Fiche de mathématiques
> >

Exemples de résolution de systèmes

Partager :

Dans le cadre de certains exercices, identification de polynômes, raccordement de courbes, ... on peut être amené à devoir résoudre des systèmes d'équations. En voici quelques exemples détaillés.


Le calcul des systèmes se fait en général par étapes, dans cette correction, la ligne sur laquelle on effectue le calcul sera exposée en rouge afin de permettre au lecteur de mieux comprendre les démarches suivies lors de la résolution.

Remarque : dans ce fichier, toutes les inconnues sont supposées réelles.

exercice 1


Déterminer x\;,y\;,\text{ et } z réels tels que :

\begin{matrix} \begin{cases} x+3y+4z=1\\2y+5z=6\\6z=7\end{cases} &\Longleftrightarrow& \begin{cases} x+3y+4z=1\\2y+5z=6\\\red{z=\dfrac{7}{6}}\end{cases}&\Longleftrightarrow& \begin{cases} x+3y+4z=1\\\red{2y=6-5z}\\z=\dfrac{7}{6}\end{cases}\\&&&&\\&\Longleftrightarrow}& \begin{cases} x+3y+4z=1\\\red{y=\dfrac{6}{2}-\dfrac{5}{2}z}\\z=\dfrac{7}{6}\end{cases} &\Longleftrightarrow& \begin{cases} x+3y+4z=1\\\red{y=\dfrac{6}{2}-\dfrac{5}{2}\times\dfrac{7}{6}}\\z=\dfrac{7}{6}\end{cases}\\&&&&\\&\Longleftrightarrow&  \begin{cases} x+3y+4z=1\\\red{y=\dfrac{1}{12}}\\z=\dfrac{7}{6}\end{cases}&\Longleftrightarrow&  \begin{cases} \red{x=1-3y-4z}\\y=\dfrac{1}{12}\\z=\dfrac{7}{6}\end{cases}\\&&&&\\&\Longleftrightarrow&  \begin{cases} \red{x=1-3\times\dfrac{1}{12}-4\times\dfrac{7}{6}}\\y=\dfrac{1}{12}\\z=\dfrac{7}{6}\end{cases} &\Longleftrightarrow& \begin{cases} x=\dfrac{-47}{12} \\ y=\dfrac{1}{12} \\ z=\dfrac{7}{6}\end{cases} \end{matrix}

La solution du système est donc:
\boxed{S=\left\lbrace\text{  (}\dfrac{-47}{12},\dfrac{1}{12},\dfrac{7}{6}\text{)  }\right\rbrace}




exercice 2


Afin de mieux expliquer, on numérote chaque équation par son numéro (I), (II) et (III)

Déterminer x\;,y\;,\text{ et } z réels tels que :

\begin{matrix} \begin{cases} x+2y+z=2 \text{ (I)} \\2x-4y-2z=1\text{ (II)}\\x+5y-2z=3\text{ (III)}\end{cases}   &      \overset{\text{ (I) } \times 2 }{\Longleftrightarrow }       &      \begin{cases} \red{2x+4y+2z=4} \black{\text{ (I)}} \\2x-4y-2z=1\text{ (II)}\\x+5y-2z=3\text{ (III)}\end{cases}      &     \overset{\text{(I)  }\to\text{(I)  +(II)}}{\Longleftrightarrow }      &     \begin{cases} \red{4x=5} \black{\text{ (I)}} \\2x-4y-2z=1\text{ (II)}\\x+5y-2z=3\text{ (III)}                 \end{cases} \\&&&& \\&\Longleftrightarrow                                                &      \begin{cases} \red{x=\dfrac{5}{4}} \black{\text{ (I)}} \\2x-4y-2z=1\text{ (II)}\\x+5y-2z=3\text{ (III)}\end{cases} &     \overset{\text{(III)}\to\text{(III)-(II)}}{\Longleftrightarrow }      &     \begin{cases} x=\dfrac{5}{4} \text{ (I)} \\2x-4y-2z=1\text{ (II)}\\\red{-x+9y=2}\black{\text{ (III)}}           \end{cases} \\&&&& \end{matrix}

\begin{matrix}\white{ \begin{cases} x+2y+z=2 \text{ (I)} \\2x-4y-2z=1\text{ (II)}\\x+5y-2z=3\text{ (III)}\end{cases}h}&\Longleftrightarrow& \begin{cases} x=\dfrac{5}{4} \text{ (I)} \\2x-4y-2z=1\text{ (II)}\\\red{9y=x+2}\black{\text{ (III)}}           \end{cases} &\Longleftrightarrow& \begin{cases} x=\dfrac{5}{4} \text{ (I)} \\2x-4y-2z=1\text{ (II)}\\\red{y=\dfrac{1}{9}\times(\dfrac{5}{4}+2)}\black{\text{ (III)}}           \end{cases}\\&\Longleftrightarrow& \begin{cases} x=\dfrac{5}{4} \text{ (I)} \\2x-4y-2z=1\text{ (II)}\\\red{y=\dfrac{13}{36}}\black{\text{ (III)}}           \end{cases}&\Longleftrightarrow& \begin{cases} x=\dfrac{5}{4} \text{ (I)} \\\red{z=x-2y-\dfrac{1}{2}}\black{\text{ (II)}}\\y=\dfrac{13}{36}\text{ (III)}          \end{cases}\\ &\Longleftrightarrow& \begin{cases} x=\dfrac{5}{4} \text{ (I)} \\\red{z=\dfrac{5}{4}-2\times\dfrac{13}{36}-\dfrac{1}{2}}\black{\text{ (II)}}\\y=\dfrac{13}{36}\text{ (III)}\end{cases}  \end{matrix}

\begin{matrix}\white{ \begin{cases} x+2y+z=2 \text{ (I)} \\2x-4y-2z=1\text{ (II)}\\x+5y-2z=3\text{ (III)}\end{cases}h}&\Longleftrightarrow& \begin{cases} x=\dfrac{5}{4}\\\\y=\dfrac{13}{36}\\\\z=\dfrac{1}{36}\end{cases}\end{matrix}

La solution de ce système est:
\boxed{S=\left\lbrace \text{  (} \dfrac{5}{4} , \dfrac{13}{36} , \dfrac{1}{36} \text{)  }\right\rbrace}




exercice 3



Comme dans l'exercice 2., et afin de mieux expliquer, on numérote chaque équation par son numéro (I), (II), (III) et (IV)

Déterminer x\;,y\;, z \text{ et } t réels tels que ::
\begin{cases}x+y+z+t=10 \text{ (I)} \\x-y+z+t=6\text{ (II)}\\x+y-z+t=4\text{ (III)}\\x+y+z-t=2\text{ (IV)}\end{cases}


Si on remarque bien le systmème, on constate que les quatres équations sont presque les mêmes, il y a juste un signe qui change, ce qui nous permet de trouver facilement les inconnues si on effectue les opérations suivantes:

\red\text{(II)}\to \text{(I)-(II) } \black{\text{ , }} \red\text{(III)}\to \text{(I)-(III)}\black\text{ et }\red\text{(IV)}\to \text{(I)-(IV)}

On obtient alors directement:

\begin{cases}x+y+z+t=10 \text{  (I)} \\2y=4 \text{ (II)} \\2z=6 \text{  (III)} \\2t=8 \text{  (IV)}\end{cases}


Ce qui nous permet de trouver, y , z et t:

\begin{cases}x+y+z+t=10 \text{  (I)} \\y=2 \text{ (II)} \\z=3 \text{  (III)} \\t=4 \text{  (IV)}\end{cases}


Dans l'equation (I), on peut déduire x simplement en remplaçant y, z et t par leurs valeurs trouvées:

\begin{cases}\red{x=10-y-z-t} \text{  (I)} \\y=2 \text{ (II)} \\z=3 \text{  (III)} \\t=4 \text{  (IV)}\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}\red{x=10-2-3-4} \text{  (I)} \\y=2 \text{ (II)} \\z=3 \text{  (III)} \\t=4 \text{  (IV)}\end{cases}\Longleftrightarrow\begin{cases}x=1 \text{  (I)} \\y=2 \text{ (II)} \\z=3 \text{  (III)} \\t=4 \text{  (IV)}\end{cases}


La solution de ce système est:
\boxed{S=\left\lbrace \text{  (} 1 , 2 , 3 , 4 \text{)  }\right\rbrace}
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !