Dans un pays, il y a de la population contaminée par un virus.
On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :
La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de (sensibilité du test).
La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de (spécificité du test).
On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.
On note l'évènement "la personne est contaminée par le virus" et l'évènement "le test est positif". et désignent respectivement les évènements contraires de et . 1a Préciser les valeurs des probabilités .
Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilités. b En déduire la probabilité de l'évènement . 2 Démontrer que la probabilité que le test soit positif est . 3a Justifier par un calcul la phrase :
«Si le test est positif, il n'y a qu'environ de "chances" que la personne soit contaminée ». b Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.
4 Les événements et sont-ils indépendants?
b On a donc 2 D'après la formule des probabilités totales on a : 3a Il s'agit d'évaluer .
Si le test est positif, il n'y a donc qu'environ de "chances" que la personne soit contaminée. b On veut calculer .
La probabilité que la personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que le test est négatif est donc de . 4. Donc ,les événements ne sont donc pas indépendants.
Publié par Prof digiSchool
le
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de la population contaminée par un virus.
(sensibilité du test).
(spécificité du test).
l'évènement "la personne est contaminée par le virus" et 
l'évènement "le test est positif".
et 
désignent respectivement les évènements contraires de ,\, p_{V}(T),\, p_{\overline{V}}(\overline{T}))
.
.
.
de "chances" que la personne soit contaminée ». = 0,02\qquad p_V(T) = 0,99 \qquad p_{\overline{V}}\left(\overline{T}\right) = 0,97)
.
 = 0,02 \times 0,99 = 0,0198)
 & = p(T \cap V) + p\left(T \cap \overline{V}\right) \\ & = 0,0198 + 0,98 \times 0,03 \\ &= 0,0198 + 0,0294\\ &= 0,0492 \end{array})
 \text{ : }\;\; p_T(V)= \dfrac{p(V \cap T)}{p(T)} = \dfrac{0,0198}{0,0492} \approx 0,4024)
.\text{ : }\;\; p_{\overline{T}}\left(\overline{V}\right)= \dfrac{p\left(\overline{V} \cap \overline{T}\right)}{p\left(\overline{T}\right)} = \dfrac{0,98 \times 0,97}{1 - 0,0492} \approx 0,9998)
.
.=0,99 \text{ et } p(T)=0,0492)
. Donc \neq p(T))
,les événements ne sont donc pas indépendants.
Voir l'énoncé seul