Fiche de mathématiques

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Bac Mathématiques Sénégal 2023

Séries S1-S1A-S3

Epreuve du 2^e groupe

Durée : 2 heures

Coefficient : 8

7,5 points

exercice 1

Bac Senegal 2023 série S (2e groupe) : image 1

6 points

exercice 2

Bac Senegal 2023 série S (2e groupe) : image 2

Bac Senegal 2023 série S (2e groupe) : image 4

6,5 points

exercice 3

Bac Senegal 2023 série S (2e groupe) : image 3

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Bac Sénégal 2023 série S (2e groupe)

7,5 points

exercice 1

Soit $\overset{ { \white{ _. } } } {A B C D E F G H }$ un cube d'arête 1. On munit l'espace du repère orthonormal direct ${(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}). }$
On note $\overset{ { \white{ _. } } } {I }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } {J }$ les milieux respectifs des segments $\overset{ { \white{ . } } } {[EF] }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {[FG]\,. }$
Soit ${ L}\overset{ { \white{ _. } } }$ le barycentre du système $\overset{ { \white{ . } } } { \lbrace(A,1),(B,3)\rbrace.}$
Soit $\overset{ { \white{ . } } } {(T) }$ le plan d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { 4x-4y+3z-3=0.}$

Bac Senegal 2023 série S (2e groupe) : image 5

1. Quel est le vecteur égal à ${ \overrightarrow{GF}\wedge\overrightarrow{GC}\,? }$

Soit $\underset{ { \white{ '' } } }{ \vec w=\overrightarrow{GF}\wedge\overrightarrow{GC}\,. }$
Première méthode : par la définition du produit vectoriel.

Les conditions suivantes doivent être réalisées.
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Le vecteur $\vec w$ est orthogonal aux vecteurs ${\overrightarrow{GF} }$ et ${\overrightarrow{GC}. }$
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Le repère ${(G;\overrightarrow{GF},\overrightarrow{GC},\overrightarrow{w}) }$ est de sens direct.
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\white{x}}||\vec w||=||\overrightarrow{GF}||\times||\overrightarrow{GC}||\times\sin(\widehat{\overrightarrow{GF},\overrightarrow{GC}}) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{xx||\vec w||}=1\times 1\times\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) =1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{||\vec w||=1}$
Un vecteur ${\overrightarrow{w} }$ correspondant à ces trois critères est le vecteur ${\overrightarrow{HG} }$

Dès lors, $\boxed { \overrightarrow{GF}\wedge\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{HG} }$

${\blue{\text{La réponse A est correcte.}}}$

Deuxième méthode : par les coordonnées.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous savons que $\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{DA}$

${ \white{ xi } }$ Or $\left\lbrace\begin{matrix}D\,(0\,;1\,;0)\\A\,(0\,;0\,;0)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{DA}\,\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}$

${ \white{ xi } }$ D'où $\boxed{\overrightarrow{GF}\,\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ De même, nous savons que $\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{EA}$

${ \white{ xi } }$ Or $\left\lbrace\begin{matrix}E\,(0\,;0\,;1)\\A\,(0\,;0\,;0)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{EA}\,\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}$

${ \white{ xi } }$ D'où $\boxed{\overrightarrow{GC}\,\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}}$

Nous en déduisons que    $\overrightarrow{GF}\wedge\overrightarrow{GC}=\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}\wedge\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}$
${ \white{ WWWWWWWWWWWWW} }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWW}=\begin{pmatrix}(-1)\times(-1)-0\times0\\0\times0-0\times(-1)\\0\times0-(-1)\times0\end{pmatrix}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWW}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

Dès lors, les coordonnées de $\overrightarrow{GF}\wedge\overrightarrow{GC}$ sont $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ , soient les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}.$
Mais nous savons que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{HG}.$

Par conséquent, $\boxed { \overrightarrow{GF}\wedge\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{HG} }$

${\blue{\text{La réponse A est correcte.}}}$

2. Quel est le vecteur égal à ${ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{HG}\,? }$

Les vecteurs ${\overrightarrow{AB} }$ et ${\overrightarrow{HG} }$ sont colinéaires.

Donc $\boxed{\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{HG}=\vec 0 }$

${\blue{\text{La réponse C est correcte.}}}$

3. Quel est le triplet de coordonnées de $L$ ?

Les coordonnées du barycentre $\overset{ { \white{ _. } } } { L}$ se calculent par :

$\left(\dfrac{1\times x_{A}+3\times x_{B}}{1+3}\;;\;\dfrac{1\times y_{A}+3\times y_{B}}{1+3}\;;\;\dfrac{1\times z_{A}+3\times z_{B}}{1+3}\right)$

soit par $\left(\dfrac{1\times 0+3\times 1}{4}\;;\;\dfrac{1\times 0+3\times 0}{4}\;;\;\dfrac{1\times 0+3\times 0}{4}\right)$

D'où les coordonnées de $\overset{ { \white{ . } } } { L}$ sont $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{(\dfrac34\;;\;0\;;\;0)}\,.}$

${\blue{\text{La réponse B est correcte.}}}$

4. Quel est le triplet de coordonnées du point d'intersection de la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(FB) }$ et du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(P) }$ parallèle à $\overset{ { \white{ . } } } { (T)}$ passant par $\overset{ { \white{ . } } } { I}$ ?

Déterminons d'abord les coordonnées du point $\overset{ { \white{ . } } } { I}$ , milieu du segment $\overset{ { \white{ . } } } {[EF]\,. }$

$\left\lbrace\begin{matrix}E\,(0\;;0\;1)\\F\,(1\;;0\;1)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad I\,\left(\dfrac{0+1}{2}\;;\dfrac{0+0}{2}\;;\dfrac{1+1}{2}\right)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{I\,\left(\dfrac{1}{2}\;;0\;;1\right)}$

Une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(P) }$ parallèle au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(T):4x-4y+3z-3=0 }$ est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } {4x-4y+3z+d=0\quad(d\in\R). }$

$I\,\left(\dfrac12\;;0\;;1\right)\in(P)\quad\Longleftrightarrow\quad4\times \dfrac12-4\times0+3\times1+d=0 \\\phantom{I\,\left(\dfrac12\;;0\;;1\right)\in(P)}\quad\Longleftrightarrow\quad2+3+d=0 \\\phantom{I\,\left(\frac12\;;01.\;;1\right)\in(P)}\quad\Longleftrightarrow\quad d=-5.$

D'où une équation du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(P) }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { 4x-4y+3z-5=0.}$

Nous savons que tous les points de la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(FB) }$ ont une abscisse égale à 1 et une ordonnée nulle.

Dès lors, le triplet de coordonnées du point d'intersection de la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(FB) }$ et du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(P) }$ vérifie le système : $\overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix}x=1\phantom{xxxWWWW}\\y=0\phantom{xxxWWWW}\\z=\lambda\quad(\lambda\in\R)\phantom{xxx}\\4x-4y+3z-5=0\end{matrix}\right. }$
$\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}x=1\phantom{xxxWWWW}\\y=0\phantom{xxxWWWW}\\z=\lambda\quad(\lambda\in\R)\phantom{xxx}\\4x-4y+3z-5=0\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=1\phantom{xxxWWWWWiW}\\y=0\phantom{xxxWWWiWWW}\\z=\lambda\quad(\lambda\in\R)\phantom{xWWixx}\\4\times1-4\times0+3z-5=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWi}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=1\phantom{WWiW}\\y=0\phantom{xWWW}\\z=\lambda\;(\lambda\in\R)\\4+3z-5=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWi}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=1\phantom{WWiW}\\y=0\phantom{xWWW}\\z=\lambda\;(\lambda\in\R)\\z=\dfrac13\phantom{WWW}\end{matrix}\right.$

${ \white{ WWWWWWWWWWwWW} }$ $\\\\\phantom{WWWWWWWWWWWi}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=1\\y=0\\z=\dfrac13\end{matrix}\right.$

Par conséquent, le triplet de coordonnées du point d'intersection de la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(FB) }$ et du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(P) }$ parallèle à $\overset{ { \white{ . } } } { (T)}$ passant par $\overset{ { \white{ . } } } { I}$ est le triplet $\overset{ { \white{ . } } } {\left(1\;;0\;;\dfrac13\right) }$

${\blue{\text{La réponse C est correcte.}}}$

5. Quel est le volume du tétraèdre ${A B C E }$   ?

Le volume d'un tétraèdre est donné par :    ${ \dfrac13\times\text{Aire de la base}\times\text{hauteur relative à la base.} }$

Considérons que le tétraèdre $\overset{ { \white{ _. } } }{A B C E }$ admette le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } {A B C }$ comme base et $\overset{ { \white{ . } } } {[AE] }$ comme hauteur relative à cette base
L'aire du triangle rectangle $\overset{ { \white{ _. } } } {A B C }$ est égale à $\overset{ { \white{ _. } } } {\dfrac12\times AB\times BC=\dfrac12\times1\times1=\dfrac12. }$
La hauteur a comme mesure $\overset{ { \white{ . } } } {AE=1. }$
Donc le volume $V$ du tétraèdre est $V=\dfrac13\times\dfrac12\times1$ , soit $\boxed{V=\dfrac16}\,.$

${\blue{\text{La réponse B est correcte.}}}$

6 points

exercice 2

1. On considère l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E):14x+11y=1}$ où $\overset{ { \white{ . } } } { x}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { y}$ sont des entiers relatifs.

1. a) Nous devons justifier l'existence d'au moins une solution de $\overset{ { \white{ . } } } {(E). }$

L'équation $\overset{ { \white{ . } } } {(E) }$ admet au moins une solution si et seulement si le plus grand commun diviseur de 14 et de 11 divise 1, ce qui est le cas, puisque 14 et 11 sont premiers entre eux.
Par conséquent, l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {(E) }$ admet au moins une solution.

1. b) Nous devons déterminer l'entier relatif $\overset{ { \white{ . } } } {x_0 }$ tel que le couple $\overset{ { \white{ . } } } {(x_0\;;-5) }$ soit solution de $\overset{ { \white{ . } } } {(E). }$

Le couple $\overset{ { \white{ . } } } {(x_0\;;-5) }$ est solution de $\overset{ { \white{ . } } } {(E)\quad\Longleftrightarrow\quad 14\times x_0+11\times(-5)=1 }$
${ \white{ WWWWWWWWWWWWWWxWW} }$ $\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad 14 x_0-55=1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad 14 x_0=56 } \\\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x_0=4} }$

Nous en déduisons que le couple (4 ; -5) est solution de $\overset{ { \white{ . } } } {(E). }$

1. c) Nous devons résoudre (E ) .

Nous savons que (4 ; -5) est solution de l'équation (E ), ce qui est vérifié par $\overset{ { \white{ . } } } {14\times4+11\times(-5)=56-55=1. }$

$\left\lbrace\begin{matrix}14x+11y=1\\14\times4+11\times(-5)=1\end{matrix}\right.\quad\underset{\text{par soustraction}}{\Longrightarrow}\quad14(x-4)+11(y+5)=0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\quad\quad\quad14(x-4)=11(-y-5)$

Donc l'entier 11 divise le produit $\overset{ { \white{ . } } } {14(x-4). }$
Or 11 et 14 sont premiers entre eux.
Par le théorème de Gauss, nous en déduisons que 11 divise $\overset{ { \white{ . } } } {(x-4). }$
Dès lors, il existe un entier relatif k tel que $\overset{ { \white{ . } } } {x-4=11k, }$ soit $\boxed{x=4+11k}$ .

De plus,

$\left\lbrace\begin{matrix}14(x-4)=11(-y-5)\phantom{xxxx}\\x=4+11k\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}14({\red{x-4}})=11(-y-5)\quad\\ {\red{x-4}}=11k\phantom{WW}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWxWWW}\Longrightarrow\quad14\times11k=11(-y-5) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWxWWWW}\Longrightarrow\ \ \ \ 14k=-y-5 } \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWxWWW}\Longrightarrow\ \ \ \ \boxed{y=-5-14k}}$

Donc, il existe un entier relatif k tel que $\left\lbrace\begin{matrix}x=4+11k\\y=-5-14k\end{matrix}\right..$

Montrons que le couple (4 + 11k ; -5 - 14k ) est solution de (E ) pour tout entier relatif k .

En effet, $\overset{{\white{.}}}{14(4+11k)+11(-5-14k)=56+154k-55-154k=1.}$

Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation (E ) est $\overset{{\white{.}}}{\boxed{S=\lbrace(4+11k\,;\,-5-14k)\,/\,k\in\Z\rbrace}}$

2. On considère l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {(F):14x+11y=700 }$ où $\overset{ { \white{ . } } } { x}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { y}$ sont des entiers relatifs.

2. a) Nous devons résoudre $\overset{ { \white{ . } } } { (F)\,.}$

Nous savons que le couple (4 ; -5) est solution de $\overset{ { \white{ . } } } {(E), }$ soit que $\overset{ { \white{ . } } } {14\times4+11\times(-5)=1. }$

$\text{Or }\;14\times4+11\times(-5)=1\quad\Longleftrightarrow\quad14\times4{\red{\,\times700}}+11\times(-5){\red{\,\times700}}=1{\red{\,\times700}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad14\times2800+11\times(-3500)=700}$

Nous en déduisons que le couple (2800 ; -3500) est solution de $\overset{ { \white{ . } } } {(F). }$

$\left\lbrace\begin{matrix}14x+11y=700\\14\times2800+11\times(-3500)=700\end{matrix}\right.\quad\underset{\text{par soustraction}}{\Longrightarrow}\quad14(x-2800)+11(y+3500)=0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWwWW}\Longrightarrow\quad\quad\quad14(x-2800)=11(-y-3500)$

Donc l'entier 11 divise le produit $\overset{ { \white{ . } } } {14(x-2800). }$
Or 11 et 14 sont premiers entre eux.
Par le théorème de Gauss, nous en déduisons que 11 divise $\overset{ { \white{ . } } } {(x-2800). }$
Dès lors, il existe un entier relatif k tel que $\overset{ { \white{ . } } } {x-2800=11k, }$ soit $\boxed{x=2800+11k}$ .

De plus,

$\left\lbrace\begin{matrix}14(x-2800)=11(-y-3500)\phantom{xxxx}\\x=2800+11k\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}14({\red{x-2800}})=11(-y-3500)\quad\\ {\red{x-2800}}=11k\phantom{WWWx}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWxWWWWwW}\Longrightarrow\quad14\times11k=11(-y-3500) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWxWWWwWWW}\Longrightarrow\ \ \ \ 14k=-y-3500 } \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWwWWWxWWW}\Longrightarrow\ \ \ \ \boxed{y=-3500-14k}}$

Donc, il existe un entier relatif k tel que $\left\lbrace\begin{matrix}x=2800+11k\\y=-3500-14k\end{matrix}\right..$

Montrons que le couple (2800 + 11k ; -3500 - 14k ) est solution de (F ) pour tout entier relatif k .

En effet, $\overset{{\white{.}}}{14(2800+11k)+11(-3500-14k)=39\,200+154k-38\,500-154k=700.}$

Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation (F ) est $\overset{{\white{.}}}{\boxed{S'=\lbrace(2800+11k\,;\,-3500-14k)\,/\,k\in\Z\rbrace}}$

2. b) Dans un lycée, un groupe d'élèves, composé de plus de garçons que de filles, a dépensé 700 pièces de 100 F lors d'une fête de fin d'année. Les garçons ont dépensé 14 pièces chacun et les filles 11 pièces chacune.
Nous devons déterminer le nombre de garçons et le nombre de filles qu'il y avait dans le groupe.

Soit $\overset{ { \white{ . } } } {x }$ le nombre de garçons et $\overset{ { \white{ . } } } { y}$ le nombre de filles dans le groupe.

Les données du problème reviennent à résoudre l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {(F):14x+11y=700 }$ où $\overset{ { \white{ . } } } { x}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { y}$ sont des entiers naturels pour laquelle l'ensemble des solutions est $\overset{{\white{.}}}{S'=\lbrace(2800+11k\,;\,-3500-14k)\,/\,k\in\Z\rbrace}$ .

Les solutions positives en $\overset{ { \white{ . } } } {x }$ et en $\overset{ { \white{ . } } } {y }$ imposent les contraintes suivantes pour $\overset{ { \white{ . } } } {k : }$

$\left\lbrace\begin{matrix}2800+11k>0\\-3500-14k>0\end{matrix}\right.$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix} k>-\dfrac{2800}{11}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { k<-\dfrac{3500}{14}}\end{matrix}\right.}$
$\text{Or }\;\ \left\lbrace\begin{matrix} -\dfrac{2800}{11}\approx-254,5\\\overset{ { \white{ . } } } {-\dfrac{3500}{14}}=-250\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{ -\dfrac{2800}{11}< k<-250}$

Nous avons donc quatre valeurs possibles pour $\overset{ { \white{ _. } } } { k:\;-254\text{ ou }-253\text{ ou }-252\text{ ou }-251,}$
ce qui nous donne les quatre couples : $\overset{ { \white{ . } } } { (6\;;56)\text{ ou }(17\;;42)\text{ ou }(28\;;28)\text{ ou }(39\;;14).}$

Dans le groupe, il y a plus de garçons que de filles.
Le seul couple correspondant à ce critère est le couple (39 ; 14).

Par conséquent, dans ce groupe, il y a 39 garçons et 14 filles.

6,5 points

exercice 3

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ la fonction définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } {\R }$ par : $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=\ln\left(x-1+\sqrt{x^2-2x+2}\right)} }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{C}_f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé ${(O\;;\vec i,\vec j).}$

1. a) Nous devons déterminer l'ensemble de définition $\overset{ { \white{ . } } } { D_f}$ de $\overset{ { \white{ . } } } {f. }$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ est définie si : $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x^2-2x+2\ge 0\\\overset{ { \white{ . } } } { x-1+\sqrt{x^2-2x+2}>0}\end{matrix}\right.}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Résolvons dans $\overset{ { \white{ _. } } } {\R }$ l'inéquation ${x^2-2x+2\ge 0. }$
Le discriminant du trinôme ${x^2-2x+2 }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } {\Delta=(-2)^2-4\times1\times2=-4<0. }$

Puisque ce discriminant est strictement négatif, le trinôme a toujours le même signe que le coefficient de ${x^2 }$ , donc strictement positif.

Dès lors, la condition ${x^2-2x+2\ge0 }$ est vérifiée pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { x.}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Résolvons dans $\overset{ { \white{ _. } } } {\R }$ l'inéquation ${x-1+\sqrt{x^2-2x+2}>0. }$

Nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } {x-1+\sqrt{x^2-2x+2}>0\quad\Longleftrightarrow\quad\sqrt{x^2-2x+2}>1-x. }$

Résolvons dans $\overset{ { \white{ _. } } } {\R }$ l'inéquation ${\sqrt{x^2-2x+2}>1-x. }$

Envisageons deux cas.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ Premier cas : $\overset{ { \white{ . } } } { 1-x<0\quad\Longleftrightarrow\quad x>1.}$

Le premier membre de l'inéquation est positif tandis que le second est strictement négatif.
L'inéquation est donc vérifiée pour toutes les valeurs de $\overset{ { \white{ . } } } { x}$ telles que $\overset{ { \white{ . } } } { x>1.}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ Second cas : $\overset{ { \white{ . } } } { 1-x\ge0\quad\Longleftrightarrow\quad x\le1.}$

Les deux membres de l'inéquation sont positifs.

Nous obtenons alors :

$\sqrt{x^2-2x+2}>1-x\quad\Longleftrightarrow\quad\left(\sqrt{x^2-2x+2}\right)^2>(1-x)^2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWWWWwW}\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-2x+2>1-2x+x^2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWWWWwW}\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-2x+2-1+2x-x^2>0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWWWWwW}\quad\Longleftrightarrow\quad 1>0}$
Cette dernière inégalité est vraie pour toutes les valeurs de $\overset{ { \white{ . } } } { x}$ telles que $\overset{ { \white{ . } } } { x\le1.}$

D'où la réunion des deux cas est vérifiée pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { x.}$
Par conséquent, l'ensemble de définition $\overset{ { \white{ . } } } { D_f}$ de $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{D_f=\R}\,. }$

1. b) Étudions la dérivabilité de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ La fonction ${x\mapsto x^2-2x+2 }$ est strictement positive et dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } {\R. }$
Donc la fonction ${x\mapsto \sqrt{x^2-2x+2} }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } {\R. }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ La fonction ${x\mapsto x-1+\sqrt{x^2-2x+2} }$ est strictement positive et dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } {\R. }$
Donc la fonction ${x\mapsto \ln(x-1+\sqrt{x^2-2x+2}) }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } {\R. }$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { D_f=\R.}$

Calculons $\overset{ { \white{ . } } } {f'(x) }$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in D_f. }$

$\forall\,x\in\R, \;f'(x)=\left[\overset{}{\ln(x-1+\sqrt{x^2-2x+2})} \right]' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWwWW}=\dfrac{(x-1+\sqrt{x^2-2x+2})'}{x-1+\sqrt{x^2-2x+2}}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWwWW}=\dfrac{1+\dfrac{(x^2-2x+2)'}{2\sqrt{x^2-2x+2}}}{x-1+\sqrt{x^2-2x+2}}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWwWW}=\dfrac{1+\dfrac{2x-2}{2\sqrt{x^2-2x+2}}}{x-1+\sqrt{x^2-2x+2}}}$
$\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWwWW}=\dfrac{1+\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}}}{x-1+\sqrt{x^2-2x+2}}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{x^2-2x+2}+x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}}}{x-1+\sqrt{x^2-2x+2}}=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-2x+2}}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R, \;f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-2x+2}}}$

1. c) Montrons que le point $\overset{ { \white{ . } } } {A(1;0) }$ est un centre de symétrie de $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{C}_f.}$

Il suffit de montrer que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } {x\in \R,\quad f(1-x)+f(1+x)=0. }$

Nous avons :

$\bullet\quad f(1-x)=\ln\left((1-x)-1+\sqrt{(1-x)^2-2(1-x)+2}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\bullet\quad f(1-x)}=\ln\left(-x+\sqrt{1-2x+x^2-2+2x+2}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\bullet\quad f(1-x)}=\ln\left(-x+\sqrt{1+x^2}\right)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f(1-x)=\ln\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)}$

$\bullet\quad f(1+x)=\ln\left((1+x)-1+\sqrt{(1+x)^2-2(1+x)+2}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\bullet\quad f(1+x)}=\ln\left(x+\sqrt{1+2x+x^2-2-2x+2}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\bullet\quad f(1+x)}=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f(1+x)=\ln\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)}$
Nous en déduisons que : $\overset{ { \white{ . } } } {f(1-x)+f(1+x)=\ln\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)+\ln\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)}$
${ \white{ WWWWWWWW} }$ ${ \white{ WWWWWWWWWW} }$ $\overset{ { \white{ . } } } {=\ln\left[\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)\right]} \\\overset{ { \white{ . } } } {=\ln\left[\left(\sqrt{1+x^2}\right)^2-x^2\right]} \\\overset{ { \white{ . } } } {=\ln\left[\left(1+x^2\right)-x^2\right]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {=\ln1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {=0}$

D'où, pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } {x\in \R,\quad \boxed{f(1-x)+f(1+x)=0}\,. }$
Par conséquent, le point $\overset{ { \white{ . } } } {A(1;0) }$ est un centre de symétrie de $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{C}_f.}$

1. d) Nous devons dresser le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } {f. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Par la question 1. b), nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {\forall\,x\in\R, \;f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-2x+2}}>0. }$
${ \white{ xi } }$ Dès lors, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } {\R. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ De plus, $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left(x-1+\sqrt{x^2-2x+2}\right)=\lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left(x+\sqrt{x^2}\right)=+\infty}$
$\text{[math]}$ ${ \white{ xi } }$ D'où $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ En utilisant la symétrie de $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{C}_f}$ par rapport au point $\overset{ { \white{ . } } } {A(1;0) }$ , nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous obtenons ainsi le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } {f. }$

${ \white{ WWWWWWW} }$ $\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&&x&-\infty&&1&&+\infty &&&&&&\\\hline&&&&&& f'(x)&&+&+&+&\\&&&&&\\\hline&&&&&+\infty\\f(x)&&\nearrow&0&\nearrow&\\&-\infty&&&&\\\hline \end{array}$

2. On considère la suite $\overset{ { \white{ . } } } {(I_n)_{n\in\N}}$ définie par : $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}I_0=\displaystyle\int_{0}^{2} \dfrac{\text{d}t}{\sqrt{t^2-2t+2}}\phantom{WWWWwW}\\\\I_n=\displaystyle\int_{0}^{2} \dfrac{(t-1)^{2n}}{\sqrt{t^2-2t+2}}\;\text{d}t,\quad\forall\,n\in\N^*\end{matrix}\right.}.$
On pose $\overset{ { \white{ . } } } { K=\displaystyle\int_{0}^{2} {\sqrt{t^2-2t+2}}\;\text{d}t.}$

2. a) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { I_0.}$

A la question 1. b), nous avons montré que $\overset{ { \white{ . } } } {\forall\,x\in\R, \;f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-2x+2}}. }$
Donc la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ est une primitive de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { x\mapsto\dfrac{1}{\sqrt{x^2-2x+2}}}$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } {\R. }$

Nous obtenons ainsi : $I_0=\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{\text{d}t} {\sqrt{t^2-2t+2}}=\left[\overset{}{f(x)}\right]_0^2=f(2)-f(0)$

${ \white{ WWWWWWWWWW} }$ $\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{I_0}=\ln\left(2-1+\sqrt{2^2-2\times2+2}\right)-\ln\left(0-1+\sqrt{0+2}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{I_0}=\ln\left(1+\sqrt{2}\right)-\ln\left(-1+\sqrt{2}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{I_0}=\ln\left(\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\right)}$
${ \white{ WWWWWWWWWW} }$ $\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{I_0}=\ln\left(\dfrac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{I_0}=\ln\left(\dfrac{(\sqrt{2}+1)^2}{2-1}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{I_0}=\ln(\sqrt{2}+1)^2}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{I_0=\ln(\sqrt{2}+1)^2} \,. }$

2. b) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ . } } } {I_0+I_1=K. }$

$I_0+I_1=\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{1} {\sqrt{t^2-2t+2}}\;\text{d}t+\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{(t-1)^2} {\sqrt{t^2-2t+2}}\;\text{d}t \\\\\phantom{I_0+I_1}=\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{1+(t-1)^2} {\sqrt{t^2-2t+2}}\;\text{d}t=\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{1+t^2-2t+1} {\sqrt{t^2-2t+2}}\;\text{d}t \\\\\phantom{I_0+I_1}=\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{t^2-2t+2} {\sqrt{t^2-2t+2}}\;\text{d}t \\\\\phantom{I_0+I_1}=\displaystyle\int_{0}^{2} {\sqrt{t^2-2t+2}}\;\text{d}t \\\\\phantom{I_0+I_1}=K \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{I_0+I_1=K}$

2. c) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ . } } } {I_1+K=2\sqrt2. }$

Utilisons une intégration par parties sur $\overset{ { \white{ . } } } {K. }$

$\overset{ { \white{ . } } } { K=\displaystyle\int_{0}^{2} {\sqrt{t^2-2t+2}}\;\text{d}t=\displaystyle\int_{0}^{2} {1\times\sqrt{t^2-2t+2}}\;\text{d}t.}$

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_0^{2}u(t)v'(t)\,\text{d}t=\left[\overset{}{u(t)v(t)}\right]\limits_0^2- \displaystyle\int\limits_0^2u'(t)v(t)\,\text{d}t}}. \\ \\ \left\lbrace\begin{matrix}u(t)=\sqrt{t^2-2t+2}\quad\Longrightarrow\quad u'(t)=\dfrac{2t-2}{2\sqrt{t^2-2t+2}}=\dfrac{t-1}{\sqrt{t^2-2t+2}} \\\\v'(t)=1\phantom{WWW}\quad\Longrightarrow\quad v(t)=t\phantom{WWWWWWWWWWW}\end{matrix}\right.$

Dès lors $\overset{ { \white{ . } } } { K=\left[\overset{}{t\,\sqrt{t^2-2t+2}}\right]_0^2-\displaystyle\int_0^{2}\dfrac{t(t-1)}{\sqrt{t^2-2t+2}}\,\text{d}t}$
${ \white{ WWWWW} }$ $\\\\\phantom{K}=2\sqrt{4-4+2}-0-\displaystyle\int_0^{2}\dfrac{t(t-1)}{\sqrt{t^2-2t+2}}\,\text{d}t$

$\\\\\Longrightarrow\quad \boxed{K=2\sqrt{2}-\displaystyle\int_0^{2}\dfrac{t(t-1)}{\sqrt{t^2-2t+2}}\,\text{d}t}$

Nous en déduisons que :

${ \white{ xxi } }$ $I_1+K=\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{(t-1)^2} {\sqrt{t^2-2t+2}}\;\text{d}t+\left(2\sqrt{2}-\displaystyle\int_0^{2}\dfrac{t(t-1)}{\sqrt{t^2-2t+2}}\,\text{d}t\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{I_1+K}=2\sqrt{2}+\displaystyle\int_{0}^{2}\left(\dfrac{(t-1)^2} {\sqrt{t^2-2t+2}}-\dfrac{t(t-1)}{\sqrt{t^2-2t+2}}\right)\,\text{d}t} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{I_1+K}=2\sqrt{2}+\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{(t-1)^2-t(t-1)} {\sqrt{t^2-2t+2}}\,\text{d}t} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{I_1+K}=2\sqrt{2}+\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{(t-1)(t-1-t)} {\sqrt{t^2-2t+2}}\,\text{d}t}$
${ \white{ xxi } }$ ${ \white{ xxi } }$ ${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{I_1+K}=2\sqrt{2}+\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{(t-1)(-1)} {\sqrt{t^2-2t+2}}\,\text{d}t} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{I_1+K}=2\sqrt{2}-\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{t-1} {\sqrt{t^2-2t+2}}\,\text{d}t} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{I_1+K}=2\sqrt{2}-\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{2(t-1)} {2\sqrt{t^2-2t+2}}\,\text{d}t}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{I_1+K}=2\sqrt{2}-\left[\overset{}{\sqrt{t^2-2t+2}}\right]_0^2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{I_1+K}=2\sqrt{2}-\left[\overset{}{\sqrt{2^2-2\times2+2}-\sqrt{0^2-0+2}}\right]} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{I_1+K}=2\sqrt{2}-\left[\overset{}{\sqrt{2}-\sqrt{2}}\right]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{I_1+K}=2\sqrt{2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{I_1+K=2\sqrt{2}}$

2. d) Nous devons en déduire la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { I_1.}$

En utilisant les questions 2. b) et c), nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}I_0+I_1=K\\I_1+K=2\sqrt2\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad (I_0+I_1)+(I_1+K)=K+2\sqrt 2 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWwWW} \quad\Longrightarrow\quad I_0+2\,I_1=2\sqrt 2 } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWwWW} \quad\Longrightarrow\quad 2\,I_1=2\sqrt 2-I_0} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWwWW} \quad\Longrightarrow\quad \,I_1=\sqrt 2-\dfrac12\,I_0}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWwWW} \quad\Longrightarrow\quad \,I_1=\sqrt 2-\dfrac12\,\ln(\sqrt2+1)^2} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWwWW} \quad\Longrightarrow\quad \,I_1=\sqrt 2-\dfrac12\times2\,\ln(\sqrt2+1)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{I_1=\sqrt 2-\ln(\sqrt2+1)}$

3. a) Nous devons montrer que pour tout entier $\overset{ { \white{ . } } } { n}$ non nul, $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac{\sqrt2}{2n+1}\le I_n\le\dfrac{2}{2n+1}. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { t\in[0\;;\;2]}$ et pour tout entier $\overset{ { \white{ . } } } { n}$ non nul,

$0\le t\le2\quad\Longrightarrow\quad -1\le t-1\le1 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{0\le t\le2}\quad\Longrightarrow\quad0\le (t-1)^2\le1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{0\le t\le2}\quad\Longrightarrow\quad 1\le (t-1)^2+1\le2} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{0\le t\le2}\quad\Longrightarrow\quad 1\le t^2-2t+2\le2}$
${ \white{ WWWWW} }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{0\le t\le2}\quad\Longrightarrow\quad 1\le\sqrt{t^2-2t+2}\le\sqrt2} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{0\le t\le2}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{\sqrt2}\le\dfrac{1}{\sqrt{t^2-2t+2}}\le1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{0\le t\le2}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{\sqrt2}{2}\le\dfrac{1}{\sqrt{t^2-2t+2}}\le1}$
${ \white{ WWWWW} }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{0\le t\le2}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{\sqrt2}{2}(t-1)^{2n}\le\dfrac{(t-1)^{2n}}{\sqrt{t^2-2t+2}}\le(t-1)^{2n}\quad\quad\text{car }(t-1)^{2n}>0} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{0\le t\le2}\quad\Longrightarrow\quad \displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{\sqrt2}{2}(t-1)^{2n}\;\text{d}t\le\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{(t-1)^{2n}}{\sqrt{t^2-2t+2}}\;\text{d}t\le\displaystyle\int_{0}^{2}(t-1)^{2n}\;\text{d}t} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{0\le t\le2}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{\sqrt2}{2}\displaystyle\int_{0}^{2}(t-1)^{2n}\;\text{d}t\le I_n \le\displaystyle\int_{0}^{2}(t-1)^{2n}\;\text{d}t}$
$\\\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{0\le t\le2}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{\sqrt2}{2}\times\left[\dfrac{(t-1)^{2n+1}}{2n+1}\right]_0^2\le I_n \le\left[\dfrac{(t-1)^{2n+1}}{2n+1}\right]_0^2} \\\\\\\text{Or }\;\left[\dfrac{(t-1)^{2n+1}}{2n+1}\right]_0^2=\dfrac{(2-1)^{2n+1}}{2n+1}-\dfrac{(0-1)^{2n+1}}{2n+1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=\dfrac{1^{2n+1}}{2n+1} -\dfrac{(-1)^{2n+1}}{2n+1} } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=\dfrac{1}{2n+1} -\dfrac{-1}{2n+1} \quad\quad[(-1)^{2n+1}=-1\quad\text{car }\;2n+1\text{ est impair}] } \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=\dfrac{2}{2n+1} }$
$\\\overset{ { \white{ . } } } {\text{D'où }\; \dfrac{\sqrt2}{2}\times\dfrac{2}{2n+1}\le I_n \le\dfrac{2}{2n+1}} \\\\\text{soit }\;\boxed{\dfrac{\sqrt2}{2n+1}\le I_n \le\dfrac{2}{2n+1}}$

3. b) Nous devons en déduire $\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{n\to+\infty} I_n.}$

A l'aide du théorème d'encadrement (théorème des gendarmes), nous obtenons :

${ \white{ WWWWWW} }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{\sqrt2}{2n+1}\le I_n \le\dfrac{2}{2n+1}\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\sqrt2}{2n+1}=0}\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2}{2n+1}=0}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0}$

Publié par malou le 12-02-2024

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