e groupe)

5 points

exercice 1

1. La forme trigonométrique de $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{-1+\text i}{\sqrt 2} }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { {\red{\cos\dfrac{3\pi}{4}+\text i\sin\dfrac{3\pi}{4}}}. }$

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{-1+\text i}{\sqrt 2}=-\dfrac{1}{\sqrt 2}+\text i\dfrac{1}{\sqrt 2}=-\dfrac{\sqrt 2}{2}+\text i\dfrac{\sqrt 2}{ 2}=\cos\dfrac{3\pi}{4}+\text i\sin\dfrac{3\pi}{4}. \\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{-1+\text i}{\sqrt 2}=\cos\dfrac{3\pi}{4}+\text i\sin\dfrac{3\pi}{4}}\,.$

${ \white{ xxi } }$ ${\blue{\text{La réponse A est correcte.}}}$

2. $\overset{ { \white{ . } } } {(-1+\text i)^{11} }$ est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { {\red{32+32\text i}}. }$

${ \white{ xxi } }$ $(-1+\text i)^{11}=(-1+\text i)^{10}\times(-1+\text i) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{(-1+\text i)^{11}}=\Big((-1+\text i)^{2}\Big)^5\times(-1+\text i)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{(-1+\text i)^{11}}=\Big(1-2\,\text i+\text i^2\Big)^5\times(-1+\text i)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{(-1+\text i)^{11}}=(1-2\,\text i-1)^5\times(-1+\text i)}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{(-1+\text i)^{11}}=(-2\,\text i)^5\times(-1+\text i)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{(-1+\text i)^{11}}=(-2)^5\,\text i^5\times(-1+\text i)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{(-1+\text i)^{11}}=-32\,\text i\times(-1+\text i)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{(-1+\text i)^{11}}=32\,\text i-32\,\text i^2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{(-1+\text i)^{11}}=32\,\text i+32} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{(-1+\text i)^{11}=32+32\,\text i}$

${ \white{ xxi } }$ ${\blue{\text{La réponse C est correcte.}}}$

3. La valeur exacte de ${ \overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{0}^{1} {x\,\text e^x}\;\text{d}x}}$ est $\overset{ { \white{ . } } } { {\red{1}}. }$

Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { I=\displaystyle\int_{0}^{1} {x\,\text e^x}\;\text{d}x} .$
$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_0^{1}u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_0^1- \displaystyle\int\limits_0^1u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\ \\ \left\lbrace\begin{matrix}u(x)=x\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=1 \\\\v'(x)=\text e^x\phantom{}\quad\Longrightarrow\quad v(x)=\text e^x\end{matrix}\right.$

Dès lors $\overset{ { \white{ . } } } { I=\left[\overset{}{x\,\text e^x}\right]_0^1-\displaystyle\int_0^{1}1\times\text{e}^x\,\text{d}x=\left[\overset{}{x\,\text e^x}\right]_0^1-\displaystyle\int_0^{1}\text{e}^x\,\text{d}x}$
${ \white{ WWWWi} }$ $\\\\\phantom{I}=\left[\overset{}{x\,\text e^x}\right]_0^1-\left[\overset{}{\text e^x}\right]_0^1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{I}=(\text e^1-0)-(\text e^1-\text e^0)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{I}=\text e-\text e+1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{I}=1}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \displaystyle\int_{0}^{1} {x\,\text e^x}\;\text{d}x=1}\,. }$

${\blue{\text{La réponse B est correcte.}}}$

4. Les solutions de l'équation différentielle ${ \overset{ { \white{ . } } } {y''+2y'-3y=0}$ sont de la forme ${ {\red{a\,\text e^x+b\,\text e^{-3x}}}. }$

Soit la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=a\,\text e^x+b\,\text e^{-3x}\quad\text{avec }a\in\R,b\in\R. }$
La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in\R,\quad f'(x)=a\,\text e^x-3\,b\,\text e^{-3x}.}$
La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f' }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in\R,\quad f''(x)=a\,\text e^x+9\,b\,\text e^{-3x}.}$

Nous en déduisons que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ ,

$f''(x)+2f'(x)-3f(x)=(a\,\text e^x+9\,b\,\text e^{-3x})+2(a\,\text e^x-3\,b\,\text e^{-3x})-3(a\,\text e^x+b\,\text e^{-3x}) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f''(x)+2f'(x)-3f(x)}=a\,\text e^x+9\,b\,\text e^{-3x}+2a\,\text e^x-6\,b\,\text e^{-3x}-3a\,\text e^x-3b\,\text e^{-3x}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f''(x)+2f'(x)-3f(x)}=0}$

Donc les solutions de l'équation différentielle ${ \overset{ { \white{ . } } } {y''+2y'-3y=0}$ sont de la forme $a\,\text e^x+b\,\text e^{-3x}.$

${\blue{\text{La réponse B est correcte.}}}$

5. La suite ${ \overset{ { \white{ . } } } {(U_n)}$ définie par ${ \overset{ { \white{ . } } } {U_0=3}$ et ${ \overset{ { \white{ . } } } {U_{n+1}=-\dfrac53\, U_n}$ vérifie : ${ {\red{U_n=\dfrac{(-5)^n}{3^{n-1}}}}. }$

La suite ${ \overset{ { \white{ . } } } {(U_n)}$ est une suite géométrique de raison ${ \overset{ { \white{ . } } } {q=-\dfrac53}$ dont le premier terme est ${ \overset{ { \white{ . } } } {U_0=3.}$
Le terme général de la suite est donné par $\overset{ { \white{ . } } } { U_n=U_0\times q^n. }$
Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { U_n=3\times\left(-\dfrac53\right)^n=3\times\dfrac{(-5)^n}{3^n}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{U_n=\dfrac{(-5)^n}{3^{n-1}}} }$

${\blue{\text{La réponse C est correcte.}}}$

5 points

exercice 2

Une enquête a été menée auprès de 30 ménages. Le tableau à double entrée ci-après donne, pour chaque ménage, le nombre $\overset{ { \white{_. } } } { X }$ d'enfants et le revenu annuel $\overset{ { \white{ . } } } {Y, }$ en millions de francs CFA.

Bac Sénégal 2023 série S2 (2e groupe) : image 11

1. Nous devons donner les séries marginales associées aux caractères $\overset{ { \white{_. } } } { X }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {Y. }$

Tableau représentant la série marginale associée au caractère $\overset{ { \white{_. } } } { X. }$

${ \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|cc|cc|cc|c|}\hline &&&&&&&&x_i&\phantom{x}5&&\phantom{x}8&&\phantom{x}11&&\phantom{x}14\phantom{x} &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\n_i&\phantom{x}5&&\phantom{x}11&&\phantom{x}6&&8\\&&&&&&&\\\hline \end{array}$

Tableau représentant la série marginale associée au caractère $\overset{ { \white{_. } } } { Y. }$

${ \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|cc|cc|cc|c|}\hline &&&&&&&&y_j&\phantom{x}7&&\phantom{x}12&&\phantom{x}27&&\phantom{x}28\phantom{x} &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\n_j&\phantom{x}8&&\phantom{x}9&&\phantom{x}8&&5\\&&&&&&&\\\hline \end{array}$

2. Nous devons déterminer les moyennes ${\overline{X}}$ et ${ \overline{Y} }$ de ces séries.

${ \white{ xxi } }$ $\overline{X}=\dfrac{5\times5+8\times11+11\times6+14\times8}{30}=9,7 \\\\ \overline{Y}=\dfrac{7\times8+12\times9+27\times8+28\times5}{30}=\dfrac{52}{3}\approx17,3$

3. a) Calculons les variances $\overset{ { \white{ . } } } { V(X) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { V(Y) }$ de ces séries marginales.

${ \white{ xxi } }$ $V(X)=\dfrac{5(5-9,7)^2+11(8-9,7)^2+6(11-9,7)^2+8(14-9,7)^2}{30} \\\\\Longrightarrow\boxed{V(X)=10,01} \\\\ V(Y)=\dfrac{8\left(7-\dfrac{52}{3}\right)^2+9\left(12-\dfrac{52}{3}\right)^2+8\left(27-\dfrac{52}{3}\right)^2+5\left(28-\dfrac{52}{3}\right)^2}{30} \\\\\Longrightarrow\boxed{V(Y)=\dfrac{728}{9}\approx80,9}$

3. b) Nous devons en déduire les écarts-types $\overset{ { \white{ . } } } { \sigma(X) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { \sigma(Y) }$ des séries marginales.

${ \white{ xxi } }$ $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\sigma(X)=\sqrt{10,01}\approx3,16} \\\\\sigma(Y)=\sqrt{V(Y)}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\sigma(Y)=\sqrt{\dfrac{728}{9}}=\dfrac{2\sqrt{182}}{3}\approx8,99}$

5 points

exercice 3

On considère la suite ${ \overset{ { \white{ . } } } {(U_n)}$ définie par ${ \overset{ { \white{ _. } } } {U_n=\displaystyle \int_0^1\dfrac{\text e^{-nx}}{1+\text e^{-x}}\,\text{d}x. }$

1. Démontrons que $\overset{ { \white{ . } } } { U_0+U_1=1. }$

${ \white{ xxi } }$ $U_0+U_1=\displaystyle \int_0^1\dfrac{\text e^{0}}{1+\text e^{-x}}\,\text{d}x+\displaystyle \int_0^1\dfrac{\text e^{-x}}{1+\text e^{-x}}\,\text{d}x \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{U_0+U_1}=\displaystyle \int_0^1\dfrac{1}{1+\text e^{-x}}\,\text{d}x+\displaystyle \int_0^1\dfrac{\text e^{-x}}{1+\text e^{-x}}\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{U_0+U_1}=\displaystyle \int_0^1\left(\dfrac{1}{1+\text e^{-x}}+\dfrac{\text e^{-x}}{1+\text e^{-x}}\right)\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{U_0+U_1}=\displaystyle \int_0^1\left(\dfrac{1+\text e^{-x}}{1+\text e^{-x}}\right)\,\text{d}x}$
${ \white{ xxWWWii } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{U_0+U_1}=\displaystyle \int_0^11\,\text{d}x=\left[\overset{{\phantom{5}}}{x}\right]_0^1=1-0=1}$

${ \white{ xxi } }$ $\Longrightarrow\quad\boxed{U_0+U_1=1}$

2. a) Nous devons calculer ${ \overset{ { \white{ . } } } {U_1.}$

${ \white{ xxi } }$ $U_1=\displaystyle \int_0^1\dfrac{\text e^{-x}}{1+\text e^{-x}}\,\text{d}x \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{U_1}=-\displaystyle \int_0^1\dfrac{-\text e^{-x}}{1+\text e^{-x}}\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{U_1}=-\displaystyle \int_0^1\dfrac{(1+\text e^{-x})'}{1+\text e^{- x}}\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{U_1}=-\left[\overset{}{\ln(1+\text e^{-x})}\right]}_0^1$
${ \white{ xxi } }$ ${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{U_1}=-\left[\overset{}{\ln(1+\text e^{-1})-\ln(1+\text e^{0})}\right]} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{U_1}=-\left[\overset{}{\ln(1+\dfrac{1}{\text e})-\ln(1+1)}\right]} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{U_1}=-\left[\overset{}{\ln\left(\dfrac{\text e+1}{\text e}\right)-\ln(2)}\right]}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{U_1}=-\left[\overset{}{\ln(\text e+1)-\ln(\text e)-\ln(2)}\right]} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{U_1}=-\overset{}{\ln(\text e+1)+\ln(\text e)+\ln(2)}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{U_1}=-\overset{}{\ln(\text e+1)+1+\ln(2)}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{U_1=1+\ln(2)-\ln(\text e+1)}$

2. b) Nous devons en déduire ${ \overset{ { \white{ . } } } {U_0.}$

$\left\lbrace\begin{matrix}U_0+U_1=1\phantom{WWWWW}\\\overset{ { \white{ . } } } { U_1=1+\ln(2)-\ln(\text e+1)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad U_0+1+\ln(2)-\ln(\text e+1)=1 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad U_0=\ln(\text e+1)-\ln(2) \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{U_0=\ln\left(\dfrac{\text e+1}{2}\right)}$

3. Nous devons montrer que : $\overset{ { \white{ . } } } {\forall\,n\in\N,\; U_n\ge0. }$

Nous savons que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } {x\mapsto \dfrac{\text e^{-nx}}{1+\text e^{-x}}\quad(n\in\N) }$ est continue et positive sur $\overset{ { \white{ . } } } { \R }$ et donc en particulier sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;1]. }$
Dès lors selon le théorème de positivité de l'intégrale, nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_0^1\dfrac{\text e^{-nx}}{1+\text e^{-x}}\,\text{d}x\ge0\quad(n\in\N). }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\forall\,n\in\N,\; U_n\ge0}\,. }$

4. Nous devons montrer que : ${\forall\,n\in\N^*,\; U_{n+1}+U_n=\dfrac{1-\text e^{-n}}{n}. }$

Pour tout entier naturel non nul $\overset{ { \white{ o } } } { n },$

${ \white{ xxi } }$ $U_{n+1}+U_n=\displaystyle\int_0^1\dfrac{\text e^{-(n+1)x}}{1+\text e^{-x}}\,\text{d}x+\displaystyle\int_0^1\dfrac{\text e^{-nx}}{1+\text e^{-x}}\,\text{d}x \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{U_{n+1}+U_n}=\displaystyle\int_0^1\dfrac{\text e^{-nx-x}+\text e^{-nx}}{1+\text e^{-x}}\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{U_{n+1}+U_n}=\displaystyle\int_0^1\dfrac{\text e^{-nx}\,\text e^{-x}+\text e^{-nx}}{1+\text e^{-x}}\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{U_{n+1}+U_n}=\displaystyle\int_0^1\dfrac{\text e^{-nx}\,(\text e^{-x}+1)}{1+\text e^{-x}}\,\text{d}x}$
${ \white{ WWWWWW} }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{U_{n+1}+U_n}=\displaystyle\int_0^1\text e^{-nx}\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{U_{n+1}+U_n}=-\dfrac1n\displaystyle\int_0^1-n\text e^{-nx}\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{U_{n+1}+U_n}=-\dfrac1n\displaystyle\int_0^1\left(\text e^{-nx}\right)'\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{U_{n+1}+U_n}=-\dfrac1n\left[\overset{}{\text e^{-nx}}\right]_0^1}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{U_{n+1}+U_n}=-\dfrac1n\left(\overset{}{\text e^{-n}-\text e^{0}}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{U_{n+1}+U_n}=-\dfrac1n\left(\overset{}{\text e^{-n}-1}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{U_{n+1}+U_n}=\dfrac{1-\text e^{-n}}{n}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N^*,\;U_{n+1}+U_n=\dfrac{1-\text e^{-n}}{n}}$

5. Nous devons en déduire que $\forall\,n\in\N^*,\;U_n\le\dfrac{1-\text e^{-n}}{n}\,.$

A l'aide des questions 3. et 4., nous déduisons que $\forall\,n\in\N^*,$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}U_{n+1}\ge 0 \phantom{WWWWW}\\U_{n+1}+U_n=\dfrac{1-\text e^{-n}}{n}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}U_n\le U_n+U_{n+1} \phantom{WW}\\\overset{ { \white{ . } } } {U_{n+1}+U_n=\dfrac{1-\text e^{-n}}{n}}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\boxed{U_n\le\dfrac{1-\text e^{-n}}{n}}$

6. Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{n\to+\infty} U_n.}$

D'un part, selon les question 3. et 5., nous avons :

$\forall\,n\in\N^*, \;\boxed{0\le U_n\le\dfrac{1-\text e^{-n}}{n}}$

D'autre part,

$\lim\limits_{n\to+\infty}\text e^{-n}=0\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}(1-\text e^{-n})=1 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1-\text e^{-n}}{n}=0}}$

Donc selon le théorème d'encadrement (théorème des gendarmes), nous obtenons :

$\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty} U_n=0}\,. }$

5 points

exercice 4

La maladie à coronavirus affecte 15 % de la population d'un pays.
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Si le test est positif, la personne testée est malade dans 95 % des cas.
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Si le test est négatif, la personne testée est malade dans 2 % des cas.
On note $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ l'événement ''être malade'', $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ l'événement ''avoir un test positif'' et $\overset{ { \white{ . } } } { p(A) }$ la probabilité de l'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ quelconque de cette expérience aléatoire.
On note : $\overset{ { \white{ . } } } {p(T)=\alpha . }$

1. Construisons l'arbre pondéré qui traduit cette situation.

Bac Sénégal 2023 série S2 (2e groupe) : image 10

2. a) Si le test est positif, alors $\overset{ { \white{ . } } } { p(M)=0,95 }$ et ${ p(\overline{M})=1-0,95=0,05. }$
${ \white{ xxxi } }$ Si le test est négatif, alors $\overset{ { \white{ . } } } { p(M)=0,02 }$ et ${ p(\overline{M})=1-0,02=0,98. }$

2. b) $p(T)=\alpha\quad\Longrightarrow\quad p(\overline{T})=1-p(T) \quad\Longrightarrow\quad \boxed{p(\overline{T})=1-\alpha}$

3. a) Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{p(M).}$

Les événements $\overset{{\white{_.}}}{T}$ et $\overline{T}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $p(M)=p(T\cap M)+p(\overline{T}\cap M) \\\phantom{p(M)}=p(T)\times p_{T}(M)+p(\overline{T})\times p_{\overline{T}}(M) \\\phantom{p(M)}=\alpha\times0,95+(1-\alpha)\times0,02 \\\phantom{p(M)}=0,95\,\alpha+0,02-0,02\,\alpha \\\phantom{p(M)}=0,02+0,93\,\alpha \\\\\Longrightarrow\boxed{p(M)=0,02+0,93\,\alpha }$

3. b) Nous devons en déduire la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } {\alpha . }$

Nous savons que la maladie à coronavirus affecte 15 % de la population d'un pays.

Donc $\overset{ { \white{ . } } } {p(M)=0,15. }$
Or nous venons de montrer que $\overset{{\white{.}}}{p(M)=0,02+0,93\,\alpha.}$

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $0,02+0,93\,\alpha=0,15\quad\Longrightarrow\quad 0,93\,\alpha=0,13\quad\Longrightarrow\quad \alpha=\dfrac{0,13}{ 0,93} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{0,02+0,93\,\alpha=0,15}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\alpha=\dfrac{13}{ 93}}}$

4. Une personne est malade.
Déterminons la probabilité que son test ait été négatif.

Nous devons déterminer ${p_M(\overline{T}).}$

Nous savons que $\alpha=\dfrac{13}{ 93}$ et par suite, $1-\alpha=\dfrac{80}{ 93}$

Dès lors, $\left\lbrace\begin{matrix}p(T)=\alpha\phantom{WWWWW}\\\overset{ { \white{ . } } } { p(\overline{T})=1-\alpha \phantom{WWWx}}\\\overset{ { \white{ . } } } {p(M)=0,02+0,93\,\alpha} \end{matrix}\right. \quad\Longrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}p(T)=\dfrac{13}{ 93}\phantom{x}\\\overset{ { \white{ . } } } { p(\overline{T})=\dfrac{80}{ 93}\phantom{x}}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { p(M)=0,15} \end{matrix}\right.}$

$\text{D'où }\;p_{_M}(\overline{T})=\dfrac{p(\overline{T}\cap M)}{p(M)}=\dfrac{\dfrac{80}{93}\times0,02}{0,15}=\dfrac{80}{93}\times\dfrac{2}{15}=\dfrac{32}{279}\approx0,1147 \\\\\Longrightarrow\boxed{p_{_M}(\overline{T})=\dfrac{32}{279}\approx0,1147}$

Par conséquent, sachant qu'une personne est malade, la probabilité que son test ait été négatif est égale à $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac{32}{279}}$ , soit environ 0,1147.

Publié par malou le 04-03-2024

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