Nous savons que les solutions de l'équation différentielle sont de la forme avec k réel.
Or
Donc les solutions de l'équation différentielle (E) sont les fonctions avec k réel.
2. On considère l'équation différentielle
Nous devons déterminer les réels a et b tels que la fonction f définie par soit solution de (E' )
Si la fonction f est solution de (E' ), alors :
Par identification des deux membres, nous obtenons :
Par conséquent,
et donc,
3. Nous devons démontrer qu'une fonction g est solution de (E' ) si et seulement si g - f est solution de (E ).
En effet,
D'où une fonction g est solution de (E' ) si et seulement si g - f est solution de (E ).
4. En utilisant la question 3, nous déduisons que :
g est solution de (E' ) si et seulement si si et seulement si si et seulement si
Par conséquent, la solution générale de l'équation (E' ) est donnée par avec k réel.
4 points
exercice 2
On définit pour tout entier naturel n , les suites (un ) et (vn ) respectivement par :
1. Nous devons démontrer par récurrence que pour tout entier n , un > 0.
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que u0 > 0.
La relation est évidente puisque et par conséquent, l'initialisation est vraie.
Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, , alors
En effet,
Donc l'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier n , un > 0.
2. b) Démontrons que la suite (vn ) est géométrique de raison 2.
Nous en déduisons que (vn ) est une suite géométrique de raison q = 2.
3. Le terme général de la suite (vn ) est donné par
D'où , soit
Exprimons un en fonction de n .
4. On pose : et
4. a)S est la somme des (n +1) premiers termes de la suite (vn ).
4. b) Nous devons prouver que :
Or est la somme de (n +1) termes d'une suite géométrique de raison 2 dont le premier terme est -20.
En utilisant la formule de la somme rappelée dans la question 4. a), nous obtenons :
Nous déduisons alors que :
Par conséquent,
Exprimons S' en fonction de n .
12 points
probleme
Soit la fonction f définie sur par :
On note (C ) la courbe représentative de f .
Partie A
Soit h la fonction définie sur par :
1. Nous devons étudier les variations de h .
La fonction h est dérivable sur (somme de fonctions dérivables sur ).
Tableau de variation de h.
2. a) Nous devons montrer que l'équation h (x ) = 0 admet deux solutions 0 et dans .
Sur l'intervalle
La fonction h est définie, continue et strictement décroissante sur l'intervalle et
D'où
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation h (x ) = 0 possède une et une seule solution dans l'intervalle
Cette solution est x = 0 car
Sur l'intervalle
La fonction h est définie, continue et strictement croissante sur l'intervalle et
D'où
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation h (x ) = 0 possède une et une seule solution notée dans l'intervalle
Par conséquent, l'équation h (x ) = 0 admet deux solutions 0 et dans .
2. b)
D'où
Plus précisément,
3. Complétons le tableau de variation de h sur .
D'où le signe de h (x ) en fonction de x :
h (x ) > 0 si h (x ) < 0 si h (x ) > 0 si
Partie B
1.Calculons
Calculons
2. Calculons
Dès lors, la courbe (C ) présente une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées en -.
3. a) Montrons que pour tout x réel,
3. b) Pour tout x réel,
Le signe de f'(x) est donc le signe de h(x).
En utilisant les résultats de la question 3) Partie A, nous obtenons :
f' (x ) > 0 si f' (x ) < 0 si f' (x ) > 0 si
Par conséquent,
f est strictement croissante sur l'intervalle f est strictement décroissante sur l'intervalle f est strictement croissante sur l'intervalle
4. Tableau de variations de f .
5. a) Nous devons montrer que la droite () d'équation y = x - 1 est une asymptote à la courbe (C) .
Par conséquent, la droite () d'équation y = x - 1 est une asymptote à la courbe (C) au voisinage de +.
5. b) Étudions la position relative de (C ) par rapport à ().
Nous devons étudier le signe de , soit le signe de
Pour tout x réel,
Donc le signe de est le signe de (2x + 3).
D'où,
Par conséquent,
Si , alors la courbe (C ) est en dessous de la droite (). Si , alors la courbe (C ) est au-dessus de la droite (). Si , alors la courbe (C ) et la droite () ont un point commun.
5. c) L'abscisse du point A est égale à (voir question précédente).
Le point A appartient à la droite ().
Ses coordonnées vérifient donc l'équation de ().
D'où, l'ordonnée du point A s'obtient en remplaçant x par dans l'équation de () et en calculant y .
Nous obtenons ainsi :
Par conséquent, les coordonnées du point A sont
6. Représentation graphique de la droite () et de la courbe (C ).
Partie C
Soit D la partie du plan limitée par l'axe des ordonnées d'équation x = 0, la droite (), la courbe (C ) et la droite d'équation x = 2.
Sur l'intervalle [0 ; 2], la courbe (C ) est au-dessus de la droite ().
Donc l'aire D est donnée par :
Par conséquent,
Publié par malou
le
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