Fiche de mathématiques
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Fonctions exponentielles : Exercice type Bac

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Fiche relue en 2016

Exercice basé sur le cours sur la fonction exponentielle.
Enoncé
Soit f la fonction définie sur [0;+\infty[ \text{ par } f(x)=\frac{3}{4}x+e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}.

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O;\vec{i},\vec{j}) (unité graphique 4 cm). On note C la courbe représentative de la fonction f dans ce repère.

1. (a) Résoudre dans R l'équation 1-e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}=0

(b) Résoudre dans R l'inéquation 1-e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}\geq 0

2. Étudier les variations de la fonction f

3. Déterminer \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)

4. On considère la droite \Delta:y=\frac{3}{4}x. Déterminer \lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-\frac{3}{4}x). Donner une interprétation graphique du résultat.

5. Représenter graphiquement C et \Delta

6. On considère la droite D:y=\frac{4}{5}x. Déterminer graphiquement l'abscisse du point d'intersection de cette droite avec C (on donnera un encadrement d'amplitude 0,5).



Voir la correction



On considère la fonction f définie sur [0;+\infty[ \text{ par } f(x)=\frac{3}{4}x+e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}.

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O;\vec{i},\vec{j}) (unité graphique 4 cm). On note C la courbe représentative de la fonction f dans ce repère.

1. (a)
1-e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}=0 \\ \Longleftrightarrow e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}=1\\ \Longleftrightarrow e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}=e^0 \\ \Longleftrightarrow -\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}=0 \\ \Longleftrightarrow \frac{3}{4}x=\frac{1}{2} \\ \Longleftrightarrow x=\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}=\frac{2}{3}

L'équation admet une seule solution : \frac{2}{3}

1. (b)
1-e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}\geq 0 \\ \Longleftrightarrow e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}\leq 1 \\ \Longleftrightarrow e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}\leq e^0 \\ \Longleftrightarrow -\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}\leq 0 car la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.

-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}\leq 0 \\ \Longleftrightarrow \frac{3}{4}x\geq \frac{1}{2} \\ \Longleftrightarrow x\geq \frac{4}{3}×\frac{1}{2} \\ \Longleftrightarrow x\geq \frac{2}{3}

L'inéquation admet pour ensemble solution l'intervalle [\frac{2}{3};+\infty[

2. La fonction f est définie sur [0;+\infty[

Dérivabilité :

x\longmapsto -\frac{3}{4}x+\frac{1}{2} est affine donc dérivable sur R donc dérivable sur [0;+\infty[.
x\longmapsto e^x est dérivable sur R donc la composée x\to e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}} est dérivable sur [0;+\infty[.
Enfin, f est dérivable sur [0;+\infty[ comme somme de fonctions dérivable sur [0;+\infty[.

Dérivée :
quelquesoitx\geq 0,f'(x)=\frac{3}{4}+(-\frac{3}{4})\times e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}=\frac{3}{4}(1-e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}) \text{ donc } f'(x) est du signe de (1-e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}) \text{ car } \frac{3}{4}>0.

D'après le 1.b/, on déduit que f'(x)\geq 0 \text{ pour } x\geq \frac{2}{3} \text{ et } f'(x) \leq 0 \text{ pour } 0 \leq x \leq \frac{2}{3}
donc f est croissante sur [\frac{2}{3};+\infty[ et décroissante sur [0;\frac{2}{3}].

3. \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}(\frac{3}{4}x+e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}})=+\infty car \lim\limits_{x\to +\infty} -\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}=-\infty \text{ et } \lim\limits_{X\to-\infty} e^X=0 \text { donc } \lim\limits_{x\to +\infty} e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}=0 \\ \lim\limits_{x\to +\infty} \frac{3}{4}x=+\infty

4. \lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-\frac{3}{4}x)=\lim\limits_{x\to +\infty}e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}=0 car \lim\limits_{x\to +\infty}-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}=-\infty \text{ et } \lim\limits_{X\to -\infty}e^X=0

On déduit que C admet la droite \Delta pour asymptote lorsque x tend vers +\infty

5. Ci-dessous, C \text{ et } \Delta


6. On considère la droite D:y=\frac{4}{5}x.
Fonctions exponentielles : Exercice type Bac : image 1


Graphiquement (voir ci-dessus) l'abscisse du point d'intersection de cette droite avec C a une abscisse comprise entre 3 et 3,5 (avec un encadrement d'amplitude 0,5).
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