Fiche de mathématiques
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Intervalle de fluctuation et estimation - Exercice

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exercice

Un founisseur produit deux sortes de cadenas. Les uns sont premier prix et les autres sont haut de gamme. Un magasin de bricolage dispose d'un stock de cadenas provenant de ce fournisseur; ce stock comprend un grand nombre de cadenas de chaque type.

1. Le fournisseur affirme que, parmi les cadenas haut de gamme, il n'y a pas plus de 3\% de cadenas défectueux dans sa production. Le responsable du magasin de bricolage désire vérifier la validité de cette affirmation dans son stock ; à cet effet, il prélève un échantillon aléatoire de 500 cadenas haut de gamme, et en trouve 19 qui sont défectueux.
Ce contrôle remet-il en cause le fait que le stock ne comprenne pas plus de 3\% de cadenas défectueux?
On pourra pour cela utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\%.

2. Le responsable du masin souhaite estimer la proportion de cadenas défectueux dans son stock de cadenas premier prix. Pour cela il prélève un échantillon aléatoire de 500 cadenas premier prix, parmi lesquels 39 se révèlent défectueux.
Donner un intervalle de confiance de cette proportion au niveau de confiance 95\%.





1. On a n=500 et p=0,03.
\begin{array}{rll} \rhd& n=500 \geqslant 30 & \checkmark \\ \rhd &np=15 \geqslant 5 &\checkmark \\ \rhd &n(1-p)=485 \geqslant 5 &\checkmark \end{array}
Ainsi un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\% est :
\begin{array}{rl}I_{500}&=\left[0,03-1,96\dfrac{\sqrt{0,03\times 0,97}}{\sqrt{500}}\;;\;0,03+1,96\dfrac{\sqrt{0,03\times 0,97}}{\sqrt{500}}\right] \\\\ &\approx [0,015\;;\;0,045] \end{array}
La fréquence observée est f=\dfrac{19}{500}=0,038\in I_{500}.
Ce contrôle ne remet donc pas en cause l'affirmation du founisseur.

2. On a n=500 et f=\dfrac{39}{500}=0,078.
\begin{array}{rll} \rhd& n=500 \geqslant 30 & \checkmark \\ \rhd &nf=39 \geqslant 5 &\checkmark \\ \rhd &n(1-f)=461 \geqslant 5 &\checkmark \end{array}
Ainsi un intervalle de confiance au seuil de 95\% est :
\begin{array}{rl}J_{500}&=\left[0,078-\dfrac{1}{\sqrt{500}}\;;\;0,078+\dfrac{1}{\sqrt{500}}\right] \\\\ &\approx [0,033\;;\;0,123] \end{array}
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