1.
a)

donc

par la propriété de la composition de limites.
De même,

par la propriété de la composition de limites.
b)

par la propriété de la composition de limites.
On déduit que

par somme des limites.
De même,

par la propriété de la composition de limites.
On déduit que

par somme des limites.
c)

par la propriété de la composition
de limites.
De même,

par la propriété de la composition de limites.
2. On considère la fonction

définie sur
R par
=\frac{e^{2x}}{e^x+1})
.


, ainsi,

est dérivable sur
R comme quotient de deux fonctions dérivables sur
R dont le dénominateur ne s'annule pas sur
R.

Or
>0)
donc

est strictement croissante sur
R.
3.
a) On considère la fonction

définie par

est dérivable sur

comme somme de fonctions dérivables sur

.

b) On considère la fonction

définie par

est dérivable sur
R comme composée de fonctions dérivables sur
R.

c) On considère la fonction

définie par
La fonction

est dérivable sur
R comme composée de fonctions dérivables sur
R et


donc

est dérivable sur
R comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas sur
R.

=\frac{2e^{2x}(e^{2x}+1)-2e^{2x}e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}=\frac{2e^{4x}+2e^{2x}-2e^{4x}}{(e^{2x}+1)^2}=\frac{2e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2})