On considère la fonction numérique de la variable réelle définie sur par : On note sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal Unité graphique 1 cm.
1. Calculer
2. a) Vérifier que peut s'écrire .
b) En déduire
3. Calculer et établir le tableau des variations de
4. a) Montrer que la droite d'équation est asymptote à lorsque tend vers moins l'infini.
b) Etudier la position de par rapport à
5. Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse -1.
6. Construire et 7. Calculer en cm² l'aire du domaine limité par la courbe et les droites d'équation et
Partie II
Pour tout entier appartenant à , on désigne par le domaine limité par la droite la courbe et les droites d'équation : et
1. Calculer en cm² l'aire du domaine Montrer que la suite des réels est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.
2. Calculer En déduire :
Partie III
1. Montrer qu'en tout point M d'abscisse a de la courbe il existe une tangente à dont on établira une équation en fonction de a.
2. Cette tangente rencontre l'asymptote en un point N. On désigne par M' et N' les projections orthogonales de M et N sur l'axe des abscisses.
a) Montrer que M'N' est un nombre constant.
b) En déduire une construction simple de la tangente en M.
c) Construire la tangente D' définie dans la partie I.5.
2. b) On a par composée : Or On déduit alors que par composée : On déduit alors que Par addition de (1), (2) et (3), on deduit alors que : par produit : Or On déduit alors que
3. Nous avons donc :
D'autre part et donc : Soit
On déduit alors que et de même soit :
Et donc :
4. a) On sait que , nous avons donc :
On déduit alors que la droite D d'equation y = -x - 1 est asymptote à C_f en
4. b) Posons . On a alors Or soit :
On déduit alors que est au-dessus de D.
5. Nous avons donc :
On déduit alors que une équation de la tangente D' à C au point d'abscisse -1 est
6.
7. On sait que la courbe est toujours au desus de la droite, donc .
L'aire du domaine vaut
Partie II
1. La courbe est en dessus de la droite sur , donc elle l'est aussi sur .
L'aire du domaine en est égal à (Même calcul qu'au I.7. en changeant les bornes):
Donc:
On remarque que où On en déduit que:
2. La somme finie des termes d'une suite géométrique de raison est connu:
Donc:
Or, comme Donc: On en déduit que:
Partie III
1. D'après le cours, l'équation de la tangente au point d'abscisse est: Et comme , l'équation de la tangente devient: .
En faisant varier pour parcourir tous les points de la courbe , on obtient une équation de la tangente différente
2.a) La tangente et l'asymptote ne sont pas parallèles puisqu'elles n'ont pas le même coefficient directeur. Et donc elles se coupent en un point de coordonnées qui vérifie:
On a donc:
Calculons maintenant la distance :
Puisque et sont respectivement les projections orthogonales de et sur l'axe des abscisses, on en déduit que: Il s'ensuit que: Et:
Conclusion:
2.b) On procède suivant les étapes suivantes:
A partir du point de la courbe, on trace le point (simple projection orthogonale sur l'axe des abscisses )
On obtient le point par translation du point de .
On trace la parallèle à l'axe des ordonnés passant par , elle coupe en , la tangente cherchée est la droite .
3.b) Il s'agit du cas où
Merci à Panter pour avoir élaboré cette fiche
Publié par malou/Panter
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !
de la variable réelle 
définie sur 
par :  = e^x - x - 1.)
sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal .)
Unité graphique 1 cm.
)
)
peut s'écrire  = e^x \left(1 - \dfrac{x}{e^x} - \dfrac{1}{e^x} \right))
.
.)
)
et établir le tableau des variations de 
d'équation 
est asymptote à 
à 
la courbe 
et 
appartenant à 
, on désigne par 
le domaine limité par la droite 
et 
du domaine 
et la raison.
par addition : , +(-x)+(-1)=+\infty)
+(-x)+(-1)=e^x-x-1=f(x))
=+\infty})
 & e^x \times 1 - e^x \times \dfrac{x}{e^x} - e^x \times \dfrac{1}{e^x} \\ & e^x - \dfrac{e^x \times x}{e^x} - \dfrac{e^x \times 1}{e^x}\\ & e^x - x - 1\\ \end{array})
 = e^x - x - 1)
 = e^x \left(1 - \frac{x}{e^x} - \frac{1}{e^x}\right)})
)
par composée : 
)
par composée : 
)
 = 1})
 = 1\\ \displaystyle \lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty \\ \end{array} \right \rbrace)
par produit :  = +\infty)
 = f(x))
 = +\infty})
=e^x-x-1)
' = (U)' + (V)' + (G)')
donc :
 = (e^x)' + (-x)' + (-1)')
' = e^x, \, \, (-x)' = -1)
et ' = 0)
donc :  = e^x + (-1) + (0))
 = e^x - 1})
et de même 
soit :
 & & - & 0 & + & \\ \hline \end{array})
 & & - & 0 & + & \\ \hline \hspace{1pt} & +\infty & & & & +\infty \\ f & & \searrow & & \nearrow & \\ \hspace{1pt} & & & 0 & & \\ \hline \end{array})
 - y_D & (e^x - x - 1) - (-x - 1) \\ & e^x - x - 1 + x + 1 \\ & e^x \\ \end{array})
, nous avons donc :
-y_D| = 0)
 = f(x) - (-x - 1))
. On a alors =e^x)
soit :
 > 0 \\ f(x) - (-x - 1) > 0 \\ f(x) > (-x-1))
est au-dessus de D.
(x - a) + f(a))
donc :
(x - a) + f(a) \\ & f'(-1)(x - (-1)) + f(-1)\\ & (e^{-1}-1)(x + 1) + e^{-1} - (-1) - 1\\ & (e^{-1}-1)x + (e^{-1} - 1) \times (1) + e^{-1} + 1 - 1\\ & (e^{-1}-1)x + e^{-1} - 1 + e^{-1}\\ & (\underb{e^{-1}-1}_{\rm a})x + \underb{2e^{-1}-1}_{\rm b} \\ \end{array})
x + 2e^{-1}-1)
-(-x-1)\text{d}x)
.
![\begin{array}{l @{ = } l} \displaystyle \int_{-1}^0 f(x)-(x-1)\text{d}x & \displaystyle \int_{-1}^0 \left(e^x \right) \text{d}x \\ & [e^x ]_{-1}^0 \\ & e^0 - e^{-1} \\ & 1 - e^{-1} \text{ cm}^2\\ \end{array}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{array}{l @{ = } l} \displaystyle \int_{-1}^0 f(x)-(x-1)\text{d}x & \displaystyle \int_{-1}^0 \left(e^x \right) \text{d}x \\ & [e^x ]_{-1}^0 \\ & e^0 - e^{-1} \\ & 1 - e^{-1} \text{ cm}^2\\ \end{array})
est en dessus de la droite 
sur ![[-(n+1);-n]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[-(n+1);-n])
.
en 
est égal à (Même calcul qu'au I.7. en changeant les bornes):
![\begin{array}{lll}A_n &=& \displaystyle \int_{-n-1}^{-n} \text{e}^x \text{ d}x \\\\&=& [\text{e}^x]_{-n-1}^{-n} \\\\&=& \text{e}^{-n} - \text{e}^{-(1+n)} \\& =& \dfrac{1}{\text{e}^{n}}-\dfrac{1}{\text{e}^{n+1}}\\&=&\dfrac{\text{e}}{\text{e}^{n+1}}-\dfrac{1}{\text{e}^{n+1}}\end{array}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{array}{lll}A_n &=& \displaystyle \int_{-n-1}^{-n} \text{e}^x \text{ d}x \\\\&=& [\text{e}^x]_{-n-1}^{-n} \\\\&=& \text{e}^{-n} - \text{e}^{-(1+n)} \\& =& \dfrac{1}{\text{e}^{n}}-\dfrac{1}{\text{e}^{n+1}}\\&=&\dfrac{\text{e}}{\text{e}^{n+1}}-\dfrac{1}{\text{e}^{n+1}}\end{array})
où 
_{n \in \mathbb{N}} \text{ est géométrique de premier terme } A_0 = \dfrac{\text{e}-1}{\text{e}} \text{ et de raison } q = \dfrac{1}{\text{e}}})
est connu:
^{n+1}}{A_0} \\&=& 1-\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)^{n+1} \end{matrix})
^{n+1}})
^{n+1} = 0)
^{n+1} = 1 )
 = 1})
d'abscisse 
est: (x-a)+f(a))
=\text{e}^a-1 \text{ et } f(a)=\text{e}^a - a - 1)
, l'équation de la tangente devient: (x - a) + \text{e}^a - a - 1\Longleftrightarrow y=(\text{e}^a-1)x+\text{e}^a(1-a)-1)
.
))
de la courbe x+\text{e}^a(1-a)-1)
x+\text{e}^a(1-a)-1 })
de coordonnées )
qui vérifie:
x_N+\text{e}^a(1-a)-1 &\text{ : À partir de l'équation de la tangente de }C\text{ au point }N \end{array})
x_N+\text{e}^a(1-a)-1 &\Longleftrightarrow& -x_N-(\text{e}^a-1)x_N= \text{e}^a(1-a) \\&\Longleftrightarrow&-\text{e}^a x_N= \text{e}^a(1-a)\\&\Longleftrightarrow&-x_N= 1-a\\&\Longleftrightarrow& x_N=a-1\end{matrix})
:
et 
sont respectivement les projections orthogonales de 
=\overrightarrow{M'N'}\left(\begin{array}l -1 \\0\end{array}\right)=-\vec{i})
)
)
})
.
)
passant par )
.
Voir la correction