Fiche de mathématiques

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Bac D Mauritanie 2021

Durée : 4 heures

Coefficient : 5

4 points

exercice 1

4 points

exercice 2

12 points

probleme

Correction

Bac D Mauritanie 2021

4 points

exercice 1

1. Nous devons résoudre l'équation différentielle $\overset{{\white{.}}}{(E):2y'+y=0.}$

Nous savons que les solutions de l'équation différentielle $\overset{{\white{.}}}{y'=ay\phantom{w}(a\in\R)}$ sont de la forme $\overset{{\white{.}}}{y=k\,\text{e}^{ax}}$ avec k réel.
Or $(E):2y'+y=0\Longleftrightarrow y'=-\dfrac{1}{2}y.$

Donc les solutions de l'équation différentielle (E) sont les fonctions $y:x\mapsto k\,\text{e}^{-\frac{1}{2}x}$ avec k réel.

2. On considère l'équation différentielle $(E\,'):2y'+y=(x+2)\,\text{e}^{-\frac{1}{2}x}.$
Nous devons déterminer les réels a et b tels que la fonction f définie par $f(x)=(ax^2+bx)\,\text{e}^{-\frac{1}{2}x}$ soit solution de (E' )

Si la fonction f est solution de (E' ), alors : $2f'(x)+f(x)=(x+2)\,\text{e}^{-\frac{1}{2}x}.$
$\text{Or }\,f'(x)=(ax^2+bx)'\times\text{e}^{-\frac{1}{2}x}+(ax^2+bx)\times\left(\text{e}^{-\frac{1}{2}x}\right)' \\\phantom{\text{Or }\,f'(x)}=(2ax+b)\times\text{e}^{-\frac{1}{2}x}+(ax^2+bx)\times(-\frac{1}{2}x)'\,\text{e}^{-\frac{1}{2}x} \\\phantom{\text{Or }\,f'(x)}=(2ax+b)\times\text{e}^{-\frac{1}{2}x}+(ax^2+bx)\times(-\frac{1}{2})\,\text{e}^{-\frac{1}{2}x} \\\phantom{\text{Or }\,f'(x)}=[(2ax+b)-\frac{1}{2}(ax^2+bx)]\,\text{e}^{-\frac{1}{2}x} \\\phantom{\text{Or }\,f'(x)}=[-\frac{1}{2}ax^2+(2a-\frac{1}{2}b)x+b]\,\text{e}^{-\frac{1}{2}x}$

$\text{D'où, }\,2f'(x)+f(x)=(x+2)\,\text{e}^{-\frac{1}{2}x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où, xx}\,}\Longleftrightarrow2[-\frac{1}{2}ax^2+(2a-\frac{1}{2}b)x+b]\,\text{e}^{-\frac{1}{2}x}+(ax^2+bx)\,\text{e}^{-\frac{1}{2}x}=(x+2)\,\text{e}^{-\frac{1}{2}x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où, xx}\,}\Longleftrightarrow[-ax^2+2(2a-\frac{1}{2}b)x+2b+ax^2+bx]\,\text{e}^{-\frac{1}{2}x}=(x+2)\,\text{e}^{-\frac{1}{2}x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où, xx}\,}\Longleftrightarrow(4ax+2b)\,\text{e}^{-\frac{1}{2}x}=(x+2)\,\text{e}^{-\frac{1}{2}x}}$
Par identification des deux membres, nous obtenons : $\left\lbrace\begin{matrix}4a=1\\2b=2\end{matrix}\right.$
Par conséquent, $\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}a=\frac{1}{4}\\b=1\end{matrix}\right.}$

et donc, $\boxed{f(x)=(\frac{1}{4}x^2+x)\,\text{e}^{-\frac{1}{2}x}}$

3. Nous devons démontrer qu'une fonction g est solution de (E' ) si et seulement si g - f est solution de (E ).

En effet,

$g-f\text{ est solution de }(E)\Longleftrightarrow2(g-f)'+(g -f)=0 \\\phantom{g-f\text{ est solution de }(E)}\Longleftrightarrow2g'-2f'+g -f=0 \\\phantom{g-f\text{ est solution de }(E)}\Longleftrightarrow2g'+g=2f'+f \\\phantom{g-f\text{ est solution de }(E)}\Longleftrightarrow2g'(x)+g(x)=(x+2)\,\text{e}^{-\frac{1}{2}x} \\\phantom{g-f\text{ est solution de }(E)}\Longleftrightarrow g\text{ est solution de }(E\,')$

D'où une fonction g est solution de (E' ) si et seulement si g - f est solution de (E ).

4. En utilisant la question 3, nous déduisons que :

g est solution de (E' ) si et seulement si $g(x)-f(x)=k\,\text{e}^{-\frac{1}{2}x}$
${\white{wwwwwwwwwwww}}$ si et seulement si $g(x)=f(x)+k\,\text{e}^{-\frac{1}{2}x}$
${\white{wwwwwwwwwwww}}$ si et seulement si $g(x)=(\frac{1}{4}x^2+x)\,\text{e}^{-\frac{1}{2}x}+k\,\text{e}^{-\frac{1}{2}x}$
Par conséquent, la solution générale de l'équation (E' ) est donnée par $\overset{{\white{.}}}{y(x)=(\dfrac{1}{4}x^2+x+k)\,\text{e}^{-\frac{1}{2}x}}$ avec k réel.

4 points

exercice 2

On définit pour tout entier naturel n , les suites (u_n ) et (v_n ) respectivement par :

$\left\lbrace\begin{matrix}u_0=\dfrac{1}{2}\phantom{wwxxx}\\u_{n+1}=\dfrac{2}{3}(u_n)^2\end{matrix}\right.\phantom{xx}\text{ et }\phantom{xx}v_n=\ln\left(\dfrac{2}{3}u_n\right)$
1. Nous devons démontrer par récurrence que pour tout entier n , u_n > 0.

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que u ₀ > 0.
La relation est évidente puisque $u_0=\dfrac{1}{2}>0$ et par conséquent, l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{u_n> 0}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{u_ {n+1}> 0.}$
En effet,

$u_{n}>0\phantom{w}(\text{par hypothèse })\phantom{w}\Longrightarrow\dfrac{2}{3}(u_n)^2>0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWwWW}\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}> 0}}$
Donc l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier n , u_n > 0.

${\red{\text{2. a) }}}\,v_0=\ln\left(\dfrac{2}{3}u_0\right)=\ln\left(\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}\right)=\ln\left(\dfrac{1}{3}\right)=-\ln3\Longrightarrow\boxed{v_0=-\ln3}$

2. b) Démontrons que la suite (v_n ) est géométrique de raison 2.

$v_{n+1}=\ln\left(\dfrac{2}{3}u_{n+1}\right) =\ln\left(\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{3}(u_n)^2\right) =\ln\left(\dfrac{4}{9}(u_n)^2\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{v_{n+1}}=\ln\left(\dfrac{2}{3}u_n\right)^2 =2\,\ln\left(\dfrac{2}{3}u_n\right) =2\,v_n} \\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}=2\,v_n}$

Nous en déduisons que (v_n ) est une suite géométrique de raison q = 2.

3. Le terme général de la suite (v_n ) est donné par $v_n=v_0\times q^n.$

D'où $v_n=(-\ln3)\times2^n$ , soit $\boxed{v_n=-2^n\,\ln3}\,.$

Exprimons u_n en fonction de n .

$v_n=\ln\left(\dfrac{2}{3}u_n\right)\Longleftrightarrow\dfrac{2}{3}u_n=\text{e}^{v_n} \\\phantom{v_n=\ln\left(\dfrac{2}{3}u_n\right)}\Longleftrightarrow u_n=\dfrac{3}{2}\,\text{e}^{v_n} \\\phantom{v_n=\ln\left(\dfrac{2}{3}u_n\right)}\Longleftrightarrow u_n=\dfrac{3}{2}\,\text{e}^{-2^n\,\ln3} \\\phantom{v_n=\ln\left(\dfrac{2}{3}u_n\right)}\Longleftrightarrow u_n=\dfrac{3}{2}\,\left(\text{e}^{\ln3}\right)^{-2^n} \\\phantom{v_n=\ln\left(\dfrac{2}{3}u_n\right)}\Longleftrightarrow u_n=\dfrac{3}{2}\times3^{-2^n} \\\phantom{v_n=\ln\left(\dfrac{2}{3}u_n\right)}\Longleftrightarrow\boxed{ u_n=\dfrac{1}{2}\times3^{1-2^n}}$

4. On pose : $\overset{{\white{.}}}{S=v_0+v_1+\cdots+v_n}$ et $\overset{{\white{.}}}{S'=u_0\times u_1\times\cdots\times u_n.}$

4. a) S est la somme des (n +1) premiers termes de la suite (v_n ).

$S=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} \\\\\phantom{S}=-\ln3\times\dfrac{1-2^{n+1}}{1-2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S}=-\ln3\times\dfrac{1-2^{n+1}}{-1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S}=\ln3\times(1-2^{n+1})} \\\\\Longrightarrow\boxed{S=(1-2^{n+1})\,\ln3}$

4. b) Nous devons prouver que : $S'=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n+1}\text{e}^S.$

$\bullet{\white{w}}S'=u_0\times u_1\times\cdots\times u_n \\\\\phantom{\bullet{\white{w}}S'}=\left(\dfrac{1}{2}\times3^{1-2^0}\right)\times\left(\dfrac{1}{2}\times3^{1-2^1}\right)\times\cdots\left(\dfrac{1}{2}\times3^{1-2^n}\right) \\\\\phantom{\bullet{\white{w}}S'}=\underbrace{\left(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\times\cdots\times\dfrac{1}{2}\right)}_{\text{(n+1) facteurs}}\times\underbrace{(3^1\times3^1\times\cdots\times3^1)}_{\text{(n+1) facteurs}}\times\underbrace{\left(3^{-2^0}\times3^{-2^1}\times\cdots\times3^{-2^n}\right)}_{\text{(n+1) facteurs}} \\\\\phantom{\bullet{\white{w}}S'}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\times3^{n+1}\times3^{-2^0-2^1-\cdots-2^n} \\\\\phantom{\bullet{\white{w}}S'}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n+1}\times3^{-2^0-2^1-\cdots-2^n}$

Or $-2^0-2^1-\cdots-2^n$ est la somme de (n +1) termes d'une suite géométrique de raison 2 dont le premier terme est -2⁰.

En utilisant la formule de la somme rappelée dans la question 4. a), nous obtenons :

$-2^0-2^1-\cdots-2^n=-2^0\times\dfrac{1-2^{n+1}}{1-2} =-1\times\dfrac{1-2^{n+1}}{-1} =1-2^{n+1} \\\\\Longrightarrow\boxed{-2^0-2^1-\cdots-2^n=1-2^{n+1}}$

Nous déduisons alors que : $\boxed{S'=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n+1}\times3^{1-2^{n+1}}}$

$\bullet{\white{w}}S=(1-2^{n+1})\,\ln3\Longrightarrow\text{e}^S=\text{e}^{(1-2^{n+1})\,\ln3} \\\phantom{wwwwwwwwwwwww}\Longrightarrow\text{e}^S=\left(\text{e}^{\ln3}\right)^{1-2^{n+1}} \\\phantom{wwwwwwwwwwwww}\Longrightarrow\text{e}^S=3^{1-2^{n+1}} \\\\\text{D'où, }\,\boxed{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n+1}\text{e}^S=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n+1}\times3^{1-2^{n+1}}}$

Par conséquent, $\left\lbrace\begin{matrix}S'={\red{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n+1}\times3^{1-2^{n+1}}}}\phantom{xxxxx}\\\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n+1}\text{e}^S={\red{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n+1}\times3^{1-2^{n+1}}}}\end{matrix}\right.\phantom{xxx}\Longrightarrow\phantom{xxx}\boxed{S'=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n+1}\text{e}^S}$

Exprimons S' en fonction de n .

$\left\lbrace\begin{matrix}S'=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n+1}\text{e}^S\\\\\text{e}^S=3^{1-2^{n+1}}\phantom{xxx}\end{matrix}\right.\phantom{xxxxx}\Longrightarrow\phantom{xxxxx}S'=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n+1}\times3^{1-2^{n+1}} \\\phantom{WWWWWWWWWW}\Longrightarrow\phantom{xxxxx}S'=\dfrac{3^{n+1}}{2^{n+1}}\times3^{1-2^{n+1}} \\\\\phantom{WWWWWWWWWW}\Longrightarrow\phantom{xxxxx}S'=\dfrac{3^{n+1+1-2^{n+1}}}{2^{n+1}} \\\\\phantom{WWWWWWWWWW}\Longrightarrow\phantom{xxxxx}\boxed{S'=\dfrac{3^{n+2-2^{n+1}}}{2^{n+1}}}$

12 points

probleme

Soit la fonction f définie sur

par : $f(x)=(2x+3)\,\text{e}^{-x}+x-1.$
On note (C ) la courbe représentative de f .

Partie A

Soit h la fonction définie sur

par : $h(x)=\text{e}^x-2x-1.$

1. Nous devons étudier les variations de h .

La fonction h est dérivable sur

(somme de fonctions dérivables sur

).

$h'(x)=(\text{e}^x)'-(2x)'-1'\Longrightarrow\boxed{h'(x)=\text{e}^x-2}$

Tableau de variation de h .

$\underline{\text{Calculs préliminaires }} \\\\\bullet{\phantom{w}}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^x=0\\\lim\limits_{x\to-\infty}2x=-\infty\end{matrix}\right.\phantom{x}\Longrightarrow\phantom{x}\lim\limits_{x\to-\infty}(\text{e}^x-2x-1)=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWv}\Longrightarrow\phantom{x}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}h(x)=+\infty} \\\\\bullet{\phantom{w}}h(x)=\text{e}^x-2x-1\Longrightarrow h(x)=\text{e}^x\left(1-\dfrac{2x}{\text{e}^x}-\dfrac{1}{\text{e}^x}\right)\\\phantom{ww}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^x=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x}{\text{e}^x}=0\\\overset{{\phantom{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\text{e}^x}=0}\end{matrix}\right.\phantom{x}\Longrightarrow\phantom{x}\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^x\left(1-\dfrac{2x}{\text{e}^x}-\dfrac{1}{\text{e}^x}\right)=+\infty \\\phantom{WWWWWWWwwvv}\Longrightarrow\phantom{x}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=+\infty}$

$\bullet{\phantom{w}}h(\ln2)=\text{e}^{\ln2}-2\ln2-1=2-2\ln2-1=1-2\ln2\approx-0,39.$

$\begin{matrix}\bullet{\phantom{w}}\text{e}^x-2<0\Longleftrightarrow\text{e}^x<2 \\\phantom{xx\text{e}^x-2<0}\Longleftrightarrow x<\ln2 \\\\\bullet{\white{w}}\text{e}^x-2=0\Longleftrightarrow x=\ln2 \\\\\bullet{\phantom{w}}\text{e}^x-2>0\Longleftrightarrow x>\ln2\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&\ln2\approx0,69&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\h\,'(x)=\text{e}^x-2&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline&+\infty&&&&+\infty\\h(x)&&\searrow&&\nearrow&\\&&&1-2\ln2\approx-0,39&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

2. a) Nous devons montrer que l'équation h (x ) = 0 admet deux solutions 0 et alpha

dans

.

$\bullet{\white{w}}$ Sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;\ln2[.}$
La fonction h est définie, continue et strictement décroissante sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;\ln2[.}$
$\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to-\infty}h(x)=+\infty}$ et $\overset{{\white{.}}}{h(\ln2)=1-2\ln2\approx-0,39<0.}$

D'où $\overset{{\white{.}}}{ 0\in h(\,]-\infty\,;\ln2[\,).}$

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation h (x ) = 0 possède une et une seule solution dans l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;\ln2[.}$

Cette solution est x = 0 car $\overset{{\white{.}}}{h(0)=\text{e}^0-2\times0-1=1-0-1=0.}$

$\bullet{\white{w}}$ Sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]\ln2\,;\,+\infty[.}$
La fonction h est définie, continue et strictement croissante sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]\ln2\,;\,+\infty[.}$
$\overset{{\white{.}}}{h(\ln2)=1-2\ln2\approx-0,39<0}$ et $\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=+\infty}.}$

D'où $\overset{{\white{.}}}{ 0\in h(\,]\ln2\,;\,+\infty[\,).}$

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation h (x ) = 0 possède une et une seule solution notée $\overset{{\white{.}}}{\alpha}$ dans l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]\ln2\,;\,+\infty[.}$

Par conséquent, l'équation h (x ) = 0 admet deux solutions 0 et dans .

2. b) $\left\lbrace\begin{matrix}h(1)\approx-0,28<0 \\\\h(2)\approx2,39>0\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w}1<\alpha<2$

D'où $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\alpha\in\,]1\,;\,2[}\,.}$

Plus précisément, $\left\lbrace\begin{matrix}h(1,2)\approx-0,08<0 \\\\h(1,3)\approx0,07>0\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w}\boxed{1,2<\alpha<1,3}$

3. Complétons le tableau de variation de h sur

.

$\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline &&&&&&&&&\\ x&-\infty&&0&&\ln2&&\alpha&&+\infty\\&&&&&&&&&\\\hline&+\infty&&&&&&&&+\infty\\h(x)&&\searrow&0&\searrow&&\nearrow&0&\nearrow&\\&&&&&1-2\ln2&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

D'où le signe de h (x ) en fonction de x :

${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ h (x ) > 0 si $\overset{{\white{.}}}{x\in\,]-\infty\,;\,0[}$
${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ h (x ) < 0 si $\overset{{\white{.}}}{x\in\,]0\,;\,\alpha[}$
${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ h (x ) > 0 si $\overset{{\white{.}}}{x\in\,]\alpha\,;\,+\infty[.}$

Partie B

1. $\bullet{\white{w}}$ Calculons $\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x).}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(2x+3)=-\infty\phantom{wwwww}\\\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}=\lim\limits_{X\to+\infty}\text{e}^{X}=+\infty\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\lim\limits_{x\to-\infty}(2x+3)\,\text{e}^{-x}=-\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWv}\Longrightarrow\phantom{ww}\lim\limits_{x\to-\infty}[(2x+3)\,\text{e}^{-x}+x-1]=-\infty \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWv}\Longrightarrow\phantom{ww}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}$

$\bullet{\white{w}}$ Calculons $\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x).}$

$f(x)=(2x+3)\,\text{e}^{-x}+x-1\Longleftrightarrow \boxed{f(x)=2x\,\text{e}^{-x}+3\,\text{e}^{-x}+x-1} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}2x\,\text{e}^{-x}=0\phantom{w}(\text{croissances comparées)}\\\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0\phantom{wwwwwwwwwwwwwwww}\\\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\phantom{wwwwwwwwwwwwwwww}\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\lim\limits_{x\to+\infty}[2x\,\text{e}^{-x}+3\,\text{e}^{-x}+x-1]=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWWv}\Longrightarrow\phantom{ww}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}$

2. Calculons $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}.$

$\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{(2x+3)\,\text{e}^{-x}+x-1}{x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to-\infty}\left[\dfrac{(2x+3)\,\text{e}^{-x}}{x}+\dfrac{x}{x}-\dfrac{1}{x}\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to-\infty}\left[(2+\dfrac{3}{x})\,\text{e}^{-x}+1-\dfrac{1}{x}\right]}$

$\text{Or }\,\left\lbrace\begin{matrix}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(2+\dfrac{3}{x})=2\\\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}=+\infty\end{matrix}\right.\phantom{xx}\Longrightarrow\phantom{xx}\lim\limits_{x\to-\infty}(2+\dfrac{3}{x})\,\text{e}^{-x}=+\infty\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x}=0\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWW}} \end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\lim\limits_{x\to-\infty}\left[(2+\dfrac{3}{x})\,\text{e}^{-x}+1-\dfrac{1}{x}\right]=+\infty\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty}$

Dès lors, la courbe (C ) présente une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées en -.

3. a) Montrons que pour tout x réel, $f'(x)=\text{e}^{-x}\,h(x).$

$f'(x)=[(2x+3)\,\text{e}^{-x}]'+x'-1' \\\phantom{f'(x)}=[(2x+3)\,\text{e}^{-x}]'+1 \\\phantom{f'(x)}=(2x+3)'\times\text{e}^{-x}+(2x+3)\times(\text{e}^{-x})'+1 \\\phantom{f'(x)}=2\times\text{e}^{-x}+(2x+3)\times(-x)'\times\text{e}^{-x}+1 \\\phantom{f'(x)}=2\,\text{e}^{-x}+(2x+3)\times(-1)\times\text{e}^{-x}+1 \\\phantom{f'(x)}=2\,\text{e}^{-x}-(2x+3)\,\text{e}^{-x}+1 \\\phantom{f'(x)}=2\,\text{e}^{-x}-(2x+3)\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x}\times\text{e}^{x} \\\phantom{f'(x)}=\text{e}^{-x}[2-(2x+3)+\text{e}^{x}] \\\phantom{f'(x)}=\text{e}^{-x}(2-2x-3+\text{e}^{x}) \\\phantom{f'(x)}=\text{e}^{-x}(\text{e}^{x}-2x-1) \\\phantom{f'(x)}=\text{e}^{-x}\,h(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\R,\,f'(x)=\text{e}^{-x}\,h(x)}\,.$

3. b) Pour tout x réel, $\text{e}^{-x}>0.$
Le signe de f'(x) est donc le signe de h(x).

En utilisant les résultats de la question 3) Partie A, nous obtenons :

${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ f' (x ) > 0 si $\overset{{\white{.}}}{x\in\,]-\infty\,;\,0[}$
${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ f' (x ) < 0 si $\overset{{\white{.}}}{x\in\,]0\,;\,\alpha[}$
${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ f' (x ) > 0 si $\overset{{\white{.}}}{x\in\,]\alpha\,;\,+\infty[.}$

Par conséquent,

${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ f est strictement croissante sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;\,0[}$
${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ f est strictement décroissante sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,\alpha[}$
${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ f est strictement croissante sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]\alpha\,;\,+\infty[.}$

4. Tableau de variations de f .

${\white{wwwww}} \begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&-\infty&&0&&\alpha\approx1,25&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline&&&2&&&&+\infty\\f(x)&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\&-\infty&&&&f(\alpha)\approx1,8&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

5. a) Nous devons montrer que la droite ( deltamaj

) d'équation y = x - 1 est une asymptote à la courbe (C) .

$\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(x-1)]=\lim\limits_{x\to-+\infty}[(2x+3)\,\text{e}^{-x}+x-1 -(x-1)] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(x-1)]}=\lim\limits_{x\to+\infty}[(2x+3)\,\text{e}^{-x}} \\\\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}2x\,\text{e}^{-x}=0\phantom{w}(\text{croissances comparées)}\\\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0\phantom{wwwwwwwwwwwwwwww}\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\lim\limits_{x\to+\infty}[2x\,\text{e}^{-x}+3\,\text{e}^{-x}]=0 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWW>vWWv}\Longrightarrow\phantom{ww}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}(2x+3)\,\text{e}^{-x}]=0} \\\\\text{D'où }\,\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(x-1)]=0}$

Par conséquent, la droite () d'équation y = x - 1 est une asymptote à la courbe (C) au voisinage de +.

5. b) Étudions la position relative de (C ) par rapport à ( deltamaj

).

Nous devons étudier le signe de $[f(x)-(x-1)]$ , soit le signe de $(2x+3)\,\text{e}^{-x}.$

Pour tout x réel, $\text{e}^{-x}>0.$
Donc le signe de $(2x+3)\,\text{e}^{-x}$ est le signe de (2x + 3).

$\left\lbrace\begin{matrix}2x+3<0\Longleftrightarrow x<-\dfrac{3}{2}\\\overset{{\white{.}}}{2x+3>0\Longleftrightarrow x>-\dfrac{3}{2}}\\\overset{{\white{.}}}{2x+3=0\Longleftrightarrow x=-\dfrac{3}{2}} \end{matrix}\right.$

D'où, $\left\lbrace\begin{matrix}f(x)-(x-1)<0\Longleftrightarrow x<-\dfrac{3}{2}\\\overset{{\white{.}}}{f(x)-(x-1)>0\Longleftrightarrow x>-\dfrac{3}{2}}\\\overset{{\white{.}}}{f(x)-(x-1)=0\Longleftrightarrow x=-\dfrac{3}{2}} \end{matrix}\right.$

Par conséquent,

${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ Si $x<-\dfrac{3}{2}$ , alors la courbe (C ) est en dessous de la droite ( deltamaj

).
${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ Si $x>-\dfrac{3}{2}$ , alors la courbe (C ) est au-dessus de la droite ( deltamaj

).
${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ Si $x=-\dfrac{3}{2}$ , alors la courbe (C ) et la droite ( deltamaj

) ont un point commun.

5. c) L'abscisse du point A est égale à $-\dfrac{3}{2}.$ (voir question précédente).
Le point A appartient à la droite ( deltamaj

).
Ses coordonnées vérifient donc l'équation de ( deltamaj

).
D'où, l'ordonnée du point A s'obtient en remplaçant x par $-\dfrac{3}{2}$ dans l'équation de ( deltamaj

) et en calculant y .
Nous obtenons ainsi : $y=-\dfrac{3}{2}-1=-\dfrac{5}{2}.$
Par conséquent, les coordonnées du point A sont $\left(-\dfrac{3}{2}\,;\,-\dfrac{5}{2}\right).$

6. Représentation graphique de la droite ( deltamaj

) et de la courbe (C ).

Partie C

Soit D la partie du plan limitée par l'axe des ordonnées d'équation x = 0, la droite ( deltamaj

), la courbe (C ) et la droite d'équation x = 2.

Sur l'intervalle [0 ; 2], la courbe (C ) est au-dessus de la droite ( deltamaj

).
Donc l'aire D est donnée par :

$D= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{2} [f(x)-(x-1)]\,\text d x\end{aligned}\Longrightarrow \boxed{D= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{2} (2x+3)\,\text{e}^{-x}\,\text d x\end{aligned}} \\\\\\\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{2} u(x)v'(x)\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_0^{2}-\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{2} u'(x)v(x)\,\text d x\end{aligned}}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=2x+3\phantom{www}\Longrightarrow\phantom{ww}u'(x)=2\phantom{ww}\\v'(x)=\text{e}^{-x}\phantom{wwwwv}\Longrightarrow\phantom{ww}v(x)=-\text{e}^{-x}\end{matrix}\right. \\\\\text{Dès lors, }\ D=\left[\overset{}{(2x+3)\times(-\text{e}^{-x}})\right]\limits_0^{2}- \begin{aligned}\int\nolimits_0^{2} 2\times(-\text{e}^{-x})\,\text d x\end{aligned}$
${\white{WWWWw..}}=\left[\overset{}{-(2x+3)\,\text{e}^{-x}}\right]\limits_0^{2}-2 \begin{aligned}\int\nolimits_0^{2} -\text{e}^{-x}\,\text d x\end{aligned} \\\\ {\white{WWWWw..}}=\left[\overset{}{(-2x-3)\,\text{e}^{-x}}\right]\limits_0^{2}-2\left[\overset{}{\text{e}^{-x}}\right]\limits_0^{2} \\\\ {\white{WWWWw..}}=\left[\overset{}{(-2x-3-2)\,\text{e}^{-x}}\right]\limits_0^{2} \\\\ {\white{WWWWw..}}=\left[\overset{}{(-2x-5)\,\text{e}^{-x}}\right]\limits_0^{2}$
$\\\\ {\white{WWWWw..}}=\overset{}{(-2\times2-5)\,\text{e}^{-2}-(-2\times0-5)\,\text{e}^{0}} \\\\ {\white{WWWWw..}}=\overset{}{-9\,\text{e}^{-2}+5}$

Par conséquent, $\overset{}{\boxed{D=(-9\,\text{e}^{-2}+5)\,\text{cm}^2\approx3,78\,\text{cm}^2}}\,.$

Publié par malou le 20-09-2022

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