Fiche de mathématiques
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Exemples de résolution de systèmes

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Dans le cadre de certains exercices, identification de polynômes, raccordement de courbes, ... on peut être amené à devoir résoudre des systèmes d'équations. En voici quelques exemples détaillés.


Le calcul des systèmes se fait en général par étapes, dans cette correction, la ligne sur laquelle on effectue le calcul sera exposée en rouge afin de permettre au lecteur de mieux comprendre les démarches suivies lors de la résolution.

Remarque : dans ce fichier, toutes les inconnues sont supposées réelles.

exercice 1


Déterminer x\;,y\;,\text{ et } z réels tels que :

\begin{matrix} \begin{cases} x+3y+4z=1\\2y+5z=6\\6z=7\end{cases} &\Longleftrightarrow& \begin{cases} x+3y+4z=1\\2y+5z=6\\\red{z=\dfrac{7}{6}}\end{cases}&\Longleftrightarrow& \begin{cases} x+3y+4z=1\\\red{2y=6-5z}\\z=\dfrac{7}{6}\end{cases}\\&&&&\\&\Longleftrightarrow}& \begin{cases} x+3y+4z=1\\\red{y=\dfrac{6}{2}-\dfrac{5}{2}z}\\z=\dfrac{7}{6}\end{cases} &\Longleftrightarrow& \begin{cases} x+3y+4z=1\\\red{y=\dfrac{6}{2}-\dfrac{5}{2}\times\dfrac{7}{6}}\\z=\dfrac{7}{6}\end{cases}\\&&&&\\&\Longleftrightarrow&  \begin{cases} x+3y+4z=1\\\red{y=\dfrac{1}{12}}\\z=\dfrac{7}{6}\end{cases}&\Longleftrightarrow&  \begin{cases} \red{x=1-3y-4z}\\y=\dfrac{1}{12}\\z=\dfrac{7}{6}\end{cases}\\&&&&\\&\Longleftrightarrow&  \begin{cases} \red{x=1-3\times\dfrac{1}{12}-4\times\dfrac{7}{6}}\\y=\dfrac{1}{12}\\z=\dfrac{7}{6}\end{cases} &\Longleftrightarrow& \begin{cases} x=\dfrac{-47}{12} \\ y=\dfrac{1}{12} \\ z=\dfrac{7}{6}\end{cases} \end{matrix}

La solution du système est donc:
\boxed{S=\left\lbrace\text{  (}\dfrac{-47}{12},\dfrac{1}{12},\dfrac{7}{6}\text{)  }\right\rbrace}




exercice 2


Afin de mieux expliquer, on numérote chaque équation par son numéro (I), (II) et (III)

Déterminer x\;,y\;,\text{ et } z réels tels que :

\begin{matrix} \begin{cases} x+2y+z=2 \text{ (I)} \\2x-4y-2z=1\text{ (II)}\\x+5y-2z=3\text{ (III)}\end{cases}   &      \overset{\text{ (I) } \times 2 }{\Longleftrightarrow }       &      \begin{cases} \red{2x+4y+2z=4} \black{\text{ (I)}} \\2x-4y-2z=1\text{ (II)}\\x+5y-2z=3\text{ (III)}\end{cases}      &     \overset{\text{(I)  }\to\text{(I)  +(II)}}{\Longleftrightarrow }      &     \begin{cases} \red{4x=5} \black{\text{ (I)}} \\2x-4y-2z=1\text{ (II)}\\x+5y-2z=3\text{ (III)}                 \end{cases} \\&&&& \\&\Longleftrightarrow                                                &      \begin{cases} \red{x=\dfrac{5}{4}} \black{\text{ (I)}} \\2x-4y-2z=1\text{ (II)}\\x+5y-2z=3\text{ (III)}\end{cases} &     \overset{\text{(III)}\to\text{(III)-(II)}}{\Longleftrightarrow }      &     \begin{cases} x=\dfrac{5}{4} \text{ (I)} \\2x-4y-2z=1\text{ (II)}\\\red{-x+9y=2}\black{\text{ (III)}}           \end{cases} \\&&&& \end{matrix}

\begin{matrix}\white{ \begin{cases} x+2y+z=2 \text{ (I)} \\2x-4y-2z=1\text{ (II)}\\x+5y-2z=3\text{ (III)}\end{cases}h}&\Longleftrightarrow& \begin{cases} x=\dfrac{5}{4} \text{ (I)} \\2x-4y-2z=1\text{ (II)}\\\red{9y=x+2}\black{\text{ (III)}}           \end{cases} &\Longleftrightarrow& \begin{cases} x=\dfrac{5}{4} \text{ (I)} \\2x-4y-2z=1\text{ (II)}\\\red{y=\dfrac{1}{9}\times(\dfrac{5}{4}+2)}\black{\text{ (III)}}           \end{cases}\\&\Longleftrightarrow& \begin{cases} x=\dfrac{5}{4} \text{ (I)} \\2x-4y-2z=1\text{ (II)}\\\red{y=\dfrac{13}{36}}\black{\text{ (III)}}           \end{cases}&\Longleftrightarrow& \begin{cases} x=\dfrac{5}{4} \text{ (I)} \\\red{z=x-2y-\dfrac{1}{2}}\black{\text{ (II)}}\\y=\dfrac{13}{36}\text{ (III)}          \end{cases}\\ &\Longleftrightarrow& \begin{cases} x=\dfrac{5}{4} \text{ (I)} \\\red{z=\dfrac{5}{4}-2\times\dfrac{13}{36}-\dfrac{1}{2}}\black{\text{ (II)}}\\y=\dfrac{13}{36}\text{ (III)}\end{cases}  \end{matrix}

\begin{matrix}\white{ \begin{cases} x+2y+z=2 \text{ (I)} \\2x-4y-2z=1\text{ (II)}\\x+5y-2z=3\text{ (III)}\end{cases}h}&\Longleftrightarrow& \begin{cases} x=\dfrac{5}{4}\\\\y=\dfrac{13}{36}\\\\z=\dfrac{1}{36}\end{cases}\end{matrix}

La solution de ce système est:
\boxed{S=\left\lbrace \text{  (} \dfrac{5}{4} , \dfrac{13}{36} , \dfrac{1}{36} \text{)  }\right\rbrace}




exercice 3



Comme dans l'exercice 2., et afin de mieux expliquer, on numérote chaque équation par son numéro (I), (II), (III) et (IV)

Déterminer x\;,y\;, z \text{ et } t réels tels que ::
\begin{cases}x+y+z+t=10 \text{ (I)} \\x-y+z+t=6\text{ (II)}\\x+y-z+t=4\text{ (III)}\\x+y+z-t=2\text{ (IV)}\end{cases}


Si on remarque bien le systmème, on constate que les quatres équations sont presque les mêmes, il y a juste un signe qui change, ce qui nous permet de trouver facilement les inconnues si on effectue les opérations suivantes:

\red\text{(II)}\to \text{(I)-(II) } \black{\text{ , }} \red\text{(III)}\to \text{(I)-(III)}\black\text{ et }\red\text{(IV)}\to \text{(I)-(IV)}

On obtient alors directement:

\begin{cases}x+y+z+t=10 \text{  (I)} \\2y=4 \text{ (II)} \\2z=6 \text{  (III)} \\2t=8 \text{  (IV)}\end{cases}


Ce qui nous permet de trouver, y , z et t:

\begin{cases}x+y+z+t=10 \text{  (I)} \\y=2 \text{ (II)} \\z=3 \text{  (III)} \\t=4 \text{  (IV)}\end{cases}


Dans l'equation (I), on peut déduire x simplement en remplaçant y, z et t par leurs valeurs trouvées:

\begin{cases}\red{x=10-y-z-t} \text{  (I)} \\y=2 \text{ (II)} \\z=3 \text{  (III)} \\t=4 \text{  (IV)}\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}\red{x=10-2-3-4} \text{  (I)} \\y=2 \text{ (II)} \\z=3 \text{  (III)} \\t=4 \text{  (IV)}\end{cases}\Longleftrightarrow\begin{cases}x=1 \text{  (I)} \\y=2 \text{ (II)} \\z=3 \text{  (III)} \\t=4 \text{  (IV)}\end{cases}


La solution de ce système est:
\boxed{S=\left\lbrace \text{  (} 1 , 2 , 3 , 4 \text{)  }\right\rbrace}
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