Fiche de mathématiques
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Sujet de Bac

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Sujet en partie relatif au cours sur la fonction exponentielle

Partie I

On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie sur \mathbb{R} par : f(x) = e^x - x - 1.
On note \matchscr{C} sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal (O\, , \, \vec{i} , \vec{j}). Unité graphique 1 cm.
1. Calculer \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)

2. a) Vérifier que f(x) peut s'écrire f(x) = e^x \left(1 - \dfrac{x}{e^x} - \dfrac{1}{e^x} \right).
    b) En déduire \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x).

3. Calculer f'(x) et établir le tableau des variations de f.

4. a) Montrer que la droite \matchscr{D} d'équation y = -x - 1 est asymptote à \matchscr{C} lorsque x tend vers moins l'infini.
    b) Etudier la position de \matchscr{C} par rapport à \matchscr{D}.

5. Déterminer une équation de la tangente \matchscr{D'} à \matchscr{C} au point d'abscisse -1.

6. Construire \matchscr{C} et \matchscr{D}.
7. Calculer en cm² l'aire du domaine limité par \matchscr{D}, la courbe \matchscr{C} et les droites d'équation x = -1 et x = 0.


Partie II

Pour tout entier n appartenant à \mathbb{N}, on désigne par E_n le domaine limité par la droite \matchscr{D}, la courbe \matchscr{C} et les droites d'équation : x = -n -1 et x = -n.

1. Calculer en cm² l'aire A_n du domaine E_n.
Montrer que la suite des réels A_n est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme A_0 et la raison.

2. Calculer S_n = A_0 + A_1 + A_2 + \cdots + A_n.
En déduire : \displaystyle \lim_{n \to +\infty} S_n.


Partie III

1. Montrer qu'en tout point M d'abscisse a de la courbe \matchscr{C} il existe une tangente à \matchscr{C} dont on établira une équation en fonction de a.

2. Cette tangente rencontre l'asymptote \matchscr{D} en un point N. On désigne par M' et N' les projections orthogonales de M et N sur l'axe des abscisses.
    a) Montrer que M'N' est un nombre constant.
    b) En déduire une construction simple de la tangente en M.
    c) Construire la tangente D' définie dans la partie I.5.



Partie I

1.
\left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x\to-\infty} e^x=0 \\ \displaystyle \lim_{x\to-\infty} -x=+\infty\\ \displaystyle \lim_{x\to-\infty} -1=-1 \\ \end{array} \right \rbrace     par addition : , \displaystyle \lim_{x\to-\infty} (e^x)+(-x)+(-1)=+\infty
Or (e^x)+(-x)+(-1)=e^x-x-1=f(x)
On déduit alors que \boxed{\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=+\infty}

2. a)
\begin{array}{c @{ = } l} e^x\left(1 - \dfrac{x}{e^x} - \dfrac{1}{e^x}\right) & e^x \times 1 - e^x \times \dfrac{x}{e^x} - e^x \times \dfrac{1}{e^x} \\  & e^x - \dfrac{e^x \times x}{e^x} - \dfrac{e^x \times 1}{e^x}\\   & e^x - x - 1\\ \end{array}
On a alors e^x\left(1 - \dfrac{x}{e^x} - \dfrac{1}{e^x}\right) = e^x - x - 1
On déduit alors que \boxed{f(x) = e^x \left(1 - \frac{x}{e^x} - \frac{1}{e^x}\right)}

2. b) On a \boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty} 1 = 1} (1)
\left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty\\ \displaystyle \lim_{X\to+\infty} - \frac{1}{X} = 0 \ \end{array} \right \rbrace     par composée : \displaystyle \lim_{x\to+\infty} -\frac{1}{\frac{e^x}{x}}=0
Or -\frac{1}{\frac{e^x}{x}}=-\frac{x}{e^x}
On déduit alors que \boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty} -\frac{x}{e^x} = 0} \, (2)
\left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty\\ \displaystyle \lim_{X\to+\infty} -\frac{1}{X} = 0 \\ \end{array} \right \rbrace     par composée : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} -\frac{1}{e^x} = 0
On déduit alors que \boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty} -\frac{1}{e^x}=0} \, (3)
Par addition de (1), (2) et (3), on deduit alors que : \boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \left(1 - \frac{x}{e^x} - \frac{1}{e^x}\right) = 1}
\left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \left(1 - \frac{x}{e^x} - \frac{1}{e^x}\right) = 1\\ \displaystyle \lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty \\ \end{array} \right \rbrace     par produit : \displaystyle \lim_{x\to+\infty} e^x \left(1 - \frac{x}{e^x} - \frac{1}{e^x}\right) = +\infty
Or e^x \left(1 - \frac{x}{e^x} - \frac{1}{e^x}\right) = f(x)
On déduit alors que \boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}

3. f(x)=e^x-x-1
Nous avons (U + V + G)' = (U)' + (V)' + (G)' donc :
f'(x) = (e^x)' + (-x)' + (-1)'
D'autre part (e^x)' = e^x, \, \, (-x)' = -1 et (-1)' = 0 donc : f'(x) = e^x + (-1) + (0)
Soit \boxed{f'(x) = e^x - 1}

 \begin{array}{c @{\, \Longleftrightarrow \,} l}  e^x - 1 > 0 & e^x > 1 \\ & e^x > e^0 \\ & x > 0 \text{ car exponentielle croissante strictement } \\ \end{array}
On déduit alors que e^x < 0 \Longleftrightarrow x < 0 et de même e^x = 0 \Longleftrightarrow x = 0 soit :
\begin{array}{|c|ccccc|} \hline  x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline  \end{array}

Et donc :
\begin{array}{|c|ccccc|} \hline  x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline  f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline  \hspace{1pt} & +\infty & & & & +\infty \\ f & & \searrow & & \nearrow & \\ \hspace{1pt} & & & 0 & & \\  \hline  \end{array}

4. a)
\begin{array}{l @{ = } l} f(x) - y_D & (e^x - x - 1) - (-x - 1) \\ & e^x - x - 1 + x + 1 \\ & e^x \\ \end{array}
On sait que \displaystyle \lim_{x\to-\infty} e^x=0, nous avons donc :
\displaystyle \lim_{x\to-\infty} |f(x)-y_D| = 0
On déduit alors que la droite D d'equation y = -x - 1 est asymptote à C_f en -\infty

4. b) Posons \phi(x) = f(x) - (-x - 1). On a alors \phi(x)=e^x
Or \forall x \in \mathbb{R}, \, e^x > 0 soit :
\phi(x) > 0 \\ f(x) - (-x - 1) > 0 \\ f(x) > (-x-1)
On déduit alors que C_f est au-dessus de D.

5. Nous avons y_a = f'(a)(x - a) + f(a) donc :
\begin{array}{l @{ = } l}  y_a & f'(a)(x - a) + f(a) \\ & f'(-1)(x - (-1)) + f(-1)\\ & (e^{-1}-1)(x + 1) + e^{-1} - (-1) - 1\\ & (e^{-1}-1)x + (e^{-1} - 1) \times (1) + e^{-1} + 1 - 1\\ & (e^{-1}-1)x + e^{-1} - 1 + e^{-1}\\ & (\underb{e^{-1}-1}_{\rm a})x + \underb{2e^{-1}-1}_{\rm b} \\ \end{array}
On déduit alors que une équation de la tangente D' à C au point d'abscisse -1 est y_a = (e^{-1}-1)x + 2e^{-1}-1

6.

sujet de bac d'analyse : fonction exponentielle, suites - sujet de bac - terminale : image 7


7. On sait que la courbe est toujours au desus de la droite, donc A = \displaystyle \int_{-1}^0 f(x)-(-x-1)\text{d}x.
\begin{array}{l @{ = } l} \displaystyle \int_{-1}^0 f(x)-(x-1)\text{d}x & \displaystyle \int_{-1}^0 \left(e^x \right) \text{d}x \\ & [e^x ]_{-1}^0 \\ & e^0 - e^{-1} \\ & 1 - e^{-1}  \text{ cm}^2\\  \end{array}
L'aire du domaine vaut 1 - e^{-1}  \text{ cm}^2

Partie II

1. La courbe C est en dessus de la droite D sur \mathbb{R}, donc elle l'est aussi sur [-(n+1);-n].
L'aire du domaine \mathcal{A}_n en \text{u.a}=\text{cm}^2 est égal à (Même calcul qu'au I.7. en changeant les bornes):

\begin{array}{lll}A_n &=& \displaystyle \int_{-n-1}^{-n} \text{e}^x \text{ d}x \\\\&=& [\text{e}^x]_{-n-1}^{-n} \\\\&=& \text{e}^{-n} - \text{e}^{-(1+n)} \\& =& \dfrac{1}{\text{e}^{n}}-\dfrac{1}{\text{e}^{n+1}}\\&=&\dfrac{\text{e}}{\text{e}^{n+1}}-\dfrac{1}{\text{e}^{n+1}}\end{array}
Donc:
\boxed{A_n=\dfrac{\text{e}-1}{\text{e}^{1+n}}}


On remarque que A_n = A_0 \times q^nA_0 = \dfrac{\text{e}-1}{\text{e}}; \quad q = \dfrac{1}{\text{e}}
On en déduit que:
 \boxed{\text{ la suite } (A_n)_{n \in \mathbb{N}} \text{ est géométrique de premier terme } A_0 = \dfrac{\text{e}-1}{\text{e}} \text{ et de raison } q = \dfrac{1}{\text{e}}}


2. La somme finie des termes d'une suite géométrique de raison \not{=}1 est connu:

\begin{matrix} S_n &=& A_0 + A_1 + ... + A_n  \\&=& A_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1 -q}  \\&=& A_0 \dfrac{1- \left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)^{n+1}}{A_0}  \\&=& 1-\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)^{n+1} \end{matrix}

Donc:
\boxed{S_n=1 - \left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)^{n+1}}


Or, comme 0 < \dfrac{1}{\text{e}} < 1 \Longrightarrow \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \left( \dfrac{1}{\text{e}} \right)^{n+1} = 0
Donc: \displaystyle \lim_{n \to +\infty} 1 - \left( \dfrac{1}{\text{e}} \right)^{n+1} = 1
On en déduit que:
\boxed{\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (S_n) = 1}


Partie III


1. D'après le cours, l'équation de la tangente au point M d'abscisse a est: y = f'(a)(x-a)+f(a)
Et comme f'(a)=\text{e}^a-1 \text{ et } f(a)=\text{e}^a - a - 1, l'équation de la tangente devient: y=(\text{e}^a-1)(x - a) + \text{e}^a - a - 1\Longleftrightarrow y=(\text{e}^a-1)x+\text{e}^a(1-a)-1.
En faisant varier a pour parcourir tous les points M(a,f(a)) de la courbe C, on obtient une équation de la tangente différente y=(\text{e}^a-1)x+\text{e}^a(1-a)-1

\boxed{\text{ L'équation de la tangente en chaque point }M \text{ de la courbe } C \text{ est: } y=(\text{e}^a-1)x+\text{e}^a(1-a)-1 }


2.a) La tangente et l'asymptote D ne sont pas parallèles puisqu'elles n'ont pas le même coefficient directeur. Et donc elles se coupent en un point N de coordonnées (x_N,y_N) qui vérifie:

\left\lbrace\begin{array}{lll}y_N=-x_N-1 & \text{ : À partir de l'équation de } D\\ y_N=(\text{e}^a-1)x_N+\text{e}^a(1-a)-1  &\text{ : À partir de l'équation de la tangente de }C\text{ au point }N \end{array}

On a donc:
\begin{matrix} -x_N-1=(\text{e}^a-1)x_N+\text{e}^a(1-a)-1 &\Longleftrightarrow& -x_N-(\text{e}^a-1)x_N= \text{e}^a(1-a) \\&\Longleftrightarrow&-\text{e}^a x_N= \text{e}^a(1-a)\\&\Longleftrightarrow&-x_N= 1-a\\&\Longleftrightarrow& x_N=a-1\end{matrix}

Calculons maintenant la distance M'N':

Puisque M' et N' sont respectivement les projections orthogonales de M et N sur l'axe des abscisses, on en déduit que: \begin{cases}x_M=x_{M'}=a \text{ et } x_{N}=x_{N'}=a-1\\y_{M'}=y_{N'}=0\end{cases}
Il s'ensuit que: \overrightarrow{M'N'}\left(\begin{array}l x_{N'}-x_{M'} \\y_{N'}-y_{M'}\end{array}\right)=\overrightarrow{M'N'}\left(\begin{array}l -1 \\0\end{array}\right)=-\vec{i}
Et: M'N'=||\overrightarrow{M'N'}||=||-\overrightarrow{i}||=1

Conclusion:
\boxed{ \text{ La distance M'N' est constante est vaut 1}}


2.b) On procède suivant les étapes suivantes:
A partir du point M de la courbe, on trace le point M' (simple projection orthogonale sur l'axe des abscisses (Ox))
On obtient le point N' par translation du point M' de   -\vec{i} \text{ (Car: }\overrightarrow{M'N'}=-\vec{i}\text{)}.
On trace la parallèle à l'axe des ordonnés (Oy) passant par N', elle coupe D en N, la tangente cherchée est la droite (MN).

3.b) Il s'agit du cas où a=-1
sujet de bac d'analyse : fonction exponentielle, suites - sujet de bac - terminale : image 6


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